A threshold result for loose Hamiltonicity in random regular uniform hypergraphs
设$\mathcal{G}(n,r,s)$表示$r$ -正则$s$ -$n$顶点上的一致随机超图，其中$s$是固定常数，$r=r(n)$可以随$n$增长. $\ell$ -重叠的Hamilton圈是连续的边在精确的$\ell$顶点重叠的Hamilton圈，并且1-重叠的Hamilton圈被称为松散的Hamilton圈。当$r,s\geq 3$是固定整数时，我们建立了包含松弛Hamilton圈的一个阈值结果.这部分验证了Dudek，Frieze，Rucinski和Sileikis（2015）的猜想。在这种情况下，我们还发现了松散的Hamilton圈的数量在$\mathcal{G}(n,r,s)$的渐近分布。最后证明了对于$\ell = 2,\ldots, s-1$和$r$，当$n\to\infty$适度增长时，$\mathcal{G}(n,r,s)$具有$\ell$ -重叠Hamilton圈的概率趋于零.
2019-11-01 math.CO
A generalized closure concept based on neighborhood-equivalence and preserving graph Hamiltonicity
一个图是哈密尔顿的，如果它包含一个圈，通过所有的顶点只一次。确定一个图是否是Hamilton图是一个NP完全问题，并且还没有找到一个令人满意的刻画，Bondy和Chvatal在1976年提出了一种利用图的闭包来解决图的Hamilton性问题的方法。这个闭包是G的一个保持Hamilton性的超图，也就是说，它是Hamilton的当且仅当G是。由于这项开创性的工作，几个封闭的概念，保持哈密顿介绍。特别是Ryjacek在1997年定义了一个基于局部完备的无爪图的闭包概念。对图的每个合格顶点执行完成。扩展这些工作，Vallee和Bretto最近引入了一个新的封闭概念，保持Hamilton性和基于本地完成。对图的每个邻域等价合格顶点执行局部完成。在这篇文章中，我们推广了Vallee和Bretto的主要结果，通过引入更广泛的邻域等价资格的概念，允许定义一个更密集的图闭包，仍然保持Hamilton性。
2013-08-28 math.CO
Hamiltonicity of mildly pseudorandom regular graphs
University of Oxford（牛津大学）
本文证明满足温和谱间隙条件的轻度伪随机正则图具有哈密顿性，通过随机矩阵不等式保留谱间隙以构造完美匹配，再用排序网络变体转化为哈密顿圈，给出更短证明和更优定量界。
2026-09-29 math.CO
Hamiltonicity of the Cross-Join Graph of de Bruijn Sequences
广义de Bruijn有向图将de Bruijn有向图推广到顶点数不需要是整数的纯幂的情况。因此，这些有向图中的哈密顿圈推广了正则de~Bruijn圈，我们将它们简称为de Bruijn圈。我们定义交叉连接图是以所有de Bruijn圈为顶点的图，如果其中一个顶点可以通过交叉连接操作从另一个顶点获得，则其中两个顶点之间存在边。我们证明了交叉连接图是连通的。这特别意味着任何正则的德布鲁因循环都可以重复交叉连接以达到任何其他的德布鲁因循环，推广了Mykkeltveit和Sznovich在2014年关于正则二元德布鲁因循环的结果。此外，我们提出了一个算法，产生跨交叉连接图的哈密顿路径，我们可以称之为de~Bruijn序列的de Bruijn序列。
2020-02-22 math.CO
Embedding the Erdős-Rényi Hypergraph into the Random Regular Hypergraph and Hamiltonicity
建立了随机$k$ -图（对于常数$k \ge 2$）在$n$标记顶点上的两个一致模型之间的包含关系：$\mathbb G^{(k)}(n,m)$，具有$m$边的随机$k$ -图，和$\mathbb R^{(k)}(n,d)$，随机$d$ -正则$k$ -图.我们表明，如果$n\log n\ll m\ll n^k$，我们可以选择$d = d(n) \sim {km}/n$和耦合$\mathbb G^{(k)}(n,m)$和$\mathbb R^{(k)}(n,d)$，使后者包含前者的概率趋于一$n\to\infty$。这推广了Kim和Vu关于“随机图的随机化”的一个较早的结果。鉴于已知的阈值定理存在不同类型的Hamilton圈在$\mathbb G^{(k)}(n,m)$，我们的结果使我们能够找到条件下，$\mathbb R^{(k)}(n,d)$是Hamilton。特别地，对于$k\ge 3$，我们得出结论，如果$n^{k-2} \ll d \ll n^{k-1}$，则a.a.s. $\mathbb R^{(k)}(n,d)$包含一个紧Hamilton圈。
