New lower bounds on the size of (n,r)-arcs in PG(2,q)
PG（2，q）中的（n，r）-弧是一组n个点，使得每条线最多包含r个选定点。众所周知，PG（2，q）中的（n，r）-弧对应于射影线性码。设m_r（2，q）表示PG（2，q）中存在（n，r）-弧的最大点数n。本文通过显式构造（n，r）-弧来获得m_r（2，q）的改进的下界。一些构造的（n，r）-弧对应于满足Griesmer界的线性码。所有结果均由整数线性规划求得。
2019-07-17 math.CO
Small complete caps from nodal cubics
奇数阶伽罗瓦仿射平面上的双覆盖弧是在高维空间中构造完备帽的有力工具。本文研究了节三次曲线中的某些弧是否是双覆盖的。对于$m_1$，$m_2$互质因子$q-1$，获得了$AG(2,q)$中大小为$k\le (q-1)\frac{m_1+m_2}{m_1m_2}$的双覆盖弧，条件是$(m_1m_2,6)=1$和$m_1m_2<\sqrt[4]{q}/3.5$。这样的弧在$N\equiv 0 \pmod 4$维的仿射空间中产生大小为$kq^{(N-2)/2}$的完全帽。对于无穷多个$q$，这些帽是$AG(N,q)$，$N \equiv 0 \pmod 4$中已知的最小的完全帽。
2013-05-14 math.CO
Tables, bounds and graphics of sizes of complete arcs in the plane $\mathrm{PG}(2,q)$ for all $q\le321007$ and sporadic $q$ in $[323761\ldots430007]$ obtained by an algorithm with fixed order of points (FOP)
在作者以前的工作中，提出了一个逐步算法FOP，它使用任意固定顺序的点在投影平面$\mathrm{PG}(2,q)$。在每一步中，该算法将不位于弧的二等分线上的固定顺序的第一点添加到当前弧。该算法是基于直观的假设，$\mathrm{PG}(2,q)$包含足够数量的相对较小的完整的弧。此外，在以前的文件中，它表明，在$\mathrm{PG}(2,q)$的点的顺序的类型是不相关的。$\mathrm{PG}(2,q)$中的完备lexiarc是通过算法FOP使用点的字典序获得的完备弧。在这项工作中，我们收集并分析了以下区域中的完整lexiarcs的大小：\begin{align*}& \textbf{all } q\le321007,~ q \mbox{ prime power}; & 15 \mbox{ sporadic $q$'s in the interval }[323761\ldots430007], \mbox{ see (1.10)}. \end{align*}在工作[9]中，收集了所有$q\leq160001$，$q$素数幂的$\mathrm{PG}(2,q)$中完整弧的最小已知大小。完整的弧的大小，收集在这项工作中，在[9]，提供了以下上界的最小尺寸$t_{2}(2,q)$的一个完整的弧在投影平面$\mathrm{PG}(2,q)$：\begin{align*} t_{2}…
2018-01-03 math.CO
Complete $(q+1)$-arcs in $\mathrm{PG}(2,\mathbb{F}_{q^6})$ from the Hermitian curve
本文利用与弧相关的代数簇，证明当 q 足够大时 Hermitian 曲线的有理点在 PG(2,𝔽_{q^6}) 中构成完全 (q+1)-弧，解决了既有研究的开放情形。
2023-06-01 math.CO
Algebraic constructions of complete $m$-arcs
设$m$为正整数，$q$为素数幂，$\mathrm{PG}(2,q)$为有限域$\mathbb F_q$上的射影平面.在$\mathrm{PG}(2,q)$中寻找长度小于$q$的完全$m$ -弧是有限几何中的一个经典问题。在本文中，我们给出了一个完整的答案，这个问题时，$q$是相对较大的$m$相比，明确地构建最小的$m$ -弧在文献中迄今为止的任何$m\geq 8$。对于任何固定的$m$，随着$q$的增长，我们的弧$\mathcal A_{q,m}$满足$|\mathcal A_{q,m}|-q\rightarrow -\infty$。为了产生这样的$m$ -弧，我们开发了一个伽罗瓦理论机器，允许转移的几何信息的点外部的弧，算术1，这反过来又允许证明的$m$ -完整的弧。
