The Gromov-Hausdorff distance between ultrametric spaces: its structure and computation
Gromov-Hausdorff距离（$d_\mathrm{GH}$）提供了一种量化两个给定度量空间之间相异性的自然方法。已知计算两个有限度量空间之间的$d_\mathrm{GH}$是NP困难的，即使在有限超度量空间的情况下也是如此，所述有限超度量空间是高度结构化的度量空间，在这个意义上它们满足所谓的\emph{strong triangle inequality}。超度量空间自然出现在许多应用中，如层次聚类，遗传学，基因组学，甚至语言学。利用超度量空间的特殊结构，（1）在有限超度量空间的集合上，特别是在$d_\mathrm{GH}^{(1)} =d_\mathrm{GH}$上，我们确定了一个单参数距离族$\{d_\mathrm{GH}^{(p)}\}_{p\in[1,\infty]}$，它的定义类似于Gromov-Hausdorff距离.当$p=\infty$（我们也记为$u_\mathrm{GH}$）是超度量空间集合上的超度量时的极端情况。而对于所有的$p\in[1,\infty)$，$d_\mathrm{GH}^{(p)}$产生NP-困难的问题，我们证明了令人惊讶的$u_\mathrm{GH}$可以计算在多项式时间。证明是基于本文建立的$u_\mathrm{GH}$的一个结构定理;（2）受$u_\mathrm{GH}$的结构定理的启发，通过仔细利用超度量空间的性质，我们还建立…
2021-10-07 cs.CG math.MG
Fractal dimensions in the Gromov--Hausdorff space
本文首先证明了对于所有四个非负实数，存在一个Cantor超度量空间，它的豪斯多夫维数，packing维数，上盒维数和Assouad维数分别等于给定的四个数.其次，利用度量空间的直和构造了任意紧可度量空间到Gromov-T2 T2空间的拓扑嵌入，证明了所有具有给定拓扑维数的紧度量空间的集合和所有具有上述4个维数的紧超度量空间的集合是路径连通的且具有无穷拓扑维数.这一观察超度量提供了另一个证明邱的定理，说明阿基米德和非阿基米德格罗莫夫-豪斯多夫距离的比例是无界的。
2022-12-10 math.MG
Lipschitz (non-)equivalence of the Gromov--Hausdorff distances, including on ultrametric spaces
Gromov-Hausdorff距离度量紧度量空间之间的形状差异。虽然即使将距离近似到任何实际因素也会造成NP困难问题，但其松弛已被证明对几何数据分析中的问题有用，包括点云，流形和图形。我们调查修改后的Gromov-Hausdorff距离，放松的标准距离，保留其许多理论性质，其中包括他们的拓扑等价上的一组丰富的家庭的度量空间。我们证明了这两个距离是Lipschitz等价的任何家庭的度量空间的一致有界的大小，但等价并不成立，一般情况下，即使距离被限制到超度量空间。我们还证明了标准和修改后的Gromov-Hausdorff距离是相等的或在一个因素2从对方时，采取一个定期的单纯形，连接放松到一些著名的问题，在离散几何。
2022-09-09 cs.CG math.MG
Finite Ultrametric Balls
给出了有限集$X$的子集族$\mathcal{F}$与$X$上的超度量$d$所生成的所有球族$\mathbf{B}_X$重合的充要条件.证明了在超度量空间$(X, d)$的表示树$T_X$中，通过在每个内部空间上增加一个叶子，可以得到超度量空间$(\mathbf{B}_{X}, d_H)$的Hausdorff距离$d_H$表示树$T_X$的顶点。
2019-03-23 math.MG
An embedding, an extension, and an interpolation of ultrametrics
超度量的概念可以被认为是普通度量的零维模拟，并且它被期望证明度量空间上的定理的超度量版本。本文给出了度量空间的Arens-Eells等距嵌入定理、度量空间的Hausdorff扩张定理、紧性的Niemytzki-Tychonoff特征定理、作者的度量空间的内插定理和度量空间的稠密子集定理的超度量形式。
2021-03-11 math.GN math.MG
A geometric study of Wasserstein spaces: ultrametrics