2016-09-23 math.CO
Non-Hamiltonian 2-regular Digraphs -- Residues
本文研究非哈密顿2-正则有向图的性质，通过引入双共轭、排除集和余数的概念，证明了非哈密顿性的必要且充分条件。
2026-01-23 math.CO
Hamiltonicity of a coprime graph
阶$n$的$k$ -互质图是顶点集为$\{k, k+1, \ldots, k+n-1\}$的图，其中两个顶点相邻当且仅当它们是互质的.刻画了Hamilton $k$ -互质图.作为一种特殊情况，Tout，Dabboucy，Howalla（1982）和Schroeder（2019）关于$2$ -正则图的素标号的两个定理如下。一个具有$n$顶点的图的素标号是用与$\{1, 2,\ldots , n\}$不同的整数对它的顶点进行标号，使得任意两个邻顶点的标号是互素的。
2020-08-07 math.CO
Thinning and sprinkling: from robust sampling to almost Hamiltonicity
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出稀疏化-喷洒技术，证明坚韧图等图类的随机子图保持鲁棒性，并据此构造几乎哈密顿圈，解决Chvátal和Lovász的长期猜想。
2026-09-25 math.CO
Local resilience and Hamiltonicity Maker-Breaker games in random-regular graphs
对于单调递增图性质$\mP$，图$G$关于$\mP$的\emph{local resilience}是最小$r$，对于该最小$r$，存在所有度至多为$r$的子图$H\subseteq G$，使得从$G$移除$H$的边创建不具有$\mP$的图。这个概念，这是隐式研究的一些特设性质，最近在一个更系统的方式处理的论文由Sudakov和Vu。关于这种距离概念进行的大多数研究集中在二项随机图模型$\GNP$和一些伪随机图族，这些伪随机图族具有几个图形属性，例如包含完美匹配和Hamilton。在本文中，我们继续探讨本地弹性的概念，但把我们的注意力转向随机和伪随机\emph{regular}图的常数度。本文研究了随机$d$ -正则图的局部弹性问题，该图具有边连通性和顶点连通性，包含一个完美匹配，并且是Hamilton图。特别是，我们证明了，对于每一个积极的$ε$和足够大的值的$d$具有高概率的随机$d$ -正则图，$\GND$的局部弹性，相对于是哈密尔顿至少是$(1-ε)d/6$。我们还证明了，对于二项随机图模型$\GNP$，对于每一个正的$ε>0$和足够大的$K$值，如果$p>\frac{K\ln n}{n}$，那么以高概率的局部弹性的$\GNP$相对于汉密尔顿至少是$(1-ε)np/6$。最后，我们应用类似的技术，位置游戏，并证明，如果$d$是足够大的，然后以高概率的一个典型的随机$d$ -…
2010-06-20 cs.DM math.CO math.PR
Loose Hamiltonicity
该研究通过吹胀覆盖方法，解决了密集超图中松散哈密顿圈的存在性问题，并确定了相关度阈值。
2025-12-09 math.CO
Perfect matchings and Hamiltonicity in the Cartesian product of cycles
图的配对$G$是具有与$G$相同的顶点集的完全图的完美匹配。如果$G$的每一对都可以仅用$G$的边扩展到底层完全图的一个哈密顿圈，则$G$具有PH-性质.一个稍弱的性质是PMH性质，其中$G$的每一个完美匹配可以扩展到$G$的哈密顿圈。为了证明所有4-正则图都具有PH-性质，我们回答了Alahmadi等人在2015年提出的一个问题，证明了$p$和$q$顶点上的两个圈的笛卡儿积$C_p\square C_q$不具有PH-性质，除了已知具有PH-性质的$C_4\square C_4$。
2020-05-06 math.CO
Hamiltonicity of inhomogeneous random graphs
Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences（捷克科学院计算机研究所）；Institute for Basic Science（基础科学研究所）
研究不均匀随机图G(n,W)的哈密顿性条件，基于连通性和几何障碍的三重判据，确定其渐近几乎哈密顿性。
2026-10-02 math.CO
