The gap $g_n$ between two consecutive primes satisfies $g_n=O({p_n}^{2/3})$
Madieyna Diouf
下面的证明使用的论点，不围绕黎曼假设或筛理论。如果$p_n$是$n^{\rm th}$素数和$g_n=p_{n+1}-p_n$，则为$g_n=O({p_n}^{2/3})$。
The following is proven using arguments that do not revolve around the Riemann Hypothesis or Sieve Theory. If $p_n$ is the $n^{\rm th}$ prime and $g_n=p_{n+1}-p_n$, then $g_n=O({p_n}^{2/3})$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Primes in Tuples IV: Density of small gaps between consecutive primes
我们表明，一个积极的比例连续素数之间的所有差距是小差距。我们提供了几个定量的结果，一些无条件和一些有条件的，在这种味道。
Sums of Consecutive Prime Squares
我们证明了明确的界限，连续素数平方和低于一个给定的幅度。
On the ratio of consecutive gaps between primes
在目前的工作中，我们证明了一个共同的推广梅纳德-陶最近的结果连续有界的差距之间的素数和Erdens-Rankin界之间的连续素数的大差距。这项工作的答案在一个强有力的形式60岁的问题埃尔德什，问是否比两个连续primegaps可以无限经常任意小，和任意大，分别。
Positive Proportion of Small Gaps Between Consecutive Primes
我们证明了一个积极的比例连续素数之间的差距是短的差距长度小于任何固定分数的平均间距之间的素数。
Consecutive primes which are widely digitally delicate
我们证明了，对于每一个正整数$k$，存在$k$连续素数的性质，如果任何一个素数的任何数字，包括任何无限多个前导零数字，是改变的，那么该素数成为复合。
Consecutive primes which are widely digitally delicate and Brier numbers
利用覆盖系统和D. Shiu等人证明了对于每一个正整数$k$，存在连续的$k$，它们是数字上的宽精细素数.他们还注意到，对于每一个正整数$k$，都存在$k$连续的素数，它们是Brier数。我们证明了对于每一个正整数$k$，都存在$k$连续素数，它们都是广泛的数字精致数和Brier数.
On the Difference between Consecutive Primes and Estimates of the Number of Primes in the Interval $(n, 2n)$
使用连续素数之间的差异的评估，我们开发了另一种方法估计的素数在区间$(n, 2n)$的数量。我们还讨论了超克拉默猜想，$p_{n+1} - p_n = O(log^{1+ε}p_n)$，其中$ε> 0$，在我们的文件中所获得的结果的上下文中。
Large gaps between consecutive prime numbers containing square-free numbers and perfect powers of prime numbers
我们证明了K. Ford，D. R. Heath-Brown和S. Konyagin关于无平方数的素数回避和素数的完全幂。
On Proving of Diophantine Inequalities with Prime Numbers by Evaluations of the Difference between Consecutive Primes
作为工作假设的评价之间的差异素数$p_{n+1} - p_n = O(\sqrt{p_n})$，我们代表了勒让德和Oppermann的代数的详细证明。
Difference of powers of consecutive primes which are perfect squares
研究了连续素数$p$和$q$（$p > q$），对它们存在一对自然数$(x,y)$使得$p^x-q^y$是完满平方，并作了一些证明.
Explicit Estimate on Primes between Consecutive Cubes
本文给出了关于素数的Ingham定理在短区间上的一个显式形式，并证明了当$\log\log x\ge 15$时，每两个连续立方体$x\sp{3}$和$(x+1)\sp{3}$之间至少有一个素数.
On the moments of the gaps between consecutive primes
本文推导了连续素数$<x $之间的间隔的矩$M_k(x)$--$k$--直接由$x$ $π(x)$表示的素数个数为：$M_k(x)= Γ(k+1)x^k/π^{k-1}(x)+\mathcal{O}(x)$的概率公式，并用计算机数据说明了所得结果.
On the differences between consecutive prime numbers, I
我们通过一个包含-排除的论证证明了Hardy和Littlewood的素数$k$ -元组猜想为相隔指定距离的连续素数的个数提供了一个渐近公式.这细化了加拉格尔定理的一个方面，即素数$k$ -元组猜想意味着素数围绕其平均间距分布在泊松分布中。
Product of Two Consecutive Fibonacci or Lucas Numbers Divisible by their Prime Sum of Indices
我们证明了两个连续的Fibonacci数（分别为Lucas数）的乘积可被它们的指数之和整除，如果这个和是一个不同于5的素数，且形式为（4r+1）（分别为（4r+3））.
