K_6 minors in large 6-connected graphs
Ken-ichi Kawarabayashi, Serguei Norine, Robin Thomas, Paul Wollan
Jorgensen证明了不含K_6子式的6-连通图都有一个顶点，它的删除使图成为平面图.我们证明了所有的充分大的图的猜想。
Jorgensen conjectured that every 6-connected graph with no K_6 minor has a vertex whose deletion makes the graph planar. We prove the conjecture for all sufficiently large graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The Characterization of planar, 4-connected, K_{2,5}-minor-free graphs
我们证明了每一个平面的，4-连通的，K2;5-子自由图是偶数长度至少为6的圈的平方。
K_6 minors in 6-connected graphs of bounded tree-width
本文证明了树宽有界的充分大6-连通图要么有K_6子图，要么有一个顶点，其删除使图成为平面图。这是向证明相同结论对所有足够大的6-连通图成立的一步。Jorgensen证明了它对所有6-连通图都成立。
$K_{4}$-Minor-Free Induced Subgraphs of Sparse Connected Graphs
我们证明了每一个具有$m$边的连通图$G$包含至多$\frac{3}{16}(m + 1)$顶点的集合$X$，使得$G-X$没有$K_4$子图，或者等价地，至多$2$有树宽.这个界限是最好的。连通性是必不可少的：如果$G$未连接，则只能保证$\frac{1}{5}m$的一个界限。
A note on highly connected $K_{2,\ell}$-minor free graphs
本文证明最小度至少为4的3-连通$K_{2,\ell}$-无minor图的最大度至多$7\ell$，并由此推出最小度至少5且无5度双胞胎的此类图有界大小，证明使用Steiner树和嵌套割，不依赖Ding的刻画。
Minors of two-connected graphs of large path-width
设$P$是一个顶点为$v$的图，使得$P\backslash v$是一个森林，$Q$是一个外平面图.证明了存在一个数$p=p(P,Q)$，使得路宽至少为$p$的2连通图有一个子同构于$P$或$Q$ .这个结果回答了Seymour的一个问题，并暗示了Marshall和Wood的一个猜想.证明是基于树分解的一个新的属性。
Non-Embeddable Extensions of Embedded Minors
一个图G是弱4-连通的，如果它是3-连通的，至少有5个顶点，并且对于每一对具有并V（G）和3个交集的集合（A，B），使得没有边的一端在A-B中，另一端在B-A中，诱导子图G[A]，G[B]中的一个至多有4条边.我们描述了一组构造，从弱4-连通可平面图G产生一个有限的非平面弱4-连通图列表，每个图都有一个子同构于G，使得每个非平面弱4-连通图H，有一个子同构于G有一个子同构于列表中的图之一。我们的主要结果是更一般的，特别适用于多面体嵌入在任何表面。
Erdős-Pósa property for labelled minors: 2-connected minors
在20世纪60年代，Erdens和Pósa证明了图中的圈存在packing-covering对偶。作为图小项目的一部分，Robertson和Seymour极大地扩展了这一点：当且仅当$H$是可平面图时，图中的$H$ -展开存在这样的对偶性（这包括之前关于$H=K_3$的结果）。我们考虑了点标号图和子图，并给出了$2$连通标号图$H$的一个刻画.
