Periodic Orbits of Oval Billiards on Surfaces of Constant Curvature
本文定义并研究常曲率曲面上有界区域上的台球问题。我们证明了，这个问题定义了一个2维保守和可逆的动力系统，定义了一个扭曲的同构，如果该区域的边界是一个椭圆形。使用这些属性和定义良好的扰动台球，我们表明，在这个新的版本中，只有有限数量的非退化周期轨道为每个固定的周期是一个开放的性质，台球表面上的常曲率和密集的欧几里德和双曲平面。对于密度的证明，我们用于欧几里得和双曲情况的技术不适用于球形情况，这是由于一个约束（多边形轨迹的周长是π的倍数）。最后，我们研究了这些非退化轨道的稳定性。
2016-06-11 math.DS
Dual billiards, twist maps, and impact oscillators
本文将扭曲映射理论的技巧应用于平面上严格凸闭曲线G上对偶台球产生的环面映射。证明了当G上存在一点其曲率半径为零或不连续时，在G附近不存在不变圆。此外，当曲率半径不是$C^1$时，存在轨道收敛到G点的例子。如果曲率半径的导数是有界的，这样的轨道就不可能存在。本文的最后一节涉及的影响振荡器的动力学是相同的双台球地图。附录是关于台球和对偶台球中不变圆反问题的联系的一个注记。
1994-08-08 math.DS
Periodic billiard orbits in right triangles II
周期台球轨道在无理直角三角形的相空间中是稠密的。一个更强的逐点密度结果也被证明。
2005-11-22 math.DS
A proof of Culter's theorem on the existence of periodic orbits in polygonal outer billiards
讨论了C.卡尔特：每一个多边形外台球有一个周期性的轨迹。
2007-06-07 math.DS
Outer billiards outside regular decagon: periodicity of almost all orbits and existence of an aperiodic point
证明了在正八边形外的外台球存在非周期轨道。此外，几乎所有的轨道，这样的外台球被证明是周期的。所有可能的时期都明确列出。
2018-11-29 math.DS
Periodic billiard orbits in right triangle
存在一个开的直角三角形集合，使得对于这个集合中的每个无理三角形，（i）周期台球轨道在相空间中是稠密的，（ii）存在唯一的非奇异的垂直台球轨道，它不是周期的，并且（iii）垂直的周期轨道填充相应的不变曲面。
2004-05-14 math.DS
Persistence of periodic billiard orbits under domain deformation
University of Chicago（芝加哥大学）
研究证明，若多边形存在满足特定组合准则的周期弹道轨道，则参数空间中存在路径，使路径上每个多边形都存在相同类型的周期弹道轨道。
2026-05-15 math.DS
Optical Billiards
本文以黎曼几何将折射率视为度规，研究光学台球的离散动力学、可积性与奇异性，并建立依赖边界凸性和折射率的基础结果。
2025-07-24 math.DS
Growth of periodic orbits and generalized diagonals for typical triangle billiards
对于典型的三角形台球，我们给出了周期轨道和广义对角线增长率的显式次指数估计。
2012-04-23 math.DS
C^1-generic billiard tables have a dense set of periodic points
证明了一般C^1-台球桌的周期点集在相空间中是稠密的。
2014-09-18 math.DS
Stability of periodic orbits in no-slip billiards
在一组自然的物理要求下，二维刚体碰撞贴图可以分为两种类型：标准镜面反射贴图和第二种，我们称之为Broomhead和Gutkin之后的无滑移贴图。这导致研究无滑台球-平面台球系统中的移动粒子是一个磁盘（旋转对称的质量分布），其平移和旋转速度都可以改变在每次碰撞的边界的台球域。在本文中，我们大大扩展了以前的结果（Broomhead和Gutkin）的有界性和线性稳定性的Sinai型台球（Wojtkowski）的无滑台球的周期轨道。我们证明了：（i）对于具有分段光滑边界和至少一个内角小于$π$的平面上的台球区域，无滑移台球动力学总是包含椭圆周期- $2$轨道;（ii）多边形无滑移台球总是允许小的不变开集，因此关于正则不变台球测度不能遍历;（三）无滑动版本的西奈台球必须包含线性稳定的周期轨道的周期$2$，更一般地说，我们提供了一个曲率阈值，在此通常发生的周期- $2$轨道从双曲线转移到椭圆形;（四）最后，我们提出了一些意见关于周期轨道在一类多边形台球。
