随机置换矩阵之和与正则有向图的特征多项式
The characteristic polynomial of sums of random permutations and regular digraphs
AI总结：
本文研究随机置换矩阵之和 $A_n$ 的归一化特征多项式，证明其收敛于单位圆盘上的随机解析函数，并据此给出随机正则有向图谱隙的初等证明。
摘要：
设 $A_n$ 为 $d$ 个 $n\times n$ 置换矩阵之和，每个矩阵均匀随机且独立地抽取。我们证明，当 $n\to \infty$ 时，归一化特征多项式 $\frac{1}{\sqrt{d}}\det(I_n - z A_n/\sqrt{d})$ 收敛于单位圆盘上的随机解析函数。作为应用，我们给出了随机正则有向图谱隙的初等证明。结果在 $d$ 固定及 $d$ 随 $n$ 缓慢增长时均成立。
英文摘要：
Let $A_n$ be the sum of $d$ permutation matrices of size $n\times n$, each drawn uniformly at random and independently. We prove that the normalized characteristic polynomial $\frac{1}{\sqrt{d}}\det(I_n - z A_n/\sqrt{d})$ converges when $n\to \infty$ towards a random analytic function on the unit disk. As an application, we obtain an elementary proof of the spectral gap of random regular digraphs. Our results are valid both in the regime where $d$ is fixed and for $d$ slowly growing with $n$.
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