The Norton algebra of a $Q$-polynomial distance-regular graph
Paul Terwilliger
本文考虑距离正则图的邻接矩阵的$Q$ -多项式本原幂等元所对应的Norton代数。我们得到一个公式的诺顿代数产品，我们发现有吸引力的。
We consider the Norton algebra associated with a $Q$-polynomial primitive idempotent of the adjacency matrix for a distance-regular graph. We obtain a formula for the Norton algebra product that we find attractive.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Nonassociativity of the Norton Algebras of some distance regular graphs
一个诺顿代数是一个距离正则图的特征空间，它被赋予一个交换的非结合积，称为诺顿积，它被定义为逐项积在这个特征空间上的投影。Norton代数在有限群理论中很有用，因为它们有有趣的自同构群。基于Levstein、Maldonado和Penazzi等人在前人工作中建立的Norton积的计算公式，我们给出了Johnson图、Grassman图、Hamming图和对偶极图的第二大特征值的特征空间上Norton积的非结合性的精确的定量度量.我们的结果表明，该积是尽可能非结合的，除了两种情况，一种是平凡消失的情况，而另一种情况与OEIS上的整数序列A000975和黄，米奇，徐最近研究的所谓的双减运算有关。
The Norton-balanced condition for $Q$-polynomial distance-regular graphs
本文为$Q$-多项式距离正则图引入Norton平衡条件，证明其在二分、紧、Hamming图、Johnson图等十三类图中成立，并给出理论结果与开放问题。
Norton algebras of the Hamming Graphs via linear characters
通过对距离正则图的每个特征空间进行正交投影，定义了诺顿积。由此产生的代数，称为诺顿代数，是一个交换非结合代数，由于其有趣的自同构群，在群论中很有用。利用线性特征标给出了Hamming图的特征空间上的Norton积的计算公式。本文构造了Hamming图的Norton代数的一个大的自同构子群，并在某些情况下完整地描述了自同构群。我们还表明，诺顿产品上的每个特征空间的汉明图是尽可能的非结合，除了一些特殊情况下，它是结合的或同样的非结合的所谓的双减操作以前研究的作者，米奇，徐。我们的结果仅限于超立方体，并扩展到半立方体和/或折叠立方体，双线性型图，更一般地，所有的凯莱图的有限阿贝尔群。
$P$-polynomial weakly distance-regular digraphs
本文定义了伴随方案为$P$-多项式的弱距离正则有向图，并刻画了所有此类有向图。
The Hosoya polynomial of distance-regular graphs
本文给出了任何距离正则图的Hosoya多项式关于其交数组的一个显式公式。由此，我们得到了强正则图的Hosoya多项式的一个非常简单的公式。
Signless laplacian characteristic polynomials of regular graph transformations
设$G$是一个简单的$r$ -正则图，它有$n$和$m$两个顶点.本文给出了$G$的$xyz$ -变换$G^{xyz}$的无符号拉普拉斯特征多项式，它们是由$n$，$m$，$r$和$G$的无符号拉普拉斯谱表示的.
Krawtchouk polynomials and quadratic semi-regular sequences
本文给出了超定零维齐次二次半正则多项式方程组正则度的上、下界。分析是基于相关的希尔伯特级数的解释为截断的生成函数的值的某个家庭的正交多项式，Krawtchouk多项式。
A characterization of $Q$-polynomial distance-regular graphs using the intersection numbers
本文考虑一个本原距离正则图$Γ$，其直径至少为$3$ .我们利用$Γ$的相交数来寻找一个整数元的正半定矩阵$G$。证明了$G$有行列式零当且仅当$Γ$是$Q$ -多项式.