2016-12-10 math.DS
Twist Coefficients of Periodic Orbits of Minkowski Billiards
该研究引入相空间新坐标系探究闵可夫斯基台球基本性质，推导椭圆周期轨道扭转系数公式并分析其稳定性，为该领域周期轨道研究提供新方法与理论支撑。
2024-12-03 math.DS
Periodic billiard orbits of self-similar Sierpinski carpets
我们确定了一个自相似的谢尔宾斯基地毯台球桌的周期台球轨道的集合。基于Durand-Cartagena和Tyson关于自相似Sierpinski地毯中非平凡线段的结果的一个改进，我们构造了预分形Sierpinski地毯台球桌的相容周期轨道的最终常数序列.这个序列的平凡极限则构成自相似谢尔宾斯基地毯台球桌的周期轨道。我们还确定了相应的平移表面为每个prefractal台球桌，并表明，属的一个序列的平移表面增加没有限制。各种开放的问题和未来研究的可能方向。
2013-03-17 math.DS
Caustic-Free Regions for Billiards on Surfaces of Constant Curvature
本文研究了凸台球桌在双曲平面或半球上的无焦散区域。特别是，Gutkin和Katok的结果在欧几里德的情况下，我们估计这些区域的大小方面的几何形状的台球桌。此外，我们扩展到这个设置的一个定理，由于Hubacher这表明，没有焦散存在的边界附近的凸台球桌的曲率是不连续的。
2021-06-13 math.DS math.MG
Non-Birkhoff periodic orbits in symmetric billiards
Heriot-Watt University（赫瑞瓦特大学）；Loughborough University（拉夫堡大学）；Vrije Universiteit Amsterdam - Faculty of Science（阿姆斯特丹自由大学理学院）；Università degli Studi di Trento（特伦托大学）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）；Centre Inria d’Université Côte d’Azur（法国国家信息与自动化研究所蔚蓝海岸大学中心）
本文研究了对称平面弹奏器中非Birkhoff周期轨道的存在性，并给出了其存在条件及计算方法。
2026-02-17 math.DS
Asymptotic periodicity in outer billiards with contraction
我们证明了对于几乎每一个$(P,λ)$，其中$P$是凸多边形，并且$λ\in(0,1)$，相应的关于$P$且收缩为$λ$的外台球是渐近周期的，即，有有限个周期轨道，每个轨道都被其中一个吸引。
2017-07-04 math.DS
$λ$-stability of periodic billiard orbits
我们引入了一个新的概念，在多边形台球周期轨道的稳定性。我们说一个多边形台球的周期轨道是$λ$ -稳定的，如果有一个周期轨道为相应的弹球台球收敛到它作为$λ$ $\rightarrow$ 1。这种稳定性的概念与Galperin、Stepin和Vorobets提出的概念无关。给出了周期轨道是$λ$ -稳定的充必要条件，并证明了具有至多有限个$λ$ -稳定周期轨道的d-空间是稠密的.此外，我们还完全确定了可积多边形中的$λ$ -稳定周期轨道。
2016-11-22 math.DS
On Totally integrable magnetic billiards on constant curvature surface
研究了常曲率曲面上受恒定磁场影响的凸区域内台球运动。证明了如果台球映射是完全可积的，则其边界曲线必然是圆。这一结果是一个表现的所谓的霍普夫刚性现象，这是最近获得的经典台球常曲率表面。
2012-08-12 math.DG math.DS nlin.SI
Scarcity of periodic orbits in outer billiards
我们给出了一个简单的证明，我们以前的结果与V.Zharnitsky，周期4轨道集的平面外台球分段光滑凸边界有空的内部，如果没有四个角落的边界形成一个圆。我们还得到了周期5和6的轨道。
2017-12-25 math.DS
Birkhoff Normal Form and Twist Coefficients of Periodic Orbits of Billiards
本文针对多种动力台球，显式构造椭圆周期点附近的Birkhoff变换，并用台球桌几何参数给出前两个扭转系数的显式公式，进而刻画非线性稳定性与局部解析可积性。
2022-02-24 math.DS
Some remarks on periodic billiard orbits in rational polygons
