On an upper bound for the prime gap
Boris B. Benyaminov
我们研究了两个素数$P_{k+q}-P_k$，$k, q\in\mathbb{N}$的一般差的对数和平方根类型的界。
We investigate logarithmic and square-root types of bounds for the general difference of two primes, $P_{k+q}-P_k$, $k, q\in\mathbb{N}$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
An explicit upper bound for the first $k$-Ramanujan prime
本文利用最近关于小区间上素数存在性的一个结果，建立了第一个$k$素数$R_1^{(k)}$的一个显式上界.
On upper bounds for the count of elite primes
我们将研究与费马数$F_n=2^{2^n}+1$相关的某些素数的计数的上界，这些素数被称为精英素数。我们首先注意到Krizek，Luca和Somer的结果中的一个疏忽，并给出了校正后的稍微弱一点的上界。然后我们假设Dirichlet L函数的广义黎曼假设，得到了一个更强的条件上界.
Upper bounds for the Euclidean minima of abelian fields of odd prime power conductor
本文的目的是给出奇素导体交换域的欧几里德极小值的上界。特别地，这些界限暗示了对导体p^r的全实数域的闵可夫斯基猜想，其中p是奇素数，r至少是2。
Conditional upper bound for the k-th prime ideal with given Artin symbol
在对戴德金ζ函数的黎曼假设成立的前提下，证明了具有固定Artin符号的第k个素理想的一个明确的上界.
Explicit upper bounds for the number of primes simultaneously representable by any set of irreducible polynomials
使用Selberg的上筛的显式版本，我们得到了明确的上界的$n\leq x$的数量，使得一个非空集的不可约多项式$F_i(n)$与整数系数同时是素数，这个集合可以包含尽可能多的多项式，如所需的。为了证明这一点，我们给出了一些不可约多项式的计算，并得到了直到$x$的Sophie Germain素数个数的显式上界，这在密码学中有实际应用.
Chebyshev Upper Estimates for Beurling's Generalized Prime Numbers
设$N$是Beurling广义数系的计数函数，$π$是其素数的计数函数.我们证明了$L^{1}$条件$$ \int_{1}^{\infty}|\frac{N(x)-ax}{x}|\frac{\mathrm{d}x}{x}<\infty $$和$$N(x)=ax+O(\frac{x}{\log x}),$$对某些$a>0$的渐近行为，满足Chebyshev上估计$$ \frac{π(x)\log x}{x}\leq B<\infty. $$
On the upper and lower bound orders of almost prime triples
本文研究形如$(p, P_{a}, P_{b})$的Hardy-Littlewood三元组，改进了其上下界阶，推广并改进了已有结果。
Uniform upper bounds of the distribution of relatively r-prime lattice points
我们估计了相对$r$ -素格点在数域$K$中的分布，其分量的范数小于$x$。在前一篇文章中，我们得到了一致的上界作为$K$贯穿所有数域假设Lindelöf假设。同时我们也给出了度小于或等于$6$的阿贝尔扩张的无条件结果。本文去掉了关于数域的所有假设，改进了一致上界。在本文中，我们考虑整数$\mathcal{O}_K$环的理想分布的估计，并获得一致的上界。当$K$在三次扩域上运行时，我们得到了比Lindel假设下更好的一致上界.
New upper bounds for Ramanujan primes
对于$n\ge 1$，$n^{\rm th}$ Ramanujan素数被定义为最小正整数$R_n$，使得对于所有$x\ge R_n$，区间$(\frac{x}{2}, x]$至少有$n$素数。我们证明了，对于每个$ε>0$，有一个正整数$N$，使得如果$α=2n\left(1+\dfrac{\log 2+ε}{\log n+j(n)}\right)$，那么$R_n< p_{[α]}$的所有$n>N$，其中$p_i$是$i^{\rm th}$素数和$j(n)>0$是任何函数，满足$j(n)\to \infty$和$nj'(n)\to 0$。
Upper bounds for prime gaps related to Firoozbakht's conjecture
本文研究了第k个素数$p_k$后素数间隙的两种几何界：（A）$p_{k+1} < (p_k)^{1+1/k}$和（B）$k>9$的$p_{k+1}-p_k < \log^2 p_k - \log p_k - b$.上界（A）等价于Firoozbakht猜想。我们证明了（A）用$b=1$蕴涵（B）;另一方面，（B）用$b=1.17$蕴涵（A）.我们还给出了（A）具有形式（B）且$b\to1$为$k\to\infty$的其它充分条件.