The Highly Connected Matroids in Minor-closed Classes
对于固定有限域上的任意次闭拟阵类，给出了该类中充分连通拟阵的一个精确结构刻画。我们还指出了一些可能是接近使用的结构表征。
Every longest circuit of a 3-connected, $K_{3,3}$-minor free graph has a chord
Carsten Schlassen证明了3-连通图中的每一个最长圈都有弦.我们证明了猜想的图没有$K_{3,3}$子，从而为可平面图。
Forbidden Minors For 3-Connected Graphs With No Non-Splitting 5-Configurations
对于一组五条边，如果相关的道奇森多项式之一等于零，则图分裂。图G的每五条边都可分裂是一个小闭性质。因此，有一个有限集的禁止子F，使得如果一个图H不包含一个子同构于任何图F，那么H分裂。在本文中，我们证明了，如果一个图G是简单的，3-连通的，并分裂，那么G必须不包含任何子同构K5，K3，3，八面体，立方体，或图是一个单一的delta-Y变换远离立方体。因此，这是所有简单3连通禁止子式的集合。2-连通或非简单禁止子式的完整集合仍然没有解决，尽管已经发现了一些。
A chain theorem for sequentially $3$-rank-connected graphs with respect to vertex-minors
本文提出了一个关于顶点子图更高连通性的链定理，证明了每个序列 $3$-秩连通图 $G$ 都存在比其少一个顶点的序列 $3$-秩连通顶点子图，除非 $|V(G)|\leq 12$。
A note on the connectivity of 2-polymatroid minors
Brylawski和Seymour分别证明了：如果$M$是一个连通拟阵，它有一个连通子阵$N$和$e \in E(M) - E(N)$，则$M \backslash e$或$M / e$是连通的，它有$N$作为子阵。本文证明了关于$2$ -多拟阵的一个类似但较弱的结果。具体地说，如果$M$是一个连通的$2$ -多拟阵，它具有一个真连通的子阵$N$，那么存在$E(M) - E(N)$的一个元素$e$，使得$M \backslash e$或$M / e$以$N$作为子阵被连通。我们还考虑了可以说的唯一性的方式，其中$E(M) - E(N)$的元素可以被删除，使连接性始终保持。
The $9$-connected Excluded Minors for the Class of Quasi-graphic Matroids
类的准图形拟阵，最近推出的Geelen，Gerards和惠特尔，是未成年人关闭，并包含类的提升图形拟阵和类的框架拟阵，其中每一个一般化类的图形拟阵。本文证明了拟阵类$U_{3,7}$和$U_{4,7}$是拟图拟阵类中唯一的$9$ -连通排除子阵.
Embedding simply connected 2-complexes in 3-space -- III. Constraint minors
我们用六个障碍来证明下面的性质：给定一个图拟阵$M$和它的元素的集合$X$，当$M$是图$G$的圈拟阵，使得$X$是$G$中的连通边集时？
Hamiltonicity of planar graphs with a forbidden minor
Tutte证明了$4$ -连通可平面图是Hamilton图，但众所周知$3$ -连通可平面图不一定是Hamilton图.证明了无$K_{2,5}$ -minor-free $3$ -连通可平面图是Hamilton图.这并不延伸到$K_{2,5}$ -minor-free $3$ -连通图in general，如Petersen图所示，也不延伸到$K_{2,6}$ -minor-free $3$ -connected可平面图，如我们通过无限族的例子所示。
List-coloring apex-minor-free graphs
一个图H是t-顶点的，如果对于V（H）的某个大小为t的子集X，H-X是平面的.对于任意的整数t>=0和固定的t-顶点图H，我们给出了一个多项式时间算法来判定一个（t+3）-连通的无H-子图是否可着色.连通性要求是最好的，即对每个t>=1，存在一个t-顶点图H，使得检验（t+2）-连通无H-minor-free图的（t+4）-可染性是NP-完全的.类似地，列表的大小不能减少（除非P=NP），因为对于每个t>=1，测试（t +3）-连通K_{t+4} -minor-free图的（t+3）-列表可着色性是NP-完全的。
The internally 4-connected binary matroids with no M(K5\e)-minor
设AG（3，2）xU（1，1）表示由AG（3，2）与一个圈的直和通过完成AG（3，2）中每个元素与圈之间的三点直线而得到的二元拟阵。本文证明了任何内部4-连通二元拟阵若没有同构于M（K5 \e）的子式，则同构于（AG（3，2）xU（1，1））* 的子式.
