On the Smallest Eigenvalue of Grounded Laplacian Matrices
我们提供了上界和下界上的最小特征值的接地拉普拉斯矩阵（这是通过删除特定的行和列的拉普拉斯矩阵的给定图获得的矩阵）。上界和下界之间的间隙取决于与接地拉普拉斯算子的最小特征值相对应的特征向量的最小和最大分量的比率。我们提供了一个图论上的这个比率的界限，并随后获得了严格的特征值的最小特征值的某些类别的图。具体来说，对于Erdos Renyi随机图，我们表明，当一个（足够小）集$S$的行和列从拉普拉斯算子，并添加一个边缘的概率$p$是足够大的，接地拉普拉斯算子的最小特征值渐近几乎肯定接近$|S|p$。我们还表明，随机$d$ -正则图与一个单一的行和列删除，最小的特征值是$Θ(\frac{d}{n})$。我们的边界有应用程序的收敛速度在连续时间和离散时间的一致性动力学与顽固或领导节点的研究。
2014-07-06 math.CO
Upper bound for the Laplacian eigenvalues of a graph
本文给出了无权图的Laplacian特征值的一个新的上界。设$G$是以$n$为顶点的单图.令$d_{m}(G)$和$λ_{m+1}(G)$分别为$G$的第$m$个最小度和$G$的第$m+1$个最小拉普拉斯特征值。然后为$\bar{G} \neq K_{m}+(n-m)K_1 $选择$ λ_{m+1}(G)\leq d_{m}(G)+m-1 $。我们还引入了赋权图的Laplacian特征值的上、下界，并将其与特殊情况的非赋权图进行了比较。
2011-06-03 math.CO
The smallest number of vertices in a 2-arc-strong digraph which has no good pair
Bang-Jensen，Bessy，Havet和Yeo证明了每个独立数不大于2且弧连通度不小于2的有向图都有一个弧不相交的出分支$B^+$和一个入分支$B^-$（这两个分支称为{ \it好对}），解决了Kassen关于独立数为2的有向图的一个猜想.证明了顶点数不超过6且弧连通度不小于2的有向图都有好对，并给出了一个独立数为4的顶点数为10的2-弧强有向图$D$没有好对的例子.他们要求在没有好对的2-弧强有向图中顶点数最少的图$n$。本文证明了顶点数不超过9且弧连通度不小于2的有向图都有一个好对，从而解决了这一问题。
2020-12-22 math.CO
Smallest tetravalent half-arc-transitive graphs with the vertex-stabiliser isomorphic to the dihedral group of order $8$
如果一个连通图的自同构群作用在图的边和顶点上是传递的，但不作用在图的邻顶点的序偶集合上，则称该图是半弧传递的。众所周知，半弧传递图的效价是偶数且至少为4。几个无限族的半弧传递图的价格四是已知的，但是，在所有已知的样本，除了四个，顶点稳定的自同构群是阿贝尔。第一个例子的半弧传递图的价4和非阿贝尔顶点稳定器描述在[Conder和Maruši，A tetravalent half-arc-transitive graph with non-abelian vertex stabilizer，J. Combin.理论系列B 88（2003）67- 76]。这个例子有$10752$顶点和顶点稳定子同构于$8$阶的二面体群。在本文中，我们表明，没有这样的图的较小的顺序存在，从而回答了一个经常问的问题。
2015-03-13 math.CO
New upper and lower bounds on the smallest singular values of nonsingular lower triangular $(0,1)$-matrices
本文针对非奇异下三角 (0,1)-矩阵的最小奇异值相关数列 c_n，通过特征多项式与 Samuelson 不等式分别改进其上界和下界，并用数值实验验证新界的质量。
2025-08-07 math.CO
On graphs with eigenvectors in $\{1, -1, 0\}$ and the max $k$-cut problem
本文刻画了所有具有无符号Laplacian特征向量的图和具有分量等于$\{- 1, 0, 1\}.$的邻接矩阵。我们将图参数max $k$ -cut推广到方阵上，并证明了一个一般的上界，它包含了图的max $k$ -cut的上界。以及图的最大拉普拉斯特征值。此外，我们构造了无限族的极图的上界。
2022-11-25 math.CO math.SP
Some observations on the smallest adjacency eigenvalue of a graph
本文讨论了图的邻接矩阵的最小特征值与图的结构之间的各种联系。有几种技术可以获得最小特征值的上界，其中一些是基于Rayleigh矩阵，使用诱导子图的Cauchy交织，以及顶点划分和商矩阵的Haemers交织。在本文中，我们感兴趣的是获得最小特征值的下界。受线图和广义线图结果的启发，我们展示了如何使用图分解来获得这样的下界。