The displacement and split decompositions for a $Q$-polynomial distance-regular graph
设$Γ$表示直径至少为3的标准模为$V$的$Q$ -多项式距离正则图.我们引入了$V$的两个直和分解。我们称之为$Γ$的位移分解和$Γ$的分裂分解。我们描述这些分解是如何相关的。
Unimodality of the independence polynomials of non-regular caterpillars
图$G$的独立多项式$I(G, x)$是变量$x$的多项式，其中$x^n$上的系数$a_n$给出$G$的顶点的独立子集$S \subseteq V(G)$的数目，使得$|S| = n$。如果存在索引$I(G, x)$使得$a_0 \leq a_1 \leq$.. $\leq a_{μ-1} \leq a_μ \geq a_{μ+1} \geq$. $\geq a_{d-1} \geq a_d$虽然许多具有高度规则结构的图族的独立多项式是单峰的，但对结构不太规则的图知之甚少。我们分析了一个大型的无限树族的独立多项式没有规则的结构，并表明，这些多项式是单峰通过组合分析的多项式系数。
Characterizations of regularity for certain $Q$-polynomial association schemes
证明了具有$a_1^*=0$和互无偏基（MUB）的对称设计的联结系统是三重正则结合方案。本文用Krein数刻画了对称设计的联结系统的三重正则性。证明了极大MUB携带一个四重正则结合方案，并用参数刻画了MUB的四重正则性。
Alliance polynomial of regular graphs
具有阶$n$和最大度$Δ$的图$G$的联盟多项式是多项式$A(G; x) = \sum_{k=-Δ}^Δ A_{k}(G) \, x^{n+k}$，其中$A_{k}(G)$是$G$中精确防御$k$ -联盟的数目。我们得到了正则图的$A(G; x)$及其系数的一些性质。特别地，我们用正则图的联盟多项式的非零系数的个数来刻画正则图的度。此外，我们还证明了小度$Δ$ -正则图的联盟多项式族是一个非常特殊的联盟多项式族，因为它不包含非$Δ$ -正则图的联盟多项式.利用这一结果，通过直接计算，我们发现联盟多项式唯一地决定了每一个阶小于或等于$10$的三次图。
More on the sixth coefficient of the matching polynomial in regular graphs
图$G$中的匹配集$M$是$G$的边的集合，使得来自$M$的两条边不共享顶点。本文考虑了与正则图匹配有关的一些参数。找到了正则图匹配多项式的第六个系数。因此，每一个阶为$10$的三次图都是匹配唯一的。
m-distance-regular graphs and their relation to multivariate P-polynomial association schemes
该研究定义m-距离正则图概念，证明其为多元P-多项式结合方案提供图论解释，还探究两类对象的精细结构与约束，建立(α,β)型二元P-多项式方案和2-距离正则图的关联。
The Terwilliger polynomial of a Q-polynomial distance-regular graph and its application to the pseudo-partition graphs
设$Γ$是直径至少为$3$的$Q$ -多项式距离正则图. Terwilliger（1993）隐式地证明了存在一个多项式，比如说$T(λ)\in \mathbb{C}[λ]$，其次数$4$仅取决于$Γ$的交集数，并且使得对于局部图$Γ(x)$的任何非主特征值$η$，对于任何顶点$x\in V(Γ)$，$T(η)\geq 0$都成立。我们称$T(λ)$为$Γ$的Terwilliger多项式。本文利用$Γ$与其对偶特征值的交数给出了$T(λ)$的一个显式表达式。然后，我们应用这个多项式表明，所有的伪分区图的直径至少$3$是已知的。
Connectivity concerning the last two subconstituents of a Q-polynomial distance-regular graph
设$Γ$是直径为$d\geq 3$的$Q$ -多项式距离正则图.固定$Γ$的一个顶点$γ$，并考虑$Γ$的最后两个子成分关于$γ$的并集上导出的子图。我们证明了这个子图是连通的。
Twice $Q$-polynomial distance-regular graphs of diameter 4