Large gaps between consecutive prime numbers containing perfect powers
对于任何正整数$k$，我们表明，无限经常，完美的$k$ -th权力出现在非常长的间隙内连续素数之间，即间隙的大小$$ c_k \frac{\log p \log_2 p \log_4 p}{(\log_3 p)^2}, $$其中$p$是较小的两个素数。
Diophantine Inequalities with Primes, Auxiliary Inequalities, Evaluations of the Difference between Consecutive Primes
利用辅助不等式和连续素数差的估计，给出了一种证明含素数的丢番图不等式的方法.本文研究了区间$((n - 1)^k, n^k)$中素数的Legendre - Ingham问题以及当$k$为实数时区间$(\frac{k-1}{k}n, \frac{k}{k-1}n)$中素数的Legendre - Ingham问题.一些新的结果，包括一个替代的证明英厄姆定理的有效计算常数，也英厄姆定理与两个素数的证明。
The behaviour of a certain additive function in large intervals between consecutive primes
本文研究连续素数之间大区间内特定整数素因子所决定的加性函数的行为，结合素数大间隙相关结果、Erdős–Kac 定理及 Kubilius 模型得到主要结论。
Large gaps between consecutive prime numbers containing perfect $k$-th powers of prime numbers
设$k\geq 2$是一个固定的自然数。证明了存在无穷多对连续素数$p_n$，$p_{n+1}$满足$$ p_{n+1}-p_n\geq c\:\frac{\log p_n\: \log_2 p_n\: \log_4 p_n}{\log_3 p_n}\:,$$且$c$为固定正常数，其中区间$(p_n, p_{n+1})$包含素数的$k$次幂.
Primes between consecutive powers
本文修正了连续幂间素数的显式区间估计。证明了对于所有的$n\geq 1$，在$n^{155}$和$(n+1)^{155}$之间至少存在一个素数.这一结果是部分获得了一个新的明确版本的Goldston的1983年估计的错误截断Riemann-冯Mangoldt明确公式。
Bounded gaps and perfect power gaps in sequences of consecutive primes
本文研究连续素数间隙中是否存在较大间隙或完美幂间隙，并探讨相关数学问题。
Some heuristics on the gaps between consecutive primes
我们提出了由间隙$d=p_{n+1}-p_n$分隔的连续素数对$p_n, p_{n+1}<x$的数目的公式，该公式直接由所有素数$<x$的数目表示，即由$π(x)$表示。作为这个公式的应用，我们给出了7个公式，其中包括两个小于$x$的连续素数之间的最大间隔，广义Brun常数和给定间隔$d$的第一次出现.并正确地再现了素调和和中的首项$\log \log(x)$。这些结果得到了计算机数据的支持。
Diophantine Inequalities as a Problem of Difference between Consecutive Primes
在本文中，我们已经开发了一种方法来解决\textit{diophantine inequalities}使用它们与\textit{difference between consecutive primes}的关系。使用这种方法，我们已经能够证明一些定理，包括英厄姆的指数定理以及一些新的结果。丢番图不等式及其与Cramer和Andrica不等式的关系也被讨论。
Consecutive primes in short intervals
我们得到了\[ \#\{x/2< p_{n}\leq x:\ p_n \equiv\ldots\equiv p_{n+m}\equiv a\text{ (mod $q$)},\ p_{n+m} - p_{n}\leq y\}, \]的下界，其中$p_{n}$是$n^{\text{th}}$素数。
Minimal zero-free regions for results on primes between consecutive perfect $k$th powers
该研究计算了确保连续完美k次幂间存在素数的最小无零区域，并证明了在连续86次幂间总存在素数，同时识别了一个特定整数序列在连续70次幂间也总存在素数。
Negative moments of the gaps between consecutive primes