Polignac Numbers, Conjectures of Erdös on Gaps between Primes, Arithmetic Progressions in Primes, and the Bounded Gap Conjecture
在本工作中，我们证明了一些令人惊讶的结果之间的差距连续素数和等差数列的广义孪生素数序列，不可能被证明没有最近的神奇成就张一堂连续素数之间存在有界的差距。这些结果中的大多数在十年前都属于科幻小说的范畴。然而，所提出的结果是远远没有直接后果张的著名定理：他们需要各种新的想法，其他重要的性质的应用筛功能和更密切的分析方法的Goldstone-Pintz-Yildirim，绿色陶，和张，分别。
Large gaps between consecutive prime numbers containing square-free numbers and perfect powers of prime numbers
我们证明了K. Ford，D. R. Heath-Brown和S. Konyagin关于无平方数的素数回避和素数的完全幂。
A note on small gaps between primes in arithmetic progressions
我们实现了检测元组中的素数的Maynard-Tao方法，以研究等差数列中素数之间的小差距，其界限在一定范围内是一致的。
An almost sure upper bound for random multiplicative functions on integers with a large prime factor
设$f$是Rademacher或Steinhaus随机乘法函数。让$\varepsilon>0$变小。我们证明，作为$x\rightarrow +\infty$，我们几乎肯定有$$\bigg|\sum_{\substack{n\leq x\\ P(n)>\sqrt{x}}}f(n)\bigg|\leq\sqrt{x}(\log\log x)^{1/4+\varepsilon},$$，其中$P(n)$代表$n$的最大素因子。这给出了$f$最大波动的几乎必然大小的指示。
Bounds on prime gaps as a consequence of the divergence of the series of reciprocal primes
本文利用素数的倒数级数发散这一众所周知的事实，得到了连续素数间隔的一个一般不等式，该不等式对无穷多个素数成立。正如它所示，这种直接的方法的关键成分是一个后果的库默尔的表征可求和序列的正项。一些有趣的后果，然后提出。特别是，我们展示了孪生素数猜想是如何与我们的主要结果。
Bounded gaps and perfect power gaps in sequences of consecutive primes
本文研究连续素数间隙中是否存在较大间隙或完美幂间隙，并探讨相关数学问题。
On Maximal Prime Gaps
本文研究了素数间隙的问题，证明了素数与其后继素数之间的间隙不超过2log²p_n，并由此推导出对于足够大的数，存在特定类型的区间内必然存在素数。
Large prime gaps and progressions with few primes
我们表明，存在的等差数列与几个素数，与“几”的定量约束，意味着存在更大的差距之间的素数小于x比目前已知的无条件。特别地，当Dirichlet L-函数存在某些例外零点时，我们得到了这一结论。
Distribution of Large Gaps Between Primes
我们调查了一些过去的条件性结果的分布连续素数之间的巨大差异，并研究如何Hardy-Littlewood总理k-元组猜想可以应用到这个问题。
Some heuristics on the gaps between consecutive primes
