AI 中文总结
研究稠密符号随机正则矩阵的秩与最小奇异值，证明其秩亏缺概率指数衰减，并给出最小奇异值的定量下界。
AI 中文摘要
设 $A$ 为 $n$ 个顶点上均匀随机 $d$-正则有向图的（非对称）邻接矩阵，且 $\Xi$ 与 $A$ 独立，其元素为独立同分布的 Rademacher 随机变量。假设对于某个固定常数 $\lambda\in(0,1/2]$，有 $\min(d,n-d)\ge\lambda n$。我们证明存在仅依赖于 $\lambda$ 的常数 $c>0$，使得对于 $1\le k\le n$，有 $\mathbf P_{A,\Xi}\{\operatorname{rank}(A\circ\Xi)\le n-k\}\le e^{-c nk}$。作为秩界证明的一个组成部分，我们使用了以下定量最小奇异值估计中 $\kappa=0$ 的情形：对于 $\kappa\ge0$，$\mathbf P_{A,\Xi}\{s_n(A\circ\Xi)\le\kappa\} \le C\kappa\sqrt n+e^{-c' n}$，其中 $C,c'>0$ 仅依赖于 $\lambda$。
英文摘要
Let $A$ be the (non-symmetric) adjacency matrix of a uniformly random $d$-regular directed graph on $n$ vertices, and let $Ξ$ be independent of $A$ with i.i.d. Rademacher entries. Suppose that $\min(d,n-d)\geλn$ for some fixed $λ\in(0,1/2]$. We show that there exists $c > 0$, depending only on $λ$, such that \[ \mathbf P_{A,Ξ}\{\operatorname{rank}(A\circΞ)\le n-k\}\le e^{-c nk},\qquad 1\le k\le n. \] As an ingredient in the proof of the rank bound, we use the case $κ=0$ of the following quantitative smallest singular value estimate: \[ \mathbf P_{A,Ξ}\{s_n(A\circΞ)\leκ\} \le Cκ\sqrt n+e^{-c' n}, \qquad κ\ge0, \] where $C,c'>0$ depend only on $λ$.