我们推导出了负$k$ --连续素数$<x $之间的间隙的矩$M_{-k}(x)$--直接由$π(x)$表示--直到$x$的素数的数目。特别是，我们提出了一个分析公式之间的间隙连续素数$<x : ~ M_{-1}(x)\sim \frac{π^2(x)}{x-2π(x)}\log\Big(\frac{x}{2π(x)}\Big) \sim x \log \log(x)/\log^2(x)$的倒数的总和。我们用大量的计算机数据说明所得到的结果，数据可达$x=4\times 10^{18}$。
Unexpected biases in the distribution of consecutive primes
虽然素数序列在约化剩余类（mod $q$）中分布非常好，但在约化剩余类（mod $q$）的允许$ϕ(q)^2$对中连续素数对的分布令人惊讶地不稳定。本文基于Hardy-Littlewood理论对这一现象提出了一种理论解释。然后，将这些结果与数值数据进行比较，观察到的拟合非常好。
The Differences Between Consecutive Primes. V
我们证明了对于任何固定的$\varepsilon>0$，\[\sum_{\substack{p_n\le x\\ p_{n+1}-p_n\ge\sqrt{p_n}}}(p_{n+1}-p_n)\ll_{\varepsilon} x^{3/5+\varepsilon}\]。这改进了Matomäki的结果，其中指数是$2/3$。
A Short Note on Gaps between Powers of Consecutive Primes
设$α, β\geq 0$和$α+ β< 1$。本文证明了$\liminf_{n \to \infty} p_n^β(p_{n+1}^α- p_n^α) = 0$，其中$p_n$是$n$第素数.这说明了一个改进的结果Sándor和提供额外的证据对猜想的Andrica。这直接遵循最近的结果从梅纳德，陶，张素对。
On consecutive 1's in continued fractions expansions of square roots of prime numbers
本文研究素数的平方根的连分数展开式的周期部分中连续1序列的存在性问题。我们无条件地证明，对于一个给定的$N\gg 1$，至少有$N\log^{-3/2}N$素数$p\leq N$，使连分数扩展$\sqrt{p}$包含三个连续的1的周期部分的开始。在Schinzel假设H的假设下，给出了与所考虑的问题及相关问题有关的计算结果，提出了几个开放问题和解答，并得到了一些结果.
Large gaps between consecutive prime numbers
令$G(X)$表示低于$X$的连续素数之间的最大间隙的大小。讨论了Erdos的一个问题，证明了$$G(X) \geq f(X) \frac{\log X \log \log X \log \log \log \log X}{(\log \log \log X)^2},$$，其中$f(X)$是一个趋于无穷大的函数，且具有$X$ .我们的证明结合了现有的参数与随机建设覆盖一组素数的等差数列。因此，我们依赖于最近的工作的存在性和分布的长等差数列完全由素数。
Arithmetic functions at consecutive shifted primes
对于每个函数$f \in \{ϕ, σ, ω, τ\}$和每个自然数$k$，我们证明了不等式$f(p_n-1) < f(p_{n+1}-1) < \dots < f(p_{n+k}-1)$有无穷多个解，对于$f(p_n-1) > f(p_{n+1}-1) > \dots > f(p_{n+k}-1)$也是如此.我们还回答了Sierpienski关于连续素数的数位和的一些问题。这些论点基本上利用梅纳德和陶的方法产生许多素数的区间有界长度。
On the difference between consecutive primes
更新：这项工作再现了Peck的早期结果，作者最初并不知道。证明的方法与Peck的原始工作基本相同。没有新的结果。我们证明了连续素数$\sum_{p_n\le x}(p_{n+1}-p_n)^2$之间的差的平方和是有界的$x^{5/4+ε}$的$x$足够大，任何固定的$ε>0$。证明依赖于利用各种均值估计狄利克雷多项式。
On the sum of the reciprocals of the differences between consecutive primes
令$p_n$表示第$n$个素数，令$d_n=p_{n+1}-p_{n}$ .在Hardy-Littlewood素数对猜想下，证明了\begin{align*} \sum_{n\le X}\frac{\log^αd_n}{d_n} \sim\begin{cases} \frac{X\log\log\log X}{\log X}~\qquad\quad~ &α=-1,\\ \frac{X}{\log X}\frac{(\log\log X)^{1+α}}{1+α}\qquad &α>-1, \end{cases} \end{align*}，并建立了不含Hardy-Littlewood素数对猜想的$d_n$级数的渐近性质.
