$2$-arcs of maximal size in the affine and the projective Hjelmslev plane over $\mathbb{Z}_{25}$
证明了$\mathbb{Z}_{25}$上射影Hjelmslev平面上$2$ -弧的最大尺寸为$21$，且$(21,2)$ -弧在同构下是唯一的.进一步，将$\mathbb{Z}_{25}$上仿射Hjelmslev平面上的所有极大$(20,2)$ -弧分类为同构.
2014-01-17 math.CO
On the number of collinear triples in permutations
设$α:\mathbb{Z}_n\to\mathbb{Z}_n$是一个置换，$Ψ(α)$是$α$的图中以$n$为模的共线三元组的个数. Cooper和Solymosi通过归纳给出了当$n$是素数时的界$\min_αΨ(α)\geq\lceil(n-1)/4\rceil$。本文的主要目的是给出该界的一个直接证明。此外，还确定了一个置换所能具有的共线三元组的期望个数。
2008-05-02 math.CO
Counting arcs in $\mathbb F_q^2$
$\mathbb F_q^2$中的弧是一个集合$P \subset \mathbb F_q^2$，使得$P$中没有三个点共线。利用超图容器的方法证明了几个关于弧的计数结果。令$\mathcal A(q)$表示$\mathbb F_q^2$中所有弧的族。我们的主要结果是绑定\[ |\mathcal A(q)| \leq 2^{(1+o(1))q}. \]这匹配，隐藏在$o(1)$符号的因素，平凡的下界，来自考虑所有子集的大小$q$弧。我们也给出了一个固定（大）尺寸的弧数的上限。令$k=q^t$对于某些$t >2/3$，并且令$\mathcal A(q,k)$表示具有基数$k$的$\mathbb F_q^2$中的所有弧的族。我们证明了，对于所有的$γ>0$ \[ |\mathcal A(q,k)| \leq \binom{(1+γ)q}{k}. \]，这个结果改进了Roche-Newton和Warren的界。通过考虑大小为$q$的弧的大小为$k$的所有子集，可以得到几乎匹配的下限\[ |\mathcal A(q,k)| \geq \binom{q}{k} \]。
2022-09-07 math.CO
Long Lattice Paths with No Three Collinear Vertices
该研究针对Z^d中步长为标准基向量且顶点无共线三点的路，证明其长度上确界的双重对数下界为(2/5)d减去常数项，拓展了格路相关理论。
2026-08-11 math.CO
Complete $(q+1)$-arcs in $\mathrm{PG}(2,\mathbb{F}_{q^6})$ from the Hermitian curve
本文利用与弧相关的代数簇，证明当 q 足够大时 Hermitian 曲线的有理点在 PG(2,𝔽_{q^6}) 中构成完全 (q+1)-弧，解决了既有研究的开放情形。
2023-06-01 math.CO
On lattice triangles satisfying $\boldsymbol{B(T)=3}$ with collinear interior lattice points
本文研究了满足 $B(T)=3$ 的格点三角形，探讨当其内部有 $k$ 个格点时，使得所有 $k$ 个边界点共线的整数 $k$ 的性质。
2025-01-25 math.CO
An infinite walk in $\mathbb{N}^{16}$, using only unit steps, with no three collinear points
University of Waterloo（滑铁卢大学）
该研究证明在16维空间中，仅用单位基向量步长可无限行走且避免三点共线。
2026-09-21 cs.DM math.CO
The number of arcs in $\mathbb{F}_q^2$ of a given cardinality
本文研究有限平面 $\mathbb{F}_q^2$ 中给定大小弧的计数，将上界成立的阈值改进到 $m\gg q^{1/2}(\log q)^{3/2}$，并证明其接近最优。
2024-10-29 math.CO
An algorithm for counting arcs in higher-dimensional projective space
$(k-1)$维射影空间中的$n$弧是一组$n$点，使得没有$k$位于超平面上.在1988年，Glynn给出了一个公式来计算投影平面中的$n$ -弧，用更简单的组合对象（称为超构）来表示。几位作者已经使用这个公式来计算$n \le 10$的投影平面中的$n$ -弧。本文给出了射影三维空间中$n$ -弧的计数公式。然后，我们使用这个公式给出$n$ -弧在$\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$的$n \le 7$，这是多项式在$q$的$n \le 6$和准多项式在$q$的$n=7$的数量的精确表达式。最后，我们推广到高维射影空间。
2022-02-01 math.CO
Permutations minimizing the number of collinear triples
