Gorenstein homological theory for differential modules
Jiaqun Wei
我们证明了一个微分模是Gorenstein投射的当且仅当它的底层模是Gorenstein投射的。对偶地，微分模是Gorenstein内射的当且仅当它的底层模是Gorenstein内射的。
We show that a differential module is Gorenstein projective if and only if its underlying module is Gorenstein projective. Dually, a differential module is Gorenstein injective if and only if its underlying module is Gorenstein injective.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Eventually homological isomorphisms and Gorenstein projective modules
证明了模范畴之间的某个最终同调同构导致它们的奇异范畴、Gorenstein亏范畴和Gorenstein投射模的稳定范畴之间的三角等价.进一步证明了Auslander-Reiten猜想和Gorenstein对称性猜想可以通过最终同调同构约化。将所得结果应用于箭头去除和顶点去除，刻画了某些非单项式代数上的Gorenstein投射模，并对某些代数验证了Auslander-Reiten猜想.
Gorenstein Homological Algebra of Artin Algebras
Gorenstein同调代数是四十多年来发展到很高水平的一类相对同调代数。本文综述了Artin代数的Gorenstein同调代数的基本理论。我们希望这样的理论将有助于理解著名的Gorenstein对称猜想的artin代数。除少数例外情况外，本报告中的所有结果均载于现有文献中。我们已尽量使博览会保持独立。这份报告可以被看作是学习新发展的理论虚拟Gorenstein代数的准备。在第二章中，我们回顾了Gorenstein同调代数的基本概念，特别强调了生成的Gorenstein-投射模，Gorenstein代数和CM-有限代数。第三章基于Bkillannis的一个定理，研究了Gorenstein-投射分解和各种Gorenstein维数，并简要讨论了Gao和Zhang意义下的Gorenstein导出范畴。我们包括三个附录：附录A对待cotorsion对;附录B草图证明定理的Bkillannis;附录C提供了一个列表中的开放问题Gorenstein同调代数的artin代数。
Gorenstein homological properties of tensor rings
设$R$是一个双边诺特环，$M$是一个幂零的$R$ -双模，它在两边都是双生成的.研究了张量环$T_R(M)$的Gorenstein同调性质.在一定条件下，环$R$是Gorenstein当且仅当是$T_R(M)$。利用$R$ -模刻画了Gorenstein投射$T_R(M)$-模.
Ascent and descent of Gorenstein homological properties
本文研究有限代数环同态下 Gorenstein 同调性质的上升与下降，给出判据并用以检测环的 Gorenstein 性质及刻画稳定范畴的三角等价。
Retractions and Gorenstein homological properties
我们关联到一个局部化模的左收缩代数，它是一个同调环满态，保持奇异范畴。我们研究了左收缩的Gorenstein同调性质（例如，Gorenstein代数或CM自由）的行为。我们将结果应用到Nakayama代数。证明了对于连通Nakayama代数$A$，存在连通自内射Nakayama代数$A'$，使得存在一个左收缩序列将$A$连接到$A'$ ;特别地，$A$的奇异范畴与$A'$的稳定范畴是三角等价的.根据Gorenstein同调性质，我们对至多含有三个单模的连通Nakayama代数进行了分类。
Gorenstein homological invariant properties under Frobenius extensions
证明了对于Frobenius扩张，扩张环上的模是Gorenstein投射的当且仅当其基环上的底层模是Gorenstein投射的。对于Artin代数之间的可分Frobenius扩张，我们得到了扩张代数是CM-有限的（分别是CM-有限和CM-有限）. CM自由）当且仅当是基代数。进一步证明了Artin代数的表示维数在可分Forbenius扩张下是不变的.