2019-12-09 cs.DM math.CO
On the Smallest Eigenvalues and Quantum Chromatic Numbers of Hamming Graphs and Generalizations
Hefei National Laboratory（合肥国家实验室）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）
本文研究了距离参数小于一半长度的汉明图的最小特征值，给出了渐近下界，并应用于量子色数的下界。
2026-05-27 math.CO
Formulas and Upper Bounds for the Carath{é}odory Number of Hamming Graphs
设$G$是一个简单图，$S$是它的顶点的子集.我们说$S$是$P_3$ -凸的，如果每个顶点$v \in V(G)$在$S$中至少有两个邻居也属于$S$ . $S$的$P_3$ -壳集是包含$S$的$G$的最小$P_3$ -凸集。图$G$的Carathéodory数，记为$c(G)$，是最小整数$c$，使得对于$G$的每个子集$S \subseteq V(G)$和$P_3$ -壳中的每个顶点$p$，存在一个子集$F \subseteq S$，其$|F| \leq c$使得$p$属于$F$的$P_3$ -壳.本文给出了Hamming图的$P_3$ -Carathéodory数的上界和计算公式，Hamming图定义为$n$完全图的笛卡尔积.
2025-09-01 math.CO
Tables, bounds and graphics of the smallest known sizes of complete arcs in the plane $\mathrm{PG}(2,q)$ for all $q\le160001$ and sporadic $q$ in the interval $[160801\ldots 430007]$
在投影平面$\mathrm{PG}(2,q)$中，我们收集区域\begin{align*} &\mbox{all } q\le160001,~~ q \mbox{ prime power};\\ &Q_{4}=\{34 \mbox{ sporadic }q'\mbox{s in the interval }[160801\ldots430007], \mbox{ see Table 3}\}. \end{align*}的完整弧的最小已知尺寸。对于$q\le160001$，弧尺寸的收集在考虑所有素数幂的弧的意义上是完整的。这证明了$\mathrm{PG}(2,q)$，特别是\begin{align*} t_{2}(2,q)&<0.998\sqrt{3q\ln q}<1.729\sqrt{q\ln q}&\mbox{ for }&&7&\le q\le160001;~~(1) \\ t_{2}(2,q)&<\sqrt{q}\ln^{0.7295}q&\mbox{ for }&&109&\le q\le160001;~~(2)\\ t_{2}(2,q)&<\sqrt{q}\ln^{c_{up}(q)}q,~~c_{up}(q)=\frac{0.27}{\ln q}+0.7,&\mbox{ for }&&19&\le q\le160001;~~(3)\\ t_{2}(2,q)&<0.6\s…
2015-06-28 math.CO
A Universal upper bound on Graph Diameter based on Laplacian Eigenvalues
本文证明了：对任意k ≥ 2，无权连通图G的直径为O（klogn/λ k）.这里，λ_k是G的归一化拉普拉斯算子的第k个最小特征值。这解决了Gil Kalai提出的一个问题。
2012-12-12 cs.DM math.CO math.PR
Selecting the 7th Smallest of 16 Elements Takes Exactly 28 Comparisons
该研究确定16个元素中第7小元素的最坏情况比较次数为28，改进了相关选择问题的上界，所有结果均经Lean 4形式验证，算法通过多种搜索方法得到。
2026-10-14 cs.DS math.CO
Upper Covers of Chains and Antichains in Sets of Indecomposable Subsets
证明了存在任意大的具有2-链C的不可分解序集T，使得C在T中的最小不可分解真超集U是T本身。随后，我们刻画了所有这样的不可分解序集T和2-链C。对于2-反链，我们也证明了同样的结果。
2018-11-29 math.CO
A New Upper Bound for the d-dimensional Algebraic Connectivity of Arbitrary Graphs