Hamiltonicity in locally finite graphs: two extensions and a counterexample
给出了局部有限图的平方包含Hamilton圈的一个充分条件，推广了Harary和Schwenk关于有限图的一个结果.我们还给出了另一种证明的结果的扩展到局部有限图的Chartrand和Harary的有限图不包含$K^4$或$K_{2,3}$作为一个小的哈密尔顿当且仅当它是$2$ -连接。我们进一步证明了，如果一个Hamilton圈存在于这样的图，那么它是唯一的，并由$2$ -可收缩边所张成。本文的第三个结果是一个图的建设，回答了肯定的问题Mohar是否经常无限图与唯一的Hamilton圈存在。
2018-12-05 math.CO
Toughness, hamiltonicity and spectral radius in graphs
研究图中Hamilton圈的存在性是图论中的一个经典问题。通过结合韧性和谱条件，我们可以从另一个角度考虑Chvátal猜想：什么是谱条件，以保证存在的哈密尔顿圈之间的$t$ -坚韧图？首先给出$1$ -tough图的答案，即如果$ρ(G)\geqρ(M_{n})$，则$G$包含一个Hamilton圈，除非$G\cong M_{n}$，其中$M_{n}=K_{1}\nabla K_{n-4}^{+3}$和$K_{n-4}^{+3}$是由$3K_{1}\cup K_{n-4}$通过在$3K_{1}$和$K_{n-4}$之间添加三条独立边而得到的图. Brouwer韧性定理指出，每个$d$ -正则连通图总是有$t(G)>\frac{d}λ-1$，其中$λ$是邻接矩阵的第二大绝对特征值。本文利用图的谱半径推广了这一结果，即分别给出了一个图是1-坚韧的最小度$δ$和$t$ -坚韧的谱条件.
2022-04-05 math.CO
Robust Hamiltonicity
本文研究超图随机稀疏化后仍含哈密顿圈的鲁棒性条件，利用 Talagrand 猜想突破将问题转化为高一致性完美匹配，并给出图与超图完美铺砌、圈的幂及多种哈密顿圈的渐近最优稀疏性界。
2024-12-28 math.CO
Hamilton Cycles in Dense Regular Digraphs and Oriented Graphs
本文证明了度数至少为 $(1/4 + \varepsilon)n$ 的稠密正则定向图包含哈密顿圈，确立了 Jackson 1981 年猜想的近似版本，并拓展了正则有向图哈密顿性的相关结果。
2023-09-14 math.CO
On the hamiltonicity problem of bicirculants: a reduction to cyclic Haar graphs
Università di Modena e Reggio Emilia（摩德纳和雷焦艾米利亚大学）；University of Primorska（滨海大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）
本文研究双环图的哈密顿性，证明当|S|≤3或m/gcd(m,S)为偶数时，所有双环图均为哈密顿图，并推导出循环Haar图的哈密顿性条件。
2026-04-23 math.CO
Embedding large subgraphs into dense graphs
什么条件保证图G包含某个给定的生成子图H？最著名的例子，结果这类可能是狄拉克定理的汉密尔顿周期和Tutte定理的完美匹配。完美匹配是由完美F-填充推广的，这里不是用不相交的边覆盖G的所有顶点，而是用（小）图F的不相交副本覆盖G。不太可能存在所有包含完美F-填充的图G的特征，因此在狄拉克定理的情况下，研究保证完美F-填充的G的最小度的条件是有意义的。Szemeredi的正则引理和Komlos、Sarkozy和Szemeredi的爆破引理已被证明是攻击此类问题的有力工具，最近，该领域的一些长期存在的问题和问题已被解决。在这次调查中，我们给出了一个大纲的最新进展（我们的主要重点是F-包装，哈密尔顿性问题和树嵌入），并描述了一些涉及的方法。
2009-01-22 math.CO
Resilience for Loose Hamilton Cycles
本文研究随机 k-一致超图子图中的松散 Hamilton 圈，证明在给定概率阈值下其最小 d-度阈值与稠密情形一致，并说明该概率范围在部分 d 下近似紧。
2023-09-25 math.CO
The completion numbers of Hamiltonicity and pancyclicity in random graphs
研究随机图中使图成为哈密顿图或泛圈图所需添加的最少边数（补全数），给出了稠密与稀疏区域的精确渐近公式，并提出了多项式时间算法。
