Weak KAM theory in higher-dimensional holonomic measure flows
本文在高维完整测度流背景下建立弱KAM理论，构造弱KAM解并证明其常对应满足Hamilton-Jacobi方程的恰当形式，同时刻画了可最小化Lagrangian量。
2025-07-07 math.AP math.DS math.OC
Properties of action-minimizing sets and weak KAM solutions via Mather's averaging functions
研究了Tonelli Lagrange系统和哈密顿系统的作用极小不变集的性质以及Hamilton-Jacobi方程的弱KAM解.我们的主要发现是Mather α函数的暴露点和极值点与作用极小化不变集的不交性和图形性质密切相关，这也与系统的$C^0$可积性和Hamilton-Jacobi方程的光滑弱KAM解的存在性有关.
2022-10-31 math.DS
Weak KAM pairs and Monge-Kantorovich duality
拉格朗日系统的全局最小化轨道的动力学可以使用障碍函数来研究，就像马瑟第一次做的那样，或者使用Fathi引入的弱KAM解对。本文的中心观察是，Fathi弱KAM对正是Kantorovich问题的对偶Monge运输问题的障碍函数为成本的容许对。我们利用这一观察恢复障碍函数和一组弱KAM对之间的关系，在公理化和基本的方式。
2008-07-10 math.AP math.DS
Weak KAM Theorem for a Class of Infinite-Dimensional Lagrangian systems
本文研究了无穷维Lagrange系统，其中势函数是周期的，重排不变的，弱上连续的。证明了每个$M\in L^{2}(I)$都存在一条校准曲线。
2016-09-27 math.DS
Weak KAM theorem for Hamilton-Jacobi equations
本文将弱KAM定理从正拉格朗日系统推广到“真”Hamilton-Jacobi方程。引入了一个隐式定义的发展Hamilton-Jacobi方程解半群。通过研究解半群的性质，证明了定常方程\begin{equation*} H(x, u, d_x u)=0. \end{equation*}解半群的收敛性和弱KAM解的存在性
2013-12-05 math.AP math.DS math.OC
An infinite-dimensional Weak KAM theory via random variables
我们使用随机变量的方法发展了无限维弱KAM理论的几个方面。证明了无限维胞腔问题存在一个黏性解，该解是Lax-Oleinik半群的一个不动点.此外，我们证明了定义在R上的不变极小化测度和校准曲线的存在性。
2015-08-01 math.AP math.DS
Weak KAM theory for potential MFG
我们发展了相应的弱KAM理论的潜在平均场游戏。这允许描述时间依赖的势平均场博弈系统的长时间行为。我们的主要结果是存在一个极限，随着时间趋于无穷大，值函数的最优控制问题的空间措施。此外，我们显示了平均场极限的遍历常数与相应的Hamilton-Jacobi方程。
2019-07-05 math.AP math.DS
A selection of a weak KAM solution of the sub-riemannian Mañé Lagrangian
Instituto de Matemáticas. UNAM（墨西哥国立自治大学数学研究所）
研究亚里桑德罗-马尼拉格朗日量的弱KAM解，基于托勒密结构和水平向量场的不变测度，探讨扰动趋于零时的解特性。
2026-05-11 math.DS
Weak KAM theory for discount Hamilton-Jacobi equations and its application
发展了折扣Hamilton-Jacobi方程和相应的折扣Lagrangian/Hamiltonian动力学的弱KAM理论。然后将其应用于消失折扣过程中黏性解的误差估计。主要特点是介绍和研究家庭的$α$ -极限点的最小化曲线，与一些细节方面的最小化措施。在误差估计中，利用相应的动力系统的性质，有效地利用了$α$ -极限点族.