2020-07-02 math.AG math.CO
Arcs in $\Z^2_{2p}$
$\Z^2_n$中的弧被定义为没有三个共线的点的集合。我们描述了一些性质的弧，并确定了一些小的$n$的弧的最大尺寸。
2017-05-09 math.CO
Counting arcs in $\mathbb F_q^2$
$\mathbb F_q^2$中的弧是一个集合$P \subset \mathbb F_q^2$，使得$P$中没有三个点共线。利用超图容器的方法证明了几个关于弧的计数结果。令$\mathcal A(q)$表示$\mathbb F_q^2$中所有弧的族。我们的主要结果是绑定\[ |\mathcal A(q)| \leq 2^{(1+o(1))q}. \]这匹配，隐藏在$o(1)$符号的因素，平凡的下界，来自考虑所有子集的大小$q$弧。我们也给出了一个固定（大）尺寸的弧数的上限。令$k=q^t$对于某些$t >2/3$，并且令$\mathcal A(q,k)$表示具有基数$k$的$\mathbb F_q^2$中的所有弧的族。我们证明了，对于所有的$γ>0$ \[ |\mathcal A(q,k)| \leq \binom{(1+γ)q}{k}. \]，这个结果改进了Roche-Newton和Warren的界。通过考虑大小为$q$的弧的大小为$k$的所有子集，可以得到几乎匹配的下限\[ |\mathcal A(q,k)| \geq \binom{q}{k} \]。
2022-09-07 math.CO
On Hyperfocused Arcs in PG(2,q)
迪尔格斯射影平面中的k弧，其割线与k-1个点中的某条外线相交，称为超聚焦。超聚焦弧调查与秘密共享方案的基础上几何由于西蒙斯。本文证明了点轨道在适当的扩张群下是超聚焦弧，具有既不包含在超椭圆中，也不包含在真子平面中的重要性质。此外，广义超聚焦弧的概念，即弧的割线允许一个最小尺寸的块集，被引入：提供一个构造方法，连同分类的大小为10。
2006-01-20 math.CO
On complete $m$-arcs
设$m$为正整数，$q$为素数幂.对于大的有限基域$\mathbb F_q$，我们证明了任何曲线都可以用来产生一个完整的$m$ -弧，只要曲线上的一些通用的显式几何条件得到验证。为了证明我们的理论的有效性，我们从超椭圆曲线和Artin-Schreier曲线导出了完备的$m$ -弧。
2023-03-23 cs.IT math.CO math.IT
New Results on Arcs in Projective Hjelmslev Planes over Small Chain Rings
本文研究小链环上射影Hjelmslev平面中的弧，给出新构造与界，并更新了基数至多25的链环上弧最大尺寸的最佳上下界表。
2024-09-03 math.CO
Tables, bounds and graphics of the smallest known sizes of complete arcs in the plane $\mathrm{PG}(2,q)$ for all $q\le160001$ and sporadic $q$ in the interval $[160801\ldots 430007]$