本文证明了任意图$G$的$d$维代数连通度是由它的$1$维代数连通度上有界的，即，$a_d(G) \leq a_1(G)$，其中$a_1(G)$对应于图拉普拉斯算子的第二小特征值。
2022-09-29 math.AG math.CO
A new proof of the Larman-Rogers upper bound for the chromatic number of the Euclidean space
欧几里得空间$\mathbb{R}^n$的色数$χ(\mathbb{R}^n)$是足以对空间中所有点着色的最小颜色数，使得距离为1的任何两点具有不同的颜色。1972年，Larman-Rogers证明了$χ(\mathbb{R}^n) \leq (3 + o(1))^n$。我们给出了这个界的一个新的证明。
2018-12-04 math.CO math.MG
Universal rooted phylogenetic tree shapes and universal tanglegrams
本文研究有根二叉树和缠结图的通用结构规模，给出上下界并计算 n≤11 的最小通用树，部分结果推广到 d 叉情形。
2023-08-12 math.CO
On dynamic monopolies of graphs: the average and strict majority thresholds
令$G$是一个图，而${\mathcalτ}: V(G)\rightarrow \Bbb{N}\cup \{0\}$是对$G$的顶点的阈值分配。如果$G$的顶点可以被划分成子集$D_0, D_1,..., D_k$，使得$D_0=D$和对于任何$i\in {0, ..., k-1}$，$D_{i+1}$中的每个顶点$v$在$D_0\cup ... \cup D_i$中至少具有$τ(v)$邻居，则顶点的子集$D$被称为对应于$(G, τ)$的动态独占。动态垄断实际上是在模仿社交网络中影响力的不可逆转的传播。本文首先利用平均阈值和图的阶数给出了动态垄断的最小规模的一个下界。同时，我们还得到了图的最小顶点覆盖的一个上界。当图$G$至少包含一个奇顶点时，我们得到了任意动态垄断的最小规模的上界$|G|/2$，其中任意顶点$v$的阈值设为$\lceil (deg(v)+1)/2 \rceil$（即严格多数阈值）.该界改进了严格多数阈值的最佳界。我们表明，后者的界限可以实现一个多项式时间算法。我们还证明了$α'(G)+1$是严格多数动态垄断规模的一个上界，其中$α'(G)$表示$G$的匹配数.最后，我们得到了一个基本上界的最小尺寸的任何动态垄断，在平均阈值和顶点度。使用这个界限，我们得到一些其他的上限。
2012-02-06 cs.DM math.CO
On upper bounds for the multi-fold chromatic numbers of the plane
平面$χ_m$的多重色数是最小的颜色数$k$，足以使欧几里德平面的每个点都精确地用$m$颜色着色，使得对于彼此相距单位距离的任何一对点，$k$集合的两个对应的$m$子集不包含任何公共颜色。我们考虑平面的$m$ -fold色数的上界.我们的主要结果是，对于任何$m$不等式$χ_m<(1+2/\sqrt3)^2\cdot m+3.501$成立。
2022-06-25 math.CO
Minimal complete arcs in PG(2,q), q<= 32
本文用计算机证明了PG（2，31）和PG（2，32）中完整弧的最小尺寸为14。还描述了这种弧的一些示例。
2010-05-19 math.CO
Smallest graphs achieving the Stinson bound
完美秘密共享方案是一种在参与者之间分配秘密信息$s$的方法，使得只有预定义的联盟（称为合格的参与者子集）才能恢复秘密，而任何其他联盟（称为不合格的参与者子集）都不能确定关于秘密的任何信息。最重要的属性是系统的效率，这是衡量的信息比。可以证明，对于图的信息比至多是$(δ+1)/2$，其中$δ$是图的最大度。Blundo等人构造了一类至少在$c\cdot 6^δ$顶点上具有信息比$(δ+1)/2$的$δ$ -正则图.我们通过在$c\cdot 2^δ$顶点上构建一个显着更小的图族来改善这一结果，从而在最坏和平均情况下实现相同的上界。
2019-06-27 cs.CR math.CO
Sharp upper bound for the rainbow connection numbers of 2-connected graphs
一个边有色图$G$，其中邻边可以着色相同，如果$G$的任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路径连接，则该图是彩虹连通的。连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。本文对任意阶为$n$的2-连通图$G$，给出了$rc(G)\leq\lceil\frac{n}{2}\rceil$的一个精确的上界，它改进了Caro等人的结果.