已知一个距离正则图的度$k$至少为3，最多允许两个Q-多项式结构.本文证明了所有直径为4、度至少为3且允许两个$Q$ -多项式结构的距离正则图是对偶二部图或几乎对偶非本原图.通过Dickie \cite{Dickie}的工作，这意味着任何直径$d$至少为4且效价至少为3且允许两个$Q$ -多项式结构的距离正则图，如果它不是Hadamard图，则是具有$d$偶数的立方体$H(d,2)$、半立方体${1}/{2} H(2d+1,2)$、折叠立方体$\tilde{H}(2d+1,2)$或具有$q\ge 2$素数幂的$[^2A_{2d-1}(q)]$上的对偶极图。
Nonsymmetric Askey-Wilson polynomials and $Q$-polynomial distance-regular graphs
Douglas Leonard在其著名的定理（1982）中利用$q$-多项式距离正则图的对偶性刻画了Askey方案中的$q$ -Racah多项式及其相关多项式。在本文中，我们考虑在上述情况下的$q$ -Racah多项式的非对称（或Laurent）版本。设$Γ$表示含有Delsarte团$C$的$Q$ -多项式距离正则图.假设$Γ$具有$q$ -Racah类型。固定顶点$x \in C$。我们根据到$x$和$C$的路径长度距离对$Γ$的顶点集进行划分。对于$(C^{\vee}_1, C_1)$型泛双仿射Hecke代数$\hat{H}_q$，对应于该划分中胞元的特征向量的线性跨度具有不可约模结构.从这个模，我们自然地得到一个有限序列的正交洛朗多项式。利用$\hat{H}_q$ -模和Leonard系统理论证明了这些多项式的正交关系。通过将$\hat{H}_q$改为$\hat{H}_{q^{-1}}$，我们展示了我们的Laurent多项式如何与非对称的Askey-Wilson多项式相关，因此我们的Laurent多项式如何可以被视为非对称的$q$ -Racah多项式。
A catalogue of small regular matroids and their Tutte polynomials
在网上提供了基数为$n \leq 15$的所有非同构单连通正则拟阵${\cal M}$的目录。这些拟阵是从基数为$\leq 15$的所有非同构的二元矩阵拟阵中筛选出来的。对于每个${\cal M}$，其Tutte多项式由基于内部和外部碱基活性的算法确定。
Quotient-polynomial graphs
作为轨道多项式图和距离正则图的推广，我们引入了有序多项式图的概念。在这些图中，每个顶点$u$诱导围绕$u$的相同规则划分，其中每个单元的所有顶点与$u$等距。研究了这类图的一些性质和刻画。例如，所有的平行多项式图都是行走正则的和距离多项式的。此外，我们表明，每一个多项式图生成一个（对称）的关联方案。
Strongly regular graph, strongly polynomial sequences, and two-level polynomials
本文研究强正则图与强多项式图序列的特征多项式和色多项式的深度性质，证明强正则图特征多项式具有无限深度，而Paley图色多项式深度为二，并构造了使同态计数保持无限深度的目标序列。
Tutte polynomials for regular oriented matroids
本文为正则有向拟阵定义推广的Tutte多项式（A-多项式），其特化可还原底层无向拟阵的Tutte多项式，并能检测无环性与完全循环性，且可计数按重定向元素数分类的无环定向。
The transition matroid of a 4-regular graph: an introduction
给定一个4-正则图$F$，在$F$的变迁集上引入一个二元拟阵$M_τ(F)$. $M_τ(F)$的Tutte多项式的参数化版本产生了几个著名的图和结多项式，包括马丁多项式，homflypt多项式，考夫曼多项式和Bollobás-Riordan多项式。
A duality between pairs of split decompositions for a $Q$-polynomial distance-regular graph
设$Γ$表示直径为$D \geq 3$、标准模为$V$的$Q$ -多项式距离正则图.最近Ito和Terwilliger介绍了$V$的四种直接和分解;我们称之为$(μ,ν)$ --$V$的{ \it分裂分解}，其中$μ, ν\in \lbrace \downarrow, \uparrow \rbrace$。本文证明了（$\downarrow,\downarrow$）-分裂分解和（$\uparrow,\uparrow$）-分裂分解相对于$V$上的标准埃尔米特形式是对偶的.我们还表明，（$\downarrow,\uparrow$）-分裂分解和（$\uparrow,\downarrow$）-分裂分解的$V$上的标准厄米特形式是对偶的。
