Two distance-regular graphs
Andries E. Brouwer, Dmitrii V. Pasechnik
本文构造了两类距离正则图，即B_3（q）型对偶极图在远离不动点的顶点上导出的子图和D_4（q）型对偶极图在远离固定边的顶点上导出的子图。后者是前者的扩展的二部二重。
We construct two families of distance-regular graphs, namely the subgraph of the dual polar graph of type B_3(q) induced on the vertices far from a fixed point, and the subgraph of the dual polar graph of type D_4(q) induced on the vertices far from a fixed edge. The latter is the extended bipartite double of the former.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Maximal $2$-distance sets containing the regular simplex
欧几里得空间的有限子集$X$称为$m$ -距离集，如果$X$中两个不同点之间的距离数等于$m$。如果在保持$m$ -距离条件的同时不能将任何向量添加到$X$，则称$m$ -距离集$X$为最大.本文研究了向量加到正则单纯形上使得集合只有$2$距离的一个充要条件。我们构造了几个包含$d$维正则单形的$d$维极大$2$ -距离集.特别是，存在无穷多个最大的非球形$2$ -距离集，其中既包含正则单纯形，又包含强可解设计的表示。最大$2$距离集的大小为$2s^2(s+1)$，维数为$d=(s-1)(s+1)^2-1$，其中$s$是素数幂.
Pseudo-distance-regularised graphs are distance-regular or distance-biregular
图的顶点伪距离正则性是标准距离正则性在非正则图中的自然推广。本文证明了一个围绕其每个顶点的伪距离正则图是距离正则图或距离双正则图。Godsil和Shawe-Taylor利用组合的方法对围绕其每个顶点的距离正则图也得到了同样的结论。因此，我们的证明，这是一个代数性质，也可以被看作是一个替代的证明戈西尔和肖-泰勒定理。
Edge-distance-regular graphs are distance-regular
一个图是边距离正则的，当它的每一条边都是距离正则的，并且它的任何一条边作为根都有相同的相交数。本文给出了边距离正则图$\G$是距离正则齐次图的一些（组合和代数）证明。更精确地说，$\G$是边距离正则的当且仅当它是二部距离正则的或广义奇图。同时，我们还得到了它们的一些相应参数之间的关系，主要是距离多项式和相交数之间的关系。
Weakly distance-regular digraphs whose underlying graphs are distance-regular, I
本文针对距离正则图的定向何时构成弱距离正则有向图的问题，分类了底图分别为Hamming图、折叠n立方体和Doob图的交换弱距离正则有向图。
Weakly distance-regular digraphs whose underlying graphs are distance-regular,II
本文延续既有工作，分类了底图为Johnson图或折叠Johnson图的全部交换弱距离正则有向图。
Optimal Embeddings of Distance Regular Graphs into Euclidean Spaces
本文给出了距离正则图在欧几里得空间中的最小失真嵌入的一个下界。我们使用下界来寻找汉明图、约翰逊图和所有强正则图的最小失真。我们的技术涉及半定规划和利用最优化问题的代数结构，使找到最小失真的下界的问题减少到一个关于正交多项式的分析问题。
On distance matrices of distance-regular graphs
本文给出了距离正则图的距离矩阵可逆的一个刻划。
A spectral characterization of strongly distance-regular graphs with diameter four
一个具有$d+1$不同特征值的图$G$称为强距离正则的，如果$G$本身是距离正则的，并且它的距离- $d$图$G_d$是强正则的.本文给出了直径为$d=4$的强距离正则的距离正则图的谱刻画。作为一个副产品，它表明，所有的二部强距离正则图这样的直径是对映的。
Thick weakly distance-regular digraphs
弱距离正则有向图是厚的，如果它的附着概型是正则的。本文证明了每一个可交换的厚弱距离正则有向图都有一个厚弱距离正则子有向图，使得相应的商有向图在同构的情况下可分为六类厚弱距离正则有向图.