我们研究紧致超度量空间X的测度空间的几何，并赋予它与最优运输的L^p Wasserstein距离。我们证明了这个距离的幂p使得这个Wasserstein空间仿射等距于l^1的凸子集。因此，它由1/p-Hölder弧连接，但任何a>1/p的a-Hölder弧必须是常数。这个结果是通过两个测度之间的距离的重新表述而得到的，这对于X是超度量的情况非常特殊;然而，由于孟德尔-诺尔超度量骨架，即使X是一般的紧致度量空间，它也有结果。更准确地说，我们用它来估计Wasserstein空间的大小，通过适用于（某些）无限维空间的豪斯多夫维数的模拟来测量。我们得到的结果大大推广了我们以前的估计，需要一个强的可求正性假设。该估计的证明涉及一个独立感兴趣的结构定理：每个超度量空间都包含\emph{regular}超度量空间（即形式为{1，.，k}^N的自然超度量。我们还导致一个例子的独立利益：一个空间的积极低闵可夫斯基维，其所有的真闭子集有消失的低闵可夫斯基维。
2014-01-10 math.FA math.MG
Ultrametric approximation and Gromov--Hausdorff clouds
本文证明了从任意度量空间构造超度量空间的映射U的1-Lipschitz性质，研究了其性质，并发现其在点连通度量空间下是保持Gromov-Hausdorff距离的映射Ψ的逆映射。
2026-11-10 math.MG
The ultrametric Gromov-Wasserstein distance
本文研究了紧致超度量测度空间，它构成所有度量测度空间$\mathcal{M}^w$的集合的子集$\mathcal{U}^w$.类似于超度量空间$\mathcal{U}$集合上的超度量Gromov-Hausdorff距离，我们在$\mathcal{U}^w$上定义了两个度量的超度量版本，即$p$阶的Sturm距离和$p$阶的Gromov-Wasserstein距离.我们研究了这些距离的基本拓扑和几何性质以及它们之间的关系，并为$p=\infty$导出了计算它们的多项式时间算法。此外，几个下界的距离推导和我们的一些结果推广到有限的超相异度空间的情况。
2021-07-01 math.MG q-bio.PE
A note on extensions of approximate ultrametrics
定义在度量空间X的子集S上的超度量可以扩展到X，同时粗略地保持Sx X中对之间的距离。
2012-11-13 math.MG
Ultrametric skeletons
我们证明了对于每一个$ε\in (0,1)$，存在具有以下性质的$C_ε\in (0,\infty)$。如果$(X,d)$是紧度量空间，$μ$是$X$上的Borel概率测度，则存在嵌入到具有失真$O(1/ε)$的超度量空间中的紧子集$S\subseteq X$，以及$S$上支持的概率测度$ν$，该概率测度$ν$对所有$x\in X$和$r\in (0,\infty)$满足$ν(B_d(x,r))\le (μ(B_d(x,C_εr))^{1-ε}$。失真对$ε$的依赖性很强。我们讨论了这一声明的扩展到多个措施，以及它如何意味着Talagrand的majorizing措施定理。
2011-12-17 math.FA math.MG math.PR
On $p$-metric spaces and the $p$-Gromov-Hausdorff distance
对于每个给定的$p\in[1,\infty]$，我们研究了所有紧度量空间$\mathcal{M}$的集合的某些子族$\mathcal{M}_p$，其特征在于满足三角不等式的加强形式，其中包括，例如，超度量空间满足的强三角不等式。我们在$\mathcal{M}_p$上确定了一类单参数的Gromov-Hausdorff类距离$\{d_{\mathrm{GH}}^{\scriptscriptstyle{(p)}}\}_{p\in[1,\infty]}$，并研究了这些距离的几何和拓扑性质以及某些正则投影$\mathfrak{S}_p:\mathcal{M}\rightarrow \mathcal{M}_p$的稳定性.对于所有紧超度量空间的集合$\mathcal{U}$，它对应于$\mathcal{M}_p$族的情形$p=\infty$，我们研究了一个单参数交错型距离族，并揭示了它们与$\{d_{\mathrm{GH}}^{\scriptscriptstyle{(p)}}\}_{p\in[1,\infty]}$的关系.
2021-11-22 math.MG
Diameter and diametrical pairs of points in ultrametric spaces
设F（X）是集合X的有限非空子集的集合。本文给出了对给定函数f：F（X）->R，X上存在超度量使得f（A）= diamA，对任意A \in F（X）的充要条件.对有限非退化超度量空间（X，d），证明了X与X的对径点对子集构成一个完全k-部图，k ≥ 2，反之，也可得到所有k ≥ 2的有限完全k-部图.我们利用这个结果刻画了有限超度量空间（X，d）对给定的卡X具有极小卡{（x，y）：d（x，y）=diam X，x，y \in X}.