一个多边形被称为有理的，如果每对边之间的角度是$π.$的有理倍数。我们要证明的主要定理是定理1：对于有理多边形，台球流的周期点在台球流的相空间中是稠密的。这是对Masur定理的加强，Masur定理证明了任何有理多边形都有“许多”周期性台球轨迹;更确切地说，周期性轨迹的方向集在速度方向集$§^1.$中是稠密的。我们还将证明定理1的一些改进：周期轨道在多边形中的"良好分布“和点$q \in Q$具有稠密周期方向集的剩余性。
1994-08-26 math.DS
Examples of reflective projective billiards and outer ghost billiards
在类的投影台球，其中包含通常的台球，我们展示反例Ivrii的猜想，其中指出，在任何平面台球光滑边界的周期轨道集有零措施。反例是允许$n$ -周期轨道的$2$ -参数族的多边形，其中$n$是$3$或比$4$更大的任何偶数。
2020-04-13 math.DS
Mixing rate in infinite measure for Z^d-extension, application to the periodic Sinai billiard
本文研究保概率动力系统的Z^d-扩张的观测量的混合率。我们解释了这个问题是如何与局部极限定理直接联系在一起的，并建立了Z^2周期西奈台球的一般类可观测量的混合率。我们比较我们的方法与归纳法。
2017-05-16 math.DS
Absolutely Periodic Billiard Orbits of Arbitrarily High Order
证明了对任意自然数n，包含n阶绝对周期轨道的域的集合在具有光滑边界的有界严格凸域的集合中稠密。证明这样一个轨道的存在是对Gonchenko、Shilnikov和Turaev的一篇论文的结果的台球映射的推广，其中证明了这样的映射在实解析保面积二维映射的区域中的纽豪斯域中是稠密的。我们的结果是一个步骤，对证伪的猜想，没有绝对的周期台球轨道的无限阶存在于欧几里德台球，也是一个迹象表明，Ivrii的猜想的措施集的周期轨道可能不是真的。
2022-09-23 math.DS
On polynomially integrable Birkhoff billiards on surfaces of constant curvature
给出了可积台球上Birkhoff猜想的代数形式的一个解。即证明了每一个多项式可积的实有界凸平面光滑台球都是椭圆。我们将这一结果推广到台球与分段光滑，不一定凸边界上的任意二维常曲率表面：平面，球，罗巴切夫斯基（双曲）平面，他们每个人都被建模为一个平面或（伪）领域的$\mathbb R^3$配备适当的二次型。也就是说，我们证明了台球是多项式可积的，当且仅当它的边界是共焦圆锥弧和适当的测地线段的联合。我们还提出了这些结果的复杂化。这些是Mikhail Bialy、Andrey Mironov和作者的共同成果。证明分为两部分。第一部分是由Bialy和Mironov在他们的两个联合文件。他们考虑了边界到$\mathbb{RP}^2$的重言式投影，并通过S.V.Bolotin定理研究了它的正交极线对偶曲线，这是分段代数的。通过他们的论证和另一个Bolotin定理，足以证明对偶曲线的每个非线性复不可约分量是圆锥曲线。他们证明了它的所有奇点和拐点（如果有的话）都位于$\mathbb C^3$上相应二次型的投影零轨迹中。本文给出了证明的第二部分：证明了上述每一不可约分支都是二次曲线，并完成了代数Birkhoff猜想在常曲率下的求解。
2019-02-22 math.DS
Existence of a Periodic Orbit for Billiards in Polygons
University of Maryland（马里兰大学）
通过反证法，结合Galperin等人关于台球流动力学的基本结果、单位切丛上黎曼度量的单参数缩放几何以及缩放度量的骨架或割迹拓扑，证明任意有限多边形中台球流至少存在一条周期轨道。
2026-06-08 math.DS
Outer billiards outside regular dodecagon: computer proof of periodicity of almost all orbits and existence of an aperiodic point
证明了正十二边形外台球非周期点的存在性。此外，几乎所有的轨道这样的外台球被证明是周期的，所有可能的周期被明确列出。证明是基于事实建立的计算机程序由作者实现。程序的所有计算都是绝对精确的;这些计算可以“手工”完成，但在这种情况下，计算量太大。
2018-09-11 math.DS
Periodic billiard trajectories in polyhedra
我们考虑多面体内的台球映射。我们给出了周期轨线稳定的条件。我们把这个结果应用于四面体的情形。我们导出了具有长度为4的周期轨道的四面体的开集的存在性（三角形的Fagnano轨道的推广），并且我们可以完全研究沿着这个编码的点的轨道.