Gromov-Hausdorff distance between vertex sets of regular polygons inscribed in a given circle
本文研究圆内接正多边形顶点集在圆周度量下的 Gromov-Hausdorff 距离，完整解决了 m 可被 n 整除时 n 边形与 m 边形的情形，并给出到 2 边形和 3 边形的全部距离。
Weakly distance-regular digraphs of diameter 2
本文研究距离正则图的定向版本，刻画了所有直径为2的弱距离正则有向图。
On almost distance-regular graphs
距离正则图是代数组合学中的一个关键概念，并已产生了一些推广，如关联方案。受距离正则图的谱和其它代数刻画的启发，我们研究了几乎距离正则图。我们非正式地使用这个名字来表示那些共享一些与图中的距离相关的正则性属性的图。例如，距离正则图的一个已知特征是在给定距离处顶点之间给定长度的行走的数量不变性，而如果以任何给定顶点为根的给定长度的闭行走的数量是常数，则图被称为行走正则的。这里研究的概念之一是距离正则性和行走正则性的推广，称为$m$ -行走正则性。另一个研究的概念是$m$ -部分距离正则性，或者非正式地，距离正则性直到距离$m$。利用图的特征值和预距离多项式，我们讨论和联系这些和几乎距离正则性的其他概念，如$(\ell,m)$ -行走正则性的共同推广。本文引入了点距离正则性和点行走正则性的概念，作为构造几乎距离正则图的基础。我们提供的例子，主要是从福斯特人口普查，对称三次图的集合。提出了两个问题，这是有关的问题时，几乎距离定期成为整个距离定期。我们还给出了点距离正则图的几个刻画，它们是谱过剩定理的推广。
Dual concepts of almost distance-regularity and the spectral excess theorem
一般来说，“几乎距离正则”图具有距离正则图所具有的一些（但不一定是全部）正则性特征。本文提出了几乎距离正则图的两个新的对偶概念，从而加深了对距离正则图性质的理解。更精确地说，我们利用谱刻画了$m$ -部分距离正则图和$j$ -点特征空间距离正则图.我们的结果也可以看作是所谓的距离正则图的谱过剩定理的推广，并导致它的对偶版本。
The spectral excess theorem for distance-regular graphs having distance-$d$ graph with fewer distinct eigenvalues
设$Γ$是一个距离正则图，其直径为$d$，Kneser图$K=Γ_d$是$Γ$的距离- $d$图.当$K$的不同特征值比$Γ$少时，我们说$Γ$是部分对映的。特别是，这是对映距离正则图（$K$只有两个不同的特征值）和所谓的半对映距离正则图（$K$只有一个负特征值）的情况。我们给出了部分对映距离正则图（在具有$d$不同特征值的正则图中）的谱和距离每个顶点最大距离$d$处的平均顶点数的一个刻画.这可以看作是所谓谱过剩定理的一般形式，它允许我们刻画那些半对映、对映、二部或Kneser图是强正则的距离正则图。
Distance-regular Cayley graphs over dicyclic groups
距离正则Cayley图的刻画起源于强正则Cayley图或正则部分差集的识别问题。本文对双循环群上的距离正则Cayley图进行了分类。更具体地说，证明了双圈群上的距离正则Cayley图是完全图、完全多部图或直径为$3$且满足一定条件的非对映二部距离正则图.