在投影平面$\mathrm{PG}(2,q)$中，我们收集区域\begin{align*} &\mbox{all } q\le160001,~~ q \mbox{ prime power};\\ &Q_{4}=\{34 \mbox{ sporadic }q'\mbox{s in the interval }[160801\ldots430007], \mbox{ see Table 3}\}. \end{align*}的完整弧的最小已知尺寸。对于$q\le160001$，弧尺寸的收集在考虑所有素数幂的弧的意义上是完整的。这证明了$\mathrm{PG}(2,q)$，特别是\begin{align*} t_{2}(2,q)&<0.998\sqrt{3q\ln q}<1.729\sqrt{q\ln q}&\mbox{ for }&&7&\le q\le160001;~~(1) \\ t_{2}(2,q)&<\sqrt{q}\ln^{0.7295}q&\mbox{ for }&&109&\le q\le160001;~~(2)\\ t_{2}(2,q)&<\sqrt{q}\ln^{c_{up}(q)}q,~~c_{up}(q)=\frac{0.27}{\ln q}+0.7,&\mbox{ for }&&19&\le q\le160001;~~(3)\\ t_{2}(2,q)&<0.6\s…
2015-06-28 math.CO
Powers of Karpelevic arcs and their Sparsest Realising matrices
本文研究Karpelevic区域边界弧的幂结构，完整刻画了可表示为其他Karpelevic弧之幂的弧，并给出对应最稀疏随机矩阵为另一随机矩阵之幂的充要条件。
2023-06-08 math.CO
On planar arcs of size $(q+3)/2$
本文研究了二次曲线上至少有$(q+1)/2$点的$\mathrm{PG}(2,q)$（$q$奇数）中的小的完全弧.我们给出了一个简短的全面证明的完整性问题留下的开放塞格雷在他的开创性工作[20]。这提供了一个替代佩莱格里诺的长期证明，这是在一系列文件中获得在20世纪80年代。作为我们分析的一个推论，我们得到了文献[6]中一个误解的反例。
2021-05-23 math.AG math.CO
On sizes of complete arcs in PG(2,q)
对于853 <= q <= 4561和qPDMATHABMN T1 \cup T2，得到了射影平面PG（2，q）中完整弧的最小尺寸t_{2}（2，q）的新上界，其中T1={173，181，193，229，243，257，271，277，293，343，373，409，443，449，457，461，463，479，487，491，499，529，563，569，571，577，587，593，599，601，607，613，617，619，631，641，661，673，677，683，691，709}，T2={4597，4703，4723，4733，4789，479，4813}，4831，5003，5347，5641，5843，6011，8192}。从这些新的界限可以得出，对于q <= 2593和q= 2693，2753，关系t_{2}（2，q）< 4.5 \sqrt{q}成立。此外，对于q <= 4561，我们有t_{2}（2，q）< 4.75 \sqrt{q}。证明了对于23 <= q <= 4561和q \in T2 \cup {2^{14}，2 ^{15}，2 ^{18}}，不等式t_{2}（2，q）< \sqrt{q} ln^{0.75}q成立.此外，所获得的结果允许我们推测，这一估计适用于所有q >= 23。新的上界是通过使用随机贪婪算法的计算机搜索的帮助下找到新的小…
2011-05-23 cs.IT math.CO math.IT
Generalized Hyperfocused Arcs in $PG(2,p)$
$PG(2,q)$中的{ \em广义超聚焦弧} $\mathcal H $是大小为$k$的弧，具有$k(k-1)/2$割线可以被不属于该弧的一组$k-1$点阻塞的属性。我们表明，如果$q$是一个素数和$\mathcal H$是一个广义超聚焦弧的大小$k$，然后$k=1,2$或4。有趣的是，这个问题也与（强）圆柱猜想有关[Ball S.：伽罗瓦几何中的多项式方法，伽罗瓦几何中的当前研究主题，第5章，Nova Sci。公众，New York，（2012）105-130]，正如我们在最后一节中指出的那样。
2013-04-12 math.CO
Arcs and tensors