2011-05-26 math.CO
A bound on the scrambling index of a primitive matrix using Boolean rank
$n\times n$本原矩阵$A$的加扰索引是使得$A^k(A^{t})^k=J$的最小正整数$k$，其中$A^t$表示$A$的转置，$J$表示$n\times n$全1矩阵。对于$m\times n$布尔矩阵$M$，其{ \it布尔秩} $b(M)$是最小正整数$b$，使得对于某些$m \times b$布尔矩阵$A$和$b\times n$布尔矩阵$B$，$M=AB$。本文给出了$n\times n$本原矩阵$b(M)$的置乱指数的一个上界。此外，我们还刻画了所有达到上界的本原矩阵。
2009-10-11 math.CO
An improved upper bound for the grid Ramsey problem
对于一个正整数$r$，令$G(r)$是最小的$N$，使得只要笛卡儿积$K_N \times K_N$的边是$r$ -着色的，则存在一个矩形，其中两对相对的边接收相同的颜色。在本文中，我们通过证明$G(r) \leq \Big(1 - \frac{1}{128}r^{-2}\Big) r^{\binom{r+1}{2}}$来改进$G(r)$的上界，当$r$足够大时。不像以前的改进，这是基于限制交叉点大小的集合系统的大小的界限，我们的证明是一种形式的quasirandomness参数。
2018-09-25 math.CO
A Reduced Upper Bound for an Edge-coloring Problem from Relation Algebra
我们构造了$K_{N}$（对于$N = 3432$）的红色、深蓝色和浅蓝色的边着色，使得不存在单色的蓝色三角形，并且使得着色满足某种强的普遍存在性. $K_{N}$的边着色依赖于$K_{17}$的循环着色，$K_{17}$的两个色类是$K_{4}$ -、$K_{4,3}$ -和$K_{5,2}$ -free。这种构造产生了关系代数$32_{65}$的最小已知表示，将上界从8192减少到3432。
2015-04-27 math.CO math.LO math.RA
Improved upper bounds for the Heilbronn's Problem for $k$-gons
本研究针对k点凸包版本的Heilbronn问题，解决了Szemerédi提出的改进平凡上界常数的问题，证明了2/n+o(1/n)的上界，并将结果推广到k≥4的任意凸包情形。
2024-05-21 cs.CG cs.DM math.CO
Obtainable Sizes of Topologies on Finite Sets
本文研究了具有k个开集的拓扑空间中的点的最小可能个数。等价地，这是具有k阶理想的偏序集中元素的最小可能数目。使用有效的算法构造一个拓扑结构与规定的大小，我们表明，这个数字有一个对数上界。我们推出，存在一个拓扑上的n点有k个开集，所有的k在一个区间是指数大的n。的建设算法可以修改，以产生拓扑结构的最小邻域的每个点具有最小的大小，我们给这样的拓扑结构的可获得的大小的范围。
2009-05-20 math.CO math.GN
Eigenvalue bounds for the signless $p$-Laplacian
我们考虑图的无符号$p$ -拉普拉斯算子，通常的无符号拉普拉斯算子的推广（情况$p=2$）。我们展示了Perron-Frobenius属性和最大特征值的基本不等式，并提供了最小特征值的上界和下界的参数有关的bipartiteness。后者的结果概括了德赛和饶的界限，有趣的是，在极限$p\to 1$上限和下界一致。
2016-10-05 math.CO
Bounds for the smallest $k$-chromatic graphs of given girth
本文研究围长至少为 $g$ 的 $k$-色图的最小阶数 $n_g(k)$，通过穷举搜索和计算机算法给出新的上下界，并首次提供 $k=4$、$g>5$ 的小阶数实例。
2019-03-05 cs.DM math.CO
New Upper bounds on the Mondrian Art Problem
University of Florida（佛罗里达大学）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
该研究针对蒙德里安艺术问题，证明了其缺陷的新上界O(n^(5/6))，改进了此前推测的O(n/log n)上界，并通过算法提供了经验支持。
2026-09-03 cs.DM math.CO
