利用布尔秩确定本原矩阵置乱指数的一个界
A bound on the scrambling index of a primitive matrix using Boolean rank
摘要：
$n\times n$本原矩阵$A$的加扰索引是使得$A^k(A^{t})^k=J$的最小正整数$k$，其中$A^t$表示$A$的转置，$J$表示$n\times n$全1矩阵。对于$m\times n$布尔矩阵$M$，其{ \it布尔秩} $b(M)$是最小正整数$b$，使得对于某些$m \times b$布尔矩阵$A$和$b\times n$布尔矩阵$B$，$M=AB$。本文给出了$n\times n$本原矩阵$b(M)$的置乱指数的一个上界。此外，我们还刻画了所有达到上界的本原矩阵。
英文摘要：
The scrambling index of an $n\times n$ primitive matrix $A$ is the smallest positive integer $k$ such that $A^k(A^{t})^k=J$, where $A^t$ denotes the transpose of $A$ and $J$ denotes the $n\times n$ all ones matrix. For an $m\times n$ Boolean matrix $M$, its {\it Boolean rank} $b(M)$ is the smallest positive integer $b$ such that $M=AB$ for some $m \times b$ Boolean matrix $A$ and $b\times n$ Boolean matrix $B$. In this paper, we give an upper bound on the scrambling index of an $n\times n$ primitive matrix $M$ in terms of its Boolean rank $b(M)$. Furthermore we characterize all primitive matrices that achieve the upper bound.
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