对于$\mathrm{PG}(k-1,q)$的大小为$q+k-1-t$的弧$\mathcal{A}$，我们在$\langle ν_{k,t}(\mathcal{A})\rangle^{\otimes k-1}$中关联一个张量，其中$ν_{k,t}$表示在$\mathrm{PG}(k-1,q)$上定义的度$t$的Veronese映射。作为推论，我们证明了对于$\mathrm{PG}(k-1,q)$中尺寸为$q+k-1-t$且不包含在次数为$t$的超曲面中的每条弧$\mathcal{A}$，存在多项式$F(Y_1,\ldots,Y_{k-1})$（在$k(k-1)$变量中）其中$Y_j=(X_{j1},\ldots,X_{jk})$，其在每个$k$ -变量$Y_j$的元组中的程度$t$是齐次的，其在弧$\mathcal{A}$的任何$(k-2)$ -子集$S$处评估时给出$\mathrm{PG}(k-1,q)$上的度$t$的形式，其零轨迹是$\mathcal{A}$在$S$处的切线超曲面，即在$S$处的$\mathcal{A}$的切超平面的并集。这推广了等价的结果为平面弧（$k=3$），证明了在\cite{BaLa2018}，弧在任意维的射影空间。对于包含在次数为$t$的超曲面中的大小为$q+k-1-t$的$\mathrm{PG}(k-1,q)$中的弧，得到了一个稍弱的结果.我们还包括…
2019-05-28 math.CO
Extending small arcs to large arcs
弧是具有$q$元素${\mathbb F}_q$的有限域上的$k$维向量空间的向量集合，其中大小为$k$的每个子集是空间的基，即每个$k$ -子集是线性无关向量的集合。给定奇特征空间中的弧$G$，证明了包含$G$的最大弧存在上界.该界不是显式界，而是通过计算由$G$构造的矩阵的性质而获得的。在某些情况下，我们还可以确定包含$G$的最大弧，或者至少确定恰好包含大弧的$k-2$向量的超平面。本文中所包含的定理可能会提供新的工具，在计算分类和建设的大弧。
2016-05-26 math.CO
Algebraic approach to the completeness problem for $(k,n)$-arcs in planes over finite fields
在有限域上的射影平面中，完全$(k,n)$ -弧是罕见的，但有趣的对象与有限几何和编码理论的几个应用。由于几乎所有已知的例子都很大，因此$k$接近平面阶数的小例子的构造被认为是一个难题。一个自然的候选者是一个小$(k,n)$ -弧与几个字符是一个集$Ω(\mathcal{C})$的点的平面曲线$\mathcal{C}$度$n$（不包含线性成分），使一些线满足$\mathcal{C}$横向在平面上，即在$n$成对不同的点。令$\mathcal{C}$是次数$q+1$在具有$r\ge 1$的$\mathrm{PG}(2,q^{2r})$中的厄米特曲线，或者次数$q+1$在具有$q$奇数和$r\ge 1$的$\mathrm{PG}(2,q^r)$中的有理BKS曲线。那么$Ω(\mathcal{C})$分别有四个和七个字符。此外，$Ω(\mathcal{C})$很小，因为两条曲线都是最大值或最小值。完备性问题的研究基于伽罗瓦理论和Hasse-Weil下界的代数方法。我们对Hermite情形的主要结果是$Ω(\mathcal{C})$对于$r\ge 4$是完备的.对于有理BKS曲线，$Ω(\mathcal{C})$是完备的当且仅当$r$是偶数。如果$r$是奇数，则$(q+1)$割线对$Ω(\mathcal{C})$未覆盖的点正好是$\mathrm{PG}(2,q)$中不位于$Ω(\mathc…
2023-02-20 math.CO
Planar arcs