On $Q$-polynomial distance-regular graphs with a linear dependency involving a $3$-clique
本文研究满足存在3-团使得对应本原幂等元作用下的向量线性相关的$Q$-多项式距离正则图，完成了此类图的分类并从多视角进行描述。
A classification of $Q$-polynomial distance-regular graphs with girth $6$
本文分类了围长达到上界 $6$ 的 $Q$-多项式距离正则图，证明其同构于奇图或广义六边形。
Polynomial Characterizations of Distance-Biregular Graphs
Fiol、Garriga和Yebra引入了伪距离正则顶点的概念，他们用它来发展距离正则图的一个新特征。在此基础上，Fiol和Garriga发展了距离正则图的谱过剩定理。我们将这两个刻画推广到距离双正则图，并展示了这些刻画如何用于研究具有距离正则的二分图和具有距离双正则图的谱的二部图。
Vertex subsets with minimal width and dual width in $Q$-polynomial distance-regular graphs
本文从所谓的后代的角度研究$Q$ -多项式距离正则图，即那些顶点子集的宽度$w$和对偶宽度$w^*$满足$w+w^*=d$，其中$d$是图的直径.我们在其他结果中表明，一个非平凡的后代与$w\ge 2$是凸的，正是当图具有经典参数。对与短正则半格相关的5类经典图族进行了后代图的分类。我们重新审视和这些家庭的后裔组成的偏序集的特点，并扩展到所有的15个已知的经典参数和无限直径的无限家庭的分类。
The Laplacian polynomial of graphs derived from regular graphs and applications
设$R(G)$是通过添加与$G$的每条边相对应的新顶点并将每个新顶点连接到相应边的端顶点而从$G$获得的图。设$RT(G)$是通过添加与$G$的每个顶点相对应的新边并将每个新边连接到$G$的每个顶点而从$R(G)$获得的图。本文确定了正则图$G$的$RT(G)$的拉普拉斯多项式.此外，我们还得到了图的Kirchhoff指数的计算公式和下界。最后，作为应用，我们还给出了一些特殊图的Kirchhoff指数的计算公式，证明了所得结果的正确性和有效性。
Bipartite Q-polynomial distance-regular graphs and uniform posets
设$\G$表示顶点集为$X$，直径为$D \ge 3$的二部距离正则图.修复$x \in X$并让$L$（分别$R$）表示相应的降低（分别为提升）矩阵。我们发现，每个$Q$多项式结构$\G$产生一定的线性依赖之间的$RL^2$，$LRL$，$L^2R$，$L$。在$X$上定义偏序$\le$，如下所示。对于$y,z \in X$，当$\partial(x,y)+\partial(y,z)=\partial(x,z)$时，设$y \le z$，其中$\partial$表示路径长度距离。我们确定上面的线性依赖是否给这个偏序集一个一致或强一致结构。我们表明，除了一种特殊情况外，获得了一致结构，除了三种特殊情况外，获得了强一致结构。
Quotients of polynomial rings and regular t-balanced Cayley maps on abelian groups
本文通过建立多项式环的商与阿贝尔群上正则 t-平衡凯莱地图之间的联系，提出新的分类方法，并给出阿贝尔 2-群上 RBCM_t 的完整分类。
Evaluations of Tutte polynomials of regular graphs
设$T_G(x,y)$是图$G$的Tutte多项式.本文证明了：如果$(G_n)_n$是一列周长为$g(G_n)\to \infty$的$d$ -正则图，则对于$x\geq 1$和$0\leq y\leq 1$，我们有$$\lim_{n\to \infty}T_{G_n}(x,y)^{1/v(G_n)}=t_d(x,y),$$，其中$$t_d(x,y)=\left\{\begin{array}{lc} (d-1)\left(\frac{(d-1)^2}{(d-1)^2-x}\right)^{d/2-1}&\ \ \mbox{if}\ x\leq d-1,\\ x\left(1+\frac{1}{x-1}\right)^{d/2-1} &\ \ \mbox{if}\ x> d-1. \end{array}\right.$$独立于$y$，如果$0\leq y\leq 1$ .如果$(G_n)_n$是随机$d$ -正则图的序列，则相同的陈述几乎必然渐近成立。这个定理推广了McKay（$x=1,y=1$，随机$d$ -正则图的生成树）和Lyons（$x=1,y=1$，大围长$d$ -正则图的生成树）的结果。有趣的特殊情况是$T_G(2,1)$计算生成森林的数量，$T_G(2,0)$计算非循环方向的数量。
