Mixed Local-Nonlocal Parabolic Equations in Heisenberg Group : Harnack Inequality with an Optimal Tail
University of Kalyani（卡拉尼大学）
本文通过正性扩展方法和聚类引理，证明了海森堡群上线性混合局部-非局部抛物方程具有最优尾部的哈纳克不等式，避免了Moser迭代和对数估计。
2026-06-16 math.AP
Harnack and pointwise estimates for degenerate or singular parabolic equations
本文对散度型非线性抛物型方程的Harnack不等式理论作了历史和技术上的综述。我们开始回顾椭圆的情况下，它的一些变种和几何后果。广泛地讨论了线性抛物型的Moser Harnack不等式，以及它与双边核估计和Li-Yau微分Harnack不等式的联系。然后我们综述了非线性退化/奇异方程理论的最新发展，突出了与二次方程的区别，并介绍了所谓的内在Harnack不等式。最后，我们给出了Harnack不等式在某些重要情形下的完整证明，以向读者介绍正性方法的扩展。
2019-01-29 math.AP
$1$-Dimensional Harnack Estimates
设$u$是$p$维奇异抛物型方程（$1<p<2$）的非负上解.如果$u$在一个时间段$\{y\}\times(0,T]$上的下界为一个正数$M$，那么它相对于$\mathbb R\times[T/2,T]$中的空间变量$x$有一个$\frac p{2-p}$阶的幂型衰减。这一事实在命题1.1中定量地表述，是这类奇异方程解的“正性的侧向扩展”，可以看作是Harnack不等式的一种形式。这种效应的证明是基于几何思想。
2015-03-25 math.AP
On The Weak Harnack Estimate For Nonlocal Equations
本文针对以非局部 Trudinger 方程为模型的双重非线性非局部方程，利用适配非局部框架的正性扩张论证建立弱 Harnack 估计，并避开 Moser 迭代等经典技术。
2023-06-05 math.AP
Harnack Inequality for Parabolic Fractional $p$-Laplace Equations
Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld（比勒费尔德大学数学系）
本文为抛物型分数阶 p-Laplace 方程建立了带最优尾项的内在 Harnack 不等式，采用非局部比较与障碍方法，并得到无需时间间隙的更强结论，结果在线性情形亦为新。
2026-09-15 math.AP
Instantaneous regularisation via Harnack-type methods for a degenerate non-local equation
Laboratoire de Mathématiques de Versailles, UMR 8100 CNRS, UVSQ, Université Paris-Saclay（凡尔赛数学实验室，CNRS联合研究单位8100，凡尔赛大学，巴黎萨克雷大学）
针对退化非局部方程，通过Harnack型不等式证明瞬时平滑效应，移除先前非退化假设，并用Bombieri-Giusti方法获得定量估计。
2026-10-07 math.AP
Harnack inequality for superposition operators of mixed fractional order
National Institute of Technology Calicut（印度国立技术学院卡利卡特分校）；Indian Institute of Technology (BHU)（印度理工学院（贝拿勒斯 Hindu 大学））
本文通过引入非局部叠加尾，将De Giorgi-Nash-Moser理论扩展到混合分数阶叠加算子，建立了弱解的Hölder连续性和Harnack不等式，即使在经典线性情况p=2下也是新的。
2026-05-31 math.AP
Two alternative proofs of weak Harnack inequality for mixed local and nonlocal $p$-Laplace equations with a nonhomogeneity
本文研究了一类混合局部和非局部 $p$-拉普拉斯方程，给出了保证变号超解弱赫尔曼不等式尾项的 $f $ 的充分条件，采用两种不同方法避免了克里洛夫-萨夫诺夫覆盖引理和正性展开，一种通过约翰-尼伦伯格引理，另一种通过Bombieri-Giusti引理，并为超解的反向霍尔德不等式提供了新证明，同时通过局部有界性结果、尾估计和初始弱赫尔曼不等式建立了解的赫尔曼不等式。
2026-06-04 math.AP
On the weak Harnack inequalities for nonlocal double phase problems
本文利用正性扩张方法研究非局部双相泛函的弱 Harnack 不等式，通过基于非局部 Caccioppoli 型不等式建立测度理论估计来克服调制系数与增长指数相互作用的挑战，并探讨了极小子的定量有界性。
2024-05-30 math.AP
Optimal Weighted Smoothing and Asymptotics of Ancient Solutions for Fast Diffusion Equations
KAIST（韩国科学技术院）；Beijing Normal University（北京师范大学）
研究快速扩散方程古解的最优加权平滑估计及渐进行为，确定关键指数与经典Brezis-Turner指数一致，并推导改进的全局Harnack不等式。