本文刻画了有限域上使图中共线三元组数量最少的置换，确定字典序最小者，证实 Cooper-Solymosi 猜想，并探讨其与正交拉丁方及有限仿射平面的联系。
2025-01-04 math.CO
Extending small arcs to large arcs
弧是具有$q$元素${\mathbb F}_q$的有限域上的$k$维向量空间的向量集合，其中大小为$k$的每个子集是空间的基，即每个$k$ -子集是线性无关向量的集合。给定奇特征空间中的弧$G$，证明了包含$G$的最大弧存在上界.该界不是显式界，而是通过计算由$G$构造的矩阵的性质而获得的。在某些情况下，我们还可以确定包含$G$的最大弧，或者至少确定恰好包含大弧的$k-2$向量的超平面。本文中所包含的定理可能会提供新的工具，在计算分类和建设的大弧。
2016-05-26 math.CO
Improved Bound for the Gerver-Ramsey Collinearity Problem
本文研究Gerver-Ramsey共线性问题，通过计算机搜索改进了$\mathbb{Z}^3$中无限$S$-walk的无共线点界，将其从48,828,126降至189。
2023-04-07 cs.FL math.CO
Planar arcs
令$p$表示具有$q$元素的有限域${\mathbb F}_q$的特征。证明了若$q$为奇数，则在${\mathbb F}_q$上的投影平面上的一条不包含在二次曲线中的尺寸为$q+2-t$的弧，包含在两条不具有公共分支的曲线的交点中，且只要满足一定的$t$的技术条件，其次数至多为$t+p^{\lfloor \log_p t \rfloor}$.这意味着，如果$q$是奇数，则如果$q$是正方形，则大小至少为$q-\sqrt{q}+\sqrt{q}/p+3$的弧包含在圆锥曲线中，如果$q$是素数，则大小至少为$q-\sqrt{q}+\frac{7}{2}$的弧包含在圆锥曲线中。这在$q$是奇数正方形的情况下特别有趣，因为那时有弧的例子，不包含在二次曲线中，大小为$q-\sqrt{q}+1$，并且长期以来一直证明，如果$q \neq 9$是奇数正方形，则任何更大的弧都包含在二次曲线中。这些界限改善以前已知的界限时，$q$是一个奇数平方和素数小于$1783$。以前已知的界限，由Segre \cite{Segre1967}，Hirschfeld和Körmáros \cite{HK1996} \cite{HK1998}，和Voloch \cite{Voloch1990b} \cite{Voloch1991}得到，依赖于有限域上代数曲线上的点数的结果，特别是Hasse-Weil定理和Stöhr-…
2018-04-04 math.CO
New results on the degree/diameter problem of mixed Abelian Cayley graphs
混合图可以被看作是既有弧又有边的有向图（或者说是对角图，即两条相反的弧）。在本文中，我们考虑的情况下，这类图是阿贝尔群的凯莱图。这些群可以通过将$\mathbb{Z}$中的同余概念推广到$\mathbb{Z}^n$来构造。在这里，我们使用这种方法来提出一些家庭的混合图，其中，对于每一个固定值的程度，有一个渐进的大量的顶点的直径增加。在某些情况下，所获得的结果被证明是最佳的。
2020-05-19 math.CO
On $r$-Equichromatic Lines with few points in $\mathbb{C}^2$
本文研究了复平面中红绿点集的 $r$-等色线问题，证明了在特定共线点数限制下 $1$-等色线和 $2$-等色线数量的下界。
2024-08-27 math.CO
On infinite sets with no $3$ on a line
OpenAI；Columbia University（哥伦比亚大学）；Stanford University（斯坦福大学）
本文构造了一个无限点集，其中任何子集都能找到无三点共线的常密度子集，但整个集合无法被分成多个无三点共线的子集，从而解决了Erdős等人的问题。
2026-02-24 math.CO
A multidimensional analogue of the arcsine law for the number of positive terms in a random walk
考虑一个随机游动$S_i= ξ_1+\ldots+ξ_i$，$i\in\mathbb N$，其增量$ξ_1,ξ_2,\ldots$是$\mathbb R^d$中独立同分布的随机向量，使得对于每个仿射超平面$H\subset \mathbb R^d$，$ξ_1$与$-ξ_1$和$\mathbb P[ξ_1\in H] = 0$具有相同的规律.我们的主要结果是分布自由公式$$ \mathbb E \left[\sum_{1\leq i_1 < \ldots < i_k\leq n} 1_{\{0\notin \text{conv}(S_{i_1},\ldots, S_{i_k})\}}\right] = 2 \binom n k \frac {B(k, d-1) + B(k, d-3) +\ldots} {2^k k!}, $$其中$B(k,j)$的定义由他们的生成函数$$ (t+1) (t+3) \ldots (t+2k-1) = \sum_{j=0}^{k} B(k,j) t^j. $$的$k$ -元组的预期数量以上承认以下几何解释：它是一个随机和均匀采样的开放的Weyl室类型的$B_n$的$k$ -维面的预期数量不被一般的线性子空间$L\subset \mathbb R^n$的余维$d$。$d=1$的情况下，原来是相当于经典的离散反正弦定律的数量的正项在一个一维随机游动与连续对称…