2025-01-21 math.CO
Hamilton cycles in pseudorandom graphs
寻找一个图是哈密尔顿图的一般条件是图论的一个中心问题。一个古老的和众所周知的猜想在该地区的国家，任何$d$-正规$n$-顶点图$G$，其第二大特征值的绝对值$λ(G)$是最多$\frac{d}{C}$，对于一些通用常数$C>0$，有一个汉密尔顿圈。在本文中，我们得到了两个主要的结果，取得了实质性的进展，对这个问题。首先，当度$d$至少是$n$的一个小幂时，我们完全解决了这个猜想.其次，在一般情况下，我们表明，$λ(G) \leq \frac{d}{C(\log n)^{1/3}}$意味着存在一个Hamilton圈，提高了20岁的界$\frac{d}{ \log^{1-o(1)} n}$的Krivelevich和Sudakov。我们以一种新颖的方式使用各种方法，如强大的Pósa旋转扩展技术，Friedman-Pippenger树嵌入回滚和吸收方法，结合其他工具和想法。我们的结果有几个有趣的应用，给出最佳界的生成元的数量，保证随机凯莱图的Hamilton性，这是一个重要的部分情况下，著名的Hamilton猜想的Lovász。它们也可以用来改进Alon和Bourgain关于乘法子群中加法模式的一个结果。
2023-03-09 math.CO
On two graph isomorphism problems
2015年，Bogdanowicz给出了4-正则循环图同构于两个圈的笛卡儿积的充要条件。手风琴图，记作$A[n,k]$，是作者最近引入的关于两个参数$n$和$k$的4-正则图，并研究了它们的哈密尔顿性和匹配性.这些图可以通过对两个圈的笛卡儿积的某些边作微小的修改而得到。受Bogdanowicz工作的启发，作者还确定了$n$和$k$的哪些值的手风琴图$A[n,k]$是循环的。在这项工作中，我们调查什么参数的4-正则循环图必须是同构的手风琴图，从而提供了一个完整的特征类似于Bogdanowicz。我们还给出了两个参数不同的手风琴图同构的一个充要条件。
2021-11-10 math.CO
Approximately counting independent sets in dense bipartite graphs via subspace enumeration
本研究提出一种随机算法，为稠密正则二部图上的#BIS问题提供FPRAS，填补了低温稠密图近似计数的研究空白，方法基于子空间枚举与图的小集扩张性质，补充了组合优化领域的相关研究。
2023-07-18 cs.DS math.CO
Berge Hamilton cycles in a random sparsification of dense hypergraphs
Center for AI and Natural Sciences, Korea Institute for Advanced Study (KIAS)（韩国高级科学研究院人工智能与自然科学中心）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院极端组合与概率研究组）；Department of Mathematical Sciences, KAIST（韩国科学技术院数学系）
研究随机过程生成的超图中Berge哈密顿环的出现时间与最小度数为2的时间一致性的条件，扩展了Johansson的结果。
2026-03-23 math.CO
Colour-biased Hamilton cycles in dense graphs and random graphs
本文在稠密图和随机图中推广 Dirac 定理的偏差版本，渐近确定了最小度条件下 r-染色边集中单色出现次数的最大保证值 f_{r,α}(n)，并证明了相应的随机图结果。
2025-09-22 math.CO
Compatible Powers of Hamilton Cycles in Dense Graphs
Krivelevich，Lee和Sudakov在1968年受Kotzig研究的转移系统概念的启发，提出了一个更一般的不相容系统的概念，来描述Dirac图的Hamilton性的鲁棒性。给定一个图$G=(V,E)$，一个{ \em不相容系统} $\mathcal{F}$ over $G$是一个$\mathcal{F}=\{F_v\}_{v\in V}$族，使得对于每个$v\in V$，$F_v$是$\{\{e,e'\}: e\ne e'\in E, e\cap e'=\{v\}\}$中的一个边对族。不相容系统$\mathcal{F}$是\emph{$Δ$-bounded}，如果对于与$v$关联的每个顶点$v$和每个边$e$，在包含$e$的$F_v$中最多存在$Δ$对。$G$的子图$H$是\emph{compatible}（关于$\mathcal{F}$），如果$H$的每对相邻边$e,e'$满足$\{e,e'\} \notin F_v$，其中$v=e\cap e'$。Krivelevich，Lee和Sudakov证明了存在一个普适常数$μ>0$，使得对Dirac图上的每个$μn$有界不相容系统$\mathcal{F}$，存在一个相容Hamilton圈，解决了Häggkvist在1988年提出的一个猜想.我们研究了Hamilton圈的高次幂，证明了对于每个$γ>0$和$k\in\mathb…