Structure of Thin Irreducible Modules of a Q-polynomial Distance-Regular Graph
设Gamma是一个Q-多项式距离正则图，其顶点集X，直径D geq 3，邻接矩阵A为邻接矩阵.将x固定在X中，设A *= A *（x）为相应的对偶邻接矩阵。回想一下，Terwilliger代数T = T（x）是由A和A * 生成的Mat_X（C）的子代数。设W表示一个薄的不可约T-模。已知A和A * 对W的作用诱导出一个线性代数对象，称为伦纳德对。在过去的十年中，人们已经获得了许多关于Leonard对的结果。在本文中，这些结果将被应用于获得详细的描述W。特别地，我们给出了W的相交数、对偶相交数和参数数组的描述。最后，我们应用我们的结果的情况下，伽玛有q-Racah型或经典参数。
New polynomial and multidimensional extensions of classical partition results
在20世纪70年代Deuber介绍了概念的$(m,p,c)$ -集在$\mathbb{N}$和表明，这些集是分区定期和包含所有线性分区定期配置在$\mathbb{N}$。本文在两个方向上改进和推广了$(m,p,c)$ -集的经典结果。首先，我们表明，与超滤技术的帮助下，Deuber的结果扩展到多项式配置的阿贝尔群。特别地，我们在$\mathbb{Z}^d$中得到了新的分区正则多项式配置。其次，我们给出了Deuber的结果推广到一般交换半群的两个证明。我们还得到了Furstenberg中心集定理的多项式形式，推广了Deuber，Hindman和Lefmann的$(m,p,c)$ -系统理论，并将Rado关于$\mathbb{N}$上线性方程组的划分正则性的经典定理推广到交换半群上.
The 2-Quasi-Regularizability Conjecture and Independence Polynomials of Wp Graphs
本文证明了Wp图独立多项式log-凹或单峰的2-准正则化猜想，通过局部扩展定理和系数标准不等式，确定了W2图的正则化条件及log-凹性区域。
A new class of polynomials from to the spectrum of a graph, and its application to bound the $k$-independence number
图的$k$ -独立数是指两两距离大于$k$的顶点集的最大长度。一个图称为$k$ -部分行走正则图，如果给定长度的闭行走数$l\le k$，以顶点$v$为根，只依赖于$l$。特别地，距离正则图对于任何$k$也是$k$ -部分行走正则的。本文引入了一类由图的谱得到的新多项式族。这些多项式，连同交错技术，使我们能够给紧的谱界上的$k$ -独立数的$k$ -部分行走-正则图。结合一些紧边界的例子，我们还证明了具有$\ell$奇的奇图$O_{\ell}$没有$1$ -完美码.
Distance-regular graphs, the subconstituent algebra, and the $Q$-polynomial property
这篇综述论文包含了距离正则图的教程介绍，重点是子成分代数和$Q$ -多项式属性。
Properties of the corolla polynomial of a 3-regular graph
我们研究了最近引入的以图的半边为指标的图多项式的组合性质，以理解标量场理论的Feynman规则和规范理论的Feynman规则之间的联系。我们调查新的图形多项式作为一个独立的对象。
Almost-bipartite distance-regular graphs with the $Q$-polynomial property
设$G$表示直径$D$至少为4的$Q$ -多项式距离正则图.假设$G$的相交数满足$0 \leq i \leq D-1$和$a_D\neq 0$的$a_i=0$。我们证明了$G$是一个多边形，一个折叠立方体，或一个奇图。
The cohomology rings of regular nilpotent Hessenberg varieties and Schubert polynomials
本文研究正则幂零Hessenberg簇的上同调环与Schubert多项式之间的关系。为了描述正则幂零Hessenberg簇的上同调环的显式表示，Abe-Harada-Horiguchi-Masuda引入了多项式$f_{i,j}$.我们证明了每个多项式$f_{i,j}$是某些舒伯特多项式的交替和。
