Matthew Just
We look at upper bounds for the count of certain primes related to the Fermat numbers $F_n=2^{2^n}+1$ called elite primes. We first note an oversight in a result of Krizek, Luca and Somer and give the corrected, slightly weaker upper bound. We then assume the Generalized Riemann Hypothesis for Dirichlet L functions and obtain a stronger conditional upper bound.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
In this paper, a new formula for π^(2)(N) is formulated, it is a function that counts the number of semi-primes not exceeding a given number N. A semi-prime is a natural number that is the product of precisely two prime numbers, the two primes in the product may equal each other. Semi-prime numbers are also a case of almost primes. Since a formula for this is already known, a new identity that uses the prime counting function is created by equating the two functions.
The fractal nature of an approximate prime counting function
结合两个不同的方面导出了与素数相关的分形多边形和曲线。一个是建立在加法函数上的素数计数函数的近似。另一种是从离散或连续傅立叶基中提取的素数索引基实体。
New bounds for the prime counting function π(x)
本文建立了关于素计数函数π（x）的若干新的估计，改进了文献中已证明的估计.作为应用，我们推出了关于小区间上素数存在性的一个新结果。
In this paper, we develop a novel analytic method to prove the prime number theorem in de la Vallée Poussin's form: $$ π(x)=\operatorname{li}(x)+\mathcal O(xe^{-c\sqrt{\log x}}) $$ Instead of performing asymptotic expansion on Chebyshev functions as in conventional analytic methods, this new approach uses contour-integration method to analyze Riemann's prime counting function $J(x)$, which only differs from $π(x)$ by $\mathcal O(\sqrt x/\log x)$.
Arithmetic closed forms count the Mersenne primes, the Fermat primes and the twin-prime pairs
本文提出通过算术闭式生成和计数梅森素数、费马素数、孪生素数对及索菲·热尔曼素数的方法，结合威尔逊定理和特定测试技术。
We provide approximations to the prime counting function by various discretized versions of the logarithmic integral function, expressed solely in terms of the harmonic numbers. We demonstrate with explicit error bounds that these approximations are at least as good as the logarithmic integral approximation. As a corollary, we provide some reformulations of the Riemann hypothesis in terms of the prime counting function and the harmonic numbers.
In this paper, we give a new upper bound for the number $N_{\mathcal{R}}$ which is defined to be the smallest positive integer such that a certain inequality due to Ramanujan involving the prime counting function $π(x)$ holds for every $x \geq N_{\mathcal{R}}$.
New Formulas for Semi-Primes. Testing, Counting and Identification of the $n^{th}$ and next Semi-Primes
本文给出了一种新的半素性判别法，并构造了计算不超过给定数$N$的半素个数的函数$π^{(2)}(N)$的一个新公式.我们还提出了新的公式，以确定$n^{th}$半素和下一个半素的一个给定的号码。新的公式是基于小于或等于$N : P_{1}, \; P_{2}....P_{π\left( \sqrt[3]{N}\right) }\leq \sqrt[3]{N}$的立方根的素数的知识。
Let $N$ be an odd perfect number. Let $ω(N)$ be the number of distinct prime factors of $N$ and let $Ω(N)$ be the total number (counting multiplicity) of prime factors of $N$. We prove that $\frac{99}{37}ω(N) - \frac{187}{37} \leq Ω(N)$ and that if $3\nmid N$, then $\frac{51}{19}ω(N)-\frac{46}{19} \leq Ω(N)$.