2023-02-18 math.CO
On the maximum number of common neighbours in dense random regular graphs
本文推导了稠密随机正则图中顶点对的最大公共邻居数的分布，通过建立极值独立性质与用二项分布近似公共邻居数分布这两个步骤完成证明，为该问题提供了理论结果。
2024-11-29 math.CO
Uniform generation of spanning regular subgraphs of a dense graph
设$H_n$是$n$顶点上的图，$\ber{H_n}$表示$H_n$的补图.假设$Δ= Δ(n)$是$\ber{H_n}$的最大度。分析了$H_n$的$d$ -正则子图（$d$ -因子）的三种采样算法.这等价于均匀采样$d$ -正则图，避免了一组$E(\ber{H_n})$禁止边。这里，$d=d(n)$是可以取决于$n$的正整数。这些算法中的两个在预期运行时间内产生$H_n$的均匀随机$d$因子，其在$n$中是线性的，并且在$d$和$Δ$中是低次多项式。当$(d+Δ)dΔ= o(n)$。这对第一作者的早期算法进行了改进，该算法需要恒定的$d$，并且在$\ber{H_n}$中最多需要线性数量的边。第二个算法适用于$H_n$是定期和$d^2+Δ^2 = o(n)$，适应第一作者与Wormald一起开发的方法。第三种算法是第二种算法的简化，并且产生时间上近似均匀的$H_n$的$d$ -因子$O(dn)$。这里，输出分布在总变化距离上不同于$o(1)$的均匀分布，条件是$d^2+Δ^2 = o(n)$。
2019-10-24 cs.DS math.CO
Proving hamiltonian properties in connected 4-regular graphs: an ILP-based approach
本文研究了具有连通性${\cal C}$但不具有哈密尔顿性${\cal H}$的4-正则图的最小阶$f({\cal C},\lnot {\cal H})$的一些公开问题.特别地，${\cal C}$是连通性、2-连通性或1-韧性，并且${\cal H}$是汉密尔顿性、均匀可追溯性或可追溯性。文献中已经使用了解决这些问题的标准理论方法，但没有成功地确定$f()$的精确值。在这里，我们选择使用线性规划和编码的图形，我们正在寻找的二元解决方案的一组合适的线性不等式。这样，将存在一个具有某些性质的$n$阶图当且仅当相应的ILP有一个可行解，我们已经通过分支和切割过程确定了这一点。通过使用我们的方法，我们已经能够计算$f({\cal C},\lnot {\cal H})$的所有考虑的属性对与${\cal C}=$ 1-韧性，${\cal H}=$可追溯性除外。即使在最后一种情况下，我们仍然显著地减少了已知$f({\cal C},\lnot {\cal H})$说谎的$[LB, UB]$间隔。最后，我们证明了对每个$n \geq f({\cal C},\lnot {\cal H})$（最后一种情况为$n \geq UB$），在$n$的顶点上存在一个4-正则图，它具有性质${\cal C}$但不具有性质${\cal H}$ .
2021-12-09 math.CO math.OC
The robust component structure of dense regular graphs and applications
本文研究了稠密正则图的大规模结构。这涉及到稳健扩张的概念，这是一个最近的概念，已经成功地用于解决几个长期存在的问题。粗略地说，如果一个图在删除一小部分顶点和边后仍然膨胀，则该图是鲁棒膨胀的。我们的主要结果使我们能够利用强大的扩张的有用的后果，即使图本身不是一个强大的扩展。它指出，每一个稠密正则图可以划分成“鲁棒组件”，每个组件是一个鲁棒扩展或二部鲁棒扩展。我们应用我们的结果来获得（除其他外）以下内容。(i)证明了只要$\eps >0$，任何具有$D \geq (1/4 + \eps)n$的n阶3-连通D-正则图都是Hamilton图.这渐近地证实了Bollobás和Häggkvist在20世纪70年代独立提出的猜想的唯一剩余情况。(ii)证明了给定连通度的稠密正则图的周长的一个渐近最佳可能结果。Bondy给出了这类问题的2-连通情形，并由Wei给出了证明.