2016-11-23 math.AP math.DS
Strict sub-solutions and Mañe potential in discrete weak KAM theory
在本文中，我们解释了弱KAM理论的离散情况下的一些事实。在该设置中，拉格朗日被替换为成本$c:X\times X \to \mathbb{R}$，在“合理”空间$X$上。这包括例如周期性的时间依赖拉格朗日的情况。众所周知，在这种情况下，可以适应大多数弱KAM理论。一个主要的区别是临界子解不一定是连续的。我们将展示如何定义Mañe势。与拉格朗日情形相反，这种势是不连续的。我们将从Mañe势的连续点集合以及临界子解中恢复Aubry集。
2009-05-05 math.AP math.DS
Dynamic and asymptotic behavior of singularities of certain weak KAM solutions on the torus
对于环面上的力学哈密顿系统，研究了一类Hamilton Jacobi方程的广义特征半流的动力学性质，建立了该半流的$ω$ -极限集与投影Aubry集之间的关系.
2018-05-27 math.AP math.DS
Minimizers of Dirichlet functionals on the n-torus and the Weak KAM Theory
给定$n-$环面$T^n$上的概率测度$μ$和旋转向量$k\in R^n$，我们问是否存在积分$\int_{T^n} |\gradϕ+k|^2 dμ$的极小元。这个问题导致，自然，一类椭圆型偏微分方程和最佳运输（蒙格-康托洛维奇）类问题的环面。它也与高维奥布里-马瑟理论有关，处理周期拉格朗日量的不变集，被称为“弱KAM理论”。
2007-11-17 math.AP math.DS
Aubry-Mather and weak KAM theories for contact Hamiltonian systems. Part 1: Strictly increasing case
研究了接触哈密顿系统的Aubry-Mather和弱KAM理论，其中哈密尔顿算子$H(x,u,p)$定义在$T^*M\times\mathbb{R}$上，满足关于$p$的Tonelli条件，对于某些$λ>0$满足$0<\frac{\partial H}{\partial u}\leqslant λ$，其中$M$是连通的闭光滑流形.首先，我们证明了相应的Hamilton-Jacobi方程的向后弱KAM解的唯一性。利用唯一的向后弱KAM解$u_-$，证明了极大向前弱KAM解$u_+$的存在性。其次，我们分析了接触Hamilton系统的Aubry集，证明了它是两个Legendrian伪图$G_{u_-}$和$G_{u_+}$的交集，并且投影$π:T^*M\times \mathbb{R}\to M$诱导了一个从Aubry集$\tilde{\mathcal{A}}$到投影Aubry集$\mathcal{A}$的双Lipschitz同胚$π|_{\tilde{\mathcal{A}}}$.最后，我们引入了障碍函数的概念，并沿着标定曲线研究了它们的有趣性质。我们的分析是基于[43，44]最近的一种方法。
2018-05-12 math.AP math.DS
Weak KAM theorem on non compact manifolds
本文考虑非紧连通流形上的时间无关的$C^2$ Hamilton算子，满足经典变分法的一般假设.利用Lax-Oleinik半群证明了相应的Hamilton-Jacobi方程的弱KAM解或黏性解的存在性.这个证明也适用于对称性的存在。我们还研究了对称性群的顺从性的作用，以了解何时可以与哈密顿量相关联的几个临界值重合。
2015-02-22 math.DS
Discrete and Continuous Weak KAM Theory: an introduction through examples and its applications to twist maps
本文以自洽方式介绍离散弱 KAM 理论，通过实例展示其作为经典弱 KAM 理论入门模型的价值，并给出离散与连续理论的新比较结果及保守扭转映射应用。
2023-08-11 math.DS math.OC
On the dynamics of WKB wave functions whose phase are weak KAM solutions of H-J equation