On a sum involving the prime counting function $π(x)$
导出了$π(n)$倒数和的一个精确渐近公式，其中$π(x)$是不超过$x$的素数个数.这个结果改进了De Koninck-Ivić和L.帕奈托波尔
On arithmetic terms expressing the prime-counting function and the n-th prime
本研究提出首个固定长度的初等闭式算术项，可分别表示素数计数函数$\pi(n)$与第$n$个素数$p(n)$，仅用有限固定次数的初等算术运算，为素数是否存在次序的基础问题提供构造性解答。
Each number field has an associated finite abelian group, the class group, that records certain properties of arithmetic within the ring of integers of the field. The class group is well-studied, yet also still mysterious. A central conjecture of Brumer and Silverman states that for each prime $\ell$, every number field has the property that its class group has very few elements of order $\ell$, where "very few" is measured relative to the absolute discriminant of the field. This paper surveys recent progress toward this conjecture, and outlines its close connections to counting prime numbers,…
Uniformly counting primes with a given primitive root and in an arithmetic progression
在广义黎曼假设的适当形式下，研究了等差数列中具有给定原根的素数的个数。Lenstra，Moree和Stevenstein以前的工作给出了无显式误差项的渐近性，我们将他们的工作与Hooley关于Artin的原根猜想的方法相结合，给出了显式误差项.我们给出了一个应用程序的丢番图问题涉及素数与一个给定的原根。
Using a recent verification of the Riemann hypothesis up to height $3\cdot 10^{12}$, we provide strong estimates on $π(x)$ and other prime counting functions for finite ranges of $x$. In particular, we get that $|π(x)-\text{li}(x)|<\sqrt{x}\log x/8π$ for $2657\leq x\leq 1.101\cdot 10^{26}$. We also provide weaker bounds that hold for a wider range of $x$, and an application to an inequality of Ramanujan.
Asymptotic counting of integers with prime factors $p_{r^a s^b}$
本文给出具有形如 $p_{r^a s^b}$ 的素数因子的整数的渐近计数公式，误差为 $o(1)$，并解决了 $(2,3)$ 情形下序数编码的计数问题。
Index, Prime Ideal Factorization in simplest Quartic Fields and counting their discriminants
考虑由不可约四次多项式$$x^4-mx^3-6x^2+mx+1,$$定义的最简单四次数域$\mathbb{K}_m$，其中$m$遍历正有理整数，使得$m^2+16$的奇数部分是无平方的.本文研究了最简四次数域$\mathbb{K}_m$中的公共指标因子$I(\mathbb K_m)$，并明确地确定了任意素数的素理想分解.另一方面，我们建立了具有判别式$\leq x$和给定指标的最简四次域个数的渐近公式。
The residue-counts of $x^2+a/x$ modulo a prime
本文研究了 $x^2+a/x$ 模素数的剩余计数问题，得出一个与三次剩余和二元二次型相关的显式公式。
Derived Ramanujan Primes : R'_{n}
我们研究的拉马努金总理计数函数沿线拉马努金的原始工作伯特兰的公设。我们证明了在x和2x之间的Ramanujan素数的个数随着x趋于无穷大。这种分析使我们定义了一个新的序列的素数，我们称之为派生拉马努金素数。当n大于或等于1时，我们定义第n个拉马努金素数为最小的正整数，其性质是：如果x大于或等于第n个拉马努金素数，则从x到x/2的区间中的拉马努金素数的个数大于或等于n。作为导出Ramanujan素数存在性的一个应用，我们证明了Richert素数定理和Greenfield素数定理对于Ramanujan素数的类似性。给出了素数计数函数和Ramanujan素数计数函数的一些新的不等式.在Sondow和Laishram关于Ramanujan素数的界的最新工作的基础上，我们分析了导出的Ramanujan素数的界。最后给出了Amersi，Beckwith，Miller，Ronan和Sondow定理的另一个证明.