Gorenstein homological algebra for rngs and Lie superalgebras
我们推广的概念Gorenstein同调代数的环的任意阿贝尔范畴。对于具有足够幂等元的rng的模范畴，结果是最强的。我们还重新制定的概念Frobenius扩展的诺特环到一个设置，允许直接推广到任意的阿贝尔范畴。然后将抽象理论应用于李超代数的BGG范畴O，现在可以将其视为底层李代数的相应范畴的“Frobenius扩展”，因此是“Gorenstein”。特别是我们获得了新的和更一般的公式的塞尔函子和煽动理论的Gorenstein扩展群。
Resolving dualities and applications to homological invariants
Artin代数上分解有限生成模子范畴的对偶性被刻画为关于Wakamatsu倾斜双模的对偶性。通过将这些对偶限制于分解有限投射维数或Gorenstein-投射维数的有限生成模的子范畴，得到了倾斜模的Miyashita对偶和Huisgen-Zimmermann对应以及它们的Gorenstein形式.其应用包括：构造非生成Gorenstein-投射模的导出范畴的三角等价，证明非生成Gorenstein-投射模的高阶代数$K$ -群和半导Ringel-Hall代数在倾斜下的不变性.
Gorensteinness, homological invariants and Gorenstein derived categories
建立了Gorenstein导出范畴、Gorenstein亏损范畴和Gorenstein稳定范畴之间的关系。利用这些结果，研究了代数$A$的Gorenstein性和关于$A$的有界Gorenstein导出范畴$D^{b}_{gp}(A\mbox{-}{\rm mod})$的元素的不变量.具体地说，$A$的Gorenstein性以三种方式来表征：$D^{b}_{gp}(A\mbox{-}{\rm mod})$中Auslander-Reiten三角形的存在; $D^{b}_{gp}(A\mbox{-}{\rm mod})$的等价;以及Gorenstein导出的等价。证明了Cohen-Macaulay型的有限性和有限维数的有限性对于$D^{b}_{gp}(A\mbox{-}{\rm mod})$的元是不变的.
Frobenius functors and Gorenstein homological properties
证明了阿贝尔范畴之间的任何忠实Frobenius函子都保持对象的Gorenstein投射维数。因此，它保留并反映Gorenstein投射对象。给出了Frobenius函子保持Gorenstein投射对象的稳定范畴、奇异范畴和Gorenstein亏范畴的条件.在附录中，我们给出了如下已知结果的直接证明：对于一个具有足够多投射和内射的阿贝尔范畴，它的整体Gorenstein投射维数与整体Gorenstein内射维数一致。
Quasi-projective dimension and Gorenstein projective dimension
本文从 Gorenstein 同调代数角度研究拟投射维数，证明其在特定条件下与 Gorenstein 投射维数一致，并引入拟 Gorenstein 投射维数作为其类比。
Homological behavior of Auslander's $k$-Gorenstein rings
本文主要研究$k$ -Gorenstein环上对偶模的同调性质.对右拟$k$-Gorenstein环$Λ$，我们证明了$Λ$的右自内射维数至多为$k$当且仅当每个$M \in$ mod $Λ$满足Ext $_Λ^i(M, Λ)=0$对任何$1\leq i \leq k$是自反的条件.对于$\infty$ -Gorenstein环，证明了$Λ$的大、小有限维数和自内射维数是相同的.另外，我们证明了若$Λ$是左拟$\infty$环，且$M\in$ mod $Λ$有等级$M$有限，则Ext $_Λ^i($ Ext $_{Λ^{op}}^i($ Ext $_Λ^{{\rm grade}M}(M, Λ), Λ), Λ)=0$当且仅当$i\neq$等级$M$ .对于2-Gorenstein环$Λ$，我们证明了$Λ$的一个非零真左理想$I$是自反的当且仅当$Λ/I$没有非零伪空子模.