The spectral excess theorem for graphs with few eigenvalues whose distance-$2$ or distance-$1$-or-$2$ graph is strongly regular
研究了距离- $2$图或距离- $1$ -或- $2$图是强正则的正则图.我们提供了这样的图$Γ$（在正则图与几个不同的特征值）的频谱和平均数的顶点在最大距离$d$从每个顶点，其中$d+1$是$Γ$不同的特征值的数量。这可以被看作是所谓的谱过剩定理的另一个版本，它以类似的方式刻画了那些距离正则的正则图。
Shilla distance-regular graphs
一个Shilla距离正则图G（比如k度）是一个直径为3的距离正则图，使得它的第二大特征值等于a3.我们将证明对于Shilla距离正则图G，a3可除k，并且对于G，我们定义b=b（G）：=k/a3。本文证明了存在n个固定b（G）>=2的Shilla距离正则图G.此外，我们还对b（G）=2和b（G）=3的Shilla距离正则图进行了分类.此外，我们还给出了距离正则图的一个新的存在性条件。
Distance-regular graphs admitting a perfect $1$-code
本文研究了距离正则图中哪一个图有完美$1$ -码的问题。在其他结果中，我们刻画了距离正则线图，承认一个完美的$1$ -代码。此外，我们还刻画了所有已知的距离正则图，其最多的$4$的小价，距离正则图，其已知的假定的交叉阵列的价$5$，和所有的距离正则图周长$3$和价$6$或$7$，允许一个完美的$1$ -码。
The metric dimension of small distance-regular and strongly regular graphs
图$Γ$的{ \em解析集}是顶点$S$的集合，选择这些顶点使得对于每个顶点$v$，从$v$到$S$的成员的距离列表唯一地指定$v$。$Γ$的{ \em度量维度}是$Γ$的解析集的最小大小。一个图是{ \em距离正则的}，如果对于在每个距离$i$处的任何两个顶点$u,v$，在每个可能的距离$u$处的$v$的邻居的数量（即$i-1$，$i$或$i+1$）仅取决于距离$i$，而不取决于顶点$u,v$的选择。距离-正则图包括所有的距离传递图和所有的强正则图。本文给出了计算机计算的结果，得到了顶点数不超过34的距离-正则图、顶点数不超过100的低价距离传递图、顶点数不超过45的强正则图、顶点数不超过100的秩-PDMATHAMV强正则图以及某些距离-正则图的度量维数。
Distance-regular graphs with exactly one positive $q$-distance eigenvalue
本文研究了距离正则图的$q$-距离矩阵，证明了具有经典参数的图恰有三个不同特征值，并进一步探讨了$q$-距离矩阵恰有一个正特征值的距离正则图。
Distance-regular graphs
这是距离正则图的一个综述。我们为不熟悉这一主题的读者介绍了距离正则图，然后概述了自专著'BCN' [Brouwer，A.E.，科恩，上午，诺伊迈尔，A.，距离正则图，Springer-Verlag，柏林，1989]。
There exists no distance-regular graph with intersection array {56,36,9;1,3,48}
证明了不存在交数组为{56，36，9; 1，3，48}的距离正则图。这个交集数组来自A. E.“距离正则图“中的距离正则图的可行参数表。Brouwer，A. M. Cohen，A.诺伊迈尔
There exists no distance-regular graph with intersection array {55,36,11;1,4,45}
证明了不存在交数组为$\{55,36,11;1,4,45\}$的距离正则图。这个交集数组来自A. E.“距离正则图“中的距离正则图的可行参数表。Brouwer，A. M. Cohen，A.诺伊迈尔
Self-complementary distance-regular Cayley graphs over abelian groups
本文研究了阿贝尔群上的自补距离正则Cayley图。证明了如果一个正则图是自补距离正则的，则它是自补强正则的。我们还研究了阿贝尔群上的自补强正则Cayley图，并给出了一个非初等阿贝尔群上的自补强正则Cayley图的例子.
