Horocycle dynamics in rank one invariant subvarieties I: weak measure classification and equidistribution
设M是平移曲面的模空间中的不变子簇。我们对M上的单圈流的动力学性质进行了研究。在动态的模空间的平移表面的背景下，我们引入了“弱分类的horcycle不变测度”的概念，我们研究其后果。其中，我们证明了轨道的普适性及相关的一致等分布结果，推出测度序列的渐近等分布，以及鞍形连接完整性的计数。作为一个例子，我们证明了秩为1、Rel维为1及相关空间的不变簇满足“单圈不变测度的弱分类”.我们的结果扩展了Eskin-Masur-Schmoll，Eskin-Marklof-Morris和Bainbridge-Smillie-Weiss的结果。
2023-01-29 math.DS
Quantitative equidistribution of horocycle push-forwards of transverse arcs
令$M = Γ\backslash \text{SL}(2,\mathbb{R})$是配备有归一化Haar测度$\text{vol}$的$\text{SL}(2,\mathbb{R})$的紧商，并且令$\{h_t\}_{t \in \mathbb{R}}$表示$M$上的时循环流。给定$p \in M$和$W \in \mathfrak{sl}_2(\mathbb{R}) \setminus \{0\}$不平行于等周期流的生成元，令$γ_{p}^W$表示沿$0\leq s \leq 1$的弧$s \mapsto p \exp(sW)$均匀分布的概率测度。我们建立定量估计的收敛速度$[(h_t)_{\ast} γ_{p}^W](f)$到$\text{vol}(f)$充分光滑的功能$f$。我们的结果是基于Bufetov和Forni [2]的工作，以及一个关键的几何观察。作为一个推论，我们提供了一个替代的证明拉特纳定理的定量混合的horocycle流。
2019-10-31 math.DS
Eisenstein series and equidistribution of Lebesgue probability measures on compact leaves of the horocycle foliations of Bianchi 3-orbifolds
受Zagier工作的启发，我们研究了具有平坦环面支撑的概率测度$ν(t)$，它是三维双曲Bianchi orbifolds ${M}_D=\mathbb{H}^3/\widetildeΓ_D$的正正交标架丛$\mathcal{F}({M}_D)$上全纯作用的极大幂幺子群的紧轨道.这里是$Γ_D=PSL(2, \mathcal{O})$，其中$\mathcal{O}$是类数为1的虚二次域的整数环。
2019-03-28 math.DS
Abelian covers of hyperbolic surfaces: equidistribution of spectra and infinite volume mixing asymptotics for horocycle flows
本文研究紧双曲曲面的 Abel 覆盖，建立 $\mathbb{Z}^d$ 覆盖上 horocycle 流相关函数的渐近展开以证明强 Krickeberg 混合，并证明有限 Abel 覆盖序列中 Casimir 算子谱测度弱收敛于绝对连续测度。
2024-05-13 math.DS
Effective equidistribution of horocycle lifts
本文给出了从$\mathrm{SL}(2,\mathbb Z)\backslash \mathrm{SL}(2, \mathbb R)$空间到$\mathrm{ASL}(2,\mathbb Z)\backslash \mathrm{ASL}(2,\mathbb R)$空间的等差循环提升的一个等分布率，从而使Elkies和McMullen的一个定理有效.这一结果构成了一个有效的版本拉特纳的措施分类定理的措施支持一般horocycle升降机。所使用的方法依赖于韦伊的决议的黎曼假设的功能领域在一个变量和推广的做法Strömbergsson的情况下，线性升降机和勃朗宁和作者理性二次升降机。
2016-07-16 math.DS math.NT
Topology of horocycles on geometrically finite nonpositively curved surfaces
该研究针对有限生成基本群的秩1非正曲率曲面，探究horocycle的拓扑性质，完成半horocycle分类、确定horocycle流非游荡集并刻画存在极小集的曲面，推进了相关动力系统与几何拓扑研究。
2024-07-08 math.DS
Translates of rational points along expanding closed horocycles on the modular surface