A new upper bound on the acyclic chromatic indices of planar graphs
图$G$的无圈边染色是不产生双色圈的正常边染色。$G$的非循环色指数$a'(G)$是使得$G$具有使用$k$颜色的非循环边着色的最小整数$k$。证明了对任意简单图$G$，有最大度$Δ$的图，有$a'(G)\le Δ+2$.本文证明了：如果$G$是平面图，则$a'(G)\leqΔ+7$ .这改进了Basavaraju等人[{ \em可平面图的无环边着色}，SIAM J. Discrete Math.，25（2011），pp. 463-478]，它说每个平面图$G$都满足$a'(G)\leqΔ+12$。
2012-05-31 math.CO
Upper bounds for the bondage number of graphs on topological surfaces
图G的束缚数b（G）是指图G的最小边数，如果从图G中去掉这些边，则图G的控制数大于图G的控制数。我们证明了，对于一个顶点度为$Δ(G)$且可嵌入亏格为h的可定向曲面和亏格为k的不可定向曲面的图G，有$b(G)\le \min\{Δ(G)+h+2, Δ(G)+k+1\}$。这推广了已知的平面和环形图的上界。
2011-10-25 cs.DM math.CO
A linear upper bound for zero-sum Ramsey numbers of bounded degree graphs
London School of Economics（伦敦政治经济学院）；Nankai University（南开大学）；University of Oxford（牛津大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
本文研究了有限度图G和有限阿贝尔群Γ的零和Ramsey数R(G, Γ)，证明了对于任意n顶点图G和满足|Γ|整除e(G)的有限阿贝尔群Γ，R(G, Γ) ≤ Cn。
2026-05-07 math.CO
Upper bounds for the rainbow connection numbers of line graphs
边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以着色相同，如果它的两条边都不着色相同，则称为彩虹路径。一个非平凡连通图$G$是彩虹连通的，如果对于$G$的任意两个顶点，有一条彩虹路将它们连接起来.用$rc(G)$表示的$G$的彩虹连接数被定义为存在着色使得$G$是彩虹连接的颜色的最小数目。本文主要研究了含三角形的线图的彩虹连通数，得到了$rc(L(G))$的两个明显的上界，它们是由$G$的边不相交三角形的个数决定的，其中$L(G)$是$G$的线图.我们也给出了迭代线图的一些结果。
2010-01-02 math.CO
Smallest cyclically covering subspaces of $\mathbb{F}_q^n$, and lower bounds in Isbell's conjecture
对于一个素数幂$q$和一个正整数$n$，如果$U$的循环移位的并等于$\mathbb{F}_q^n$，则称${\mathbb{F}_q^n}$的子空间$U$是{ \em循环覆盖}.研究了$\mathbb{F}_q^n$的循环覆盖子空间的最小可能维数的确定问题。(This是第一作者在1991年提出的问题的自然概括。我们证明了几个上限和下界，并为每个固定的$q$，我们完全回答了这个问题的无穷多个值的$n$（采取某些几何级数的形式）。我们的结果意味着下界的一个著名的猜想Isbell，和一个推广定理，补充下界由于Spiga。我们还考虑了群的一般表示的类似问题。我们使用的参数从组合，表示论和有限域理论。
2019-05-29 math.CO math.GR
Sharp upper bounds for multiplicative Zagreb indices of bipartite graphs with given diameter
图$G$的第一个乘法Zagreb指标是每个顶点度的平方的乘积，而第二个乘法Zagreb指标是每个边在所有边上的度的乘积。本文研究了直径为$d$的$n$阶二部图的乘性Zagreb指数，并得到了$\mathcal{B}(n,d)$中图的乘性Zagreb指数的精确上界，其中$\mathcal{B}(n, d)$是所有直径为$d$的$n$ -顶点二部图的集合.此外，我们还研究了图\textcolor{blue}{within}和图$\mathcal{B}(n, d)$的最大乘性Zagreb指标之间的关系.作为推论，刻画了具有最大、次大和最小乘性Zagreb指标的二部图，推广和丰富了已有的一些结论.