2014-06-09 math.CO
The smallest singular value of dense random regular digraphs
设$A$是一个$d$-正则有向图在$n$顶点上的邻接矩阵，并假设$\min(d,n-d)\geqλn$。我们表明，对于任何$κ\geq 0$，\[\mathbb{P}[s_n(A)\leqκ]\leq C_λκ\sqrt{n}+2e^{-c_λn}.\]直到常数$C_λ, c_λ> 0$，我们的界匹配$n\times n$随机矩阵的最优界，其每个条目是一个独立同分布的$\text{Ber}(d/n)$随机变量。我们的结果的特殊情况$κ= 0$证实了Cook关于稠密随机正则有向图奇异概率的一个猜想。
2020-08-11 math.CO math.PR
On Spielman's Laplacian Eigenratio Conjecture and Related Problems
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Tsinghua University（清华大学）；Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）
本文研究Spielman的拉普拉斯特征比猜想，发现其在不同条件下成立与否，并证明了正则图中更强的界，同时解决了两个相关猜想。
2026-04-20 math.CO
New Perspectives on Neighborhood-Prime Labelings of Graphs
邻域素标号是素标号的一种变体。如果对于度大于$1$的每个顶点$v\in V(G)$，$v$邻域中的标签集的最大公因数是$1$，则标记$f:V(G) \to [|V(G)|]$是邻域素数标记。在本文中，我们介绍了技术，找到邻域素数标签的基础上的图的Hamilton性，通过使用条件的可能程度的顶点，并通过检查邻域图。特别是，类图显示为邻域素数包括所有广义彼得森图，网格图的任何大小，龙虾的程度上的顶点的限制。此外，我们发现，几乎所有的图和几乎所有的正则图都是邻域素数，我们发现所有的图的顺序$10$或更少，有一个邻域素数标签。我们在这方面的未来工作给出了几个示意图。
2018-04-06 math.CO
An MCMC sampling of densest $k$-sub-graphs of regular graphs with connected complement graph
本文提出了一种基于排它过程的方法，从具有连通补的正则图$L$中抽取可确定的$k$ -子图。通过将排它过程解释为相应令牌图$\mathfrak{L}_k$上的马尔可夫链，我们利用经典的马尔可夫链理论获得了依赖于$L$几何结构的收敛速度的定量界，这是尖锐的意义上的变化价导致一个等式，这是$1$，在完全图的情况下的几何界。我们提出了一个算法，利用这种粒子视图，以避免过多的内存使用，由于状态空间的大小和讨论的规则性和连通性条件$L$和$L^c$在Outlook中。
2023-01-11 math.CO math.PR
Dense random regular digraphs: singularity of the adjacency matrix
固定$c\in (0,1)$，设$Γ$是$\lfloor c n\rfloor$ -正则有向图，其$n$的顶点是随机均匀绘制的.证明了当$n$较大时，$Γ$的（非对称）邻接矩阵$M$以高概率可逆.证明使用的耦合方法的基础上切换方法的McKay和Wormald。我们还依赖于差异属性的边缘分布在$Γ$，最近证明了作者，克服某些困难所产生的依赖关系之间的条目$M$。
2015-08-02 math.CO math.PR
Tight cycles and regular slices in dense hypergraphs
我们研究的随机子复合物的分区返回（一个合适的形式）的强超图正则引理，我们称之为定期切片。我们认为，这些subcomplex捕获许多重要的结构特性的原始超图。因此，我们主张使用它们的极值超图理论，并解释他们如何可以导致相当大的简化，在现有的证明在这一领域。我们还使用它们来建立以下两个新结果。首先，我们证明了Erdens-Gallai定理的一个超图推广：对于每个$δ>0$，每个至少有$(α+δ)\binom{n}{k}$边的充分大的$k$ -一致超图包含一个长度为$αn$的紧圈，其中每个$α\in[0,1]$都有一个长度为$αn$的紧圈.其次，我们（渐近地）找到了一个$k$ -一致$k$ -部超图的最小余度要求，对于每个$0<α<1$，该超图的每一部分都有$n$顶点，且包含一个长度为$αkn$的紧圈.