2026-08-04 math.AP
Positivity and asymptotic behaviour of solutions to a generalized nonlocal fast diffusion equation
针对含类稳定算子与奇异非线性项的广义非局部快扩散方程，通过弱Harnack不等式分析解的正性并推导其渐近等价于标准分数阶快扩散方程的Barenblatt解，突破了算子一般性带来的方法限制。
2024-03-11 math.AP
Regularity for Mixed Local and Nonlocal Degenerate Elliptic Equations in the Heisenberg Group
本文研究了Heisenberg群中混合局部与非局部退化椭圆方程的正则性，通过推导Caccioppoli型不等式和对数估计，证明了弱解的局部有界性、Hölder连续性及Harnack不等式。
2025-10-31 math.AP
On the regularity theory for mixed local and nonlocal quasilinear elliptic equations
考虑局部和非局部$p$ -Laplace方程的组合，讨论了弱解的几个正则性性质.更精确地说，我们建立了弱子解的局部有界性，弱解的局部Hölder连续性，弱解的Harnack不等式和弱上解的弱Harnack不等式.我们还讨论了弱上解的下半连续性和弱下解的上半连续性。我们的方法是纯粹的分析，它是基于德乔治-纳什-莫泽理论，积极性的扩展和估计涉及一个尾部项。主要结果适用于符号变化的解决方案，并捕获本地和非本地功能的方程。
2021-10-22 math.AP
Harnack inequality for mixed local-nonlocal weighted homogeneous equations
Indian Institute of Science Education and Research Pune（印度科学教育研究所浦那分校）；Indian Institute of Technology Kanpur（坎普尔印度理工学院）
针对混合局部-非局部方程，在权函数属于次临界Lebesgue空间条件下，利用De Giorgi-Nash-Moser理论和尾部项估计，建立了弱解的Harnack不等式和弱上解的弱Harnack不等式。
2026-06-16 math.AP
Weighted Kolmogorov equations: transfer estimates, local boundedness, and Harnack inequalities
Uppsala University（乌普萨拉大学）
本文研究加权Kolmogorov方程，在一般A2权重下证明传递估计、局部有界性、Harnack不等式及强最小值原理，并涵盖分数幂扩展中的特定权重。
2026-09-23 math.AP
On the Local Behavior of Local Weak Solutions to some Singular Anisotropic Elliptic Equations
研究了一类各向异性奇异方程的有界局部弱解的局部性态，该方程同时包含非退化算子和奇异算子。通过一个抛物线的方法展开的积极性，我们得到内部Hölder连续性，和一些积分和逐点Harnack不等式。
2022-05-15 math.AP
Regularity of superposition operators of mixed fractional order
National Institute of Technology Calicut（卡利卡特国立技术学院）；Ghent University（根特大学）
本文研究混合分数阶算子的超位置算子的正则性，建立Caccioppoli型不等式、弱解的局部有界性、Hölder连续性、弱Harmonic不等式及弱超解的下半连续性，适用于固定符号和变号解。
2026-05-14 math.AP
Quantitative a Priori Estimates for Fast Diffusion Equations with Caffarelli-Kohn-Nirenberg weights. Harnack inequalities and Hölder continuity
研究了一类加权快扩散方程$u_t = |x|^γ \nabla\cdot (|x|^{-β} \nabla u^m)$的非负局部弱解的先验估计，其中$u_t = |x|^γ \nabla\cdot (|x|^{-β} \nabla u^m)$是在$(0,T)\times{\mathbb R}^N$的柱上的.权重$|x|^γ$和$|x|^{-β}$，以及$γ< N$和$γ-2 < β\leq γ(N-2)/N$可以是退化的和奇异的，并且不需要属于类$\mathcal{A}_2$，这是这类问题的典型假设。这一范围的参数是最佳的一类Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式的有效性，发挥标准的Sobolev不等式在这个更复杂的加权设置的作用。我们考虑的权重不是平移不变的，这会导致一些额外的困难和各种情况：例如，当考虑原点附近或远离原点的问题时，方程的标度性质会发生变化。因此，我们证明了定量的-可计算常数-局部弱解的上下估计，将我们的注意力集中在几何形状发生变化的地方。这样的估计公平地组合成形式的Harnack不等式的向前，向后和椭圆型。因此，我们获得了Hölder连续的解决方案，与定量（即使非最佳）指数。我们的结果适用于相当大的各种解决方案和问题。证明的积极性估计需要一种新的方法，并代表了本文的主要技术新颖性。我们的技术是灵活的，可以适应更一般的设置，例如更广泛的一类权重或…