2017-04-27 math.CO
Exponential Growth Constants for Spanning Forests on Archimedean Lattices: Values and Comparisons of Upper Bounds
我们比较了我们的上界指数增长性常数$ϕ(Λ)$的阿基米德格$Λ$最近派生的上界的渐近行为的生成森林。我们的上界$ϕ(Λ)$，这是非常接近的各自值的$ϕ(Λ)$，我们已经计算出，被证明是显着更好的这些晶格比新的上界。
2020-12-25 cond-mat.stat-mech math.CO
On the Girth of Graph Lifts
Tel-Hai University（泰尔海大学）
本文研究了图提升的圈长问题，提出了新的函数n(H,g)并证明了其与经典界的关系，同时探讨了度分布相关的推广问题。
2026-10-20 math.CO
A new upper bound on the minimum degree of minimal Ramsey graphs
本研究针对Burr等人1976年提出的Ramsey参数$s_r(K_k)$，证明了$s_r(K_{k+1})$的新上界为$O(k^3 r^3 \log^3 k)$，推进了极小Ramsey图最小度的相关理论研究。
2024-07-10 math.CO
On upper bounds for parameters related to construction of special maximum matchings
对于图$G$，令$L(G)$和$l(G)$表示通过去除$G$的最大匹配而从$G$获得的图的最大和最小最大匹配的大小。我们表明，$L(G)\leq 2l(G),$和$L(G)\leq (3/2)l(G)$提供了$G$包含一个完美的匹配。我们还刻画了一类图，其中$L(G)=2l(G)$。我们的表征意味着存在一个多项式算法测试的属性$L(G)=2l(G)$。最后证明了一个包含完美匹配的图$G$是否满足$L(G)=(3/2)l(G)$是$NP$ -完全的.
2011-07-25 cs.DM math.CO
Tables, bounds and graphics of the smallest known sizes of complete caps in the spaces $\mathrm{PG}(3,q)$ and $\mathrm{PG}(4,q)$
本文给出并分析了$q$阶有限域上的维数为$N=3$和$N=4$的射影空间$\mathrm{PG}(N,q)$中小完备帽的计算结果.结果已经得到使用随机贪婪算法和算法与固定顺序的点（FOP）。计算是在$q$值的相对宽的区域中进行的;在$N=3,4$的文献中没有考虑这样宽的区域。新的完整的瓶盖是已知的最小的。在此基础上，我们得到了$t_2(N,q)$的新的上界，即$\mathrm{PG}(N,q)$，特别是\begin{align*} &t_{2}(N,q)<\sqrt{N+2}\cdot q^{\frac{N-1}{2^{\vphantom{H}}}}\sqrt{\ln q},\quad q\in L_{N},\quad N=3,4,\\ &t_{2}(N,q)<\left(\sqrt{N+1}+\frac{1.3}{\ln (2q)}\right)q^{\frac{N-1}{2^{\vphantom{H}}}}\sqrt{\ln q},\quad q\in L_{N},\quad N=3,4, \end{align*}，其中\begin{align*} &L_{3}:=\{q\le 4673, ~q\ \textrm{prime}\} \cup \{5003,6007,7001,8009\},\\ &L_{4}:=\{q\le 1361, ~q\ \textrm{prime}\} …
2016-10-30 math.CO
Upper Bounds for Ordered Ramsey Numbers of Small 1-Orderings
图$G$的$k$ -排序将来自集合$\{1,\ldots,|G|\}$的不同的顺序标签分配给$G$中的$k$顶点。给定一个$k$ -序$H$，序Ramsey数$R_<(H)$是最小$n$，使得在点集$\{1, \ldots, n\}$上的完全图的每个边2-染色都包含一个$H$的拷贝，其第10个最小点的$i$要么在$H$中有序标号$i$，要么在$H$中没有序标号.本文首次系统地研究了小图的$1$ -序的有序Ramsey数.对于$4$顶点上的每个连接的$1$ -序$H$，我们提供了$R_<(H)$的上界.另外，对于$n$ -顶点路径$P_n$的每个$1$ -序$H$，我们证明了$R_<(H) \in O(n)$ .最后，我们给出了广义序Ramsey数$R_<(K_n, H)$的一个上界，该上界可应用于任何含有序标号为$1$的点的$k$ -序$H$.