Gorenstein homological algebra and universal coefficient theorems
我们研究的标准环-或更一般地说，一个小范畴-Gorenstein和一个模块在它是有限的投射维数。我们的目标是统一在文献中发现的普遍系数定理，并开发一种机器来证明新的。在我们的方法所涵盖的普遍系数定理，我们发现，除了所有的经典例子，一些外来的例子所产生的KK理论的C*-代数，也尼曼的布朗-亚当斯表示定理的companitary生成的类别。
Gendo-symmetric algebras, dominant dimensions and Gorenstein homological algebra
证明了有限维代数$A$的表示有限子范畴是左弱Gorenstein的，其中的模是半Gorenstein-投射的，且是$n$ -次合模.这推广了Ringel和Zhang在$n=1$情形下证明的一个定理.作为应用，我们证明了表示有限代数上的单项代数和模的自同态环是弱Gorenstein的。给出了Gendo-对称代数的优势维数理论与Gorenstein同调代数之间的一个新的联系。作为应用，我们将看到在gendo-对称代数中存在非投射Gorenstein-投射-内射模已经意味着这个代数不是CM-有限的。利用Gendo-对称代数的理论，我们给出了非弱Gorenstein代数的第一个系统构造。特别地，我们可以从某些量子外代数（如Liu-Schulz代数）中构造具有任意数量单模的非弱Gorenstein代数。
Heaps of modules: homological aspects
研究\(T -\)模堆范畴中投射对象和戈伦斯坦投射对象定义，证明相关充要条件，给出BP戈伦斯坦投射维数的函子描述，还证明单位桁架\(T\)是戈伦斯坦桁架的充要条件是\(R(T)\)是岩泽 - 戈伦斯坦环。
Modules that detect finite homological dimensions
我们研究同调性质的测试模块，在原则上，检测有限同调维数的模块。我们的主要结果是Auslander和Bridger的一个经典定理的推广：我们证明了，如果交换Noether完全局部环R允许有限Gorenstein维数的测试模，则R是Gorenstein.
Periodic dimensions and some homological properties of eventually periodic algebras
本文研究了最终周期模的周期维数，给出了其界与计算方法，确定了 Gorenstein 代数的双模周期维数，证明该类代数满足多项同调猜想，并以此刻画了最终周期 Gorenstein 代数。
Gorenstein homological aspects of monomorphism categories via Morita rings
对任意环R，单态范畴是R上态范畴的一个满子范畴，其中态范畴等价于元素在环R上的三角形矩阵环的模范畴。本文将单态范畴看作是模范畴的一个满子范畴，其所有元素都在环R上，且双模同态为零。这种方法提供了一个有趣的联系森田环和单态范畴。本文的目的有两个方面。首先，我们构造了具有零双模同态的Morita环上的Gorenstein-投射模，并给出了这类环是GorensteinArtin代数的充分条件。这是我们工作的第一部分，它与单态范畴密切相关。在第二部分中，我们研究了整环具有有限投射维数的单态。特别是，我们表明，后者的范畴是Gorenstein子范畴的单态范畴的Gorenstein代数。最后，我们考虑范畴的连贯函子的稳定范畴的Gorenstein子范畴，并表明，它进行了一个结构的Gorenstein阿贝尔范畴。
Cotilting modules and Gorenstein homological dimensions
本文将对偶模的 Auslander 类与 Bass 类同 Gorenstein 平坦、内射维数的对应刻画，推广到一般 Noether 环上的余倾斜模情形。
Some characterizations of local rings via reducing dimensions
本文研究了交换Noether局部环上有限生成模的同调维数，称之为约化同调维数。通过降低同调维数，得到了Gorenstein环和完备交局部环的新刻画.例如，我们推广了Auslander和Bridger的一个经典结果，证明了局部环是Gorenstein环当且仅当其上的每个有限生成模都有有限的约化Gorenstein维数.一路上，我们证明了各种连接的复杂性和减少投射维数的模块。
Stable functors of derived equivalences and Gorenstein projective modules
从具有足够投射对象的阿贝尔范畴的有界导出范畴之间的某些三角形函子（称为非负函子）出发，引入了它们的稳定函子，它们是阿贝尔范畴的稳定范畴之间的某些可加函子.该建筑概括了胡和习以前的工作。证明了非负函子的稳定函子具有良好的正合性，并且与函子的合成相容。这使我们能够方便地比较由稳定函子链接的对象的同调性质。特别地，我们证明了两个任意环之间的导出等价的稳定函子提供了Gorenstein投射模的稳定范畴之间的显式三角等价。这推广了Y.加藤我们的结果也可以用来提供一些已知的同调代数结果的更短的证明。
Ortho-symmetric modules, Gorenstein algebras and derived equivalences
一个新的同调对称条件展出，扩展和统一最近定义和广泛使用的概念。应用包括倾斜模的一般构造和导出的等价，以及自同态环的Gorenstein性质的刻画。
Categorical properties and homological conjectures for bounded extensions of algebras
本文定义了代数的有界扩张，证明其满足带有级别的 Morita 型奇异等价及相关稳定范畴等价，并探讨了多种同调猜想，给出了实用函子准则及在平凡扩张和三角矩阵代数上的应用。
On reducing homological dimensions over noetherian rings
设$Λ$是左、右诺特环.首先，对于$m,n\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}$，我们给出了给定的$Λ$ -模是$n$ -无挠和有$m$ -无挠转置的等价条件.利用它们，我们研究了全自反模和降低Gorenstein维数。接下来，我们介绍了同调不变量的$Λ$ -模，我们称之为上约化投射和Gorenstein维数。当$Λ$是可交换的和局部的时，我们给出了一个上降投射维数不等式.利用它，我们研究了上约化投射维数与约化投射维数的关系，以及交换Noether局部环的完全交和AB性质.