2011-04-06 math.DS
Non-ergodic Z-periodic billiards and infinite translation surfaces
我们给出了一个标准，它允许证明非遍历某些无限周期台球和定向流的Z-周期平移表面。我们的标准特别适用于一个台球在一个无限大的带周期性间隔的垂直障碍和Escherfest风树模型，这是一个平面台球的$Z^2$周期性阵列的矩形障碍。我们证明，在这两个例子中，无论是一个完整的措施集的参数的台球桌和合理的参数表，几乎每个方向相应的台球流是不遍历，并有无数遍历组件。作为另一个应用，我们表明，任何经常性的Z-覆盖的一个正方形瓷砖表面的亏格2的方向流是不是遍历的，并没有不变集的有限措施的一个完整的措施集的方向。在本质值的语言中，我们证明了上述系统的Poincare映射所产生的斜积与区间交换变换的非正则Z值上圈相关联.
2011-09-21 math.DS
Outer billiards outside regular octagon: set of full measure and an aperiodic point
本文对正八边形外台球进行了详细的研究。我们描述了所有的周期点及其周期，证明了这些周期点构成八边形外的一个满测度集，并找到了一个非周期点。
2017-12-04 math.DS
Periodic orbits for square and rectangular billiards
本文研究方形与矩形数学台球，分类其周期轨道，证明碰撞数必为偶数，并将轨道类别数联系到 Euler 函数，同时分析给定碰撞数的构造及终止于角点的奇异轨迹。
2024-10-25 math.DS
Thesis manuscript: Projective and complex billiards, periodic orbits and Pfaffian systems
本文件是Corentin Fierobe关于台球作为一个动力系统的论文的手稿。第一页（标题、简介）为法语，但文档的其余部分为英语。
2021-07-05 math.DS
On the Density of Dispersing Billiard Systems with Singular Periodic Orbits
动力学台球，或在平面区域$D$中运动的粒子与边界发生弹性碰撞的行为，已经被广泛研究，并用于模拟许多物理现象，如玻尔兹曼气体。特别令人感兴趣的是分散台球，其中$D$由许多开放凸区域的并集组成。已知这些台球流是遍历的并且具有$K$ -性质。然而，Turaev和Rom-Kedar（1998）证明了对于允许奇异周期轨道的离散系统，存在一族光滑的哈密顿流，其稳定区域在这样的轨道附近，收敛到台球流。他们猜想，系统拥有这种奇异的周期轨道是密集的空间中的所有分散台球系统和备注，如果这一猜想是真的，那么每一个分散台球系统是任意接近一个非遍历光滑哈密顿流与地区的稳定。在本文中，我们考虑台球表组成的开放单位圆盘与不相交的闭包的联合补。我们提出了一个部分的解决方案，这个猜想表明，如果系统具有满足一定条件的近奇异周期轨道，那么它可以被扰动到一个系统，允许奇异周期轨道。我们评论的假设，我们的定理，必须删除，以证明猜想的Turaev和罗姆-凯达尔这些系统。
2019-10-23 math.DS
Linear and nonlinear stability of periodic orbits in annular billiards
环形台球是一个动力系统，其中粒子在圆盘中自由运动，除了与边界的弹性碰撞，并且在圆盘内部也是一个圆形散射体。本文研究了环形台球中散射体与边界接触或靠近边界时某些周期轨道的稳定性。我们分析表明，存在线性稳定的周期轨道的任意周期的半径减小的散射体位于附近的边界的磁盘。当散射体的位置远离周期轨道的对称线时，周期轨道的稳定性从椭圆轨道变为双曲线轨道，对应于鞍心分岔。当散射体与边界相切时，周期轨道为抛物线。我们证明了在切向情况下稍微改变轨道的反射角会导致KAM岛的存在。因此，我们表明，存在一个递减到零序列的开区间的散射半径，沿该台球桌是不是遍历。
2017-03-24 math.DS