On shifted primes with large prime factors and their products
我们从下面估计素数p的集合的较低密度，使得p-1有一个大小至少为p^c的素因子，其中c介于1/4和1/2之间。我们还建立了直到x的正整数n的集合的计数函数的上、下界，其中恰好有k个素因子，有重数或无重数计数，使得GCD（p-1：p）的最大素因子|n）超过n^{1/2k}。
New estimates for some functions defined over primes
本文首先建立了Chebyshev $\vartheta$ -函数的新的显式估计。应用这些新的估计，我们得到新的上限和下界的一些功能定义在素数，例如素数计数函数$π(x)$，这改善了目前最好的。此外，我们利用所得到的关于素数计数函数的估计，给出了关于短区间内素数存在性的两个新结果。
A modification of the linear sieve, and the count of twin primes
本文提出一种满足强分解性质的线性筛法修改，将素数分布水平提升至 $x^{10/17}$，超越以往工作，并据此获得孪生素数计数新上界，实现自1986年以来最大改进。
Counting the number of prime numbers up to a certain natural number and describing the asymptotic behavior of such a counting function has been studied by famous mathematicians like Gauss, Legendre, Dirichlet, and Euler. The prime number theorem determines that such asymptotic behavior is similar to the asymptotic behavior of the number divided by its natural logarithm. In this paper, we take advantage of a multiplicative representation of a number and the properties of the logarithm function to express the prime number theorem in terms of primorial numbers, and n-primorial totative numbers. A…
Weighted Discriminants and Mass Formulas for Number Fields
我们定义了数域的加权判别式和相应的计数函数的概念，以及这些计数函数对一组素数具有质量公式意味着什么。本文推广了Kedlaya的一个结果，证明了有限群$Γ$的任意真计数函数对于不整除$|Γ|$的素数集都有一个质量公式.我们还证明了，如果$Γ$是一个$\ell$ -群的一些素数$\ell$，那么只有200多个加权判别计数函数的$Γ$ -扩展的$\Q$，有一个质量公式的所有素数。最后，我们列举了$Γ=D_4$和$Γ=Q_8$的所有此类计数函数。
An incremental approximation to the prime-counting function via polygonal numbers
提出一种基于广义三角数结构化非均匀划分的素数计数函数π(x)近似算法，具有O(1)均摊更新复杂度和O(√x)总复杂度，通过数值实验修正项达到与经典解析近似相当的精度。
We generalize a Theorem of Ricci and count Gaussian primes $\mathfrak{p}$ with short interval restrictions on both the norm and the argument of $\mathfrak{p}$.
On the Distribution of Products of Primes and Powers
我们证明了几个结果的分布数是一个素数和$k$次幂的产品。首先，我们证明了这类数的计数函数的一个渐近公式，推广了E.科恩然后，我们表明，在这个公式中的误差项可以锐化的假设的黎曼假设。最后，我们证明了这些计数函数在短区间内的一个渐近公式。
The Counting function for Elkies primes
本文在广义黎曼假设下研究椭圆曲线 Elkies 素数的分布，首次给出最小 Elkies 素数的显式上界 $(2\log 4q+4)^2$，并建立了 Elkies 素数计数函数的渐近公式。
The Skewes number for twin primes: counting sign changes of $π_2(x)-C_2 \Li_2(x)$
本文报道了孪生素数$π_2(x)$与Hardy-Littlewood猜想$C_2\Li_2(x)$之差的符号变化的计算机研究结果。结果表明，$d_2(x)=π_2(x) - C_2\Li_2(x)$在$x$的出乎意料的低值处改变符号，并且对于$x<2^{48}=2.81\...\times10^{14}$，该差异有477118个符号改变。证明了$x\in (1, T)$的$d_2(x)$的符号变化数由$\sqrt T/\log(T)$给出。绘制了$x$至$2^{48}$的$d_2(x)>0$和$d_2(x)<0$组的运行对数密度。
Chebyshev Upper Estimates for Beurling's Generalized Prime Numbers
设$N$是Beurling广义数系的计数函数，$π$是其素数的计数函数.我们证明了$L^{1}$条件$$ \int_{1}^{\infty}|\frac{N(x)-ax}{x}|\frac{\mathrm{d}x}{x}<\infty $$和$$N(x)=ax+O(\frac{x}{\log x}),$$对某些$a>0$的渐近行为，满足Chebyshev上估计$$ \frac{π(x)\log x}{x}\leq B<\infty. $$
Improving the Estimates for a Sequence Involving Prime Numbers