2017-08-21 math.CO math.MG math.PR
Regular Cyclic $(q+1)$-Arcs in $\PG(3,2^m)$: Spectral Rigidity, Descent, and an MDS Criterion
South China University of Technology（华南理工大学）；Guangzhou University（广州大学）
本文研究了PG(3,2^m)中正则循环(q+1)-弧的谱刚性与下降准则，并解决了BCH族编码的MDS条件。
2025-12-22 math.CO
Quantifying minimal non-collinearity among random points
令$φ_{n,K}$表示在$\mathbb{R}^d$的具有非空内部的紧致凸子集$K$中随机选取$n$点的所有三角形中的最大角，其中$d\ge2$ .本文证明了随机变量$λ_d(K)\,\frac{n^3}{3!}\,(π-φ_{n,K})^{d-1}$的分布收敛于标准指数分布，即$n\to\infty$，其中$λ_d(K)$是一个只依赖于维数$d$和$K$形状的正实数.利用Steiner对称化，证明了$λ_d(K)$（本文中称为$K$的伸长）达到最小值的充要条件是$K$是$\mathbb{R}^d$中的球$B^{(d)}$.最后，确定了大$d$的$λ_d(B^{(d)})$的渐近性。
2016-08-26 math.CO math.MG math.PR
Number of directions determined by a set in $\mathbb{F}_{q}^{2}$ and growth in $\mathrm{Aff}(\mathbb{F}_{q})$
我们证明了一组$A$的最多$q$非共线点在有限平面$\mathbb{F}_{q}^{2}$跨度至少$\approx\frac{|A|}{\sqrt{q}}$方向：这是基于一个下界包含在[FST 13]，我们再次证明了一个不同的上限比其中给出的。然后，按照[RS 18]中的方法，对任意有限域$\mathbb{F}_{q}$，证明了$\mathrm{Aff}(\mathbb{F}_{q})$中慢增长集的一个新的结构定理，推广了[Hel15] [Mur 17] [RS 18]中关于素域的类似结果.
2019-10-15 math.CO math.GR
Boxicity of Circular Arc Graphs
一个$k$ -维盒是卡氏积$R_1 \times R_2 \times ... \times R_k$，其中每个$R_i$是实直线上的一个闭区间.图$G$的{ \it boxicity}，记为$box(G)$，是最小整数$k$，使得$G$可以表示为$k$维盒集合的交集图：即两个顶点相邻当且仅当它们对应的盒相交。圆弧图是可以表示为圆上的弧的交图的图。设$G$是具有最大度$Δ$的圆弧图.证明了如果$Δ<\lfloor \frac{n(α-1)}{2α}\rfloor$，$α\in \mathbb{N}$，$α\geq 2$，则$box(G) \leq α$ .我们还演示了一个图与boxicity $> α$，但与$Δ=n\frac{(α-1)}{2α}+\frac{n}{2α(α+1)}+(α+2)$。因此，当$α$较大时，结果不能得到实质性改善。令$r_{inf}$是相对于$G$的某个圆弧表示通过圆上任何点的弧的最小数目。我们还证明了对任意圆弧图$G$，$box(G) \leq r_{inf} + 1$，这个界是紧的.给定圆上的弧族$F$，圆覆盖数$L(F)$是$F$的最小子集$F'$的基数，使得$F'$中的弧可以覆盖圆。最大圆形覆盖数$L_{max}(G)$定义为在所有可能的弧族$F$上获得的$L(F)$的最大值，所述弧族$F$可以表示$G$。我们将证明，如果$G$是一个圆弧图与$…
2008-12-04 math.CO
On the number of rich lines in truly high dimensional sets
我们证明了一个新的上限的$r$丰富的线（线至少$r$点）在一个“真正的”$d$维配置的点$v_1,\ldots,v_n \in \mathbb{C}^d$。更正式地说，我们表明，如果$r$丰富的线的数量显着大于$n^2/r^d$，那么必须存在一个大的子集的点包含在一个超平面。我们推测因子$r^d$可以用紧的$r^{d+1}$来代替。如果是真的，这将推广经典的Szemerédi-Trotter定理，该定理给出了平面构型中富含$r$的线的数量上的$n^2/r^3$的界。这个猜想在Guth和Katz \cite{GK10}的开创性工作中被证明在$\mathbb{R}^3$中成立，最近也在$\mathbb{R}^4$（在一些附加限制下）\cite{SS14}上得到了证明。对于特殊情况下的算术级数（$r$共线点是均匀的距离），我们给出了一个界限，是紧到低阶项，表明$d$维网格实现了最大数量的$r$长期进展。证明中的主要成分是一种新的方法来找到一个低次多项式，在许多丰富的线消失。与以前的应用程序的多项式方法，我们不找到这个多项式的插值。开始观察是$r-2$ Veronese嵌入的程度将$r$ -共线点带到$r$线性相关图像。因此，每个共线的点的$r$ -元组，给我们一个依赖的$r$ -元组的图像。然后，我们使用的设计矩阵方法的\cite{BDWY12}转换这些“本地”的线性依赖关系到一个全球性…