在平坦环面$\Bbb T^n := (\Bbb R / 2π\Bbb Z)^n$上的环面拟微分算子的框架下，首先证明了Weyl算子类$\Bbb T^n := (\Bbb R / 2π\Bbb Z)^n$与$b \in S^m (\mathbb{T}^n \times \mathbb{R}^n)$的复合闭包.随后，我们考虑$\mathrm{Op}^w_\hbar(H)$当$H=\frac{1}{2} |η|^2 + V(x)$，其中$V \in C^\infty (\Bbb T^n;\Bbb R)$，我们表现出环形版本的方程的维格纳变换的解决方案的薛定谔方程。此外，我们证明了薛定谔方程的解的Wigner变换的收敛（在弱意义下）的刘维方程的解的$\Bbb T^n \times \Bbb R^n$写在测度意义上。这些结果被应用于Sobolev空间$H^{1} (\mathbb{T}^n; \Bbb C)$中的一些WKB型波函数的研究，其相位函数在Hamilton-Jacobi方程$\frac{1}{2} |P+ \nabla_x v_\pm (P,x)|^2 + V(x) = \bar{H}(P)$的Lipschitz连续弱KAM解（正和负型）类中，并且被应用于$P \in \ell \Bbb Z^n$和$\ell >0$上的相关Wigner测度的向后和向前时间传播的研究。
2013-09-27 math-ph math.AP math.DS
Null Angular Momentum and Weak KAM Solutions of the Newtonian $N$-Body Problem
在[Arch. Ration。机械肛门213（2014），981-991]已经证明，在牛顿$N$ -体问题中，给定最小中心构型$a$和任意构型$x$，存在从$x$开始并且渐近于$a$的位似抛物运动的完全抛物轨道，并且这样的轨道是作用泛函的自由时间极小化器。本文将这一结果推广到全抛物运动，证明了在同样的假设下，从$x$出发的全抛物运动的角动量为零是可能的。我们实现这一点的特征旋转不变的弱KAM解决方案，定义一个层的配置空间上的自由时间极小与零角动量。
2017-08-24 math.DS
Existence of $C^{1,1}$ critical subsolutions in discrete weak KAM theory
在这篇文章中，继作者的第一个工作，我们研究临界下解的离散弱KAM理论。特别地，我们证明了如果光滑连通流形上的费用函数$c:M \times M\to \R{}$是局部半凹的，并且满足扭曲条件，则存在严格于极大集（即Aubry集之外）的$C^{1,1}$临界子解.我们还解释了如何适用于成本来自托内利拉格朗日。最后，以下的想法介绍了工作的法蒂-Maderna和马瑟，我们研究不变的费用函数，并将这项研究应用到某些覆盖空间，引入离散模拟马瑟的$α$功能上同调。
2010-04-01 math.AP math.DS
Global Behaviors of weak KAM Solutions for exact symplectic Twist Maps
研究了由$c\in H^1(\mathbb T,\mathbb R)$参数化的弱KAM解$u_c(x,t)$的几种整体行为.对于精确辛扭映射的悬置哈密顿量$H(x,p,t)$，我们可以找到一族由$c(σ)\in H^1(\mathbb T,\mathbb R)$参数化的弱KAM解$u_c(x,t)$，其中$c(σ)$是连续单调的，并且\[ \partial_tu_c+H(x,\partial_x u_c+c,t)=α(c),\quad \text{a.e.\ } (x,t)\in\mathbb T^2, \]使得弱KAM解序列$\{u_c\}_{c\in H^1(\mathbb T,\mathbb R)}$是参数$σ\in \mathbb{R}$的$1/2-$ Hölder连续的.此外，对于每个广义特征（无论是正则的还是奇异的）求解\[ \left\{ \begin{aligned} &\dot{x}(s)\in \text{co} \Big[\partial_pH\Big(x(s),c+D^+u_c\big(x(s),s+t\big),s+t\Big)\Big], & \\ &x(0)=x_0,\quad (x_0,t)\in\mathbb T^2,& \end{aligned} \right. \]，我们通过唯一标识的旋转数$ω(c)\in H_1(\mathbb T,\mat…
2020-04-27 math.DS
Weak KAM theory for general Hamilton-Jacobi equations I: the solution semigroup under proper conditions
本文考虑了具有初始条件的发展型Hamilton-Jacobi方程：\begin{equation*} \begin{cases} \partial_tu(x,t)+H(x,u(x,t),\partial_xu(x,t))=0,\\ u(x,0)=ϕ(x). \end{cases} \end{equation*}在关于$H(x,u,p)$关于$p$和$u$的一些假设下，给出了发展型Hamilton-Jacobi方程的一个变分原理.通过引入一个隐式定义的解半群，我们将Fathi的弱KAM理论推广到某些更一般的情形，其中$H$显式依赖于未知函数$u$.作为应用，我们证明了具有初始条件的发展型Hamilton-Jacobi方程的粘性解渐近地趋向于稳态Hamilton-Jacobi方程的弱KAM解：\begin{equation*} H(x,u(x),\partial_xu(x))=0. \end{equation*}.