我们提出了由间隙$d=p_{n+1}-p_n$分隔的连续素数对$p_n, p_{n+1}<x$的数目的公式，该公式直接由所有素数$<x$的数目表示，即由$π(x)$表示。作为这个公式的应用，我们给出了7个公式，其中包括两个小于$x$的连续素数之间的最大间隔，广义Brun常数和给定间隔$d$的第一次出现.并正确地再现了素调和和中的首项$\log \log(x)$。这些结果得到了计算机数据的支持。
Upper bounds for the moments of zeta prime rho
假设黎曼假设，我们得到了一个上界的导数的2k阶矩的黎曼ζ函数平均在非平凡零点的$ζ(s)$的每一个正整数k。我们的边界几乎与这些矩的严格渐近公式一样尖锐。证明是基于最近的方法K。Soundararajan，提供了类似的界限连续时刻的黎曼ζ函数，以及时刻L-函数在中心点，平均家庭。
Small gaps between the set of products of at most two primes
本文将Maynard和Tao的方法应用于两个不同素数（E2-数）的乘积集。我们得到了关于E2-数和素数分布的几个结果。其中，Goldston，Pintz，Yildirim和Graham关于m个连续E2-数之间的小间隙的结果得到改进。
On the second smallest prime non-residue
设$χ$是模素数$p$的非主狄利克雷特征标。令$q_1<q_2$表示$χ$的两个最小素非剩余。我们给出了明确的上界$q_2$，改善所有已知的结果。我们还提供了一个很好的上估计的产品$q_1 q_2$，它有一个即将到来的应用研究的范数欧几里德伽罗瓦领域。
On the first occurrences of gaps between primes in a residue class
本文研究了等差数列（P）：$r$，$r+q$，$r+2q$，$r+3q,\ldots,$中素数间隔的首次出现，其中$q$和$r$是互质整数，$q>r\ge1$ .首次出现间隙大小的增长趋势和分布与（P）中素数间最大间隙的增长趋势和分布相似。首次出现的差距大小的直方图，适当的重新缩放后，很好地近似Gumbel极值分布。计算表明，首次出现的空位比最大空位多得多：在$x$以下的（P）中，素数之间存在$O(\log^2 x)$首次出现的空位，而最大空位的数目只有$O(\log x)$。我们探讨了一个给定的大小和相应的推广的布朗常数的间隙的渐近密度之间的联系。对于空位$d$在（P）中的第一次出现，我们期望空位末端素数$p\asymp\sqrt{d}\exp(\sqrt{d/φ(q)})$无限频繁地出现。最后，我们研究了首次出现的间隙序列中间隙大小与其指数的函数关系。
Uniform Bounds for the Least Almost-Prime Primitive Root
我们调查，使用加权线性筛，几乎素数之间的剩余类（mod p），产生约化剩余类的乘法群的分布。我们关心的是找到一个上界的最小素数或几乎素原根（mod p），保持一致的所有p，类似于林尼克定理的统一上界的最小素数在一个单一的等差数列（mod p）。
Increasing and decreasing prime gaps
令$p_n$表示第$n$素数，而$g_n:=p_{n+1}-p_n$表示第$n$素数间隙。我们证明了存在无穷多个值的$n$，其中$g_n>g_{n+1}>\cdots>g_{n+m}$与$m\gg \log\log\log n$和类似的反向不等式。在这样做，我们解决了一个猜想埃尔德什的情况下$m=2$。
Real exponential sums over primes and prime gaps
研究证明在短区间内存在素数，解决了长期存在的问题，并验证了关于素数分布的旧猜想。
An algorithm to compute upper bounds of dimensions for Siegel Modular Forms of Prime Level and Arbitrary Nebentypus
该研究提出了一种算法，用于计算素数层级和任意特征的塞格尔模形式维数上界，并实现了计算其傅里叶展开的Java程序。