The internally 4-connected binary matroids with no M(K3,3)-minor
本文给出了与M（K3，3）没有子式同构的内部4-连通二元拟阵的一个刻划。任何这样的拟阵要么是上图的，要么同构于三次或四次莫比乌斯梯的键拟阵的一个特定的单元素扩张，或者同构于十八个散在拟阵之一。
Contractible edges in 3-connected graphs that preserve a minor
设$G$是一个具有$3$ -连通（或足够小）简单子图$H$的$3$ -连通图.我们建立了$G$有一个森林$F$，它至少有$\left\lceil(|G|-|H|+1)/2\right\rceil$边，使得$G/e$是$3$ -连接的，每个$e\in E(F)$都有一个$H$ -minor。此外，我们可以挑选具有$|G|-|H|$边的$F$，只要$G$是无三角形的。这些结果是尖锐的。我们的结果推广了Ando et.例如，其建立了$3$ -连通图$G$具有至少$\left\lceil|G|/2\right\rceil$可收缩边。作为另一个结果，每个无三角形的$3$连通图具有可收缩边的生成树。我们的结果遵循一个更一般的定理图未成年人，分裂定理，这也是建立在这里。
A notion of minor-based matroid connectivity
对于拟阵$N$，若拟阵$M$的每两个元素都在一个$N$ -子式中，则拟阵$M$是$N$ -连通的。因此一个拟阵是连通的当且仅当它是$U_{1,2}$ -连通的。本文证明了$U_{1,2}$是唯一的连通拟阵$N$，使得若$M$与$|E(M)| > |E(N)|$是$N$ -连通的，则对所有元$e$，$M \backslash e$或$M / e$是$N$ -连通的.此外，我们表明，$U_{1,2}$和$M(\mathcal{W}_2)$是唯一的连接拟阵$N$，这样，每当一个拟阵有一个$N$ -小使用$\{e,f\}$和一个$N$ -小使用$\{f,g\}$，它也有一个$N$ -小使用$\{e,g\}$。最后，我们证明了$M$是$U_{0,1} \oplus U_{1,1}$ -连通的当且仅当$M$的每个克隆类都是平凡的。
Unavoidable Parallel Minors of 4-Connected Graphs
平行子图是由图的任意序列的边收缩和平行边删除得到的。本文证明了对任意正整数k，每一个足够高阶的内部4-连通图都含有一个平行子图，它同构于在k度顶点上具有完全图的K_{4,k}的一个变分，在k度顶点上具有完全图的k-划分三重扇，k-辐双轮，k-辐带轴双轮，（2k+1）-梯级Mobius之字形梯，（2k）级锯齿形阶梯，或K_k。我们还发现了1-，2-和3-连通图的不可避免的平行子图。
Graphs of Small Rank-width are Pivot-minors of Graphs of Small Tree-width
证明了秩宽$k$的图是树宽至多为$2k$的图的子图。我们还证明了图的秩宽度最多为1，等价的距离遗传图，正是顶点未成年人的树，和图的线性秩宽度最多为1的道路，正是顶点未成年人。此外，我们还证明了秩宽不大于1的二部图是树的正子图，线性秩宽不大于1的二部图是路的正子图.
Rooted prism-minors and disjoint cycles containing a specified edge
Dirac和Lovász独立地刻画了不含点不交圈对的$3$ -连通图.等价地，他们刻画了所有没有棱镜子项的$3$ -连通图。本文完全刻画了边不包含在任何一对顶点不相交圈的并中的$3$ -连通图.作为应用，我们回答了边不相交圈和$4$ -连通图的类似问题，并利用一条特定的边完全刻画了无棱镜子图的$3$ -连通图。
Unavoidable cycle-contraction minors of large $2$-connected graphs
本文研究了大2连通图的不可避免循环收缩minors，通过收缩循环得到minors，建立了与诱导子图定理对偶的结论。
The Erdös-Pósa property for clique minors in highly connected graphs
本文证明了函数f：N^2 -> N的存在性，使得对于N中的所有p，k，每个（k（p-3）+14 p +14）-连通图要么有k个不相交的Kp子图，要么包含一个至多f（p，k）个顶点的集合，其删除杀死所有Kp子图.对于固定的p > 4，k（p-3）的连通性界是最小的，直到一个加法常数：如果我们假设k的连通性更小，那么就没有这样的函数f。
Towards a splitter theorem for internally 4-connected binary matroids II
设M和N是内部4-连通二元拟阵，使得M有一个真N-子阵，|E（N）|至少有七个。作为我们发展内部4-连通二元拟阵分裂定理的一部分，我们证明了如下结果：如果M \e当e在M的三角形中时没有N-子阵，且当e在M的三元组中时M/e没有N-子阵，则M有一个子阵M '，使得M'内部4-连通且0 <|E（M）|-|E（M '）|< 3.
Interval minors of complete bipartite graphs
二部图的区间子图是最近由Jacob Fox在Stanley-Wilf极限的研究中引入的。研究了$K_{r,s}$ -区间子自由二部图的最大边数问题.我们确定了当$r=2$时的精确值，并描述了极值图。给出了$r=3$的上下上界，并研究了$K_{3,s}$ -区间子自由图的结构.