令$p$表示具有$q$元素的有限域${\mathbb F}_q$的特征。证明了若$q$为奇数，则在${\mathbb F}_q$上的投影平面上的一条不包含在二次曲线中的尺寸为$q+2-t$的弧，包含在两条不具有公共分支的曲线的交点中，且只要满足一定的$t$的技术条件，其次数至多为$t+p^{\lfloor \log_p t \rfloor}$.这意味着，如果$q$是奇数，则如果$q$是正方形，则大小至少为$q-\sqrt{q}+\sqrt{q}/p+3$的弧包含在圆锥曲线中，如果$q$是素数，则大小至少为$q-\sqrt{q}+\frac{7}{2}$的弧包含在圆锥曲线中。这在$q$是奇数正方形的情况下特别有趣，因为那时有弧的例子，不包含在二次曲线中，大小为$q-\sqrt{q}+1$，并且长期以来一直证明，如果$q \neq 9$是奇数正方形，则任何更大的弧都包含在二次曲线中。这些界限改善以前已知的界限时，$q$是一个奇数平方和素数小于$1783$。以前已知的界限，由Segre \cite{Segre1967}，Hirschfeld和Körmáros \cite{HK1996} \cite{HK1998}，和Voloch \cite{Voloch1990b} \cite{Voloch1991}得到，依赖于有限域上代数曲线上的点数的结果，特别是Hasse-Weil定理和Stöhr-…
2018-04-04 math.CO
A Classification of Hyperfocused 12-Arcs
PG（$2,q$）中的$k$ -弧是一组没有三个共线的$k$点。超聚焦$k$ -弧是其中$k \choose 2$割线恰好在$k-1$点处与某一外部线相交的$k$ -弧。超聚焦$k$ -弧可以被看作是嵌入PG（$2,q$）中的完全图$K_k$的1-因子分解。我们研究了$K_{12}$的526，915，620个1-因子分解，确定哪些是可嵌入PG（$2,q$）的，并对超聚焦$12$ -弧进行分类。具体来说，我们表明，如果$12$弧$\mathcal{K}$是一个超聚焦弧PG（$2,q$），那么$q = 2^{5k}$和$\mathcal{K}$是一个子集的超圆锥形，包括核。
2021-05-18 math.CO
Exending pseudo-arcs in odd characteristic
$\mathrm{PG}(3n-1,q)$中的{ \em伪弧}是一组$(n-1)$ -空间，使得其中任意三个空间跨越整个空间。大小为$q^n+1$的伪弧是{ \em伪椭圆}。如果通过对$\mathrm{PG}(2,q^n)$中的二次曲线应用场归约来获得伪椭圆$\mathcal{O}$，则$\mathcal{O}$被称为{ \em伪二次曲线}。我们首先解释连接（伪）弧拉盖尔飞机，正交表和广义四边形。特别是，我们证明了Ahrens-Szekeres GQ是从$\mathrm{PG}(2,q)$中的$q$弧中得到的，并且我们将这种构造扩展到从大小为$q^n$的$\mathrm{PG}(3n-1,q)$的伪弧中的$(q^n-1,q^n+1)$阶GQ。本文的主要定理表明：如果$\mathcal{K}$是$\mathrm{PG}(3n-1,q)$中的一条伪弧，$q$为奇数，其尺寸大于$\mathrm{PG}(2,q^n)$中第二大完全弧的尺寸，其中对于$\mathcal{K}$的一个元素$K_i$，部分展度$\mathcal{S}=\{K_1,\ldots,K_{i-1},K_{i+1},\ldots,K_{s}\}/K_i$扩展到$\mathrm{PG}(2n-1,q)$的一个Desklesian展度，则$\mathcal{K}$包含在伪二次曲线中. \cite{Casse}的主要结果也是从…
2015-12-15 math.CO
Transitive A_6-invariant k-arcs in PG(2,q)
对于具有素数$p\ge 7$的$q=p^r$，使得$q \equiv 1$或$19\pmod {30},$，$q$阶的Deserhesian射影平面$PG(2,q)$具有唯一的投射群共轭类同构于6次交错群$A_6$。对于$PG(2,q)$的射影群$Γ\cong A_6$，我们研究了大小为90的（唯一的）$Γ$ -轨道$\mathcal{O}$的几何性质，使得$Γ$在$\mathcal O$中的1-点稳定子是4阶循环群.这里，根据3是$GF(q)$中的正方形或非正方形元素，$\mathcal O$位于$PG(2,q)$或$PG(2,q^2)$中。我们表明，如果$q\geq 349$和$q\neq 421$，那么$\mathcal O$是一个90弧，这原来是完整的$q=349, 409, 529, 601,661.$有趣的是，$\mathcal O$是最小的已知完整的弧在$PG(2,601)$和$PG(2,661).$计算进行MAGMA。