2014-08-17 math.AP math.DS math.OC
A selection principle for weak KAM solutions via Freidlin-Wentzell large deviation principle of invariant measures
本文从弱KAM视角重释Freidlin-Wentzell大偏差速率函数，通过环面不可逆扩散过程刻画Peierls势垒与Mather集，并利用自洽边界数据选择唯一弱KAM粘性解，作为随机过程的全局能量景观。
2023-10-10 math.AP math.DS math.PR
Weak KAM for commuting Hamiltonians
对于两个可交换的Tonelli Hamilton算子，我们利用直接几何方法（Stoke定理）恢复了Barles和Tourin（[BT 01]）的Lax-Oleinik半群的可交换性.我们还得到了Maderna（[Mad 02]）的一个定理的“推广”。更精确地说，我们证明了，如果相空间是一个紧流形的余切，那么弱KAM解决方案（或黏性解的临界稳态Hamilton-Jacobi方程）G和H是相同的。作为推论，我们得到了Aubry集、Peierls障碍和Mather $α$函数的平坦部分的相等性。这也与Sorrentino（[Sor 09]）和Bernard（[Ber 07 b]）的作品有关。
2010-01-31 math.AP math.DS
Weak KAM solutions of Hamilton-Jacobi equations with decreasing dependence on unknown functions
本文考虑Hamilton-Jacobi方程\[{H}(x,u,Du)=0,\quad x\in M, \]，其中$M$是一个连通的闭光滑黎曼流形，${H}(x,u,p)$关于$p$满足Tonelli条件，关于$u$满足某种递减条件.基于\cite{WWY,WWY1,WWY2}中的动力学方法，我们得到了Cauchy问题\begin{equation*} \begin{cases} w_t+{H}(x,w,w_x)=0,\quad (x,t)\in M\times (0,+\infty),\\ w(x,0)=φ(x), \quad x\in M. \end{cases} \end{equation*}的定态方程弱KAM解（等价于黏性解）的一系列性质和发展方程黏性解的长时间行为
2020-06-01 math.DS
Weak KAM methods and ergodic optimal problems for countable Markov shifts
令$σ:\boldsymbolΣ\to\boldsymbolΣ$是作用于$ \boldsymbolΣ $的左移位，$ \boldsymbolΣ $是可数字母表上的单侧马尔可夫子移位。我们的目的是保证存在的$σ$不变的Borel概率，最大化的积分的一个给定的本地Hölder连续潜在的$ A : \boldsymbolΣ \to \mathbb R $。在一定条件下，我们不仅能够证明$A$ -最大化概率确实存在，而且证明它们的特征在于它们的支持实际上存在于有限字母表上的特定马尔可夫子移位中。为此，我们利用对象的对偶最大化措施，所谓的子行动（概念类似于哈密尔顿-雅可比方程的子解），特别是校准的子行动（概念类似于弱KAM解决方案）。
2010-03-29 math.DS math.PR
Weak KAM aspects of convex Hamilton-Jacobi equations with Neumann type boundary conditions
我们建立了凸Hamilton-Jacobi方程在下确界和凸组合下的稳定性，并得到了具有Neumann型边界条件的凸和强制Hamilton-Jacobi方程的一些比较结果和存在性结果，以及Skorokhod问题的存在性结果.本文定义了与Neumann型边值问题相关的Aubry-Mather集，并建立了Aubry-Mather集的一些性质，包括相应作用泛函（或变分问题）的“标定”极值的存在性结果.