Wakamatsu Tilting Modules, $U$-Dominant Dimension and $k$-Gorenstein Modules
设$Λ$和$Γ$是左、右诺特环，$_ΛU$是Wakamatsu倾斜模，且有$Γ={\rm End}(_ΛT)$ .我们引入了一个新的$U$ -支配维数的定义，并证明了$_ΛU$和$U_Γ$的$U$ -支配维数是相同的.利用同调维数和双同调函子保单态的性质刻画了$k$ -Gorenstein模.我们还研究了$k$ -Gorenstein模的一个推广，并利用$k$ -Gorenstein模的一些类似性质刻画了它.
Homological and homotopical aspects of Gorenstein flat modules and complexes relative to duality pairs
本文研究相对于对偶对的 Gorenstein 平坦模与复形，证明其封闭性、维数性质及 Pontryagin 对偶，并构造相关 Abel 模型结构与同伦范畴 recollement。
Gorenstein homological dimensions for extriangulated categories
设$(\mathcal{C},\mathbb{E},\mathfrak{s})$是一个外三角范畴，其真类$ξ$为$\mathbb{E}$ -三角形.在\cite{HZZ}中引入并研究了$ξ$ - $\mathcal{G}$投射和$ξ$ - $\mathcal{G}$内射。本文讨论了外三角范畴的Gorenstein同调维数。更精确地说，我们首先利用$\mathcal{C}$上的导函子给出了$ξ$ - $\mathcal{G}$投射维数的一些刻画.其次，让$\mathcal{P}(ξ)$（分别为$\mathcal{I}(ξ)$）是一个生成（或共同生成）$\mathcal{C}$的子类别。我们证明了以下等式在某些假设下成立：$$\sup\{ξ\textrm{-}\mathcal{G}{\rm pd}M \ | \ \textrm{for} \ \textrm{any} \ M\in{\mathcal{C}}\}=\sup\{ξ\textrm{-}\mathcal{G}{\rm id}M \ | \ \textrm{for} \ \textrm{any} \ M\in{\mathcal{C}}\},$$其中$ξ\textrm{-}\mathcal{G}{\rm pd}M$（分别为）$ξ\textrm{-}\mathcal{G}{\rm id}M$）表示$ξ$ - $\mathcal{G}$…
Indecomposable pure-injective objects in stable categories of Gorenstein-projective modules over Gorenstein orders
给出了完备Gorenstein序上Gorenstein-投射模的Auslander-Ringel-Tachikawa型的一个结果.特别地，我们证明了完备Gorenstein序是有限Cohen-Macaulay表示型的当且仅当Gorenstein-投射模的稳定范畴中的每个不可分解纯内射对象是紧的.