该研究针对模曲面上沿扩张闭horocycle的有理点平移分布问题，用谱方法证明多项式扩张速率下任意平移的等分布性，同时得到稍快扩张下的非等分布结果，还通过显式极限测度给出任意快扩张时的两类结论，本原有理点也有类似结果。
2021-09-20 math.DS math.NT
Shrinking target equidistribution of horocycles in cusps
考虑有限面积非紧双曲曲面单位切丛尖点的收缩邻域，设邻域以$T^{-1}$的速率收缩到尖点，记为$T \rightarrow \infty$ .我们发现，一个封闭的horocycle的长度$\ell$去无穷大，甚至一段的horocycle成为均匀分布的收缩邻域时，由率$T^{-1}$提供的$T/\ell \rightarrow 0$和，对于任何$δ>0$，段保持大于$\max\left\{T^{-1/6},\left(T/\ell\right)^{1/2}\right\}\left(T/\ell\right)^{-δ}$。我们也有一个有效的结果为一个较小范围的增长率的$T$和$\ell$。最后，一个数论身份涉及欧拉totient函数如下从我们的技术。
2022-07-31 math.DS math.NT
Uniform bounds for period integrals and sparse equidistribution
设$M=Γ\backslash\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$是紧致流形，$f\in C^\infty(M)$是零平均的函数.我们使用谱方法得到均匀的（即独立的频谱间隙）的扭曲平均值的$f$沿长horocycle轨道段的界限。我们应用这个方法得到了$M$上的均匀周期的稀疏子集的等分布结果。
2015-01-21 math.DS math.NT
Primitive rational points on expanding horocycles in products of the modular surface with the torus
证明了环面与模曲面乘积中的本原有理点和由单项式定义的本原有理点沿长时圆轨道的有效等距分布。这回答了第一个和最后一个作者与Shahar Mozes和Uri Shapira联合工作中提出的问题。在一定的同余条件下，证明了二环面和模曲面上共轭有理点的联合等分布。
2019-10-20 math.DS math.NT
Equidistribution of Horocyclic Flows on Complete Hyperbolic Surfaces of Finite Area
我们提供了一个独立的，可访问的介绍拉特纳的等分布定理的特殊情况下，horocyclic流在一个完整的双曲曲面的有限面积。这个等分布的结果最早是由Dani和Smillie在20世纪80年代初得到的，后来又作为Ratner关于齐性空间中幂单流等分布的工作的一个特例出现。我们还证明了一个有趣的概率结果，由于Breuillard：在模块化表面上的任意非中心随机游动的horocycle通过几乎任何一点将无法均匀分布，即使horocycles本身是均匀分布的。在许多方面的这一论述，我们感谢贝卡和迈耶的更雄心勃勃的调查，“遍历论和拓扑动力学群作用的齐性空间。"
2008-03-02 math.DS math.PR
Excursions to the cusps for geometrically finite hyperbolic orbifolds, and equidistribution of closed geodesics in regular covers
本文给出了非初等几何有限双曲轨道上的测度收敛到唯一极大熵测度的有限性判据。我们给出了控制质量逃逸到轨道尖点的熵判据。利用这一准则，我们证明了新的结果的集合分布的闭测地线这样的orbifold，并作为推论，我们证明了等距分布的闭测地线，以一定的长度在顺从的规则覆盖的几何有限orbifold。
2021-04-19 math.DS
On equidistribution of polynomial sequences in quotients of $PSL_2(\mathbb{R})$
该研究证明$PSL_2(\mathbb{R})$中任意格对应的商空间上，带指数$1+\gamma$（$\gamma$小于某正常数）的horocycle流多项式序列等分布，推广了余紧格情形的已有结果，推进了Shah猜想的研究。
2023-05-04 math.DS math.NT
Effective equidistribution of horospherical flows in infinite volume rank one homogeneous spaces
证明了当$Γ$是几何有限的且帧流是指数混合的时，在Bowen-Margulis-Sullivan测度下，$\operatorname{SO}(n,1)^\circ / Γ$中半球流的有效等分布.我们还讨论了这样一个指数混合的结果是已知的设置。作为证明的一部分，我们证明了当$Γ$是几何有限的时，Patterson-Sullivan测度满足一些友好的性质.