Regular matroids have polynomial extension complexity
证明了$n$元素上的正则拟阵的独立多面体的扩张复杂性为$O(n^6)$。Wong和Martin关于图的生成树多面体的扩展公式的过去结果暗示了（共）图拟阵的特殊情况的$O(n^2)$界。然而，尽管最近的尝试，一般正规拟阵的情况是开放的。我们还考虑了正则拟阵的圈支配的扩张复杂性，并给出了它的一个$O(n^2)$界。
A characterization of Q-polynomial distance-regular graphs
我们得到了$Q$ -多项式距离正则图的如下刻画。设$\G$表示直径为$d\ge 3$的距离正则图。令$E$表示$\G$的一个极小幂等元，它不是平凡幂等元$E_0$ .令$\{θ_i^*\}_{i=0}^d$表示$E$的对偶特征值序列。证明了$E$是$Q$ -多项式的充要条件是：（i）逐项乘积$E \circ E$是$E_0$，$E$和至多一个$\G$的极小幂等元的线性组合;（ii）存在一个复标量$β$，使得对于$1 \le i \le d-1$，$θ^*_{i-1}-βθ^*_i + θ^*_{i+1}$独立于$i$;（iii）对于$1 \le i \le d$，$θ^*_i \ne θ^*_0$。
Regular sequences of symmetric polynomials
用p_k表示n个变量的对称多项式的k次幂和。将二项式系数的q-模拟解释为Hilbert函数，我们发现n个变量的n个连续幂和形成一个正则序列。然后，我们考虑以下问题：描述子集n幂和形成一个正则序列。一个必要条件是n！除以元素度数的乘积。要找到一个容易验证的充分条件原来是令人惊讶的困难已经在3个变量。设正整数a<b<c且GCD（a，b，c）=1，我们猜想p_a，p_b，p_c是n=3的正则序列当且仅当6能整除abc.我们通过几个特殊的例子证明了这个猜想。
Lattice Platonic Solids and their Ehrhart polynomial
首先，我们计算Ehrhart多项式相关联的任意立方体与整数坐标的顶点。然后，我们利用这个结果来推导出规则晶格四面体和规则晶格八面体的Ehrhart多项式之间的关系。这些关系允许人们减少这些多项式的计算，只有一个系数。
A polynomial-time algorithm to determine (almost) Hamiltonicity of dense regular graphs
本文给出了一个在稠密正则图中检测超长圈的多项式时间算法。具体而言，我们表明，给定$α\in (0,1)$，存在一个$c=c(α)$，使以下成立：有一个多项式时间算法，给定$D$ -正则图$G$上的$n$顶点与$D\geq αn$，确定是否$G$包含一个周期至少$n - c$顶点。如果我们放弃密度或正则性条件，这个问题就成为NP完全问题。该算法结合了极值图论和谱分割的工具，以及一些进一步的算法成分。
Unicellular LLT polynomials and twin of regular semisimple Hessenberg varieties
Brosnan-Chow对Shareshian-Wachs猜想的解决将单位区间图上正则半单Hessenberg簇的上同调与分次色对称函数联系在一起。另一方面，已知单胞LLT多项式具有与分次色对称函数类似的性质。本文将单胞LLT多项式与Ayzenberg-Buchstaber引入的正则半单Hessenberg簇的孪生簇联系起来。我们从拓扑学的角度证明了它们的回文性。我们还表明，模的对称群所产生的一个置换面体的面有关的移位单胞LLT多项式和观察的$e$ -积极性的移位单胞LLT多项式，这是建立在一般情况下，路径图和完全图通过上同调的孪生。
The regularity and $h$-polynomial of Cameron-Walker graphs
固定一个整数$n \geq 1$，并考虑$n \geq 1$顶点上的所有连通有限简单图的集合。对于该集合中的每个$G$，令$I(G)$表示多项式环$R = K[x_1,\ldots,x_n]$中的$G$的边理想。我们开始研究的集合$\mathcal{RD}(n) \subseteq \mathbb{N}^2$组成的所有对$(r,d)$在$r = {\rm reg}(R/I(G))$，Castelnuovo-Mumford正则性，和$d = {\rm deg} h_{R/I(G)}(t)$，$h$ -多项式的程度，因为我们改变了所有的$n$顶点上的连接图。特别地，我们识别集合$A(n)$和$B(n)$，使得$A(n) \subseteq \mathcal{RD}(n) \subseteq B(n)$。当我们限制在$n$顶点上的Cameron-Walker图族时，我们可以完全刻画所有可能的$(r,d)$ .