Small gaps between primes or almost primes
令$p_n$表示$n^{th}$素数。Goldston，Pintz和Yildirim最近证明了$ \liminf_{n\to \infty} \frac{(p_{n+1}-p_n)}{\log p_n} =0.$。我们给出了这个结果的另一种证明。我们还证明了一些相应的结果，数有两个素因子。令$q_n$表示恰好是两个不同素数的乘积的$n^{th}$数。我们证明了$\liminf_{n\to \infty} (q_{n+1}-q_n) \le 26.$如果适当的推广的Elliott-Halberten猜想是真的，那么上述界可以提高到6。
An explicit upper bound for the least prime ideal in the Chebotarev density theorem
Lagarias，Montgomery和Odlyzko证明了存在一个有效可计算的绝对常数$A_1$，使得对于${\mathbb{Q}}$的每个有限扩张$K$，$K$的每个有限伽罗瓦扩张$L$，其伽罗瓦群$G$和$G$的每个共轭类$C$，存在$K$的一个在$L$中未分歧的素理想$\mathfrak{p}$，其中$\left[\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right]=C$，其中$N_{K/{\mathbb Q}}\,\mathfrak{p}$是有理数素数，并且满足$N_{K/{\mathbb Q}}\,{\mathfrak{p}} \leq 2 {d_L}^{A_1}$。在本文中，我们没有任何限制，$N_{K/{\mathbb Q}}\,{\mathfrak{p}} \leq {d_L}^{12577}$，如果$L \neq {\mathbb Q}$，使用Lagarias，蒙哥马利和Odlyzko开发的方法。
Quaternary quadratic forms with prime discriminant
设$Q$是一个具有素判别式的正定四元二次型型.给出了正整数$n$的$Q$表示数的一个显式下界.这个问题与导出$Q$的θ级数的尖点部分的Petersson范数$\langle C, C \rangle$的上界有关。我们推导出一个上界$\langle C, C \rangle$依赖于最小的正整数不表示的对偶形式$Q^{*}$。另外，我们给出了除$Q$之外的整数$n$和的一个非平凡上界.
Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number
Acquaah和Konyagin表明，如果$N$是一个奇数完满数，其中$N= p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$，其中$p_1 < p_2 \cdots < p_k$，那么一个必须有$p_k < 3^{1/3}N^{1/3}$。使用类似的方法，我们表明，$p_{k-1}< (2N)^{1/5}$和$p_{k-1}p_k < 6^{1/4}N^{1/2}.$我们还表明，如果$p_k$和$p_{k-1}$是彼此接近，比这些界限可以进一步加强。
The Density and Quantitative Upper Bound of Integers Not Expressible as the Sum of a Prime and a Zumkeller Number
本文研究不能表示为素数与Zumkeller数之和的整数构成的例外集，建立其计数函数的定量上界，进而证明该例外集的自然密度为0。
Mean square in the prime geodesic theorem
我们证明了上界的其余部分的平均平方的总理测地线定理，为每一个上有限的富克斯群，平均提高最好的已知逐点界限。证明依赖于Selberg迹公式。对于模群，利用Kuznetsov迹公式证明了一个加细的上界.