2017-02-07 math.CO
New upper bounds for the bondage number of a graph in terms of its maximum degree and Euler characteristic
图$G$的束缚数$b(G)$是指从图$G$中去掉的边的最小数目，它使图具有更大的控制数。设$G$可嵌入到曲面上，曲面的欧拉示性数$χ$尽可能大，并假定$χ\leq0$。Gagarin-Zverovich和Huang最近根据最大次数$Δ(G)$和欧拉示性数$χ(G)=χ$找到了$b(G)$的上界.本文证明了一个更好的上界$b(G)\leqΔ(G)+\lfloor t\rfloor$，其中$t$是三次方程$z^3 + z^2 + (3χ- 8)z + 9χ- 12=0$的最大实根，这个上界渐近等价于$b(G)\leqΔ(G)+1+\lfloor \sqrt{4-3χ} \rfloor$ .当图$G$的围长、阶数或大小与其欧拉示性数$χ$相比较大时，我们还建立了进一步改进的$b(G)$的上界。
2020-01-30 math.CO
New sizes of complete arcs in PG(2,q)
当q= 3511，4096，4523，5003，5347，5641，5843，6011时，得到了射影平面PG（2，q）中完整弧的最小尺寸t_{2}（2，q）的新的上界.对于q<= 2377和q= 2401，2417，2437，关系式t_{2}（2，q）<4.5 \sqrt{q}成立。通过寻找新的小的完整的弧的帮助下，使用随机贪婪算法的计算机搜索得到的界限。还提出了新的完整弧的尺寸。
2010-08-28 math.CO
Proximity in Triangulations and Quadrangulations
设$ G $是一个连通图.如果$\barσ(v)$表示从$v$到$G$的所有其他顶点的距离的算术平均值，则$G$的接近度$π(G)$被定义为$G$的所有顶点$v$上的$\barσ(v)$的最小值。给出了给定阶数和连通度的简单三角剖分和四边形剖分的逼近的上界。我们还构造简单的三角形和四边形的顺序和连接，渐近匹配的上界，可能是最佳的。
2022-04-29 math.CO
An improved upper bound on the oriented diameter of graphs with diameter $4$
East China Normal University（华东师范大学）；Fuzhou University（福州大学）；South China Normal University（华南师范大学）
本文改进了图直径为4时有向直径上界，将最佳上界从21降低至18。
2026-06-08 math.CO
Face sizes and the connectivity of the dual
Ghent University（根特大学）；Tokyo University of Science（东京科学大学）
本文通过证明 c-连通地图简单对偶中存在 1-割或 2-割所需面大小的紧下界，确定了 2-割情形的最小亏格，并给出 1-割情形最小亏格的上下界。
2023-10-31 math.CO
On a conjecture of Erdős and Szekeres
设f（n）是使欧氏平面上一般位置的每一组$f(n)$点都包含凸n边形的最小正整数。在1935年发表的一篇开创性论文中，Erdés和Szekeres证明了f（n）的存在性，并给出了一个上界。在1961年，他们还证明了一个下界，并证明了它是最优的。它们的边界是：$2^{n-2}+1 \leq f(n) \leq {2n - 4 \choose n-2}+1$。从那时起，上界已被改进了大约2倍，为$f(n) \leq {2n - 5 \choose n-2}+1$。在本文中，我们通过证明：$$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{f(n)}{2n-5 \choose n-2} \leq \frac{29}{32}$$进一步改进了上界
2015-05-28 math.CO
Upper bounds involving parameter $σ_2$ for the rainbow connection