2009-10-02 math.AP math.DS
On weak KAM theory for N-body problems
考虑具有齐次势$1/r^{2κ}$的N体问题，其中$κ\in(0,1)$，包括牛顿情形（$κ=1/2$）。给定$R>0$和$T>0$，我们找到了在时间$T$中约束任意两个包含在某个半径为$R$的球中的构型的路径的最小作用量的一致上界。使用集群分区，我们从这些估计获得的Hölder正则性的临界动作电位（即最小的行动的路径绑定在自由时间的两个配置）。作为应用，我们建立了这类N体问题的弱KAM定理，即证明了Lax-Oleinik半群的不动点的存在性，并证明了它们是相应Hamilton-Jacobi方程的整体黏性解.我们还证明了等距算子在位形空间上的作用存在不变解。
2015-02-22 math.DS
KAM below $\mathbf C^n$
我们考虑$n$维环面上旋转流动的KAM理论。我们表明，如果它的频率是丢番图类型$n-1$，然后Moser的KAM理论参数适用于小扰动弱的正则性比$C^n$。阶$n$的导数不需要是连续的，而是在某种强意义上是$L^2$。这反驳了长期存在的猜想，即$C^n$是KAM在此设置中应用的最小正则性假设，同时仍然允许Herman的$C^{n-ε}\!$ -反例。
2021-04-05 math.DS
Weak KAM theory for general Hamilton-Jacobi equations III: the variational principle under Osgood conditions
本文考虑了具有初始条件的发展型Hamilton-Jacobi方程：\begin{equation*} \begin{cases} \partial_tu(x,t)+H(x,u(x,t),\partial_xu(x,t))=0,\\ u(x,0)=ϕ(x), \end{cases} \end{equation*}其中$ϕ(x)\in C(M,\mathbb{R})$ .在$H(x,u,p)$关于$p$的凸性和$H(x,u,p)$关于$u$的Osgood增长性的假设下，建立了一个隐式变分原理，并给出了黏性解与某些极小特征之间的内在联系.此外，我们还得到了发展Hamilton-Jacobi方程的黏性解的一个表示式。
2014-08-17 math.AP math.DS math.OC
Discounted Gottschalk-Hedlund theorem
遍历优化和离散弱KAM理论是两个并行的理论，有一些共同的结果。例如，马瑟集是使给定可观测量的遍历平均最小化的轨道的轨迹。在较好的情况下，观测量与其在Mather集上的遍历极小值是同调的，离散的弱KAM解起着传递函数的作用。一种可能的建设这样的共边界是通过使用非线性Lax-Oleinik算子。另一种可能性是通过使用折扣上同调方程。已知折扣离散弱KAM解收敛于某个选定的弱KAM解。我们证明了，在遍历优化的情况下，一个最小的系统上的共界观测，折扣传递函数收敛当且仅当观察是平衡的。
2019-01-23 math.DS math.OC
Gevrey estimates for asymptotic expansions of tori in weakly dissipative systems
本文研究一类具有KAM环面的环上解析辛映射的奇异扰动。扰动引入耗散，并包含一个可调参数。通过选择可调参数，可以确保环面在扰动下持续存在。这种模型在天体力学中很常见。在域论中，可调参数称为反项，在天体力学中称为漂移。已知对于拟周期解和反项，扰动的幂都有形式展开式。证明了拟周期解和反项的渐近展开满足Gevrey估计。也就是说，展开式的第$n$项以$n!$的幂为界。Gevrey类（$n!$的幂）仅取决于频率的丢番图条件和摩擦系数的阶数（以微扰参数的幂表示）。我们所介绍的证明方法可能比这里所考虑的问题更有意义。考虑幂展开空间中的一种变形牛顿法。由于它是KAM理论的习惯，该方法的每一步都是在一个较小的区域内估计的。与KAM的结果相比，我们控制牛顿法的区域收缩得非常快，牛顿法不能证明解是解析的。另一方面，通过仔细检查这个过程，我们可以得到关于展开式系数的估计，并得出级数是Gevrey的结论。
2020-10-12 math-ph math.DS math.MP
Weak KAM theory for general Hamilton-Jacobi equations II: the fundamental solution under Lipschitz conditions
本文考虑了具有初始条件的发展型Hamilton-Jacobi方程：\begin{equation*} \begin{cases} \partial_tu(x,t)+H(x,u(x,t),\partial_xu(x,t))=0,\\ u(x,0)=ϕ(x), \end{cases} \end{equation*}其中$ϕ(x)\in C(M,\mathbb{R})$ .在$H(x,u,p)$关于$p$的凸性和$H(x,u,p)$关于$u$的一致Lipschitz的假设下，建立了一个变分原理，并给出了粘性解与某些极小特征之间的内在联系.通过引入隐式定义的{ \it基本解}，得到了发展Hamilton-Jacobi方程粘性解的变分表示公式.进一步讨论了发展型Hamilton-Jacobi方程粘性解的大时间行为，给出了$H(x,u,p)$关于$u$严格递增的定常Hamilton-Jacobi方程粘性解的动力学表示公式.