2011-08-31 math.CO
Hadwiger's Conjecture for Proper Circular Arc Graphs
圆弧图是其顶点可以表示为圆上的弧的图，使得任何两个顶点相邻当且仅当它们对应的弧相交。真圆弧图是具有圆弧表示的图，其中没有弧完全包含在任何其他弧中。Hadwiger猜想指出，如果图$G$具有色数$k$，则$k$顶点的完全图是$G$的子图。证明了Hadwiger猜想对真圆弧图的意义。
2006-07-07 math.CO
On the construction of large local arcs
Southern University of Science and Technology（南方科技大学）；National University of Defense Technology（国防科技大学）
本文提出局部弧概念，用于构造具有更优性能的局部可修复码。
2026-08-25 math.CO
Transitive PSL(2,11)-invariant k-arcs in PG(4,q)
投影空间${\rm PG}(n,q)$中的\textit{k} -弧是一组$k$投影点，使得在超平面中不包含$n+1$点的子集。本文在${\rm PG}(4,q)$中构造了新的$60$ -弧和$110$ -弧，它们不是由有理曲线或椭圆曲线产生的。我们介绍的计算方法，当给定一组$\mathcal{P}$的投影点在投影空间的维度$n$在代数数域$\mathcal{Q}(ξ)$，确定一个完整的列表的素数$p$的减少模$p$的$\mathcal{P}$的投影空间${\rm PG}(n,p^h)$可能无法$k$弧。利用这些方法，我们证明了有无穷多个素数$p$，使${\rm PG}(4,p)$包含一个${\rm PSL}(2,11)$不变的$110$ -弧，其中${\rm PSL}(2,11)$在其自然不可约表示之一，作为一个子群的${\rm PGL}(5,p)$。同样，对于无穷多个素数$p$，我们证明了在${\rm PG}(4,p^2)$中存在${\rm PSL}(2,11)$-不变的$110$ -弧，在${\rm PG}(4,p)$中存在${\rm PSL}(2,11)$ -不变的$60$ -弧.
2018-10-03 math.CO
Pseudo-ovals in even characteristic and ovoidal Laguerre planes
伪弧是射影平面中弧的高维类似物：伪弧是$\mathrm{PG}(3n-1,q)$中$(n-1)$ -空间的集合$\mathcal{A}$，使得任何三个都跨越整个空间。大小为$q^n+1$的伪弧称为伪椭圆，而大小为$q^n+2$的伪弧称为伪超椭圆。如果伪弧是由对$\mathrm{PG}(2,q^n)$中的弧应用场归约而产生的，则该伪弧被称为基本的。我们解释了对偶伪椭圆和拉盖尔平面之间的联系，并证明了一个拉盖尔平面是卵形的当且仅当它产生于一个基本的对偶伪椭圆。本文的主要定理证明了$\mathrm{PG}(3n-1,q)$中的伪（超）椭圆是初等的，其中$q$是偶数，$n$是素数，使得每一个元素都诱导一个Desklesian扩展.作为推论，我们用导出的仿射平面给出了某些卵形拉盖尔平面的特征。
2014-07-31 math.CO
On Mathon's construction of maximal arcs in Desarguesian planes. II
Mathon在最近的一篇文章[M]中给出了极大弧的一个新的构造，它推广了Denniston的构造.关于这个建设，马松问的问题，确定最大程度的非丹尼斯顿最大弧所产生的新建设。在本文中，我们给这个问题一个近乎完整的答案。特别地，我们证明了当$m\geq 5$和$m\neq 9$，由{p，1}-映射生成的PG（2，2 ^m）中的非Denniston极大度弧$2^d$的最大$d$是$(\floor {m/2} +1)$ .这证实了我们在[FLX]中的猜想。对于{p，q}-映射，证明了如果$m\geq 7$和$m\neq 9$，则由{p，q}-映射生成的PG（2，2 ^m）中非Denniston极大度弧$2^d$的最大$d$是$\floor {m/2} +1$或$\floor{m/2} +2$ .