On a proof of the Gorenstein Symmetry Conjecture
本研究通过同调方法给出Gorenstein对称猜想的证明，明确Artin代数自内射维数单侧有限性是其具备Gorenstein性的充分条件，完善了相关代数理论的证明体系。
On modules M such that M and M* are semi-Gorenstein-projective
设A是Artin代数.一个A-模M是半Gorenstein-投射的，如果Ext^i（M，A）= 0，对所有i > 0。若M是Gorenstein-投射的，则M及其A-对偶M* 都是半Gorenstein-投射的。正如我们最近所表明的，相反的情况是不正确的，从而回答了阿夫拉莫夫和马丁辛科夫斯基提出的一个问题。本文的目的是详细分析模M使得M和M* 都是半Gorenstein-投射的。
Excellent extensions and homological conjectures
本文引入了环的优良扩张的概念。设$Γ$是Artin代数$Λ$的一个优良扩张，我们证明了$Λ$满足Gorenstein对称性猜想（分别为.有限维猜想，Auslander-Gorenstein猜想，Nakayama猜想）当且仅当$Γ$是这样。作为优良扩张的一个特例，如果$G$是作用在$Λ$上的$Λ$的阶可逆的有限群，且$Λ$是$G$ -稳定的，我们证明了：如果斜群代数$ΛG$满足强Nakayama猜想（分别为.广义Nakayama猜想），则$Λ$也是如此。
Gorenstein projective dimensions of modules over minimal Auslander-Gorenstein algebras
本文研究了Iyama和Solberg \cite{IS}意义下极小n-Auslander-Gorenstein代数$Λ$ -模的Gorenstein投射维数与其基元之间的关系.首先给出投射-内射$Λ$ -模的基元刻画。然后证明了一个$Λ$ -模$N$的Gorenstein投射维数至多为n当且仅当它的柱脚的Gorenstein投射维数至多为n当且仅当$N$是由投射$Λ$ -模余生成的.进一步证明了极小n-Auslander-Gorenstein代数可以用模的Gorenstein投射维数与其基元之间的关系刻画.
Gorenstein-projective and semi-Gorenstein-projective modules
一个A-模M称为半Gorenstein-投射模，只要Ext^i（M，A）= 0，对所有i > 0。所有的Gorenstein-投射模都是半Gorenstein-投射模，只有少数和相当复杂的例子，半Gorenstein-投射模是不是Gorenstein-投射已知的。本文的目的是提供条件A，使所有的半Gorenstein-投射模是Gorenstein-投射（我们称这样的代数左弱Gorenstein）。特别地，我们证明了，如果只有200多个同构类的不可分解左模，这是半Gorenstein-投射和torsionless，那么A是左弱Gorenstein。另一方面，我们证明了一个6维代数的半Gorenstein-投射模M不是无挠的（因此不是Gorenstein-投射的）。实际上，对偶模M* 也是半Gorenstein-投射模。通过这种方式，我们证明了Avramov和Martsinkovsky的全自反性条件的独立性，从而完成了Jorgensen和Sega的部分证明。由于M和M* 的所有合合模都是三维的，所以这个例子可以很容易地可视化。
Gorenstein projective bimodules via monomorphism categories and filtration categories
通过同调定义，将单态范畴从单态关系推广到任意有限维代数。给定两个有限维代数$A$和$B$，利用特殊的单态范畴Mon（B，A-Gproj）刻画了$A$和$B$的张量积上的Gorenstein投射双模.如果两个代数之一是Gorenstein，我们给出了Mon（B，A-Gproj）是Gorenstein投射双模范畴的一个充分和必要条件.另外，如果$A$和$B$都是Gorenstein，那么我们可以通过滤范畴来刻画所有Gorenstein投射双模的范畴.类似地，在这种情况下，我们对无限生成的Gorenstein投射双模也得到了同样的结果。
Homological theory of orthogonal modules
本研究从稳定模范畴视角研究自入射Artin代数上的有限生成正交生成元，建立M-相对稳定范畴的粘合、刻画紧对象，给出Tachikawa第二猜想的等价刻画，还引入Gorenstein-Morita代数并证明Nakayama猜想对其成立。
The Gorenstein-projective modules over a monomial algebra
利用完备路的概念对单项式代数上的不可分解非投射Gorenstein-投射模进行了分类.我们将这一分类应用于二次单项式代数，并明确地描述了它的Gorenstein-投射模的稳定范畴。
An Auslander-type result for Gorenstein-projective modules
一个Artin代数$A$称为CM-有限的，如果在同构之前，只存在1/2个不可分解的生成的Gorenstein-投射$A$ -模.证明了Gorenstein-artin代数是CM-有限的当且仅当它的每个Gorenstein-投射模都是N-生成的Gorenstein-投射模的直和.这是一个类似的Auslander定理代数有限表示型（\cite{A,A1}）。
Thick subcategories and virtually Gorenstein algebras
一个Artin代数定义为虚Gorenstein，如果与所有Gorenstein投射模右正交（关于Ext^*（-，-））的模类与与所有Gorenstein内射模左正交的模类重合。我们用有限生成模的概念给出了一个新的刻画。此外，代数的一个例子，这是不是几乎Gorenstein。
The Gorenstein projective modules for the Nakayama algebras. I
本文的目的是给出Nakayama代数的Gorenstein投射模范畴的结构。我们将引入这样一个代数的分解式。它提供了一个快速算法，以获得Gorenstein投射模，并判定代数是否是Gorenstein代数，是否是CM-自由的.