Induced Minors and Region Intersection Graphs
本文证明了存在周长任意大且非区域相交图的 $K_{6}^{(1)}$-导出子式无关图，强有力地否定了关于任意 $H$-导出子式无关图均可表示为某类子式无关图上区域相交图的猜想。
Excluding a Planar Matching Minor in Bipartite Graphs
匹配子式是子式的一种特殊化，适合于研究具有完美匹配的图。匹配子图的概念被用来对二部图进行结构描述，在此基础上，McCuaig等人在1999年给出了Little的一个结果.本文将Robertson和Seymour的图子级数的基本思想推广到具有完美匹配的二部图的设置.我们介绍了一个版本的Erdos-Posa属性匹配未成年人，并找到这个属性和平面性之间的直接联系。由此得到一类具有完美匹配的二部图具有有界完美匹配宽度当且仅当它不包含一个平面匹配子图。我们还提出了算法二部图的有界完美匹配宽度的匹配版本的不相交路径问题，匹配未成年人的包容性，并计算完美匹配的数量。从结构上得到了判定二部图G是否含有固定平面图G有匹配子图和计算排除固定可平面图作为匹配子图的二部图的完美匹配数都是多项式时间可解的.
A characterization of 4-connected graphs with no 6-wheel minor
本文研究4连通图中不含6轮子minor的图结构，通过分析确定所有符合条件的图类。
Graphs without large $K_{2,n}$-minors
本文的目的是刻画图，没有一个大的$K_{2,n}$ -子。作为推论，证明了对任意给定的正整数$n$，每个最小度至少为6的充分大3-连通图、每个顶点度足够高的4-连通图和每个充分大5-连通图必有一个$K_{2,n}$ -子图.
Cubic graphs, $S$-minors and conformal minors
本文证明任何由有限个禁止三次$S$-子式刻画的匹配覆盖图类，也可由有限个禁止三次共形子式刻画，并应用此定理推导出已知的pfaffian近二部图和pfaffian实心图的禁止共形子式刻画。
Every infinitely edge-connected graph contains the Farey graph or $T_{\aleph_0}\!\ast t$ as a minor
我们证明了每一个无限边连通图都包含Farey图或$T_{\aleph_0}\!\ast t$作为子图。这两个图是唯一的，这一性质的小等价。
Girth six cubic graphs have Petersen minors
本文证明了任何不含长度小于6的圈的3-正则图都有一个子图同构于Petersen图的一个剖分。
Directed Graph Minors and Serial-Parallel Width
图子式是理解无向图结构的主要工具，具有许多概念和算法含义。我们通过修改熟悉的定义，提出了\emph{directed graph minors}和\emph{directed graph embeddings}的新变体。对于2-终端有向无环图类，我们的两个定义是一致的，并且该类在两种运算下都是闭的。我们的定向小操作的有用性证明了所有TDAGs的串行-并行宽度最多$k$，一类网络，以保证有界的负外部性在非原子路由游戏。我们的刻画意味着TDAG具有串并行宽度$1$当且仅当它是有向串并行图。我们还研究了寻找有向子式和计算串并行宽度的计算复杂性。
Tree-depth and Vertex-minors
在最近的一篇论文中，Kwon和Oum声称每个有界秩宽度的图都是有界树宽度的图的子图（而之前已经知道相反的情况）。本文研究了图的深度参数的类似问题，即树深度和相关的新的灌木深度。我们证明了在取点子式的情况下，灌木深度是单调的，并且每一个有界灌木深度的图类都可以通过有界树深度的图的点子式得到。我们也考虑了同样的问题，二部图和子图。
Minor-closed graph classes with bounded layered pathwidth
证明了一个次闭图类具有有界分层路宽当且仅当某个顶点森林不在该类中。这推广了Robertson和Seymour的一个定理，即一个小闭图类具有有界路宽当且仅当某个森林不在该类中。
Towards a Splitter Theorem for Internally $4$-connected Binary Matroids VI