On a conjecture of ErdŐs, Pólya and Turán on consecutive gaps between primes
设p_n表示所有素数的序列，d_n=p_n- p_{n-1}表示相邻素数之间所有间隔的序列.在1948年Erdés和Turán表明，d_{n+1} -d_n的变化标志无限经常，并连同Pólya要求的一个充要条件，一个固定的线性组合r>1连续的总理差距d_{n+i} i=（1，2，. r）应该随着n贯穿所有自然数的序列而无限频繁地改变符号。他们指出，条件是线性组合的系数之间的非零值不能都具有相同的符号，但他们只能证明弱得多的关系。本文借助于Maynard-Tao方法和W.D.班克斯，T。Freiberg和J.Maynard（参见arXiv：1404.59094v2）。
On the Existence of Integers with at Most 3 Prime Factors Between Every Pair of Consecutive Squares
本文通过改进Dudek和Johnston的结果，证明了每对连续平方之间存在一个具有最多3个素因子的整数，从而在素数分布理论中取得进展。
On the last digits of consecutive primes
最近奥利弗和Soundararajan提出了计算枚举的基础上出现的频率对最后的数字连续素数。通过研究Eratosthenes筛，我们已经确定了离散的动态系统，准确地模拟人口的差距跨越阶段的Eratosthenes筛。我们的模型提供了一些观察到的偏见在连续素数的最后一个数字的出现，模型表明，偏见最终将被逆转足够大的素数。确切的模型为种群的差距在各个阶段的埃拉托斯特尼筛提供了一个建设性的补充概率模型植根于哈代和Littlewood的工作，它提供了时间常数，描述了人口的演变较大的差距。
On large differences between consecutive primes
我们证明了$$\sum_{\substack{p_n \in [x, 2x] \\ p_{n+1} - p_n \ge x^{1/2}}} (p_{n+1} - p_n) \ll x^{0.57+ε}$$和$$\sum_{\substack{p_n \in [x, 2x] \\ p_{n+1} - p_n \ge x^{0.45}}} (p_{n+1} - p_n) \ll x^{0.63+ε},$$，其中$p_n$是$n$第素数.证明结合希斯布朗最近的工作与哈曼的筛，改进和扩展他的结果。我们给出了这些结果在素数表示函数、素数的二进制数和实数的乘性函数逼近中的应用。
Consecutive primes and Beatty sequences
固定有限型无理数$α,\hatα>1$和实数$β,\hatβ\ge 0$，设$B$和$\hat B$为Beatty序列$$ B:=(\lfloorαm+β\rfloor)_{m\ge 1}\quad\text{and}\quad\hat B:=(\lfloor\hatαm+\hatβ\rfloor)_{m\ge 1}. $$本文研究了连续素数对$(p,p^\sharp)$的分布，其中$p\in B$和$p^\sharp\in\hat B$是连续素数对.在一个强的（但被广泛接受的）形式的Hardy-Littlewood定理下，我们证明了$$ \big|\{p\le x:p\in B\text{ and }p^\sharp\in\hat B\}\big|=(α\hatα)^{-1}π(x)+O\big(x(\log x)^{-3/2+ε}\big), $$，其中$π(x)$是素数计数函数。
Gaps of powers of consecutive primes and some consequences
设$p_n$表示第$n$个素数，$\{q_n\}$是一个正数序列，$x\in\mathbb{R}$ .本文证明了不等式$$q_n p_{n+1}^{x}-q_{n+1}p_{n}^{x}<p_{n}^{x}p_{n+1}^{x-1}, $$对$n$的无穷多个值成立。正如它所示，获得这种行为的关键成分是一个后果的扩展库默尔的表征收敛级数的正项。
Jumping champions and gaps between consecutive primes
小于或等于$x$的连续素数之间最常见的差异称为跳跃冠军。偶尔也会有联系。因此，对于给定的$x$，可以有多个跳跃冠军。1999年A.奥德利兹科湾Rubinstein和M.沃尔夫提供了启发式和经验证据来支持这样一个猜想，即大于大于1的跳跃冠军是4，素数是2、6、30、210、2310.作为证明这一猜想的一步，他们引入了第二个较弱的猜想，即任何固定的素数$p$都可以整除所有足够大的跳跃冠军。本文推广了P.Erdens和E. G. Straus于1980年提出了第二个猜想，证明了第二个猜想是由G. H. Hardy和J.E.利特尔伍德