2014-11-18 math.CO
Jungerman ladders and index 2 constructions for genus embeddings of dense regular graphs
本文用指数2电流图构造稠密图的最小亏格嵌入，解决八面体图亏格猜想，并给出完全图减哈密顿圈的三角嵌入及不可定向亏格的新证明。
2023-06-23 math.CO
Rainbow spanning trees in random subgraphs of dense regular graphs
考虑边着色图的随机模型.在$n$顶点上的图$G$是固定的，并且通过使$G$的每条边以概率$p$保持独立来选择随机子图$G_p$。然后，从集合$[n-1]$中随机均匀地着色$G_p$的每个边缘。Frieze和McKay（Random Structures and Algorithms，1994）的一个结果表明，当$G = K_n$和$p = (2 + ε) \frac{\log n}{n}$对于某个常数$ε> 0$，则$G_p$几乎必然包含彩虹生成树。本文证明了：如果$G$是一个$d$ -正则$Ω(n)$ -边连通图，则当$p = (2 + ε) \frac {\log n}{d}$对某个常数$ε> 0$，$G_p$几乎必然包含一棵彩虹生成树.我们的主要工具是一个新的边缘替换方法的彩虹森林。
2023-01-08 math.CO
Sandwiching random regular graphs between binomial random graphs
Kim和Vu提出了以下猜想（\textit{Advances in Mathematics}，2004）：如果$d\gg \log n$，那么随机$d$ -正则图$\mathcal G(n,d)$可以渐近地几乎必然被“夹在”$\mathcal G(n,p_1)$和$\mathcal G(n,p_2)$之间，其中$p_1$和$p_2$都是$(1+o(1))d/n$。他们对$\log n\ll d\le n^{1/3-o(1)}$证明了这一猜想，但证明中有一个缺陷：$\mathcal G(n,d)$完全包含$\mathcal G(n,p_1)$，但不完全包含在$\mathcal G(n,p_2)$中。最近，嵌入$\mathcal G(n,p_1) \subseteq \mathcal G(n,d)$由Dudek、Frieze、Rucienski和Šileikis改进为$d=o(n)$。在本文中，我们证明了Kim-Vu的三明治猜想，具有完美的包容双方，所有$d\gg n/\sqrt{\log n}$。对于$d=O(n/\sqrt{\log n})$，我们证明了三明治猜想的一个较弱的版本，其中$p_2$近似等于$(d/n)\log n$，没有任何缺陷.除了覆盖正则图之外，我们的结果还覆盖了度渐近相等的图。证明依赖于概率的估计，一个伪随机图的随机因子包含一个给定的边缘，这是独立的利益。作为应…
2022-08-22 math.CO
The singularity probability of dense random regular graphs
Shandong University（山东大学）
研究稠密随机正则图邻接矩阵的奇异性概率，证明在固定比例度参数下，奇异性概率以指数速率衰减，仅依赖于比例参数。
2026-10-08 math.CO math.PR
Subgraph distributions in dense random regular graphs
本研究解决McKay提出的问题，证明非星形连通图在稠密随机正则图中的拷贝数渐近高斯分布，分析方差与子图结构的关联，并推广至顶点置换不变有界度统计量的分布控制。
2023-05-08 math.CO math.PR
Cycle Partitions in Dense Regular Digraphs and Oriented Graphs
本文证明了Jackson在1981年提出的关于大$d$-正则定向图哈密顿性的猜想，并推广证明了满足$d\geqαn$的稠密$d$-正则有向图和定向图可分别被至多$n/(d+1)$和$n/(2d+1)$个顶点不相交的圈覆盖。
2025-01-23 math.CO
Large corank of dense random regular digraphs
本文证明稠密随机正则有向图邻接矩阵的秩小于等于 n-k 的概率指数衰减，扩展了 Jain 等人的奇异性界。
2026-10-06 math.CO math.PR
Counting and packing Hamilton cycles in dense graphs and oriented graphs
基于永久性估计，给出了稠密图和定向图中Hamilton圈的计数和填充的一般方法。我们利用这种方法来证明几个极值结果。特别地，我们证明了每一个在$n$顶点上的几乎$cn$ -正则有向图都含有$(cn/e)^n(1+o(1))^n$有向Hamilton圈.这是Cuckler的一个结果的延伸，Cuckler解决了一个关于Hamilton圈在定期锦标赛中的数量的老猜想。我们还证明了在$n$个顶点上的最小度至少为$(1/2+\varepsilon)n$的图$G$至少包含$(1-\varepsilon)\textrm{reg}_{even}(G)/2$边不交Hamilton圈，其中$\reg(G)$是$G$的生成正则子图的最大\emph{even}度.这建立了一个近似版本的猜想库恩，Lapinskas和Osthus。
2015-11-12 math.CO
Dense induced subgraphs of dense bipartite graphs