2021-07-13 math.DS
A Poincaré section for horocycle flow on the space of lattices
我们在模曲面$SL(2, \R)/SL(2, \Z)$上构造了时环流的Poincaré截面，并研究了相应的第一个返回映射，它与Boca-Cobeli-Zaharescu定义的变换（{ \it BCZ映射}）相一致.我们对这类映射的遍历不变测度进行了分类，并证明了周期轨道的等分布性。作为推论，我们得到的结果的平均深度的尖点漂移和法里序列和斜率的格矢量的间隙的分布。
2012-07-23 math.DS math.GT math.NT
Horocycles in hyperbolic 3-manifolds with round Sierpiński limit sets
本文对具有圆形谢尔宾斯基极限集的几何有限双曲三维流形，分类了标架丛上水平圆流的轨道闭包，证明水平圆闭包为恰当浸入子流形，推广了凸余紧情形下的已知结果。
2025-06-20 math.DG math.DS math.GT
Joint equidistribution on the product of the circle and the unit tangent bundle of the modular surface
本文用谱方法证明了模曲面的圆与单位余切丛的乘积中的原有理点与原有理点沿扩展的均圈轨道的联合等分布。这一结果解释了Einsiedler、Luethi和Shah \cite [定理$1.1$ ]{ELS}最近工作中的误差界。错误是尖锐的最知名的进展对拉马努金猜想在有限的地方的模块化表面。
2021-04-15 math.DS math.NT
Counting, Mixing and Equidistribution of horospheres in geometrically finite rank one locally symmetric manifolds
本文研究了无限体积几何有限秩一局部对称流形中膨胀球的等分布，并将其应用于apollonian球packing中的轨道计数问题。
2012-01-04 math.DS math.GT math.NT
(Non)-escape of mass and equidistribution for horospherical actions on trees
设$G$是作用在双正则树$T$上的大群，$Γ\leq G$是几何有限格.在较早的工作中，作者分类轨道封闭的行动的horosphere子群$G/Γ$。在这篇文章中，我们表明，没有逃逸的质量，并使用这一点来证明，事实上，密集的轨道均匀分布的哈尔措施$G/Γ$。另一方面，我们表明，新的动力学现象的horosphere行动出现在由非几何有限格点：我们给出的例子，非几何有限格点的质量逃逸的现象发生的轨道平均沿Folner序列不收敛。在最后一部分中，作为我们的方法的副产品，我们表明，投影到$Γ\backslash T$的均匀分布在树$T$的大球体上收敛到$Γ\backslash T$上的自然概率测度。最后，我们将此等分布结果应用于一个格点计数问题，得到了具有指数误差项的计数渐近性。
2021-07-23 math.DS
An Effective Slope Gap Distribution for Lattice Surfaces
本文证明了正方形环面及一般格平移曲面的有效斜率间隙分布结果，并以此为基础给出了Farey分数有效间隙分布的动力学证明。
2024-09-24 math.DS math.GT math.NT
Distribution of orbits of geometrically finite groups acting on null vectors
本文研究了$\operatorname{SO}(n,1)$中几何有限群的非离散轨道在$\mathbb{R}^{n+1}$上的分布，以及更一般地研究了$\operatorname{SO}(n,1)$与次球面子群的商.利用等分布的半球流，我们得到了一般几何有限群作用的轨道分布的渐近性，并在附加假设下得到了定量的陈述。
2021-12-13 math.DS
Closed geodesics and holonomies for Kleinian manifolds
对秩为1的李群G和G的Zapriki稠密的几何有限子群$Γ$，在局部对称空间中建立了关于闭测地线的完整类的等分布.对于临界指数足够大的实双曲几何有限流形，我们的结果以定量的形式给出。当G=PSL（2，C）时，我们的结果可以解释为$Γ$的特征值在复平面上的等分布.当$Γ$是格时，Sarnak和Wakayama在1999年证明了这个结果。
2022-09-24 math.DS
Narrow equidistribution and counting of closed geodesics on noncompact manifolds
证明了非紧负曲流形上的测地线轨道在窄拓扑中，即在有界连续函数的对偶中，向平衡态的（加权）周期轨道的等分布性。我们推导出一个精确的渐近计数周期轨道（加权或不），这是以前只知道几何nite流形。
2019-07-25 math.DG math.DS
Equidistribution of divergent geodesics in negative curvature
本文研究非紧有限体积负曲率流形及几何有限树商空间中的发散测地线，证明其随复杂度增大分别趋向最大熵测度与 Bowen–Margulis 测度等分布。
2025-01-07 math.DG math.DS
Geodesic Planes in Geometrically Finite Manifolds
研究了含秩$1$尖点的几何有限流形中全测地平面浸入的闭包的刚性问题。我们发现，K厚复发的horocycles的关键概念失败一般在这种情况下。这个属性是在McMullen，Mohammadi和Oh最近的工作中引入的。然而，在极限集为圆填充的几何有限群的情形下，我们得到了非闭测地线平面浸入的2个密度准则，并证明了闭浸入产生了具有圆生成的基本群的曲面.我们还得到了一些结果的存在性和隔离的正常闭浸入的基本曲面。
2021-10-09 math.DS math.GT
Equidistribution and Counting for orbits of geometrically finite hyperbolic groups
设G是SO（n，1）的单位连通区，线性作用在有限维实向量空间V上。考虑V中的向量w_0，使得w_0的稳定子是G的对称子群或线Rw_0的稳定子是G的抛物子群。对G的任意非初等离散子群Gamma，若其Gamma skinning尺寸有限，且其双曲流形上的Bowen-Margulis-Sullivan测度有限，则对w_0 Gamma离散，得到了w_0 Gamma中范数不超过T的点的个数的渐近公式.在我们的方法中的主要遍历成分是描述的极限分布的正交平移的完全测地线浸入闭子流形的Gamma \H^n。对于Gamma几何有限的情形，我们还给出了W_0的Gamma蒙皮尺寸有限的一个判据.