The distribution of consecutive prime biases and sums of sawtooth random variables
在最近的工作中，我们考虑了连续素数$\pmod{q}$的模式的频率，并在数字上发现了对某些模式和对其他模式的偏见。我们做了一个猜想来解释这些偏差，其中的主导因素允许一个简单的描述，但无法区分许多模式，似乎有非常不同的频率。在我们的猜想中，还有一个次要因素可以解释这种额外的变化，但它只是由一个复杂的表达式给出的，其分布不容易理解。在这里，我们研究这一项，它被证明是连接到经典的Dedekind和的傅里叶变换和误差项的渐近公式的总和$ϕ(n)$。
Nonexistence of Consecutive Powerful Triplets Around Cubes with Prime-Square Factors
本文证明了围绕具有素数平方因子的立方体的连续强力三元组不存在，结合模算术、p-adic赋值、Thue方程和椭圆曲线理论，推进了Erdős-Mollin-Walsh猜想的研究。
Consecutive primes in tuples
本文研究了元组中连续素数的分布，证明了存在无限多个n使得H(n)包含至少m个连续素数，并构造了具有递增或递减间隙的素数字符串。
Consecutive integers free of certain prime factors
本文证明了Erdős猜想：存在无穷多个k，使得最小整数n>2k满足(n-k)...(n-1)不被(k,2k)内任何素数整除，且n_k > e^{log^2 k/(20 log log k)}。
Small gaps between almost primes, the parity problem, and some conjectures of Erdos on consecutive integers
在以前的论文中，作者证明了在任何满足明显必要局部条件的三个线性型的系统中，至少有两个形式无限地经常假设$E_2$ -值;即，两个素数的乘积。我们利用这个结果证明了有无穷多个整数$x$同时满足$$ω(x)=ω(x+1)=4, Ω(x)=Ω(x+1)=5, \text{and} d(x)=d(x+1)=24.$$这里，$ω(x), Ω(x), d(x)$分别表示$x$的素除子数、$x$的素幂因子数和$x$的因子数。对于任意正整数$b$，我们也证明了类似的定理，其中$x+1$被$x+b$取代。我们的结果加强了Heath-Brown，Pinner和Schlage-Puchta的早期工作。
Exact Frequencies of Consecutive Quadratic Residue and Nonresidue Patterns Modulo a Prime
研究模奇素数\(p\)时长度为二和三的连续二次剩余与非剩余模式的精确频率，利用有限域特征和基本性质推导计数公式，对的频率由\(p \pmod 4\)分类，三元组频率依赖\(p \pmod 8\)及雅可比和\(T_p\)。
On consecutive quadratic non-residues: a conjecture of Issai Schur
Issai Schur曾经问过是否有可能确定一个界限，最好是使用初等方法，这样对于所有素数p大于界限，模p的连续二次非剩余数的最大个数总是小于p的平方根.本文用初等方法证明了13是唯一一个连续二次非剩余数的最大个数小于p的平方根的素数.模p的余数超过p的平方根。
A note on zero-density approaches for the difference between consecutive primes
本研究推广了短区间素数相关的Ingham定理与Heath-Brown和Iwaniec的结果，明晰了无零点区域、零密度估计和短区间素数的关联，还在密度假设下改进了素数定理成立的短区间范围。
Consecutive primes and Legendre symbols
令$m$为任意正整数，令$δ_1,δ_2\in\{1,-1\}$。本文证明了对于某些常数$C_m>0$，存在无穷多个具有$p_{n+m}-p_n\le C_m$的整数$n>1$，使得对于所有的$0\le i<j\le m$，有$$\left(\frac{p_{n+i}}{p_{n+j}}\right)=δ_1\ \quad\text{and}\ \quad\left(\frac{p_{n+j}}{p_{n+i}}\right)=δ_2$$，其中$p_k$表示第$k$个素数，而$(\frac {\cdot}p)$表示对于任何奇素数$p$的Legendre符号.我们还证明了在广义黎曼假设下，存在无穷多个正整数$n$使得对于$0,1,\ldots,m$中的任何不同的$i$和$j$，$p_{n+i}$是模$p_{n+j}$的原根.