2004-01-05 math.CO
Arcs in $\mathbb F_q^2$
弧是不包含任何共线三元组的$\mathbb F_q^2$的子集。令$A(q,k)$表示具有基数$k$的$\mathbb F_q^2$中的弧的数目。本文主要关注当$k$相对较大时，即对于某些$t>0$的$k=q^t$，估计$A(q,k)$的大小。微不足道的估计告诉我们，\[ {q \choose k} \leq A(q,k) \leq {q^2 \choose k}. \]我们表明，$A(q,k)$的行为变化显着接近$t=1/2$。低于这个阈值的一个基本参数是用来证明上述平凡的上限不能显着改善。另一方面，对于$t \geq 1/2+δ$，我们利用超图容器理论得到了一个改进的上界\[ A(q,k) \leq {q^{2-t+2δ} \choose k}. \]，并利用该技术给出了$\mathbb F_q^2$的随机子集中最大弧的大小的一个上界，该上界以高概率成立。例如，我们证明了一个$p$ -随机子集$Q \subset \mathbb F_q^2$与$q^{-3/2}<p<q^{-1}$包含一个弧的大小$Ω(q^{1/2})$具有高概率。结果对于该范围的$p$是最佳的。最后，这个最佳的界限弧随机集被用来证明有限域模拟的结果Balogh和Solymosi，具有更好的指数：存在一个子集$P \subset \mathbb F_q^2$不包含任何共线四元组，但与属性，对于每一个$P' \s…
2020-10-12 math.CO
Rainbow triangles in arc-colored digraphs
设$D$是弧着色有向图。$D$的弧数$a(D)$定义为$D$的弧数。$D$的颜色号$c(D)$被定义为分配给$D$的弧的颜色的数量。$D$中的彩虹三角形是一个有向三角形，其中每对弧都有不同的颜色。令$f(D)$为最小整数，使得如果$c(D)\geq f(D)$，则$D$包含彩虹三角形。本文得到了$f(\overleftrightarrow{K}_{n})$和$f(T_n)$，其中$\overleftrightarrow{K}_{n}$是$n$阶的完全有向图，$T_n$是$n$阶的强连通竞赛图.此外，我们还刻画了弧色完全有向图$\overleftrightarrow{K}_{n}$，它具有$c(\overleftrightarrow{K}_{n})=f(\overleftrightarrow{K}_{n})-1$且不含彩虹三角形。我们还证明了当$a(D)+c(D)\geq a(\overleftrightarrow{K}_{n})+f(\overleftrightarrow{K}_{n})$，这是无向情况的有向扩张时，$n$顶点上的弧色有向图$D$包含彩虹三角形。
2018-10-14 math.CO
The number of arcs in $\mathbb{F}_q^2$ of a given cardinality
本文研究有限平面 $\mathbb{F}_q^2$ 中给定大小弧的计数，将上界成立的阈值改进到 $m\gg q^{1/2}(\log q)^{3/2}$，并证明其接近最优。
2024-10-29 math.CO
A lower bound on the size of an absorbing set in an arc-coloured tournament
Bousquet，Lochet和Mr.Bassé最近给出了一个优雅的证明，对于任何整数$n$，有一个最小整数$f(n)$，使任何锦标赛的弧着色与$n$颜色包含一个子集的顶点$S$的大小为$f(n)$的性质，任何顶点不在$S$承认一个单色路径的一些顶点的$S$。在本说明中，我们提供了值$f(n)$的下界。
2017-08-30 math.CO
Erdős-Sós for digraphs
University of Illinois, Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）；University of California, San Diego（加州大学圣迭戈分校）
本文证明了弧数超过 (t-1)n 的欧拉有向图必含任意 t 边有向树，界紧，是 Erdős-Sós 猜想的有向类比，由 GPT-6 Astra 证明。
2026-09-11 math.CO
Universal families of arcs and curves on surfaces