对于图$G$，我们定义了$σ_2(G)=min \{d(u)+d(v)| u,v\in V(G), uv\not\in E(G)\}$，或者简单地用$σ_2$表示。一个边着色图是彩虹边连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接，这是由Chartrand等人提出的。连通图$G$的彩虹连通，记作$rc(G)$，是使$G$彩虹边连通所需的最小颜色数。证明了若$G$是$n$阶连通图，则$rc(G)\leq 6\frac{n-2}{σ_2+2}+7$ .此外，通过Caro等人提出的一个构造，可以看出该界对加性因子是紧的。Krivelevich和Yuster最近引入的一个顶点着色图是彩虹顶点连通的，如果任何两个顶点通过一条内部顶点具有不同颜色的路连接。连通图$G$的彩虹顶点连通度，用$rvc(G)$表示，是为了使$G$彩虹顶点连通所需的最小颜色数。证明了若$G$是$n$阶连通图，则$rvc(G)\leq 8\frac{n-2}{σ_2+2}+10 $对于$2\leq σ_2\leq 6, σ_2\geq 28 $，而对于$ 7 \leq σ_2\leq 8, 16\leq σ_2\leq 27$，$ rvc(G)\leq \frac{10n-16}{σ_2+2}+10$，以及对于$9 \leq σ_2\leq 15, rvc(G)\leq \frac{10n-16}{σ_2+2}+A…
2011-01-17 math.CO
On upper bounds on the number of parts in the problem of partitioning sets into parts of smaller diameter
本文围绕经典Borsuk问题，针对将欧氏空间中直径为1的集合划分为直径严格小于给定$b∈(0,1]$的部分的问题，讨论量$χ(n,b)$，收集其已知上界信息并给出新的上界。
2025-08-20 math.CO
On the minimal feedback arc set of m-free Digraphs
对于简单有向图$G$，令$β(G)$是使得$G-X$没有有向圈的最小子集$X\subseteq E(G)$的大小，令$γ(G)$是$G$中不相邻顶点的无序对的数目。一个有向图$G$称为$m$ -free，如果$G$没有长度至多为$m$的有向圈.本文证明了对任何无$m$的有向图$G$，都有$β(G)\leq \frac{1}{m-2}γ(G)$，推广了某些已知结果.
2012-04-20 math.CO
The smallest sets of points not determined by their X-rays
设$F$是$\mathbb{K}^d$中的一个$n$ -点集，其中有$\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{Z}\}$和$d\geq 2$ . $F$在$s$方向上的（离散）X射线给出了$F$在平行于$s$的每条线上的点的数量。我们将$ψ_{\mathbb{K}^d}(m)$定义为存在$m$方向$s_1,...,s_m$（成对线性独立且跨越$\mathbb{R}^d$）的最小数目$n$，使得存在在这些方向上具有相同X射线的$\mathbb{K}^d$中的两个$n$点集。结合的$ψ_{\mathbb{Z}^d}(m)\leq 2^{m-1}$已在文献中多次观察到。在本说明中，我们显示了$\varepsilon>0$的$ψ_{\mathbb{K}^d}(m)=O(m^{d+1+\varepsilon})$。对于情况$\mathbb{K}^d=\mathbb{Z}^d$和$\mathbb{K}^d=\mathbb{R}^d$，$d>2$，这表示$ψ_{\mathbb{K}^d}(m)$上的第一个上限，它在$m$中是多项式。作为一个推论，我们得到的古典和二维Prouhet-Tarry-Escott问题的解决方案的大小上的界限。此外，我们建立下界$ψ_{\mathbb{K}^d}$，使我们能够证明一个加强版本的雷尼定理点$\mathbb{Z}^2$。
2014-11-03 math.CO math.MG
On vertex-transitive distance-regular covers of complete graphs with an extremal smallest eigenvalue
本文研究完全图的阿贝尔距离正则覆盖，利用秩至多3的置换群分类，刻画了具有极值最小特征值且自同构群顶点传递、弧集上至多两个轨道的覆盖族。
2024-12-16 math.CO
Tables of sizes of random complete arcs in the plane $PG(2,q)$
给出了平面$PG(2,q)$中随机完备弧的尺寸表。这些尺寸接近于$PG(2,q)$中已知的最小完整弧尺寸，特别是接近于由算法FOP（点的固定顺序）构造的弧尺寸。在区域$\{3\leq q\leq 46337,~q \mbox{prime}\}$中获得随机弧。
2014-05-22 math.CO
On heterochromatic out-directed spanning trees in tournaments
给定竞赛图T，设h（T）是最小整数k，使得T的每个具有k个或更多颜色的弧着色产生T的至少一个向外定向生成树，其中没有具有相同颜色的弧对。本文给出了h（T）的精确值。
2016-01-16 math.CO