Distance-regular graphs with a few $q$-distance eigenvalues
本文研究距离正则图的 $q$-距离矩阵在何时具有少数不同特征值，并主要集中于直径为 3 的情形。
Distance mean-regular graphs
本文引入了距离平均正则图的概念，它可以看作是点传递图和距离正则图的推广。设$Γ$是一个图，其顶点集$V$，直径$D$，邻接矩阵$A$，邻接代数${\cal A}$ .然后，当对于给定的$u\in V$，在距$u$给定距离$h\in \{0,1,\ldots,D\}$处的所有顶点$v$上计算的交集数$p_{ij}^h(u,v)=|Γ_i(u)\cap Γ_j(v)|$（距$u$距离$i$处的顶点数和距$v$距离$j$处的顶点数）的平均值不依赖于$u$时，$Γ$是$distance$ $mean$ - $regular$。在这项工作中，我们研究了这些图的一些性质和特征。例如，证明了距离平均正则图总是距离度正则图，并给出了反之亦然的条件。研究了距离平均正则图的一些代数和谱性质。我们证明了，对于距离平均正则图，距离正则图的距离矩阵的作用是所谓的距离平均正则矩阵。这些矩阵是从$Γ$的邻接矩阵上的一系列正交多项式中计算出来的，因此它们生成了${\cal A}$的子代数。另外还刻画了与距离平均正则图相关的一些代数.
Distance Regular Colorings of $n$-Dimensional Rectangular Grid
研究了不具有距离正则性的$n$维矩形网格的无限图以及该图的距离正则染色，定义为关于完全正则码的距离染色.证明了任意距离正则染色的参数矩阵的元素构成两个单调序列。证明了$n$维矩形网格的不可约距离正则染色至多有$2n+1$色.
$P$-polynomial weakly distance-regular digraphs
本文定义了伴随方案为$P$-多项式的弱距离正则有向图，并刻画了所有此类有向图。
The uniqueness of a distance-regular graph with intersection array {32,27,8,1;1,4,27,32} and related results
已知在同构之前，存在唯一的交数组为{32，27; 1，12}的距离正则图$Δ$（等价地，$Δ$是唯一的参数为（105，32，4，12）的强正则图）.本文研究了$Δ$的距离正则对映覆盖。本文证明了$Δ$（作者在二十多年前发现的一个图$\hatΔ$）在同构下只有一个距离正则的对极三重覆盖，证明了存在唯一的交数组为{32，27，8，1; 1，4，27，32}的距离正则图.在此过程中，我们证实了SteveLinton的一个未发表的结果：$Δ$不存在距离正则对映双覆盖，因此不存在交数组为{32，27，6，1; 1，6，27，32}的距离正则图.我们还证明了$Δ$不存在距离正则对脚4-覆盖，因此也不存在相交数组为{32，27，9，1; 1，3，27，32}的距离正则图，也不存在$Δ$的距离正则对脚6-覆盖是$\hatΔ$的双重覆盖.
Weakly distance-regular digraphs whose attached association schemes are regular
本文研究了可交换的弱距离正则有向图，并给出了混合弧的一个刻划。作为应用，我们对直径为2的有向图进行了分类。
Primitive weakly distance-regular circulant digraphs
我们对某些非对称交换结合方案进行了分类。作为应用，我们确定了所有的本原弱距离正则循环有向图。
Distance-regular graphs without 4-claws
确定了直径至少为$3$和$c_2\geq 2$但不含诱导$K_{1,4}$ -子图的距离正则图.
On the Cheeger constant for distance-regular graphs
图的Cheeger常数是子图的大小与其边界的大小之间的最小可能比率。众所周知，这个常数必须至少是$\frac{λ_1}{2}$，其中$λ_1$是拉普拉斯矩阵的最小正特征值。本文的主题是作者的一个猜想：对于距离正则图，Cheeger常数至多为$λ_1$ .特别地，我们证明了对已知无限族的距离正则图、直径为2的距离正则图（强正则图）、几类非本原距离正则图以及大多数小效价的距离正则图的猜想.