基于素数计数函数的新的显式估计，我们改进了目前已知的特殊序列$C_n = np_n - \sum_{k \leq n}p_k$，$n \geq 1$，涉及素数的估计。
We present an algorithm analogous to the sieve of Eratosthenes that produces the list of twin primes. Next, we count the number of twin primes resulting from the construction with two different heuristic arguments. The first method is essentially the same as the one in Hardy and Wright. However, the second method is novel. It results in the same asymptotic formula but it uses a simpler correction factor than theirs. Though we have no theory for the accuracy of our estimates, we compute them both without and with the correction factor and they turn out to be close to the actual counts up to 800…
Counting (k,l)-sumsets in groups of prime order
一个群$G$的子集$A$称为$(k, l)$ -{ \it和集}，如果对于某些$B\subseteq G$有$A= kB-lB$，其中提供了素数阶群中$(k, l)$ -和集数目的$kB-lB={x_1+...+x_k-x_{k+1}-...-x_{k+l} : x_1,..., x_{k+l}\in B}.$上下界。
Exact Summatory Functions for Prime $k$-tuples
给出了一个精确的求和函数，它可以计算素数$k$ -元组的个数直到某个截止整数。然后定义第一和第二切比雪夫函数的相关$k$元组类似物。
Counting composites with two strong liars
强概率素性检验是发现素数的重要实用工具。它的有效性源于以下事实：对于任何奇数合数$n$，如果随机选择一个基$a$，则算法不太可能声称$n$是素数。如果真的发生这种情况，我们称$a$为骗子。1986年，埃尔德斯和波默兰斯计算了所有$n \leq x$中说谎者的正常数量和平均数量。我们继续这一主题，并使用各种技术来计算$n \leq x$与正好两个强说谎者，这些是$n$的强测试是最有效的。我们评估这个计数渐近，并给出了一个改进的算法来确定它。我们还提供了渐近计数的限制情况下，其中$n$有两个素因子，和$n$正好有两个欧拉说谎者。
On Relatively Prime Subsets and Supersets
一个正整数A的非空有限集，如果gcd（A）= 1，则A是互素的;如果gcd（A [ fng]）= 1，则A与n是互素的. A的与n互素的非空子集的个数为Φ（A，n），基数为k的子集的个数为Φ_k（A，n）。给定正整数l1、l2、m2和n，使得l1 <= l2 <= m2，我们给出Φ（[1;m1][[l2;m2]; n）和Phi_k（[1;m1] [ [l2;m2]; n）。给定正整数l、m和n，使得l <= m，我们对{l，l+1，.，m}是[l;m]中与n互素的超集的个数，我们计算与n互素的超集的个数。公式也得到相应的超集具有固定的基数。中间的后果包括一个公式的数量互素集与非空的交集与一些固定的一组正整数。
A local-global principle for rational isogenies of prime degree
设K是一个数域。考虑了允许（或不允许）素数阶有理等距的椭圆曲线E/K的局部-整体原理.对于适当的K（包括K=Q），我们证明了当n = 1 mod 4时，以及当n < 7时，该原理成立，但对于j-不变的椭圆曲线，当n = 7时，我们找到了一个反例.对于K = Q，我们表明，直到同构，这是唯一的反例。
Primitive abundant and weird numbers with many prime factors
我们给出了一个算法来枚举所有的原始丰富数（简称PAN）与一个固定的$Ω$（素因子的数量与他们的重数计数），并显式地找到所有的PAN到$Ω=6$，计数所有的PAN和无平方PAN到$Ω=7$和计数所有的奇PAN和奇无平方PAN到$Ω=8$。我们发现原始奇怪的号码（简称PWNs）多达16个素因子，改善以前的结果[Amato-Hasler-Melfi-Parton]其中PWNs多达6个素因子已经给出。我们发现的最大的PWN有14712位数：据我们所知，这是现有的最大的例子，前一个是5328位长[Melfi]。我们发现了数百个PWN，其中恰好有一个平方奇素因子：据我们所知，以前只知道五个。我们发现所有的PWNs至少有一个奇素因子的重数大于1和$Ω= 7$，并证明没有与$Ω< 7$。关于PWNs与立方（或更高）奇素数因子，我们证明，有没有与$Ω\le 7$，我们没有发现任何较大的$Ω$。最后，我们发现了几个PWNs的2平方奇素因子，和一个3平方奇素因子。这是第一个这样的例子。
Novák-Carmichael numbers and shifted primes without large prime factors
证明了Novak-Carmichael数集的计数函数$\mathcal N_{\mathcal C}(x)$的一些新的下界.我们的估计依赖于没有大素数因子的移位素数的数量的界。特别地，在合理的假设下，我们证明了$\mathcal N_{\mathcal C}(x) \gg x^{0.7039-o(1)}$是无条件的，而$\mathcal N_{\mathcal C}(x) \gg xe^{-(7+o(1))(\log x)\frac{\log\log\log x}{\log\log x}}$是无条件的.