On the gap between primes
证明了存在无穷素数对，其差不大于大于84。为了证明这一结果，构造了一个新的筛权。新的思想是构造最大的筛支持，它允许使用的Bengeri-Vinogradov定理。
The gap $g_n$ between two consecutive primes satisfies $g_n=O({p_n}^{2/3})$
下面的证明使用的论点，不围绕黎曼假设或筛理论。如果$p_n$是$n^{\rm th}$素数和$g_n=p_{n+1}-p_n$，则为$g_n=O({p_n}^{2/3})$。
Ramanujan Primes: Bounds, Runs, Twins, and Gaps
$n$ th Ramanujan素数是最小的正整数$R_n$，使得如果$x \ge R_n$，则区间$(x/2,x]$至少包含$n$素数。通过证明$R_n/p_{3n}$的最大值是$R_5/p_{15} = 41/47$，我们改进了Laishram的定理，即$R_n < p_{3n}$.本文对$n\le9$给出了Ramanujan素数在所有素数$p<10^n$中最长游程的统计量。我们证明，如果一个上孪生素数是拉马努金，那么也是较低的;一个表给出了一些孪生素数低于$10^n$的三种类型。最后，我们将Ramanujan素数的运行与素数间隙联系起来。在此过程中，我们陈述了几个假设和未决问题。附录解释了Noe计算$R_1,R_2,...,R_n$的快速算法。
On the mean square gap between primes
该数学论文改进了连续素数差平方平均值的上界，采用Harman筛法等工具，将Peck的O(x^{0.25+ε})界优化为O(x^{0.23+ε})。
Bounded gaps between prime polynomials with a given primitive root
阿廷的一个著名猜想指出，存在无穷多个素数，其中一个固定整数$g$是原根，只要$g \neq -1$和$g$不是完全平方。由于胡利的工作，我们知道这个猜想是正确的，条件是广义黎曼假设的真理。结合胡利的分析和梅纳德-陶用来证明素数之间存在有界间隙的技术，波拉克证明了（以GRH为条件）具有指定原根的素数之间存在有界间隙。在本文中，我们提供了一个无条件的证明类似的波拉克的工作，在函数域的情况下;即，给定一个一元多项式$g(t)$，它不是任何素数$v$除以$q-1$的$v$次幂，在$\mathbb{F}_q[t]$中的一元不可约多项式$P(t)$之间存在有界间隙，其中$g(t)$是其原根（也就是说，$g(t)$生成以$P(t)$为模的单元组）。特别是，我们得到有界的原始多项式之间的差距，相应的选择$g(t) = t$。
A note on the normal largest gap between prime factors
令$\{p_j(n)\}_{j=1}^{ω(n)}$表示整数$n$的不同素因子的递增序列。我们提供的细节证明的一项声明Erdibs意味着，对于任何功能$ξ(n)$趋于无穷与$n$，我们有$$f(n):=\max_{1\leqslant j<ω(n)}\log \Big({\log p_{j+1}(n)\over \log p_j(n)}\Big)=\log_3n+O(ξ(n))$$几乎所有的整数$n$。
Bounded gaps between product of two primes in imaginary quadratic number fields
本文结合Goldston-Graham-Pintz-Yildirim \cite{GGPY}和Maynard \cite{MAY}的方法研究了虚二次数域中两个素数乘积之间的间隙.我们的主要定理的一个重要结果是存在无穷多对$α_1, α_2$，它们是虚二次域$K$中两个素数的乘积，使得如果$K$的类数为1，则对于$K$的所有嵌入$σ$都有$|σ(α_1-α_2)|\leq 2$，如果$K$的类数为2，则对于$K$的所有嵌入$σ$都有$|σ(α_1-α_2)|\leq 8$。
Revisiting Generalized Bertand's Postulate and Prime Gaps