2014-12-02 cs.CG math.CO
A note on the extensible no-three-in-line problem
University of Oxford（牛津大学）
本文提出一种随机构造，改进了Erde可扩展无三线问题的下界，达到Ω(n/√log n)，缩小了与平凡上界之间的差距。
2026-05-07 math.CO
Interaction graphs of isomorphic automata networks I: complete digraph and minimum in-degree
在大小为$q$的有限字母表$Q$上具有$n$组件的自动机网络是由函数$f:Q^n\to Q^n$的连续迭代描述的离散动力系统。在大多数应用中，主要参数是$f$的交互图：如果$f_i$依赖于输入$j$，则具有顶点集$[n]$的有向图包含从$j$到$i$的弧。在同构于$f$的自动机网络的交互图的集合$\mathbb{G}(f)$上可以说什么？这个简单的问题似乎从未被研究过。在这里，我们报告一些基本事实。首先证明了：如果$n\geq 5$或$q\geq 3$和$f$既不是恒等的，也不是常数，则$\mathbb{G}(f)$总是包含有$n^2$弧的完全有向图$K_n$.然后证明了$\mathbb{G}(f)$总是包含一个最小入度有界的有向图作为$q$的函数。因此，如果$n$相对于$q$较大，则$\mathbb{G}(f)$不能仅包含$K_n$。然而，我们证明了$\mathbb{G}(f)$只能包含稠密的有向图，至少有$\lfloor n^2/4 \rfloor$弧。
2023-01-05 cs.DM math.CO q-bio.MN
Arc coloring of odd graphs for hamiltonicity
本文研究非二分图（特别是奇图）的弧着色，证明奇图$O_k$存在满足每条边两弧颜色和为$k$的弧分解，并分析其对均匀2-因子、哈密顿圈及中间层图的影响。
2023-06-26 math.CO
Zero sum cycles in complete digraphs
给定一个非平凡有限阿贝尔群$(A,+)$，设$n(A) \ge 2$是最小整数，使得对于$n(A)$阶双向完全图的弧的每一个标号，存在一个弧标号之和为零的有向圈. Alon和Krivelevich最近考虑了确定整数$q \ge 2$的$n(\mathbb{Z}_q)$的问题，他们证明了$n(\mathbb{Z}_q)=O(q \log q)$。在这里，我们提高了他们的界限，并表明$n(\mathbb{Z}_q)$线性增长。更一般地，我们证明，对于每个有限阿贝尔群$A$，我们有$n(A) \le 8|A|$，而如果$|A|$是素数，那么$n(A) \le \frac{3}{2}|A|$。作为推论，我们还得到了每个$K_{16q}$ -子式对于每个整数$q \ge 2$都包含一个长度可被$q$整除的圈，改进了Alon和Krivelevich的一个结果.
2021-03-07 math.CO
Improved Bounds for Pencils of Lines
我们考虑一个问题提出的鲁德涅夫：鉴于四个铅笔的$n$并发线在$\mathbb R^2$，与四个中心的铅笔非共线，什么是最大可能的大小的一组点的四条线满足？我们的主要结果表明，这样的点的数量是$O(n^{11/6})$，改进了张和Solymosi的结果。我们也考虑这个问题的建设。Alon、Ruzsa和Solymosi构造了四个非共线的$n$ -铅笔的排列，这些铅笔确定了$Ω(n^{3/2})$四个富点。我们给出了一个结构，表明这是不紧，提高这个下界的对数因子。我们还构造了一组$m$ $n$ -束，它们的中心在一般位置，确定了$Ω_m(n^{3/2})$ $m$ -富点.
2018-05-23 math.CO math.NT
On digraphs without onion star immersions
本研究刻画了排除固定洋葱星浸入的有向图结构，证明了无向对偶命题的两个有向版本，为有向图浸入理论提供了新的结构结果。
2023-10-09 cs.DM math.CO
On lower bounds of the density of planar periodic sets without unit distances
Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）；Caucasus Mathematical Center of Adyghe State University（阿迪格国立大学高加索数学中心）；Skolkovo Institute of Science and Technology（斯科尔科沃科技学院）
本文通过将无单位距离平面集最大密度问题转化为平坦环面图上的最大独立集问题，研究其下界，实验表明该方法未改进已知下界0.22936，且最佳离散集近似于Croft构造。
2025-04-11 cs.LG math.CO math.MG