Reflective projective billiards in the plane: odd periods, period five, and metric rigidity
本文研究反射律逐边恒定的多边形投影台球，给出显式单参数族覆盖所有至少三的周期（含奇周期），并完整刻画周期五情形，证明度量刚性，指出仅球面支持周期轨道开族。
2026-09-25 math.DS
Convex billiards on convex spheres
本文研究了二维凸球面上的动态台球问题。研究了一般凸球面上凸台球的一般性质。证明了$C^\infty$的周期点一般都是双曲或椭圆的，且具有无理旋转数.此外，每个双曲周期点都有横截同宿交点。在我们的方法中的一个新的成分是，我们使用赫尔曼的结果丢番图不变曲线证明了椭圆周期点的凸台球稠密子集的非线性稳定性。
2021-05-22 math.DS
Regular simplices and periodic billiard orbits
单纯形是$\mathbb{R}^{n}$中形成仿射基的$n+1$点的凸包。正则单形$Δ^n$是边长相等的单形。我们考虑$\mathbb{R}^n$的正则单形内的台球流。我们证明了两种类型的周期性轨迹的存在。一个有周期$n+1$，每个面打一次。另一个具有周期$2n$，并且击中其中一个面$n$次，同时击中任何其他面一次。在这两种情况下，我们确定的确切坐标点的轨迹击中边界的单纯形。
2012-10-21 math.DS
Generic properties of planar symplectic billiards
Dipartimento di Matematica Tullio Levi–Civita, Università di Padova（帕多瓦大学数学系）；ISEG, Universidade de Lisboa（里斯本大学经济与管理学院）
研究平面辛台球的一般性质，证明对于\(C^\infty\)强凸域剩余集，周期轨迹相关性质，还证弗兰克斯引理等，得出\(C^\infty\)强凸辛台球一般有正拓扑熵的结论。
2026-07-24 math.DS
Marked Length Spectrum, homoclinic orbits and the geometry of open dispersing billiards
我们考虑通过去除三个严格凸的障碍物，满足平面上的不食条件而得到的台球。非逃逸轨道集的动力学的限制是共轭的subshift上的三个符号，提供了一个自然的标签的所有周期性轨道。我们研究以下逆问题：标记长度谱（即，周期轨道长度的集合及其标记），决定了台球桌的几何形状？我们表明，从标记长度谱，它是可能的，以恢复在周期点的周期二，以及每个周期轨道的李雅普诺夫指数的曲率。
2019-05-04 math.DS
Billiard tables with rotational symmetry
我们推广了以下简单的几何事实：唯一的中心对称的等宽凸曲线是圆。台球对等宽条件的解释是：一条平面曲线有等宽，当且仅当，平面曲线内的Birkhoff台球映射有一条旋转不变曲线的$2$ -周期轨道。我们将这一陈述推广到旋转角度为$\frac{2π}{k}$不变的曲线，其中台球映射具有$k$ -周期轨道的旋转不变曲线。类似的结果也适用于外台球和辛台球。最后，我们考虑单位圆盘内的Minkowski台球的Minkowski（不一定是对称的）规范下的线性映射顺序$k\ge 3$不变。我们找到了$k$ -周期轨道不变曲线存在的一个判据。作为一个应用程序，我们得到了所有这些台球的刚度结果。
2021-10-04 math.DS
Families of Periodic Orbits of the Koch Snowflake Fractal Billiard