2018-10-29 math.AP
Remarks on parabolic De Giorgi classes
本文对$p$阶抛物型De Giorgi类中函数的性质作了几点说明。新的观点包括一个新的机制，传播积极的措施，保留成员下凸组合，和对数型估计。在此基础上，我们能够给出已知性质的新证明。特别是，我们通过莫泽的思想证明了这些函数的局部有界性和局部Hölder连续性，从而避免了De Giorgi的重型机器。我们也抓住这个机会，给一个透明的证明弱Harnack不等式的非负成员的一些超类的De Giorgi，没有任何覆盖参数。
2020-04-29 math.AP
The Cauchy-Dirichlet Problem for the Fast Diffusion Equation on Bounded Domains
本文综述有界区域上快速扩散方程 Cauchy–Dirichlet 问题的存在性、正则性与渐近行为，并证明亚临界情形的新全局 Harnack 估计和渐近结果。
2023-08-16 math.AP
A new short proof of regularity for local weak solutions for a certain class of singular parabolic equations
利用最近的正性展开和$L^{1}$ -Harnack估计技巧，建立了一类以\begin{equation} u_t= \nabla \cdot \bigg( |\nabla u|^{p-2} \nabla u \bigg), \quad \text{ for } \quad 1<p<2, \end{equation}和\begin{equation} u_{t}- \nabla \cdot ( u^{m-1} | \nabla u |^{p-2} \nabla u ) =0 , \quad \text{for} \quad m+p>3-\frac{p}{N}, \end{equation}为原型的抛物型奇异方程局部有界弱解的内部Hölder连续性.
2020-03-02 math.AP
A Nash Type result for Divergence Parabolic Equation related to Hormander's vector fields
本文考虑一类与H有关的系数有界可测的发散抛物型方程Ormander的向量场，并建立纳什型结果，即，当地H较老的弱解的正则性。在导出抛物型Sobolev不等式后，给出了H的（1，1）型Poincaré不等式Ormander的向量场和De Giorgi型引理，H利用抛物Campanato空间与抛物H空间的同构性以及解的振动性估计，证明了方程弱解的一个较早的正则性老空间作为结果，我们通过证明De Giorgi类中函数正性的一个扩张性质，给出了弱解的Harnack不等式.
2017-05-17 math.AP
Positive Solutions for Sublinear Equations with Compact Positivity-Improving Resolvent
Nicolaus Copernicus University in Toruń（托伦哥白尼大学）
本文在抽象框架中证明了半线性方程正解存在性的Brézis--Oswald型定理，无需额外的正则化性质，结合子/超解方法和谱思想，连接了序理论方法与经典能量理论。
2026-09-18 math.AP
Convergence rates on periodic homogenization of p-Laplace type equations
本文在齐次化方程的相同结构假设下，得到了p-Laplace型方程周期齐次化的若干误差估计.其主要思想是通过调整校正器差商的大小，使收敛速度可见。为了达到我们的目标，开发了相应的具有一定性质的通量校正器。同时，将移位变元应用到$\varepsilon$尺度下，得到了一个新的加权型光滑算子不等式，其权在小尺度下满足Harnack不等式.因此，有可能进行一些大规模的估计。最后，我们提到，我们的方法带来了一个系统误差（这种现象将在线性和非退化的情况下消失），幸运的是，这是一个数量$o(\varepsilon)$在这里。
2018-12-12 math.AP
On a spatially inhomogeneous nonlinear Fokker-Planck equation: Cauchy problem and diffusion asymptotics
该研究针对空间非均匀非线性Fokker-Planck方程的动理学模型，证明当初值低于麦克斯韦分布时的全局适定性与瞬时光滑性，建立低场极限下与快扩散流的关联并推导全局定量扩散渐近行为。
2022-07-12 math.AP
A Priori Estimates for Fractional Nonlinear Degenerate Diffusion Equations on bounded domains
研究了有界区域上的非线性分数阶扩散方程$\partial_t u + {\mathcal L} (u^m)=0$的非负解$u(t,x)\ge 0$的定量性质，其中$t>0$的非负解为具有$m>1$的$x\inΩ\subset {\mathbb R}^N$.作为${\mathcal L}$，我们使用一个最常见的定义的分数拉普拉斯$(-Δ)^s$，$0<s<1$，在一个有界域与零Dirichlet边界条件。我们考虑了方程的一般类很弱解，并以光滑效应、绝对上界、下界和Harnack不等式的形式得到了先验估计。我们还调查了边界行为，我们从上面和下面得到尖锐的估计。将标准拉普拉斯情形$s=1$或线性情形$m=1$恢复为限值。该方法具有较强的通用性，适合于处理一些类似的问题.