The Auslander-Gorenstein property for Z-algebras
我们提供了一个框架的同调理论的一部分Z-代数及其推广，针对类似物的Auslander-Gorenstein条件和相关的双Ext谱序列，是有用的包络代数的李代数和相关的环。作为应用，我们证明了Z-代数的一个不可约表示的特征簇的等维性，以及量子辛分解上的相关表示的等维性。在特殊情况下的Cherednik代数的类型A，这回答了一个问题提出的作者。
A Gordon--Green-type result for Gorenstein-projective modules
针对Z-分次Iwanaga-Gorenstein Artin代数，证明其CM有限性等价于可分次Gorenstein投射模范畴有限型或不可分解该类模长度有界，且CM有限时所有Gorenstein投射模均可分次，为Gordon-Green定理提供了Gorenstein投射类比。
Gorenstein silting modules and Gorenstein projective modules
（部分）Gorenstein淤积模块的介绍和研究。证明了有限维有限CM-型代数的部分Gorenstein淤积模与τ_G-刚性模是双射的，Gorenstein淤积模是2-项Gorenstein淤积复形的模论对应，以及2-项Gorenstein淤积复形与模范畴中的t-结构和扭对之间的关系.此外，本文还刻画了经典Brenner-Butler定理在此情形下的相应形式，并给出了代数A上2-项Gorenstein淤积复形的自同态代数的整体维数的上界的刻画.
Lifting of recollements and Gorenstein projective modules
本文研究了多项式关于Gorenstein-投射模的提升问题.具体地说，同调环满态可以导致同调生成Gorenstein-投射模的稳定范畴的同调元的提升;某些上三角形矩阵代数的有界Gorenstein导出范畴的同调元可以提升到Gorenstein-投射模的同伦范畴.作为副产品，我们给出了上三角形矩阵代数T_{n}（A）是有限CM型的一个充分必要条件。
On self-orthogonal modules in Iwanaga-Gorenstein rings
设$A$是Iwanaga-Gorenstein环. Enomoto证明了自正交$A$ -模具有有限的投射维数.证明了对于具有不可分解的非投射极大Cohen-Macaulay模是周期模的性质的$A$的这一猜想。这回答了Enomoto的一个问题，并证明了单项式代数和超曲面环的猜想。
Relative Singularity Categories and Gorenstein-Projective Modules
引入了关于阿贝尔范畴的自正交子范畴$ω$的相对奇异范畴的概念。引入了$ω$ -Cohen-Macaulay对象的Frobenius范畴，并在一定条件下证明了$ω$ -Cohen-Macaulay对象的稳定范畴与相对奇异范畴是三角等价的.作为应用，我们将Gorenstein-投射模的稳定范畴与环的奇异范畴联系起来.证明了Gorenstein环的Gorenstein-投射模的稳定范畴是紧生成的，并且它的紧对象与有限生成的Gorenstein-投射模在直和项下一致.
On properly stratified Gorenstein algebras
我们证明了一个适当的分层代数是Gorenstein当且仅当特征倾斜模与特征cotilting模重合。进一步证明了适当分层的Gorenstein代数$A$具有强同调性质，如所有Gorenstein投射模都是适当分层的，所有自同态环$\operatorname{End}_A(Δ(i))$都是Frobenius代数.我们应用我们的结果的研究适当分层代数是最小的Auslander-Gorenstein代数在Iyama-Solberg的意义下，并计算在适当的条件下，他们的Ringel代数。这特别适用于所有幂零矩阵的中心化代数。
Monic representations and Gorenstein-projective modules
设$Λ$是有限维代数$A$上有限群$Q$的路代数。然后用$A$上的$Q$的表示来标识$Λ$ -模块。这产生了$Q$在$A$上的幺一表示的概念。如果$Q$是无环的，那么Gorenstein-投射$\m$ -模可以通过幺一表示显式地确定。作为应用，$A$是自内射的当且仅当Gorenstein投射$\m$ -模恰好是$A$上$Q$的幺一表示.