众所周知，对于任何自然数$n$，$[n, 2n]$中总是存在一个素数。本文的目的是把这个结果推广到$[n, kn]$。Mitra等人[Arxiv 2009]确定了$[n, kn]$中素数数量的下限和上界。在2016年，Christian Axler提供了一个下界的证明，该下界仅在$n$大于一个非常大的阈值时才有效。在本文中，经过近十年，我们第一次提供了一个直接的证明下界，所有$n \geq 2$。进一步，我们证明了这个上界是Firoozbakht猜想的结果.最后，我们还证明了一个更强的版本之间的素数有界间隙。
Triangles with prime hypotenuse
序列$3, 5, 9, 11, 15, 19, 21, 25, 29, 35,\dots$由具有整数边长和素数的直角三角形中的奇数边组成。我们表明，这个序列的上密度为零，对数衰减。同样的估计也适用于这样的三角形中偶数条边的序列。我们希望我们的上界，其中涉及Erdens-Ford-Tenenbaum常数，是尖锐的双对数因子。我们还提供了一个非平凡的下界。我们的技术涉及筛法，高斯素数分布在狭窄的部门，和Hardy-Ramanujan不等式。
Small gaps between products of two primes
令$q_n$表示恰好是两个不同素数的乘积的$n^{th}$数。我们证明，$$\liminf_{n\to \infty} (q_{n+1}-q_n) \le 6.$$这锐化了作者的早期结果（arXivMath NT/0506067），其中有26的地方6。更一般地，我们证明了，如果$ν$是任何正整数，那么$$ \liminf_{n\to \infty} (q_{n+ν}-q_n) \le C(ν) = νe^{ν-γ} (1+o(1)).$$。我们还证明了其他几个结果的表示数正好有两个素因子的线性型。
The shifted prime-divisor function over shifted primes
本文研究了移位素数除数函数 $ω_a^*$ 在移位素数上的矩，证明了第一矩的渐近公式及第二矩的上下界，揭示了其在移位素数与自然数上平均行为的相似性，并提出了关于第二矩的新猜想。
Bounded gaps between primes with a given primitive root
修复一个不是完全平方的整数$g \neq -1$。在1927年，阿廷证明有无穷多个素数$g$是一个原根。40年后，胡利证明了阿廷猜想来自广义黎曼假设（GRH）。我们注入胡利的分析梅纳德-陶工作有界素数之间的差距。这将导致以下GRH条件结果：固定一个整数$m \geq 2$。如果$q_1 < q_2 < q_3 < \dots$是以$g$为原根的素数序列，则为$\liminf_{n\to\infty} (q_{n+(m-1)}-q_n) \leq C_m$，其中$C_m$是依赖于$m$但不依赖于$g$的有限常数。我们还证明了这个结果中的素数$q_n, q_{n+1}, \dots, q_{n+m-1}$可以看作是连续的。
On a sequence involving the prime numbers
本文研究了一个包含素数的序列，得到了两个渐近公式，并找到了新的上界和下界，改进了现有的估计。
Prime density results for Hecke eigenvalues of a Siegel cusp form
设S_k（Sp（2g，Z））中的F是亏格g的尖点Siegel特征形，其Hecke特征值为μ_F（n）.假设相关的自守表示pi_F处处局部回火。对于每个c>0，我们考虑素数p的集合，|μ_F（p）|>= c，并且我们提供了这个集合的密度的明确的上界。在g=2的情形下，我们也给出了一个明确的素数集p的密度的上界，其中μ_F（p）>= c.
The Least Prime Number in a Beatty Sequence
证明了无理Beatty序列中最小素数的一个上界。这个结果可以与林尼克关于等差数列中最小素数的定理相比较。
Averages and moments associated to class numbers of imaginary quadratic fields
对于任何奇素数$\ell$，令$h_\ell(-d)$表示虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$的类数的$\ell$ -部分。非平凡的逐点上界仅为$\ell =3$所知; $h_\ell(-d)$的平均值的非平凡上界先前仅为$\ell =3,5$所知。本文证明了所有素数$\ell \geq 7$的$h_\ell(-d)$的平均值的非平凡上界，以及所有素数$\ell \geq 3$的某些高阶矩的非平凡上界.