2013-11-27 math.AP
Infinite speed of propagation and regularity of solutions to the fractional porous medium equation in general domains
研究了分数阶多孔介质方程$u_t+(-Δ)^su^m=0$在$(0,\infty)\timesΩ$中，$m>1$和$s\in (0,1)$，以及Dirichlet边界数据$u=0$在$(0,\infty)\times({\mathbb R}^N\setminusΩ)$中，非负初始条件$u(0,\cdot)=u_0\geq0$的正解和正则解.我们的第一个结果是一个定量下限的解决方案，它适用于所有积极的时间$t>0$。因此，我们发现了一个全球性的Harnack原则，指出对于任何$t>0$解决方案是可比的$d^{s/m}$，其中$d$是距离$\partialΩ$。这与局部情况$s=1$形成鲜明对比，其中方程具有有限的传播速度。在此基础上，我们研究了解的正则性。我们证明了解决方案是经典的内部（$C^\infty$在$x$和$C^{1,α}$在$t$），并建立了一个尖锐的$C^{s/m}_x$正则性估计的边界。我们的方法是相当普遍的，并可以应用到更广泛的一类非局部抛物方程的形式$u_t-\mathcal L F(u)=0$在$Ω$，无论是在有界或无界域。
2016-06-21 math.AP
Some qualitative and quantitative properties of weak solutions to mixed anisotropic and nonlocal quasilinear elliptic and doubly nonlinear parabolic equations
本文研究混合各向异性与非局部p-Laplace算子及双重非线性抛物方程，建立存在唯一性、比较定理、Hardy不等式及正则性估计，并利用Picone恒等式与能量估计等方法。
2025-02-28 math.AP
A new notion of subharmonicity on locally smoothing spaces, and a conjecture by Braverman, Milatovic, Shubin
本文在强局部 Dirichlet 空间中提出局部 λ-移位亏损性，并在局部光滑空间上建立正则性理论，从而证明 Braverman、Milatovic、Shubin 关于完备 Riemann 流形上分布解正性的猜想。
2024-04-05 math.AP math.DG math.MG
On positive solutions of the $(p,A)$-Laplacian with a potential in Morrey space
本文研究拟线性方程组\[ Q'_{A,p,V}[v] := -\mathrm{div}(|\nabla v|_A^{p-2}A(x)\nabla v) + V(x)|v|^{p-2}v =0 \qquad x\inΩ, \]的定性正性，其中$Ω$是$\mathbb{R}^n$，$1<p<\infty$中的区域，$A=(a_{ij})\in L^\infty_{\rm loc}(Ω;\mathbb{R}^{n\times n})$是对称的局部一致正定矩阵，$V$是某个局部Morrey空间中的实位势（取决于$p$），和\[ |ξ|_{A}^{2}:=A(x)ξ\cdotξ=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x)ξ_iξ_j \qquad x\inΩ,~ξ=(ξ_1,\ldots,ξ_n)\in \mathbb{R}^n. \]我们对$p\geq 2$的算子系数的假设是最小的（在Morrey尺度下），保证了局部Harnack不等式的有效性，从而保证了解的Hölder连续性。对于一些结果的文件，我们需要稍微强有力的假设时，$p<2$。我们证明了一个Allegretto-Piepenbrink型定理的运营商$Q'_{A,p,V}$，并扩展临界理论，我们的设置。此外，我们建立了一个Liouville型定理，并得到了一些扰动结果。此外，在$1<p\leq n,$的情况下，我们研究了一个…
2015-08-20 math.AP
Fractional Nonlinear Degenerate Diffusion Equations on Bounded Domains Part I. Existence, Uniqueness and Upper Bounds