本文的主要目的是研究曲面上曲线族的最小尺寸，该曲线族具有以下性质：曲面上的简单闭曲线族$Γ$实现所有类型的裤子分解，如果对于曲面的任何裤子分解，存在将其发送到$Γ$中的曲线子集的同胚.对这类泛曲线族的研究是由图的嵌入、联合交叉数和寻找模空间的中心等问题引起的。在没有穿孔的表面的情况下，我们提供了一个指数上界和超线性下界的最小尺寸的一个家庭的曲线，实现所有类型的裤子分解。我们还提供了上界和下界的情况下，表面穿孔，我们可以考虑标记或未标记，并调查一个类似的概念，多边形三角剖分的普遍性，我们提供的界限是紧对数因子。
2023-02-15 math.CO math.GT
Weak arcs and applications to the DNA-based storage access problem
University of Canterbury（坎特伯雷大学）；Università degli studi della Campania Luigi Vanvitelli（坎帕尼亚路易吉范维特里大学）
本文研究PG$(n-1,q)$中的弱弧及其平衡变体，给出弱弧大小上界、刻画平面最大平衡拟弧并在PG$(3,q)$中构造大平衡拟弧，将其用于构建基于DNA存储随机访问问题的点集，构造显式且恢复期望匹配最佳渐近界。
2026-08-21 cs.IT math.CO math.IT
Orientations without transitive arcs for cubic graphs and phylogenetic networks
University of Auckland（奥克兰大学）
本文证明三次图不含传递弧的$st$-定向问题为NP完全，解决了Binucci等人的开放问题，并将该结论推广至系统发育网络领域，关联了两个不同的定向研究方向。
2026-09-01 cs.CC cs.DM math.CO
On circular-arc graphs having a model with no three arcs covering the circle
区间图是直线上有限区间集的交图，圆弧图是圆上有限弧集的交图。虽然区间图的禁止诱导子图的刻画在50年前就被发现了，但圆弧图的类似刻画是一个长期存在的开放问题。在这项工作中，我们研究了交图的有限集的弧在一个圆上，其中没有三个覆盖的圆，被称为正常的Helly圆弧图。Lin，Soulignac，and Szwarcfiter确定了正规Helly圆弧图类的最小禁止诱导子图，他们还提出了确定剩余的最小禁止诱导子图的问题。在这项工作中，我们解决了他们的问题，获得了完整的列表的最小禁止诱导子图类的正常Helly圆弧图。
2014-02-11 cs.DM math.CO
When Arcs Extend Uniquely: A Higher-Dimensional Generalization of Barlotti's Result
本研究将Barlotti的射影平面弧唯一延拓经典结果推广到高维射影空间，给出高维弧唯一延拓为极大弧的条件，关联A^sMDS码理论，确立线性码唯一延拓为极大长度射影码的条件。
2025-11-09 cs.DM math.CO
Extending Partial Representations of Circular-Arc Graphs
部分表示扩展问题推广了顶点表示定义的图类的识别问题。我们展示圆弧图作为一类图形的第一个例子，其中的识别是多项式可解的，而表示扩展问题是NP-完全的。在这种情况下，几个弧是预先绘制的，我们问这个部分表示是否可以完成。我们补充这一硬度参数与易处理的结果表示扩展问题的各种子类的圆弧图，最显着的所有变种的Helly圆弧图。特别是，我们给线性时间算法扩展正常适当的Helly和适当的Helly表示。对于正规的Helly圆弧表示，我们给出了一个$O(n^3)$ -时间算法.令人惊讶的是，对于Helly表示，复杂性取决于预先绘制的弧是否具有不同的端点这一看似无关的细节：在前一种情况下，前面的算法可以扩展，而后一种情况则是NP完全的。证明了单位圆弧图的表示扩张问题是NP-完全的。
2021-08-30 cs.DM cs.DS math.CO
Large planar $(n,m)$-cliques
本文定义了$(n,m)$-完全图，证明了其平面图顶点数的紧确上界，从而正面解决了Bensmail等人提出的猜想。
2025-06-30 cs.DM math.CO