Bounded gaps between primes with a given primitive root, II
令$m$为自然数，令$\mathcal{Q}$为至少包含$\exp(C m)$素数的集合。我们发现，可以找到无限多个字符串的$m$连续素数，其中每个有一些$q\in\mathcal{Q}$作为一个原根，所有位于一个区间的长度$O_{\mathcal{Q}}(\exp(C'm))$。这是古普塔和拉姆·默蒂定理的一个有界间隙变体。我们还证明了一个结果的椭圆模拟阿廷猜想。设$E/\mathbb{Q}$是一条椭圆曲线，它有一个无理$2$ -扭点.假设GRH。则对于每个$m$，有无穷多个$m$连续素数$p$的字符串，其中$E(\mathbb{F}_p)$是循环的，所有字符串都位于长度为$O_E(\exp(C'' m))$的区间内。如果$E$具有CM，则可以移除GRH假设。这里$C$、$C'$和$C''$是绝对常数。
Distinguishing eigenforms modulo a prime ideal
考虑给定模形式空间的两个元素的傅立叶展开。为了保证两个展开式相同，必须有多少个相同的首项系数？Sturm给出了一个上界的模形式的一个给定的重量和水平。拉姆·默蒂（Ram Murty）、科宁（Kohnen）和吉扎（Ghitza）将其应用于两个本征形的相同水平，但可能具有不同权重的情况。我们认为他们的扩张模素理想，提出了一个新的界限。在分析这个界的过程中，我们推广了巴赫和索伦森的一个结果，他们提供了一个实用的上界的最小素数在一个等差数列。
A prime plus a square: A conditional 11/20 upper bound
本文在本原Dirichlet L函数非平凡零点实部≤7/8的假设下，结合导体加权均方估计等方法，得到不能表示为素数加平方数的正整数计数的11/20上界。
Primes in explicit short intervals on RH
在黎曼假设的前提下，给出了连续素数之差的上界。
On the minimal number of small elements generating prime field
本文给出了生成有限域$p$为奇素数的有限域$\mathbb{F}_{p}$所需的区间$[1,p^{1/4e^{1/2}+ε}]$中元素个数的上界.
Jumping champions and gaps between consecutive primes
小于或等于$x$的连续素数之间最常见的差异称为跳跃冠军。偶尔也会有联系。因此，对于给定的$x$，可以有多个跳跃冠军。1999年A.奥德利兹科湾Rubinstein和M.沃尔夫提供了启发式和经验证据来支持这样一个猜想，即大于大于1的跳跃冠军是4，素数是2、6、30、210、2310.作为证明这一猜想的一步，他们引入了第二个较弱的猜想，即任何固定的素数$p$都可以整除所有足够大的跳跃冠军。本文推广了P.Erdens和E. G. Straus于1980年提出了第二个猜想，证明了第二个猜想是由G. H. Hardy和J.E.利特尔伍德
The Least Prime Primitive Root and the Shifted Sieve
我们推导出，对于所有的素数模p，除了那些在一个非常薄集，上界的最小素原根（mod p）的数量级的一个恒定的权力log p。改进以前的结果，其中的上界是log p的指数趋于无穷大的p，在于使用的线性筛（一个特定的版本称为移位筛），而不是Brun的筛。同样的方法使我们能够重新推导出一个条件的结果Shoup的最小素原根（mod p）的所有素数模p，假设广义黎曼假设。我们还将这两个结果推广到复合模q，其中的一个原根的模拟是一个元素的最大乘法阶（mod q）。
On the gap distribution of prime factors
令$\{p_j(n)\}_{j=1}^{ω(n)}$表示整数$n$的不同素因子的递增序列。对于$z\geqslant 0$，令$G(n;z)$表示那些索引$j$的数量，使得$p_{j+1}(n)>p_j(n)^{\exp z}$。本文证明了$G(n;z)$在$\{n:1\leqslant n\leqslant N\}$上的分布以几乎最优的速度有效估计一致收敛于一个具有平均值${\rm e}^{-z}\log_2n$和方差$\{{\rm e}^{-z}-2z{\rm e}^{-2z}\}\log_2n$的高斯极限律，并建立了一个对所有中心矩具有余项的渐近公式.
The behaviour of a certain additive function in large intervals between consecutive primes
本文研究连续素数之间大区间内特定整数素因子所决定的加性函数的行为，结合素数大间隙相关结果、Erdős–Kac 定理及 Kubilius 模型得到主要结论。
On the Representation of Almost Primes by Sets of Quadratic Forms
研究了r个几乎素数由二次型表示的问题，给出了r个几乎素数的上界。我们的结果扩展了Diamond和Halberlane的工作，他们在其中研究了相应的多项式问题。
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