A relationship between the diameter and the intersection number c2 for a distance-regular graph
本文研究了距离正则图的相交数c2与其直径之间的关系。同时，我们给出了一些工具来证明具有大c2的距离正则图是二部图，以及一个工具来证明如果kD太小，则距离正则图必然是对映图。
The least Euclidean distortion constant of a distance-regular graph
在2008年，Vallentin提出了一个猜想，涉及将距离正则图嵌入到欧几里得空间的最小失真。Vallentin的猜想意味着，对于直径为$d$的距离正则图的最小失真欧氏嵌入，最收缩的顶点对是距离为$d$的顶点对。本文对几类距离正则图证明了Vallentin猜想。我们还提供了反例，这个猜想，其中最大的收缩发生在距离$d{-}1$的顶点对之间。我们提出了三种可供选择的图，并证明了他们的几个家庭的距离正则图。
Distance-regular graphs with valency k having smallest eigenvalue at most -k/2
本文研究了最小特征值至多为-k/2的k度非二部距离正则图。
Simplified results on the regularity of electric resistance on a distance-regular graph
本文给出了关于距离正则图中点间电阻的一个结果的简化。特别是，我们证明了点之间的最大电阻是有界的邻居之间的电阻的两倍。我们还表明，如果常数被削弱，那么可以给出一个非常简单的证明。
Distance-regular Cayley graphs with small valency
研究了小效价的距离正则图是Cayley图的问题。我们确定了距离正则的Cayley图中的最大效价为$4$的Cayley图，距离正则图中的最大效价为$5$的已知假定交叉阵列的Cayley图，以及距离正则图中的最大效价为$6$或$7$且围长为$3$的Cayley图.我们得到了Desklesian仿射平面减去平行线类的关联图是Cayley图。我们证明了已知广义六边形的关联图不是Cayley图，也证明了一些由小广义四边形或广义六边形生成的距离正则图不是Cayley图.在一些"例外“的小效价距离正则图中，我们发现Armanios-Wells图和Klein图是Cayley图.
The Hosoya polynomial of distance-regular graphs
本文给出了任何距离正则图的Hosoya多项式关于其交数组的一个显式公式。由此，我们得到了强正则图的Hosoya多项式的一个非常简单的公式。
The distance-regular graphs such that all of its second largest local eigenvalues are at most one
本文对距离正则图进行了分类，使得它的第二大局部特征值至多为1。并讨论了距离正则图的最小特征值的性质。推广了第一作者对具有最小特征值的距离正则图进行分类的结果$-1-\frac{b_1}{2}$。
On electric resistances for distance-regular graphs
研究了距离正则图上的电势行为，推广了已有文献的一些结果。我们的主要结果，定理4，表明（连同推论3），如果距离是由点之间的电阻测量，那么所有的点是接近等距的距离正则图具有大的效价。一些辅助结果也被提出。
Weakly distance-regular circulants, I
本文分类某些非对称交换结合方案，并借助 Schur 环确定一类弧的全部弱距离正则循环图，同时完成本原情形的分类。
Distance-regular graphs where the distance-$d$ graph has fewer distinct eigenvalues
设距离正则图$Γ$的Kneser图$K$是与$Γ$在同一顶点集上的图，其中当$Γ$中的两个顶点具有最大距离时它们相邻。研究了$Γ$的Bose-Mesner代数不是由$K$的邻接矩阵生成的情况。特别是，我们得到强有力的结果，在所谓的“半对映”的情况下。
On $s$-distance-transitive graphs
距离正则图具有许多美丽的组合性质。距离传递图具有很强的对称性，并且是距离正则的，即距离传递蕴含着距离正则性。本文给出了类似的结果，即对特殊的$s$和具有其它限制的图，证明了$s$ -距离传递蕴涵距离正则性.
The Norton algebra of a $Q$-polynomial distance-regular graph
本文考虑距离正则图的邻接矩阵的$Q$ -多项式本原幂等元所对应的Norton代数。我们得到一个公式的诺顿代数产品，我们发现有吸引力的。
Quasi-thin weakly distance-regular digraphs
若弱距离正则有向图的最大相交数为2，则称该图是拟瘦图。本文主要研究交换拟瘦弱距离正则有向图，并对3度以上的有向图进行了分类。结果，这类有向图是完全确定的。
Quasi-thin weakly distance-regular digraphs,I
若弱距离正则有向图的最大相交数为2，则称该图是拟瘦图。本文证明了任意可交换拟瘦弱距离正则有向图的价至多为6。
Weakly distance-regular digraphs of valency three, II
本文对围长大于2的3度弱距离正则有向交换图进行了分类。结合[8，定理1.2]，[10，定理1.3]和[11，定理1]，完全确定了3度交换弱距离正则有向图。
3-bounded property in a triangle-free distance-regular graph
设$Γ$表示具有经典参数$(D, b, α, β)$和$D\geq 3$的距离正则图.假设相交数$a_1=0$和$a_2\not=0$。我们证明了$Γ$在文章[D-bounded距离正则图，European Journal of Combinatorics（1997）18，211-229]的意义下是3-有界的。
There are only finitely many distance-regular graphs of fixed valency greater than two
本文证明了Bannai-Ito猜想，即固定价大于2的距离正则图只有1/2个.