研究了一类非线性分数阶扩散方程$\partial_t u + \mathcal{L}F(u)=0$在有界区域$x\inΩ\subset \mathbb{R}^N$中，在适当的齐次Dirichlet边界条件下非负解$u(t,x)\ge 0$的定量性质.作为$\mathcal{L}$，我们可以使用一个相当一般的线性算子类，包括两个最常见的版本的分数拉普拉斯$(-Δ)^s$，$0<s<1$，在一个有界域的零Dirichlet边界条件，但它也包括许多其他的例子，因为我们的理论只需要一些基本的性质，是典型的“线性热半群。“假定非线性$F$增加并允许退化，原型是功率情况$F(u)=|u|^{m-1}u$，带有$m>1$。在本文中，我们提出了一个合适的一类解的方程，并涵盖的基本理论：我们证明了这种解决方案的存在性，唯一性，我们建立了两种形式的上界（绝对界和光滑效应），以及加权PDMATHAMV估计。这类解决方案非常适合这项工作。包括标准Laplacian情况$s=1$，并且线性情况$m=1$可以在极限内恢复。在一篇配套文章[12]中，我们将用更高级的估计来完成这项研究，如上、下界行为和Harnack不等式，这些都需要本文的结果。
2015-09-30 math.AP
Wellposedness and dynamics of two types of reaction--nonlocal diffusion systems under the inhomogeneous spectral fractional Laplacian
通过调和提升和解析压缩半群理论，研究带非齐次Dirichlet边界条件的反应-非局部扩散方程的适定性，并分析双稳态和Gray-Scott系统的动力学性质，包括能量耗散、不变集和数值模拟。
2026-06-03 math.AP
Sharp global estimates for local and nonlocal porous medium-type equations in bounded domains
本文定量研究了形式为$\partial_t u + {\mathcal L}u^m=0$，$m>1$的多孔介质型非线性扩散方程的非负解，其中算子${\mathcal L}$属于一般的线性算子类，方程在有界区域$Ω\subset{\mathbb R}^N$中提出.作为可能的运营商，我们包括三个最常见的定义的分数拉普拉斯算子在一个有界域的零狄利克雷条件，也有一些其他的非局部版本。特别地，${\mathcal L}$可以是具有$C^1$系数的一致椭圆算子的幂。由于非线性由$u^m$和$m>1$给出，因此方程是退化抛物型方程。这类方程的基本适定性理论最近在[14，15]中得到了发展。在这里，我们解决的正则性理论：衰减和积极性，边界行为，Harnack不等式，内部和边界的正则性，渐近行为。所有这一切都是根据精确的先验估计以定量方式进行的。虽然我们的重点是分数模型，我们的结果也涵盖了当地的情况下，当${\mathcal L}$是一个一致的椭圆算子，并提供新的估计，即使在这种设置。本文中发现的一个令人惊讶的方面是可能存在的非匹配功率的长时间边界行为。更准确地说，当${\mathcal L}=(-Δ)^s$是一个光滑域内的{Dirichlet}拉普拉斯算子的谱功率时，我们可以证明：-当$2s> 1-1/m$，对于大的时间，所有的解决方案表现为${\rm dist}^{1/m}$附近的边界; -当$…
2017-11-25 math.AP
A Li-Yau and Aronson-Bénilan approach for the Keller-Segel system with critical exponent
Universite Claude Bernard Lyon 1（里昂第一大学）；Vrije Universiteit Amsterdam（阿姆斯特丹自由大学）
本文通过李-尤和阿罗森-贝尼兰方法，证明了具有临界指数的凯勒-塞格尔系统中密度的L^∞界，并在两种情况下证明了光滑解的全局存在性。
2026-10-26 math.AP
Existence and Structure for First-Order Time-Dependent Mean-Field Games with Local Couplings
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）
利用单调算子理论和低阶p-Laplacian正则化，在单调性和幂增长假设下，通过Minty方法证明了弱变分不等式解的存在性，并证明了满足特定界的变分不等式解是BV意义下的MFG解。
2026-06-19 math.AP