The $k$-Tuple Jumping Champions among Consecutive Primes
对于任何实数$x$和任何整数$k\ge1$，我们说$k$不同整数的集合$\mathcal{D}_{k}$是$k$ -元组跳跃冠军，如果它是在小于或等于$x$的$k+1$连续素数之间发生的最常见的差。对于$k=1$来说，它被称为跳跃冠军，由J. H。康威1999年A.奥德利兹科湾Rubinstein和M.沃尔夫宣布了跳跃冠军猜想，大于1的跳跃冠军是4，素数是2，6，30，210，2310，....。他们还提出了一个较弱但可能更容易理解的猜想，即任何固定的素数$p$都可以整除所有足够大的跳跃冠军。最近Goldston和Ledoan在Hardy-Littlewood猜想的适当形式的假设下证明了这两个猜想。在本文中，我们考虑的情况下，任何$k\ge2$和证明，任何固定的素数$p$除了所有足够大的$k$ -元组跳跃冠军的每个元素的假设下，Hardy-Littlewood素数$k+1$ -元组猜想成立一致的$\mathcal{D}_k\subset[2,\log^{k+1}x]$。利用Hardy-Littlewood猜想的一个更强的形式，我们还证明了对于任何足够大的$k$ -元组跳跃冠军，其中元素的$gcd$是无平方的.
Residue Class Patterns of Consecutive Primes
研究连续素数的剩余类模式，通过结合狄利克雷定理与Shiu定理，修改梅纳德 - 陶筛法并结合埃尔德什 - 兰金类型构造进行证明，得出在特定条件下关于长度为\(m\)的剩余类模式无限次出现的相关结论及数量估计。
Consecutive Piatetski-Shapiro primes based on the Hardy-Littlewood conjecture
本文基于Hardy-Littlewood猜想，研究连续素数对分别属于两个Piatetski-Shapiro序列的分布，提出计数函数猜想并给出启发式论证，还证明了奇异级数加权平均的命题。
Arbitrarily long strings of consecutive primes in special sets
本文研究一类由广义多项式小数部分落入非空开集所定义的自然数集合，证明其中存在任意长的连续素数串，揭示了此类特殊集合在素数分布上的强正则性。
On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture
我提出了一个新的性质的素数，导致推广克莱默猜想。连续素数间隔的研究被视为序列的连续项之间的间隔的特殊情况，具有称为伪等分布的某种性质。严格的，以及启发式的参数给出支持广义克莱默的代数。
Rough numbers between consecutive primes
本文用筛法证明相邻素数间隙中几乎总存在最小素因子不小于间隙长度的数，并给出例外间隙数的上界及在猜想下的渐近式。
The Arithmetic of Consecutive Polynomial Sequences over Finite Fields
受van der Poorten关于素数无穷链（关于某个基）存在性问题的启发，本文对系数从奇素数特征的有限域中的序列中连续选取的连续多项式序列进行了研究.我们研究了这类序列的算术，包括最大程度的不可约因子的界限，不可约因子的数量，以及固定长度的这类序列的数量，其中所有的多项式都是不可约的。
Expected gaps between prime numbers
我们直接通过Eratosthenes筛法来研究连续素数之间的间隔。使用初等方法，我们确定了这些差距和特定序列的连续差距，称为星座的递归关系。使用这种递归，我们可以估计一个素数和它的平方之间出现的间隙或星座的数量。这种递归也有明确的含义开放的问题之间的差距素数，包括三个问题提出的埃尔德什和图兰。
Four consecutive primitive elements in a finite field
对奇素数幂$q$，证明了当$q> 2401$为素数幂时，有限域$\mathbb{F}_{q}$中总有四个连续的本原元.
An inequality involving primes and the product of primes
本文证明了一个涉及素数及连续素数乘积的不等式。
Arithmetic properties of blocks of consecutive integers
本文在没有任何假设和假设abc猜想的条件下，综述了连续整数块的最大素因子、不同素因子个数、最大无平方因子和最大无m次幂部分的结果.最后证明了对于任意k>2，显式abc-猜想蕴涵Erdens-Woods猜想.
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