2014-08-17 math.AP math.DS math.OC
Minimizing configurations and Hamilton-Jacobi equations of homogeneous N-body problems
对于具有齐次位势的$N$ -体问题，在齐次弱KAM解的研究中，我们定义了一类特殊的中心构型，这类构型与同素约化有关.对于具有$α\in (0,2)$的$1/r^α$中的位势，我们证明了齐次弱KAM解的存在性.我们证明了这种解与另一个Hamilton-Jacobi方程在正常位形球中的黏性解有关。作为应用，我们证明了牛顿三体问题的临界Hamilton-Jacobi方程不存在光滑齐次解。
2013-08-26 math-ph math.AP math.DS
An Infinite-dimensional KAM Theorem with Normal Degeneracy
本文针对法向退化的无穷维哈密顿系统，提出用拓扑度条件和弱凸性条件替代传统非退化假设，从而在仅要求扰动小且解析的条件下证明了下维环面的保持性。
2023-04-14 math.DS
Weak solutions of the Hamilton-Jacobi equation for time periodic lagrangians
在这项工作中，我们证明了存在的Fathi的弱KAM解的周期拉格朗日量，并给出了所有的建设。
2013-07-01 math.DS
The Lax-Oleinik semi-group: a Hamiltonian point of view
弱KAM理论是由Fathi为了研究凸哈密顿系统的动力学而发展起来的。它在某种程度上使哈密顿-雅可比方程的黏性解和哈密顿系统的马瑟不变集之间架起了一座桥梁，尽管这只是一个后验的理解。这些理论在凸性假设下趋于一致，应用的丰富性主要来自于这种显著的一致性。在本课程中，我们提供了弱KAM理论的一些基本概念的初步阐述。在一个同伴讲座，阿尔伯特法特希暴露方面，他的理论是更直接相关的黏性解。相反，这里我们关注的是动力学应用，即使我们也讨论了一些粘性方面，以强调与Fathi讲座的联系。关于弱KAM理论的基本参考是Albert Fathi \textit{Weak KAM theorem in Lagrangian dynamics}尚未出版的书。虽然我们没有提供新的结果，但我们的论述在几个方面是原创的。我们只使用哈密顿量，不依赖拉格朗日量，即使有些证明直接来自经典拉格朗日证明。通过选择某种特定的设置，这种方法变得更容易。我们研究了$\Rm^d$，并对哈密顿量作了统一假设。这使得我们可以用明确的估计来代替一些紧性参数。然而，对于最有趣的动力学应用程序，紧凑的配置空间仍然是一个有用的假设，我们检索它考虑周期（在空间中）哈密顿。本文主要讨论Hamilton-Jacobi方程的Cauchy问题和与之相关的Lax-Oleinik发展算子，并通过考虑这些发展算子的不动点，即弱KAM解，得到动力学应用.演化算子…
2012-03-15 math.DS
A geometric approach to Mather quotient problem
本文通过微分几何方法估计非负Ricci曲率流形上弱KAM解的Laplacian，证明弱KAM解为常数当且仅当闭1-形式ω为调和1-形式，并应用于Mather商与Mañé Lagrangian。
2024-09-02 math.DG math.DS