Edge-regular graphs with non-negative curvature have polynomial growth
本文证明边正则图中CD(0,∞)条件蕴含多项式增长，并得到仅依赖于度的体积加倍估计，关键是通过自改进现象将CD(κ,∞)提升为CD(κ,n)。
Asymptotic joint spectra of Cartesian powers of strongly regular graphs and bivariate Charlier-Hermite polynomials
推广了Hora（1998）关于Hamming图$H(n,q)$的渐近谱分析的工作，该图是完全图$K_q$在$q$顶点上的$n^{\mathrm{th}}$笛卡尔幂$K_q^{\square n}$，我们描述了强正则图$G$及其补图$\overline{G}$的$n^{\mathrm{th}}$笛卡尔幂对$(G^{\square n},\overline{G}\vphantom{G}^{\square n})$的联合谱分布的可能极限，其中我们设$n\rightarrow\infty$，并且$G$可以随$n$而变化。这一结果是二元中心极限定理的一个类似，我们用这种方法得到了二元Poisson分布和标准二元Gauss分布，以及一元Poisson分布和Gauss分布的乘积测度.我们还报告了一个家庭的二元超几何正交多项式的最后的分布，我们称之为二元Charlier-Hermite多项式，并证明了他们的基本公式。这个正交多项式族以前似乎没有被注意到，可能是因为它的特殊性。
A polynomial-time algorithm for estimating the partition function of the ferromagnetic Ising model on a regular matroid
研究了在正则拟阵上近似铁磁伊辛模型配分函数的计算困难。Jerrum和Sinclair证明了图拟阵类存在一个完全多项式随机逼近方案（FPRAS）。另一方面，作者以前已经表明，受复杂性理论的假设，没有FPRAS类的二进制拟阵，这是一个适当的超集类的图形拟阵。为了映射出近似可行的区域，我们专注于正则拟阵类，这是一个重要的拟阵类，它适当地包括图形拟阵类，并适当地包括在二元拟阵类中。利用Seymour分解定理，给出了正则拟阵类的一个FPRAS.
The characteristic polynomial of sums of random permutations and regular digraphs
本文研究随机置换矩阵之和 $A_n$ 的归一化特征多项式，证明其收敛于单位圆盘上的随机解析函数，并据此给出随机正则有向图谱隙的初等证明。
Analysis of Polynomial Threshold Functions on Random Regular Graphs: Computational Complexity of Detecting Noisy Random Lifts
本研究针对含噪随机提升检测的假设检验问题，首次分析低次多项式阈值函数，得到含噪随机提升短环计数分布的新结果，推广了相关经典成果。
Geometry of the twin manifolds of regular semisimple Hessenberg varieties and unicellular LLT polynomials
本文研究正则半单Hessenberg簇双流形的几何，证明二者通过显式爆破与纤维丛映射关联，取上同调后直接证明模律，确立LLT型Shareshian-Wachs猜想。
The volume polynomial of regular semisimple Hessenberg varieties and the Gelfand-Zetlin polytope
正则半单Hessenberg簇是旗簇$\mathrm{Flag}(\mathbb{C}^n)$的子簇，它在几何学、表示论和组合学的交叉中自然产生。Abe-Horiguchi-Masuda-Murai-Sato和Abe-DeDieu-Galetto-Harada最近的结果将正则半单Hessenberg簇的体积多项式与$λ=(λ_1,λ_2,\ldots,λ_n)$的Gelfand-Zetlin多胞形$\mathrm{GZ}(λ)$的体积多项式联系起来。这份手稿的主要结果使用并推广了Anderson-Tymoczko，Kiritchenko-Smirnov-Timorin和Postnikov开发的工具，以便根据Gelfand-Zetlin多面体的某些面的体积导出正则半单Hessenberg簇的体积多项式的显式公式，并且还表现出明显的正，关于$α_i := λ_i-λ_{i+1}$中单项式的基的系数的组合公式。此外，出于这些考虑，我们仔细分析了特殊情况下的permutohedral品种，这也被称为复曲面品种与外尔室。在这种情况下，我们得到了一个明确的分解permutohedron（矩映射图像的permutohedron品种）组合$(n-1)$ -立方体，并给出了这种分解的几何解释，通过表示的上同调类的permutohedron品种在$\mathrm{Flag}(\mathbb{C}^n)…
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