设$M$是一个$3$连通的二元拟阵;如果每个$3$ -分离的一条边是三角形或三元组，则$M$称为内部$4$ -连通的;如果每个$3$ -分离的一条边是三角形、三元组或$4$ -元扇，则$M$称为$(4,4,S)$ -连通的.假设$M$是内部$4$连通的，并且$M$及其对偶都不是三次莫比乌斯或平面梯或其某种余扩张。让$N$成为$M$的内部$4$连接的真小调。我们的目的是表明，$M$有一个适当的内部$4$连接的子与$N$ -子，可以从$M$通过删除最多四个元素，或通过删除元素在一个容易描述的方式从一个特殊的子结构的$M$。当这个目标不能满足时，本系列的早期论文表明，直到对偶，$M$有一个好的蝴蝶结，即一对$\{x_1,x_2,x_3\}$和$\{x_4,x_5,x_6\}$，不相交的三角形和一个上回路$\{x_2,x_3,x_4,x_5\}$，其中$M\backslash x_3$有一个$N$ -子式并且是$(4,4,S)$ -连通的。我们还表明，当$M$有一个好的蝴蝶结时，要么$M\backslash x_3,x_6$有一个$N$ -子式，要么$M\backslash x_3/x_2$有一个$N$ -子式，并且是$(4,4,S)$ -连通的。在本文中，我们表明，当$M\backslash x_3,x_6$有一个$N$ -子式，但不是$(4,4,S)$ -连接，$M$有一个内部$4$ …
Induced minors and well-quasi-ordering
图$H$是图$G$的导出子图，如果它可以通过收缩边从$G$的诱导子图得到。否则，$G$被认为是无$H$诱导的次要的。Robin Thomas证明了$K_4$诱导的无子图是由诱导子图良准序的[Graphs without $K_4$ and well-quasi-ordering，Journal of Combinatorial Theory，Series B，38（3）：240 - 247，1985]。本文给出了$H$ -诱导无子图的一个二分法，证明了一类$H$ -诱导无子图是由诱导子图关系良准序的当且仅当$H$是gem（4点上的路加一个控制点）或4点上的完全图加一个2度点所得到的图的诱导子图.为此，我们证明了两个分解定理是独立的利益。类似的二分性结果以前曾在丁国立的[Subgraphs and well-quasi-ordering，Journal of图论，16（5）：489- 502，1992]和Peter Damaschke的[诱导子图and well-quasi-ordering，Journal of图论，14（4）：427- 435，1990]中给出。
Sparse String Graphs and Region Intersection Graphs over Minor-Closed Classes have Linear Expansion
研究证明了有限表面中稀疏字符串图具有线性扩张，扩展至任意proper minor-closed类的稀疏区域交图，并应用于图着色。
Reconstruction of infinite matroids from their 3-connected minors
我们表明，任何无限拟阵可以重建的躯干的树分解在其2-分离，连同当地的信息在树的两端。我们表明，如果拟阵是驯服的，那么这个本地信息只是一个选择是否允许电路使用该结束。如果每个躯干都是平面的，并且所有粘合元素都在一个公共面上，则情况也是如此。
Towards a Splitter Theorem for Internally $4$-connected Binary Matroids VII
设$M$是$3$连通的二元拟阵;如果每个$3$ -分离的一边是三角形或三元组，则$M$是内部$4$连通的;如果每个$3$ -分离的一边是三角形、三元组或$4$ -元扇，则$M$是$(4,4,S)$ -连通的.假设$M$是内部$4$连通的，并且$M$及其对偶都不是立方莫比乌斯或平面梯或其某种余扩张。设$N$是$M$的内部$4$连通真子式.我们的目的是表明，$M$有一个适当的内部$4$ -连接的未成年人与$N$ -未成年人，可以从$M$通过删除最多四个元素，或通过删除元素在一个容易描述的方式从一个特殊的子结构的$M$。当这个目标不能满足时，本系列的早期论文表明，直到对偶，$M$有一个很好的蝴蝶结，也就是说，一对$\{x_1,x_2,x_3\}$和$\{x_4,x_5,x_6\}$，不相交的三角形和一个上回路$\{x_2,x_3,x_4,x_5\}$，其中$M\backslash x_3$有一个$N$ -子式，是\ffsc。我们还表明，当$M$有一个好的蝴蝶结时，要么$M\backslash x_3,x_6$有一个$N$ -子式，$M\backslash x_6$是$(4,4,S)$ -连通的;要么$M\backslash x_3/x_2$有一个$N$ -子式，是\ffsc。在本文中，我们表明，当$M\backslash x_3,x_6$没有$N$ -子式，$M$有一个内部$4$ -连接…
Dominated balanced separators in wheel-induced-minor-free graphs
本文证明了排除固定轮图作为诱导极小的图具有主导平衡分离器的性质。
A Flat Wall Theorem for Matching Minors in Bipartite Graphs