Let $E$ be an elliptic curve defined over $\mathbb{Q}$ and without complex multiplication. For a prime $p$ of good reduction for $E$, we write $\#E_p(\mathbb{F}_p) = p + 1 - a_p(E)$ for the number of $\mathbb{F}_p$-rational points of the reduction $E_p$ of $E$ modulo $p$. Under the Generalized Riemann Hypothesis (GRH), we study the primes $p$ for which the integer $|a_p(E)|$ is a prime. In particular, we prove the following results: (i) the number of primes $p < x$ for which $|a_p(E)|$ is a prime is bounded from above by $C_1(E) \frac{x}{(\log x)^2}$ for some constant $C_1(E)$; (ii) the number…
An alternative proof of the Dirichlet prime number theorem
等差数列的狄利克雷定理又称狄利克雷素数定理，是数论中的一个经典结果. Atle Selberg \cite{Selberg}给出了这个定理的初等证明。在本文中，我们给出了一个替代证明的基础上，我们以前的结果。在特殊情况下，得到了素计数函数的一个估计.
Periodic minimum in the count of binomial coefficients not divisible by a prime
针对不被素数整除的二项式系数计数的周期函数最小值难以确定的问题，研究提出通用求解方法，解决了B. Wilson此前的相关猜想。
Evidence of a Gamma Distribution for Prime Powers
如果素数是伪随机分布的，那么与量子系统的类比表明，计数素数可以用非齐次泊松过程来建模。因此，假设潜在的伽玛统计，或多或少的标准启发式参数借用量子力学的背景下，功能集成允许导出的解析表达式的几个平均计数函数与素数。这些表达式是不完全Γ函数的某些总和，这些函数与积分型整函数密切相关-这反过来又是众所周知的，可以给出各种计数函数的渐近依赖性，直到误差项。应用于泛函积分的量子力学的相对广泛的成功，以及平均计数函数的解析表达式的出色的数值精度，为素数幂的Γ分布提供了强有力的证据。
On Primes, Graphs and Cohomology
自然数上的计数函数定义了一个具有上同调的离散Morse-Smale复形，对于该复形，Morse指数、贝蒂数或Morse指数的临界点的计数函数等拓扑量都可以用数论术语给出. Morse滤波的欧拉示性数与Mertens函数有关，在临界点的Poincaré-Hopf指数对应于Moebius函数的值。Morse不等式将数的理论量，如与素数的素数分布相关的素数计数函数，与图的上同调性质联系起来。刚刚给出的图像是离散Morse上同调等价于单纯上同调的一个特例。这里考虑的特殊例子是图是有限单图的重心加细的情况。
On the complexity of a putative counterexample to the $p$-adic Littlewood conjecture
令$|| \cdot ||$表示到最近整数的距离，对于素数$p$，令$| \cdot |_p$表示$p$ -adic绝对值。在2004年，de Mathan和Teulié提出了一个问题，即$\inf_{q \ge 1} \, q \cdot || q α|| \cdot | q |_p = 0$是否对所有可差逼近的实数$α$和所有素数$p$都成立。在其他结果中，我们建立，如果一个实数$α$的部分分量的序列的复杂性增长太快或太慢，那么他们的猜想是真实的对$(α, p)$与$p$任意素数。
A Rigorous Error Bound for the TG Kernel in Prime Counting
本文在显式公式框架内利用截断高斯核为素数计数建立了严格误差界，证明在足够大的自变量下误差全局低于1/2，仅需约1200个非平凡zeta零点即可实现秒级精确计算π(x)，为计算数论提供了实用新算法。
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