Minimum edge cuts of distance-regular and strongly regular digraphs
本文证明了距离正则有向图$Γ$的边连通度是$k$，并且对于$k>2$，$Γ$的任何最小边割是所有进入（或离开）一个顶点的边的集合.此外，我们还证明了同样的结果也适用于强正则有向图。这些结果推广了无向情形下的相同已知结果，但证明方法却截然不同。
Weakly distance-regular digraphs of valency three, I
Suzuki（2004）[7]对稀疏弱距离正则有向图进行了分类，并提出了对3度弱距离正则有向图进行分类的方案。第三作者（2004）[9]在交换性的假设下对围长为2的情况进行了分类。在本文中，我们继续了这个项目，并对围长大于2的有向图和两类弧进行了分类。
An inequality involving the second largest and smallest eigenvalue of a distance-regular graph
对于具有第二大特征值的距离正则图（分别为最小特征值）\mu 1（分别\muD）我们证明了（\mu 1+1）（\muD +1）<= -b1成立，其中等式仅在直径等于2时成立。利用这个不等式，我们研究了具有固定第二大特征值的距离正则图。
Logical aspects of isomorphism of controllable graphs and cospectrality of distance-regularized graphs
本文研究可控图同构与距离正则图余谱性之间的逻辑关系，通过引入一阶逻辑工具扩展并统一了现有结果。
Families of nested completely regular codes and distance-regular graphs
本文构造了线性二元套完全正则码的无限族。它们具有等于$3$或$4$的覆盖半径$ρ$，并且对于长度为$n=2^m-1$（分别为$2^m$）的二进制（分别为扩展二进制）汉明码的$i\in\{1,\ldots,u\}$是第$1/2^i$部分，其中$m=2u$。在通常的情况下，即，作为陪集图，构造了直径$D$等于$3$或$4$的嵌入距离正则陪集图的无限族。在某些情况下，所构造的码也是完全传递码，并且相应的陪集图是距离传递的。
Some Spectral and Quasi-Spectral Characterizations of Distance-Regular Graphs
本文考虑图的预交数的概念。这些数由图的邻接矩阵的谱决定，推广了距离正则图的相交数。利用预交数给出了距离正则性的一些新的谱和拟谱刻画，特别是对于大围长和大奇围长的图。
A lower bound for 4-regular planar unit distance graphs
我们执行一个穷举搜索的最小4-正则单位距离图的下界的34个顶点。
On 3-equivalenced weakly distance-regular digraphs
弱距离正则有向图是3-等价的，如果它的附着结合方案是3-等价的。本文在交换性的假设下，对这类有向图进行了分类。
A characterization of $Q$-polynomial distance-regular graphs using the intersection numbers
本文考虑一个本原距离正则图$Γ$，其直径至少为$3$ .我们利用$Γ$的相交数来寻找一个整数元的正半定矩阵$G$。证明了$G$有行列式零当且仅当$Γ$是$Q$ -多项式.
$2$-Reconstructibility of Weakly Distance-Regular Graphs
一个图是$\ell$ -可重构的，如果它是由它的诱导子图的多集确定的，导出子图是通过删除$\ell$的顶点得到的.证明了至少有6个顶点的强正则图是$2$ -可重构图。
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