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由级数激发的p-adic同余

p-adic congruences motivated by series

Zhi-Wei Sun

备注：
15 pages, final published version
发表信息：
J. Number Theory 134(2014), 181-196
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摘要：

让$p>5$是一个素数。受已知公式$\sum_{k=1}^\infty(-1)^k/(k^3\binom{2k}{k})=-2ζ(3)/5$和$\sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k}^2/((2k+1)16^k)=4G/π$的启发，$ (where $ G= \sum_{k=0}^\ infty（-1）^k/（2k+1）^2 $ is the Catalan constant), we show that $ $\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\frac{(-1)^k}{k^3\binom{2k}{k}}\equiv-2B_{p-3}\pmod{p},$ $ $ $\sum_{k=(p+1)/2}^{p-1}\frac{\binom{2k}{k}^2}{(2k+1)16^k}\equiv-\frac 7{4}p^2B_{p-3}\pmod{p^3}$ $, and $ $\sum_{k=0}^{(p-3)/2}\frac{\binom{2k}{k}^2}{(2k+1)16^k} \equiv-2q_p(2)-pq_p(2)^2+\frac{5}{12}p^2B_{p-3}\pmod{p^3},$ $ where $ B_0，B_1，\ldots $ are Bernoulli numbers and $ q_p（2）$ is the Fermat quotient $（2^{p-1}-1）/p$。

英文摘要：

Let $p>5$ be a prime. Motivated by the known formulae $\sum_{k=1}^\infty(-1)^k/(k^3\binom{2k}{k})=-2ζ(3)/5$ and $\sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k}^2/((2k+1)16^k)=4G/π$$ (where $G=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k/(2k+1)^2$ is the Catalan constant), we show that $$\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\frac{(-1)^k}{k^3\binom{2k}{k}}\equiv-2B_{p-3}\pmod{p},$$ $$\sum_{k=(p+1)/2}^{p-1}\frac{\binom{2k}{k}^2}{(2k+1)16^k}\equiv-\frac 7{4}p^2B_{p-3}\pmod{p^3}$$, and $$\sum_{k=0}^{(p-3)/2}\frac{\binom{2k}{k}^2}{(2k+1)16^k} \equiv-2q_p(2)-pq_p(2)^2+\frac{5}{12}p^2B_{p-3}\pmod{p^3},$$ where $B_0,B_1,\ldots$ are Bernoulli numbers and $q_p(2)$ is the Fermat quotient $(2^{p-1}-1)/p$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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