我们描述的预分形科赫雪花台球（第n个内部合理的折线逼近的科赫雪花台球）的周期轨道。在有限（prefractal）台球桌的情况下，我们着重于由pi/3的初始角给出的方向，并定义了1）分段Fagnano轨道的相容序列，2）轨道的最终常数相容序列和3）广义分段Fagnano轨道的相容序列.在无限（分形）台球桌的情况下，我们将描述我们所谓的科赫雪花分形台球稳定周期轨道。在某种意义上，我们证明了在康托尔集上定义台球动力学是可能的。此外，我们将表明，逆极限的足迹的轨道的prefractal近似存在于一个特定的情况下，并提供一个可扩展性参数，为什么这样的逆极限的足迹应该构成的足迹的一个定义良好的周期轨道的分形台球。利用有限空间序列的逆极限的已知结果，我们推导出足迹（即，轨道与边界的交点）是拓扑康托尔集和自相似康托尔集。我们提到一个可能的表征轨道的初始方向为π/3。这样的特征将允许人们将Koch雪花台球的初始方向为pi/3的轨道描述为分段Fagnano轨道、稳定轨道或广义分段Fagnano轨道。然后，我们关闭的文件，讨论了几个悬而未决的问题和progratures有关科赫雪花分形台球，相关的“分形平面”，并可能与相关的分形鼓。从长远来看，目前的工作可能有助于奠定基础的分形台球的一般理论。
2011-05-04 math.DS
Polygonal Refractive Outer Billiards
University Laboratory High School（大学附属实验中学）
该研究将Gutkin等、Tabachnikov等关于常规外台球的两个经典结果，推广到了凸多边形对应的折射外台球系统中。
2026-08-05 math.DS
Mixing and decorrelation in infinite measure: the case of the periodic sinai billiard
我们调查的问题的混合率的观测值的Z d-扩展的概率保持动力系统具有良好的频谱特性。我们国家一般的混合结果，包括每一个订单的扩展。本文主要研究Z2周期Sinai台球光滑观测量的混合率，根据视界是有限还是无限得到了不同的结果。当视界无限大时，我们建立了一个一阶混合结果。在有限视界的情况下，我们建立了一个渐近展开的每一个订单，使研究的混合率，甚至为零积分的可观。
2017-06-14 math.DS
Sequences of compatible periodic hybrid orbits of prefractal Koch snowflake billiards
Koch雪花KS是一条无处可微的曲线。具有边界KS的台球桌Omega（KS）先验地没有很好地定义。也就是说，人们不能先验地确定台球在桌子的边界中受到碰撞所经过的最小路径。正是这个问题使得欧米茄（KS）成为一个有趣但难以分析的表。在本文中，我们处理这个问题的近似（从内部）欧米茄（KS）由定义良好的（prefractal）合理多边形台球表欧米茄（KS_n）。首先证明了由有理台球Ω（KS_n）确定的平面S（KS_n）是单穿孔六角环面的分支覆盖。这样的结果，当结合的结果[Gut 2]，使我们能够定义一个序列的兼容轨道的prefractal台球。定义了一个预分形台球Omega（KS_n）的杂化轨道，并证明了预分形台球的每一个稠密轨道都是Omega（KS_n）的稠密杂化轨道.这个结果是关键，在获得一个拓扑二分法的一系列兼容的轨道。此外，我们确定了相容轨道序列是相容周期混合轨道序列的一个充分条件。然后，我们研究相容的周期混合轨道序列的极限行为。我们表明，平凡的限制，特别是（最终）常数序列的兼容混合轨道构成一个轨道的欧米茄（KS）。此外，我们表明，工会的两个适当选择的非平凡的多边形路径连接两个难以捉摸的极限点的科赫雪花。最后，我们将讨论如何可能将我们的结果推广到其他分形台球桌和如何理解的Veech组的prefractal台球的结构可能有助于确定“分形平面”自然与台球流。
2012-04-14 math.DS
On configuration spaces of plane polygons, sub-Riemannian geometry and periodic orbits of outer billiards
根据Baryshnikov和Zharnitskii最近的一篇论文，我们考虑了平面上具有由周期轨道组成的不变曲线的外台球。我们证明了存在和丰富的这样的表使用工具，从次黎曼几何。我们还证明了3-周期台球外轨道集有零测度。
2006-04-18 math.DG math.DS
A common first integral from three-body secular theory and Kepler billiards