2012-06-02 math.DS math.GT math.NT
On the distribution of orbits of geometrically finite hyperbolic groups on the boundary (with appendix by Francois Maucourant)
研究了一类非初等离散双曲群作用在n维双曲空间及其几何边界上的轨道分布。特别地，我们证明了如果群$Γ$允许有限Bowen-Margulis-Sullivan测度，（例如，如果它是几何有限的），则双曲空间中的每个$Γ$ -轨道关于Patterson是等分布的，Maucourant的附录是他的论文的一部分的推广，他在附录中得到了与$Γ$的一个简单应用相同的结果Roblin定理我们的方法是通过建立商流形的单位切丛上的可解流的等分布，这是独立的兴趣。
2010-10-07 math.DS
Counting, mixing and equidistribution for GPS systems with applications to relatively Anosov groups
本文为几何有限收敛群作用相关流空间上的有限BMS测度建立了计数、混合与等分布结果，并证明其适用于相对Anosov群相关的流空间。
2024-08-22 math.DG math.DS math.GT
Ergodicity and equidistribution in strictly convex Hilbert geometry
在本文中，我们证明了动力学和计数结果的特点，负弯曲黎曼几何，或更一般的CAT（-1）或秩一CAT（0）空间，也成立几何有限严格凸射影结构配备了希尔伯特度量。更具体地说，这样的结构允许一个有限的沙利文测度;关于这个测度，希尔伯特测地流是强混合的，轨道和原始的闭测地线等分布，允许我们渐近地枚举这些对象。
2021-04-28 math.DS math.GR math.GT
On links between horocyclic and geodesic orbits on geometrically infinite surfaces
本文研究了几何无限大双曲曲面S上的等圈流$h_\mathbb{R}$的拓扑动力学。设u是T^1 S中$h_\mathbb{R}$的非周期向量。假设半测地线$u(\mathbb{R}^+)$几乎是极小化的，沿$u(\mathbb{R}^+)$的内射半径有一个有限的下极限$Inj(u(\mathbb{R}^+))$。证明了$h_\mathbb{R} u$的闭包满足沿无界点列$g_{t_n} u$的测地轨道.此外，如果是$Inj(u(\mathbb{R}^+)) = 0$，则整个半轨道$g_{\mathbb{R}^+} u$包含在$h_\mathbb{R} u$中。当$Inj(u(\mathbb{R}^+)) > 0$时，已知一般为$g_{\mathbb{R}^+} u \subset h_\mathbb{R} u$。然而，我们给出了一个构造，其中$Inj(u(\mathbb{R}^+)) > 0$和$g_{\mathbb{R}^+} u \subset h_\mathbb{R} u$，这也构成了一个反例命题3 [Led97]。
2017-07-25 math.DS math.GT
Classification of joinings for Kleinian groups
当Γ是G=PSL_2（R）或PSL_2（C）的Zebrski稠密几何有限子群时，我们对Γ\ G上的次球面子群作用的所有局部有限连接进行了分类.这推广了Ratner在1983年关于Γ是G中格的情况下的连接定理。其中的一个主要成分是关于Burger-Roblin测度的非闭次球面轨道的等分布，我们在更大的一般性中证明了这一点，其中G是SO（n，1）中恒等式的连通分支，n至少为2，且Γ是G的任何Zerkiki稠密几何有限子群。
2015-09-11 math.DS
Large hyperbolic circles
我们考虑紧致双曲曲面上的共心且半径递增的圆，更一般地，考虑其单位切丛上的圆。我们建立了它们的等分布率的精确渐进性。我们的结果适用于任意圆弧被$\text{SL}_2(\mathbb{R})$的任意元素平移。我们的证明依赖于一个谱方法率先拉特纳和随后开发的汉堡在研究测地线和horocycle流。我们进一步推导出统计极限定理，与composite支持的极限分布，适当重新标度的圆平均足够的定期可观。最后，我们讨论了应用程序的经典圆问题的双曲平面，以下的方法Duke-Rudnick-Sarnak和Eskin-McMullen。
2022-11-23 math.DG math.DS math.NT
Harmonic analysis, Ergodic theory and Counting for thin groups
对于G=SO（n，1）的几何有限群Gamma，我们综述了关于齐性空间H \G中Gamma轨道的计数和等分布问题的最新进展，其中H是平凡的，对称的或次球面的.主要的应用被发现在仿射筛轨道上的薄群体，以及在球计数问题的球包装不变下的几何有限群。在我们的球计数问题中，球可以相对于一般的共形度量排序。
2014-04-07 math.DS math.GT math.NT
Apollonian circle packings and closed horospheres on hyperbolic 3-manifolds
我们得到了在任意给定的有界Apollonian圆填充中曲率不超过T的圆的个数的一个渐近公式。对于积分填充，我们得到了具有素曲率的圆的数目以及具有素曲率的圆对的数目的上界，它们是常数的倍数。我们证明的主要内容是几何有限双曲三维流形上的膨胀球面在其基本群的临界指数大于1的条件下的有效等分布。
2010-12-13 math.DS math.GT