证明了平均度足够大的二部图都有一个平均度至少为$t$且围长至少为$6$的$K_{t,t}$ -子图或诱导子图.我们猜想“$6$“可以用“$k$“代替，从而加强了Alassen的一个猜想.为了支持这个猜想，我们证明了它对正则图也成立。
2020-03-31 math.CO
A hypergraph bandwidth theorem
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）；Universidad de Concepción（康塞普西翁大学）
本文扩展了带宽定理到超图，证明了在满足空间、连通性和非周期性条件时，超图中包含特定子图的性质。
2026-03-30 math.CO
Partition regular linear equations over Sidon sets
Indian Institute of Science Education and Research Bhopal（印度科学教育研究所博帕尔分校）
该研究证明[N]^d的西顿子集是傅里叶一致的，结合高维Rado定理得出分块正则线性方程在其稠密子集有限分划下的单色解数量下界，还推导了其等分布性质，证明受Ortega与Prendiville的论证启发。
2026-10-09 math.CO
Dense H-free graphs are almost (χ(H)-1)-partite
通过使用Szemerédi正则引理，Alon和Sudakov最近将经典的Andrásfai-Erdens-Sós定理扩展到了一般图。我们证明，不使用正则引理，下面更强的陈述是真的。给定任何最小部分有t个顶点的（r-1）-部图H，且任何固定c>0，存在一个常数C使得当G是最小度至少为（（3r-4）/（3r-1）+c）n的n-顶点图时，要么G包含H，要么我们可以从G中删除至多Cn^（2-1/t）条边而得到r-部图。
2011-02-16 math.CO
Hamilton decompositions of regular expanders: applications
在最近的一篇论文中，我们证明了，每一个足够大的正则有向图G的n个顶点，其程度是线性的n，这是一个强大的outexpander有一个分解成边不相交的Hamilton圈。这个定理的主要结论是：当n足够大时，n个顶点上的正则竞赛图可以分解为（n-1）/2个边不相交的Hamilton圈。这验证了凯利1968年的一个猜想。在本文中，我们得到了一些进一步的后果，我们的结果对鲁棒外扩张，主要的是以下几个：（i）一个无向模拟我们的结果对鲁棒外扩张;（ii）的最佳包装的最佳可能的最佳界的最小度d为一个大的值域的值d的图中的边不相交的Hamilton圈。(iii)（iv）Nash-Williams关于稠密正则图的Hamilton分解的猜想的近似版本;（v）稠密拟随机图是鲁棒外扩张的观察;（vi）Frieze和Krivelevich关于随机图中填充边不相交Hamilton圈的猜想的“非常稠密”情况的验证;（vii）证明了Erdos关于随机竞赛图中边不相交Hamilton圈的最优填充的大小的猜想。
2013-10-31 math.CO
Odd circuits in dense binary matroids
本文证明了，对每一个实数$α> 0$和奇数$k\ge 5$，都存在一个整数$c$，使得如果$M$是一个有$|M| \ge α2^{r(M)}$而无$k$元回路的简单二元拟阵，则$M$至多有$c$临界数.这个结果是Green关于有限阿贝尔群的一个正则引理的简单应用。
2014-03-06 math.CO
Rank and Invertibility of Dense Signed Random Regular Matrices
研究稠密符号随机正则矩阵的秩与最小奇异值，证明其秩亏缺概率指数衰减，并给出最小奇异值的定量下界。
2026-10-06 math.CO math.PR
The Lovász conjecture holds for moderately dense Cayley graphs
University of Cambridge（剑桥大学）；Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；New College, University of Oxford（牛津大学新学院）；Department of Mathematical Engineering and Center for Mathematical Modeling (CNRS IRL2807), University of Chile（智利大学数学工程系与数学建模中心）
研究证明了大连接Cayley图存在哈密顿回路，推进了Lovász猜想，并改进了之前的结果。
2026-04-20 math.CO math.GR
Sprinkling with random regular graphs
本文猜想同一顶点集上两随机正则图边不相交并集的分布渐近等价于组合度数的随机正则图，并在图足够稠密或稀疏时验证了该猜想，同时证明了生成正则子图期望数量的渐近公式。
2024-07-26 math.CO
Decomposition of degree-regular graphs into quasi-random pairs without the Regularity lemma
Bolyai Institute, University of Szeged（塞格德大学博莱伊研究所）
本文提出一种替代Szemerédi正则引理的顶点划分框架，适用于密度趋于零且顶点集较小的图，并将其应用于二分图打包问题。
2026-05-24 math.CO
