双曲三维流形上的Apollonian圆填充与闭半球

无穷共形图有向系统的Minkowski可测性及其在Apollonian填充中的应用

Minkowski measurability of infinite conformal graph directed systems and application to Apollonian packings

给出了无穷共形图有向系统极限集的Minkowski容度存在的条件。作为应用，我们得到了阿波罗垫片的Minkowski可测性，给出了Minkowski含量的显式表达式，并证明了对初始圆的解析依赖性。此外，我们能够连接的分形欧拉示性数，以及闵可夫斯基内容，阿波罗垫片的渐近行为的圆计数函数研究Kontorovich和哦。这些结果导致一个新的解释和替代公式的阿波罗常数。我们估计阿波罗常数的第一个下界，即$0{.}055$，部分回答了2013年的一个公开问题。在不相交球集合的更高维度设置中，生成e.\，g.利用Schottky型Kleinian群，证明了所有分形曲率测度都存在且是彼此的常数倍。进一步的数论应用连接到高斯映射和黎曼$ζ$ -函数说明我们的结果。

阿波罗尼奥斯圆填充、连分数及其他薄轨道算术的图解导引

An illustrated introduction to the arithmetic of Apollonian circle packings, continued fractions, and other thin orbits

本文整理并扩展两次暑期学校讲义，以阿波罗尼奥斯圆填充、薄群、连分数等为线索，图解数论与几何、动力学及整数轨道之间的联系。

代数曲面和球面填充上曲线的轨道计数

Orbital counting of curves on algebraic surfaces and sphere packings

我们实现的阿波罗群与一个完整的阿波罗圆包装，和它的一些推广，作为一个自同构群的代数曲面。借用轨道计数理论中的一些结果，研究了代数曲面上曲线轨道中元素相对于其自同构的几何有限群的度增长的渐进性。

阿波罗尼奥斯垫片的豪斯多夫维数

Hausdorff dimension of the Apollonian gasket

本文针对阿波罗尼奥斯垫片豪斯多夫维数缺乏闭形式且难以严格计算的问题，提出一种高效估计抛物极限集维数的方法，首次将其计算至128位小数并给出严格误差界，且有望推广至其他抛物分形。

Kleinian群轨道中圆的渐近分布

The Asymptotic distribution of circles in the orbits of Kleinian groups

设P是一个在非初等Kleinian群Gamma下的平面不变的局部有限圆填充，且具有2个Gamma-轨道.当Gamma是几何有限时，我们在平面上构造了一个显式Borel测度，它描述了P中小圆的渐近分布，假设Gamma的临界指数严格大于1，或者P不包含粘在Gamma的一个抛物不动点上的无限多个切圆.我们的构造也适用于P在几何无限群Gamma下的不变，只要Gamma允许有限Bowen-Margulis-Sullivan测度，并且P的Gamma-skinning大小是有限的。我们的结果适用于一些具体的圆填充，包括Apollonian圆填充，Sierpinski曲线，Schottky舞蹈，等等。

On Dynamical Gaskets Generated by Rational Maps, Kleinian Groups, and Schwarz Reflections

According to the Circle Packing Theorem, any triangulation of the Riemann sphere can be realized as a nerve of a circle packing. Reflections in the dual circles generate a Kleinian group $H$ whose limit set is an Apollonian-like gasket $Λ_H$. We design a surgery that relates $H$ to a rational map $g$ whose Julia set $\mathcal{J}_g$ is (non-quasiconformally) homeomorphic to $Λ_H$. We show for a large class of triangulations, however, the groups of quasisymmetries of $Λ_H$ and $\mathcal{J}_g$ are isomorphic and coincide with the corresponding groups of self-homeomorphisms. Moreover, in the case …

共形动力系统的渐近计数

Asymptotic Counting in Conformal Dynamical Systems

本文考虑了由有限型可数状态符号子移位建模的共形图有向马尔可夫系统的一般情形。我们处理两类这样的系统：吸引和抛物。后者是通过前者来治疗的。我们证明了相当完整的渐近计数结果的乘数和直径与原像或周期轨道有序hy一个自然的几何加权。我们还证明了相应的中心极限定理，描述了它们的权分布的进一步特征。这些都有直接的应用到各种各样的例子，包括阿波罗圆包装的情况下，阿波罗三角形，扩大和抛物有理函数，Farey映射，连分数，Mannenville-Pomeau映射，肖特基群，富克斯群，以及更多。一个相当完整的收集渐近计数结果，他们提出。我们的新方法是建立在复杂化的Ruelle-Perron-Frobenius算子的谱性质和用于素数理论的经典问题的Tauberian定理。

The Laplacian on some self-conformal fractals and Weyl's asymptotics for its eigenvalues: A survey of the ergodic-theoretic aspects

This short survey is aimed at sketching the ergodic-theoretic aspects of the author's recent studies on Weyl's eigenvalue asymptotics for a \emph{"geometrically canonical" Laplacian} defined by the author on some self-conformal circle packing fractals including the classical \emph{Apollonian gasket}. The main result being surveyed is obtained by applying Kesten's renewal theorem [\emph{Ann.\ Probab.}\ \textbf{2} (1974), 355--386, Theorem 2] for functionals of Markov chains on general state spaces and provides an alternative probabilistic proof of the result by Oh and Shah [\emph{Invent.\ Math.…

The Laplacian on some self-conformal fractals and Weyl's asymptotics for its eigenvalues: A survey of the analytic aspects

This article surveys the analytic aspects of the author's recent studies on the construction and analysis of a "geometrically canonical" Laplacian on circle packing fractals invariant with respect to certain Kleinian groups (i.e., discrete groups of Möbius transformations on the Riemann sphere $\widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$), including the classical Apollonian gasket and some round Sierpiński carpets. The main result on Weyl's asymptotics for its eigenvalues is of the same form as that by Oh and Shah [Invent. Math. 187 (2012), 1--35, Theorem 1.4] on the asymptotic distribution…

移位空间中单词计数的若干渐近公式的改进界

Improved Bounds For Some Asymptotic Formulas for Counting Words in Shift Spaces

本文针对移位空间单词计数问题，放宽既有研究的D-泛型与共形性条件，借助陶伯定理得到渐近公式的最锐上下极限界，并发现单词长度也具有对应渐近特性。