罗伯逊和西摩的图未成年人理论的一个重要步骤是从网格定理过渡到局部平坦性的概念，网格定理在某种意义上唯一地描述了图中大树宽的区域，这些区域以H-未成年人自由图的任何巨大网格内存在大平坦壁的形式存在。本文证明了不含固定匹配子图的二部图的平壁定理的匹配理论类似定理。我们的结果建立在结构有向图理论和匹配理论之间的紧密关系，并允许我们推导出一个平壁定理的有向图，这大大不同于以前建立的有向变体这个定理。
Characterising 4-tangles through a connectivity property
本文通过证明内部4-连通图具有唯一4-缠结，并利用子式提升性质，实现了用内部4-连通子式对4-缠结的完整刻画。
On minors of non-hamiltonian graphs
本文加强了Tutte定理，证明每个4连通非哈密顿图必含$K_{3,4}$子式，并确认了Ding和Marshall关于3连通非哈密顿图含特定子式的猜想。
A characterization of 4-connected graphs with no $K_{3,3}+v$-minor
本文确定了所有不包含 $K_{3,3}+v$ 作为 minor 的 4-connected 图，完成了对具有 13 条边的内部 4-connected 图中该特定子类的完整刻画。
Characterizing binary matroids with no $P_9$-minor
本文给出了不含$P_9$ -子式的二元拟阵的一个完整刻画.一个3连通二元拟阵$M$没有$P_9$ -子阵当且仅当$M$是一个特殊的16元拟阵$Y_{16}$的内部4连通非正则子阵之一，一个3连通正则拟阵，一个秩至少为4的二元spike拟阵，或一个通过将Fano拟阵的副本3求和到一个3连通余图拟阵$M^*(K_{3, n})$，$M^*(K_{3, n}^{\prime})$，$M^*(K_{3, n}^{\prime\prime})$，或$M^*(K_{3, n}^{\prime\prime\prime})$（$n\ge 2$）。这里，简单图$K_{3, n}^{\prime}, K_{3, n}^{\prime\prime}$和$K_{3, n}^{\prime\prime\prime}$分别通过在大小为3的颜色类中添加一个、两个或三个边而从$K_{3, n}$获得。
Triangle-roundedness in matroids
一个拟阵$N$在一类拟阵$\mathcal{M}$中被称为三角舍入的，如果每个具有三角形$T$和$N$ -子式的$3$ -连通拟阵$M\in \mathcal{M}$都有一个以$T$为三角形的$N$ -子式.里德给出了一个有用的结果，以确定这样的拟阵如下所述：假设$M$是一个二元$3$ -连接拟阵与$3$ -连接的小$N$，$T$是一个三角形的$M$和$e\in T\cap E(N)$ ;然后$M$有一个$3$ -连接的小$M'$与$N$ -小这样的$T$是一个三角形的$M'$和$|E(M')|\le |E(N)|+2$。我们加强了这一结果的下降的条件，这样的元素$e$存在，并证明有一个$3$连接的小$M'$的$M$与$N$ -小$N'$，使$T$是一个三角形的$M'$和$E(M')-E(N')\subseteq T$。将这一结果推广到非二元情形，作为应用，我们证明了$M(K_5)$在正则拟阵类中是三角舍入的。
A Graph Minors Approach to Temporal Sequences
研究图在时间序列中的同时可嵌入性，基于图子式理论提出结构方法，得到2 - 连通时间序列分类定理及多项式时间算法，解决根树SEFE问题，证明图子式技术在演化图结构中的适用性并奠定相关研究基础。
Rooted $K_4$-Minors
设$a,b,c,d$是图$G$中的四个顶点。在$a,b,c,d$上的一个\emph{$K_4$-minor rooted}由$G$的四个成对不相交的成对相邻的连通子图组成，它们分别包含$a,b,c,d$。通过描述六类不含根于$a,b,c,d$的$K_4$ -minor的边极大图的障碍，我们精确地判定了$G$中何时含有根于$a,b,c,d$的$K_4$ -minor.以下两种特殊情况说明了充分的刻画：（1）对于$a,b,c,d$的每一个选择，一个4连通非可平面图包含一个根在$a,b,c,d$的$K_4$ -子图. (2)一个3连通可平面图包含以$a,b,c,d$为根的$K_4$ -子图当且仅当$a,b,c,d$不在一个面上.
Extremal results regarding $K_6$-minors in graphs of girth at least 5
证明了围长为$\geq 6$的6-连通图都有$K_6$ -子式，从而解决了围长为$ \geq 6$的图的Jorgensen猜想.放松围长的假设，证明了每一个长为$\geq 3 1/5 n-8$和围长为$\geq 5$的6-连通$n$ -顶点图都包含一个$K_6$ -子图.