Infinitely Generated Gorenstein Tilting Modules
Auslander和Solberg在20世纪80年代建立了无限生成的相对（余）倾斜模理论，最近许多作者在Gorenstein同调代数的背景下研究了无限生成的相对倾斜模.在这项工作中，我们建立在无限生成Gorenstein倾斜模理论的基础上，通过发展“Gorenstein倾斜近似”，并利用这些近似来研究Gorenstein倾斜类及其相关的相对余挠对。作为这些结果的应用，我们讨论了部分Gorenstein倾斜模的补的存在性问题以及Gorenstein倾斜模与有限维拓扑之间的一些联系.
Gorenstein flat modules with respect to duality pairs
设$\mathcal{X}$是一类左$R$ -模，$\mathcal{Y}$是一类右$R$ -模.本文引入并研究了Gorenstein $(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$ -平坦模作为Gorenstein平坦模\cite{EJT93}，Gorenstein $n$ -平坦模\cite{SUU14}，Gorenstein $\mathcal{B}$ -平坦模\cite{EIP17}，Gorenstein AC-平坦模\cite{BEI17}，$Ω$ -Gorenstein平坦模\cite{EJ00}等，我们证明了所有Gorenstein $(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$ -平坦模的类都具有强稳定性.特别地，当$(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$是完全（对称）对偶对时，给出了GorensteinPDMATHABMP-平坦维数的一些函子描述，并构造了$R$ -Mod上的一个遗传阿贝尔模型结构，其凝聚对象正是GorensteinPDMATHABMP-平坦模.这些结果统一了上述模块的相应结果。
Singular compactness and definability for $Σ$-cotorsion and Gorenstein modules
我们引入了一个广义的奇异紧性定理，从而可以证明作为一个$Σ$ -余挠模是模的完备理论的一个性质。作为一个应用程序的强大的工具开发的道路上，我们给出了一个新的描述Gorenstein平坦模这意味着，无论环，类的所有Gorenstein平坦模形式的左手类的一个完美的余挠对。证明了Gorenstein内射模的对偶结果。
Monic modules and semi-Gorenstein-projective modules
张量代数$Λ= A\otimes_kB$上Gorenstein-投射模的范畴${\rm gp}(Λ)$可以描述为${\rm gp}(A)$上$B$的单态范畴${\rm mon}(B, {\rm gp}(A))$.特别地，Gorenstein-投射$Λ$ -模是幺半群。本文通过Monic模，即${\rm mon}(B, \ ^\perp A) = {\rm mon}(B, A)\cap \ ^\perp Λ.$，找到了半Gorenstein-投射$Λ$ -模与$A$ -模之间的相似关系。利用这一相似关系，证明了若$A$是弱Gorenstein，则$Λ$是弱Gorenstein当且仅当每个半Gorenstein-投射$Λ$ -模是Monic的;如果$B = kQ$，其中$Q$是有限无圈环，则$Λ$是弱Gorenstein当且仅当$A$是弱Gorenstein.然而，这个关系本身并没有回答是否存在非幺半群的双半Gorenstein-投射$Λ$ -模的问题。利用最近发现的双半Gorenstein-投射$A$ -模不是无挠的例子，我们肯定地回答了这个问题，明确地构造了一类双半Gorenstein-投射$T_2(A)$ -模，使它们不是幺半群，因而不是无挠的.对于双模所给出的三角矩阵代数上的幺一模和半Gorenstein-投射模也得到了相应的结果。
From Gorenstein derived equivalences to stable functors of Gorenstein projective modules
本文主要将Gorenstein导等价与Gorenstein投射模的稳定函子联系起来。特别地，我们证明了CM-有限代数A和B之间的Gorenstein导出等价可以在因子范畴A-mod/A-Gproj和B-mod \B -Gproj之间诱导出一个稳定函子.此外，当A和B是Gorenstein时，上述稳定函子是等价的。
Invariants and Gorenstein projective modules
研究了代数A上Gorenstein投射A-模的稳定范畴的不变量和稳定等价.具体地，Gorenstein刚度尺寸被引入。证明了Gorenstein刚性维数关于Morita等价和Gorenstein投射模的稳定等价都是不变的.作为结果，Gorenstein刚性尺寸示出导出的等价的不变量。沿着Gorenstein投射模的稳定范畴的基本元素比较了Gorenstein刚性维数。此外，还分别给出了几类代数的Gorenstein刚性维数的界.