本文揭示了三体 secular 理论与开普勒弹道中的共同第一积分的联系，并定义了常曲率面上的可积弹道系统。
2025-11-26 math.DS
Finiteness in Polygonal Billiards on Hyperbolic Plane
\textsc{J. Hadamard}研究了负曲率曲面上的测地流的几何性质，从而开创了“符号动力学”。在这篇文章中，我们遵循同样的几何方法来研究台球在双曲平面上的“有理多边形”中的测地线轨迹。我们特别表明，台球动力学，从而只是“子移位的有限型”或其密集的子集。我们进一步表明，“Subshifts的有限型”中发挥了核心作用，在subshift动态和讨论的拓扑结构的空间的所有subshift，我们证明，他们近似任何移动动态。
2021-08-29 math.DS
How smooth can convex chaotic billiard tables be?
我们解决了长期存在的问题，平滑体育场台球。此外，我们的结果表明，为什么没有明确的示意图，多少体育场的边界必须平滑，以破坏混沌动力学。要做到这一点，我们需要扩展标准KAM理论来分析周期轨道的稳定性，因为系统的低光滑性。事实上，体育场有一个$C^1$边界，我们表明，$C^2$平滑的结果在外观的椭圆周期轨道。
2018-06-08 math.DS
A few remarks on periodic orbits for planar billiard tables
本文给出了平面台球桌周期点测度猜想的一个解答。该定理说，如果$\Om\subset\R^2$是一个具有分段$C^3$边界的紧致域，则$\Om$中台球的周期轨道集具有测度零。在这里，我概述了一个证明。其他地方会有完整的版本。
2006-12-01 math.AP math.DS
Hausdorff dimension of three-period orbits in Birkhoff billiards
证明了经典台球中三周期轨道集的豪斯多夫维数至多为1。此外，如果三周期轨道集的豪斯多夫维数为1，则它几乎在每一点都有一条切线。
2011-12-12 math.DS nlin.CD
The Existence of a Billiard Orbit in the Regular Hyperbolic Simplex
本文证明了在双曲空间中的n维正则单形内存在一个（n+1）周期台球轨迹，它与每个面的内部恰好碰撞一次.
2013-02-26 math.DS
Hyperbolic billiards with nearly flat focusing boundaries. I
标准的Wojtkowski-Markarian-Donnay-Bunimovich技术用于在平面内聚焦或混合台球的双曲性，要求台球桌的直径与沿着聚焦边界的最大曲率射线具有相同的数量级。这是由于在证明中使用的物理原理，即所谓的几何光学散焦机制。在本文中，我们构建的例子双曲台球与聚焦边界组件的任意小曲率的直径是有界的一个常数，曲率无关。我们的证明采用了一个nonstardard锥束，不单独使用熟悉的分散和散焦机制。
2007-12-21 math-ph math.DS math.MP
Trace formula for billiard flow on surfaces with concave boundary
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文研究凹边界紧致曲面上台球流的擦碰闭轨迹，在非退化条件下计算正则化拉回的迹，推广了Atiyah-Bott-Guillemin迹公式。
2026-09-22 math.DS
Unexpected Linearly Stable Orbits in $3$-Dimensional Billiards
在这项工作中，我们在$3$维域中构建线性稳定的周期轨道，其边界包含聚焦分量（球体的小块），其中我们将这些分量放置在任意远的地方。证明了具有聚焦边界和混沌性质的平面台球的构造方法不能直接应用到$3$维台球中。
2021-11-15 math.DS