Towards a splitter theorem for internally 4-connected binary matroids VIII: small matroids
我们的内部4连通二元拟阵的分裂定理研究形式为（M，N）的对，其中N和M是内部4连通二元拟阵，M有一个真的N-子式，如果M'是一个内部4连通拟阵，使得M有一个真的M'-子式，M'有一个N-子式，则|E（M）|-|E（M '）|>3.分裂定理中的分析需要这样的约束，|E（M）|15岁以上。在这篇文章中，我们补充说，分析使用详尽的计算机搜索，以找到所有这样的对满足|E（M）|<16.
The Minor Crossing Number of Graphs with an Excluded Minor
图$G$的“次交叉数”是包含$G$作为次交叉的图的最小交叉数。证明了对每个图$H$，都存在一个常数$c$，使得不含$H$ -子图的图$G$最多有$c|V(G)|$的子交叉数.
A characterization of graphs with no $K_{3,4}$ minor
研究了无 $K_{3,4}$ minor 的图的结构，证明了4连通非平面图含 $K_{3,4}$ 和 $K_6^-$ 作为minor，并扩展了Thomassen定理，证明此类图可嵌入到扭棱柱上。
Framed $4$-valent Graph Minor Theory II: Special Minors and New Examples
本文对框架$4$ -图子式理论进行了研究，它是在“框架$4$ -价图子式理论I”中提出的.介绍。证明了任意框架4-图的平面性定理，并证明了在射影平面中可嵌入性的类似结果。
Excluded checkerboard colourable ribbon graph minors
本文首先引入了由欧拉带图子式所激发的带图的棋盘列子式的概念，以及带图的两类二部子式，一类是棋盘列子式的对偶，另一类是由抽象图的二部子式所激发.然后给出了棋盘列带图、二部带图、平面棋盘列带图和平面二部带图类的一个排除子刻画。
Complete Graph Minors and the Graph Minor Structure Theorem
Robertson和Seymour的图的子结构定理表明，每个排除固定子的图都可以由四个成分的组合构成：嵌入有界亏格的曲面中的图，有界宽度的有界数量的涡，有界数量的顶点，以及cn-sum运算。本文研究了一个逆问题：在用这四个成分构成的图中，一个完全图子图的最大阶是多少？我们的主要结果回答了这个问题的一个常数因子。
On the purity of minor-closed classes of graphs
给定一个至少有一条边的图$H$，设$\operatorname{gap}_{H}(n)$表示两个不含子图$H$的$n$ -顶点边-极大图中边数之差的最大值.我们证明了对于四个连通图$H$（至少有两个顶点），没有小$H$的图类是纯的，即$\operatorname{gap}_{H}(n) = 0$对于所有$n \geq 1$;对于每个连通图$H$（至少有两个顶点），我们有二分法，要么$\operatorname{gap}_{H}(n) = O(1)$或$\operatorname{gap}_{H}(n) = Θ(n)$。此外，如果$H$是2-连通的并且不产生纯类，则存在常数$c>0$使得$\operatorname{gap}_{H}(n) \sim cn$。当$H$不连通或有两个或两个以上被排除的未成年人时，我们也给出了一些部分结果。
A characterization of $K_{2,4}$-minor-free graphs
给出了$K_{2,4}$ -minor-free图的一个完整的结构刻画。$3$ -连通$K_{2,4}$ -无子图由9个最多8个顶点上的小图组成，以及一族包含$K_4$的平面图，对于每个$n \ge 5$，还包含$n$阶的$2n-8$非同构图.为了描述$2$ -连通$K_{2,4}$ -无minor图，我们使用$xy$ -外平面图，即具有Hamilton $xy$ -路的可嵌入平面的图，使得所有其它边都位于这条路的一侧。$xy$ -外平面图是没有根$K_{2,2}$的图。其中，$x$和$y$对应于$K_{2,2}$的二分区的一侧上的两个顶点。每个$2$ -连通$K_{2,4}$ -无子图则是（i）外平面图，（ii）三个$xy$ -外平面图和可能的边$xy$的并集，或（iii）通过用$x_i y_i$ -外平面图替换满足一定条件的集合$\{x_1 y_1, x_2 y_2, \ldots, x_k y_k\}$中的每个边$x_iy_i$从$3$ -连通$K_{2,4}$ -无子图获得.
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