A Bijection theorem for Gorenstein projective τ-tilting modules
引入Gorenstein投射$τ$ -刚性模、Gorenstein投射支集$τ$ -倾斜模和Gorenstein挠对的概念，并给出了关于支集$τ$ -倾斜模的Adachi-Iyama-Reiten双射定理的Gorenstein类比.更精确地说，对于代数$Λ$，我们证明了Gorenstein投射支撑$τ$ -倾斜模的集合与函数有限Gorenstein投射扭类的集合之间存在一个双射.作为应用，我们引入了$τ$ -倾斜有限代数的概念，并证明了$Λ$是$τ$ -倾斜有限的当且仅当$Λ^{\rm {op}}$是$τ$ -倾斜有限的。证明了Gorenstein投射$τ$ -刚性模的Bongartz完备化不一定是Gorenstein投射$τ$ -倾斜模.
Gorenstein-projective and semi-Gorenstein-projective modules. II
设k是域，q是k的非零元素。在第一部分中，我们证明了一个6维k-代数A = A（q），并且证明了如果q有无穷乘法阶，则A有一个3维局部模是半Gorenstein-投射的，但不是无挠的，因此不是Gorenstein-投射的。第二部分详细研究了这个特殊代数A的所有三维局部A-模。如果q有无穷乘法阶，我们将遇到一族三维局部模，它们是半Gorenstein-投射的，但不是无挠的。
A description of Gorenstein projective modules over the tensor products of algebras
设$A$是凝聚代数，$B$是域$k$上的有限维Gorenstein代数.我们用单侧模描述了Gorenstein投射$A\otimes_k B$ -模.此外，当$B$的整体维数有限时，我们给出了Gorenstein投射$A\otimes_k B$ -模的更精确的刻画.
(Gorenstein) silting modules in recollements
本文主要研究了泥沙淤积的性质以及泥沙淤积与Gorenstein的组合性质，称之为Gorenstein泥沙淤积，主要工具是模范畴的重元素和张量积。对环A及其幂等理想J，证明了A/J-模T是solding A-模当且仅当T是solding A/J-模.对于有限维k-代数，当k为域时，我们证明了其淤积模的张量积仍然是淤积的。我们还证明了诺特环的模范畴的格元可以胶合Gorenstein的（部分）淤积性质。因此，我们用一个上三角形矩阵Gorenstein环的Gorenstein收缩模来粘合它的Gorenstein收缩模.
On homotopy categories of Gorenstein modules: compact generation and dimensions
设$A$是有限CM型虚Gorenstein代数.建立了Gorenstein投射左$A$ -模的同伦范畴中紧对象子范畴与有限生成右$A$ -模的有界Gorenstein导出范畴之间的对偶性。设$R$是一个双边诺特环，使得Gorenstein平坦模$R\mbox{-}\mathcal{GF}$的子范畴在直积下是闭的.证明了同伦范畴的包含$K(R\mbox{-}\mathcal{GF})\to K(R\mbox{-}{\rm Mod})$允许有一个右伴随.引入有限CM型代数的Gorenstein表示维数的概念，建立了有限CM型代数的相对Auslander代数的维数、Gorenstein表示维数、有界Gorenstein导出范畴的维数和Gorenstein投射模的有界同伦范畴的维数之间的关系.
Gorenstein Projective Modules Over Triangular Matrix Rings
研究了三角形矩阵环上的投射模的全无圈复形，并利用它对三角矩阵环上的Gorenstein投射模进行了分类.我们也使用这种分类，以获得有关Cohen-Macaulay有限和虚拟Gorenstein三角形矩阵artin代数的一些信息。
The tensor product of Gorenstein-projective modules over category algebras
对有限自由投射EI范畴，证明了其范畴代数上的Gorenstein-投射模在张量积下是闭的当且仅当范畴中的每个态射是单态射.
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