2011-10-04 math.MG
A cohomology-based Gromov-Hausdorff metric approach for quantifying molecular similarity
首次提出基于上同调的Gromov-Hausdorff超度量方法，通过单纯复形和上同调向量空间量化分子结构不相似性，在钙钛矿聚类中优于传统持久同调。
2025-02-26 cond-mat.mtrl-sci cs.CG math.AT
Characterizations of Urysohn universal ultrametric spaces
本研究通过闭球无穷等距子集刻画超度量空间的有限内射性与Urysohn万有超度量空间，证明笛卡尔积、超空间、对称积保持该空间结构，且完备有限内射超度量空间必含其等距子空间。
2024-09-17 math.GN math.MG
Absolute Borel Complexity of Moduli Spaces of Ultrametrics
Tokyo Metropolitan University（东京都立大学）
研究可超度量化空间上有界相容超度量模空间的绝对Borel复杂度，证明其与空间X对应层级复杂度的等价性，得出该模空间完全可度量化的充要条件。
2026-08-18 math.GN math.MG
On the Gomori-Hu inequality
Gomori和Hu在1961年证明了：对于每个有限非空超度量空间$(X,d)$，下列不等式$|\Sp(X)|\leqslant |X|-1$与$\Sp(X)=\{d(x,y):x,y \in X, x\neq y\}$成立。我们刻画了$X$空间，并证明了这种空间的等距型集在紧超度量空间的T2空间中是稠密的.
2012-11-11 math.MG
Uniqueness and homogeneity of non-separable Urysohn universal ultrametric spaces
本文研究了非可分Urysohn泛超度量空间的等距问题，引入petaloid超度量空间概念，证明了所有petaloid空间彼此等距且对有限及紧子空间具有齐次性，并验证了四类空间满足该性质。
2023-06-26 math.GN math.MG
Regular Ultrametric Skeletons
The Open University of Israel（以色列开放大学）
研究任意紧致度量空间，基于Bartal的拉姆齐分解等，证明具有线性扩张控制球的正则版本的超度量骨架定理。
2026-07-29 math.MG
A factorization of metric spaces
RIKEN Center for Advanced Photonics（理化学研究所先进光子学中心）
该研究通过证明度量空间的嵌入定理，展示了度量和超度量的扩展存在性，保持了其关键性质如完备性、分形维数等。
2026-01-12 math.GN math.MG
The asymptotic enhanced negative type of finite ultrametric spaces
负型不等式在度量空间嵌入性质的研究中出现，但往往归结为难以处理的组合问题。在本文中，我们研究更多的定量版本，这些不等式涉及所谓的$p$ -负型差距。特别是，我们把注意力集中在类有限超度量空间，这是重要的领域，如遗传学和数据挖掘。设$(X,d)$是一个具有最小非零距离$α$的有限超度量空间。则$(X,d)$的$p$阴性型缺口$Γ_{X}(p)$对于所有$p \geq 0$均为阳性。本文计算了极限\begin{eqnarray*} Γ_{X}(\infty) & = & \lim\limits_{p \rightarrow \infty} \frac{Γ_{X}(p)}{α^{p}}. \end{eqnarray*}的值，证明了该值是正的，并可由一个简洁的组合公式显式给出。在我们的计算的基础上，我们然后能够表征时，$Γ_{X}(p)/ α^{p}$是恒定的$[0, \infty)$。$Γ_{X}(\infty)$的确定也导致新的，渐近尖锐的，家庭的增强$p$ -负型不等式$(X,d)$。事实上，假设$G \in (0, Γ_{X}(\infty))$ .然后，对于所有足够大的$p$，我们有\begin{eqnarray*} \frac{G \cdot α^{p}}{2} \left( \sum\limits_{k=1}^{n} |ζ_{k}| \right)^{2} + \sum\li…
2015-01-16 math.CO math.FA math.MG
Spaces of small metric cotype
Naor和Mendel的度量余型将Banach空间的Rademacher余型的概念推广到所有的度量空间。每个巴拿赫空间至少有2个度量余型。证明了任何双Lipschitz等价于超度量空间的度量空间都有无穷大度量余型1.本文讨论了度量余型不等式在雪花映射和Gromov-Hausdorff极限下的不变性，并利用这些事实建立了主要结果的部分逆。
2010-09-17 math.FA math.MG
On extensions of partial isometries
本文在度量空间中定义了S-扩张的概念，并研究了S-扩张的极小性和凝聚性。我们证明了每一个S-扩张都可以被一个代数对象所识别。我们利用这个代数表示给出了有限度量空间的所有有限极小S-扩张的一个完全刻画和所有极小凝聚S-扩张的一个完全刻画。定义了超延度量空间的概念，并证明了每一个可数度量空间都可以延拓为可数超延度量空间.作为一个应用，我们证明了Urysohn度量空间的每一个可数子集都可以扩张为Urysohn空间的一个可数稠密超扩张子集.我们还证明了无限超广度量空间的等距群有一个稠密的局部有限子群，推广了几个已知的结果。我们还研究了紧超度量空间，证明了每个紧超度量空间都可以扩张为紧超扩张超度量空间。
2021-04-20 math.FA math.LO math.MG
Simultaneous extensions of metrics and ultrametrics of high power
广义度量是指取值于一般线性序阿贝尔群的度量.利用Hahn域，我们首先证明了：对于每个广义度量空间，如果度量的值域群的阿基米德等价类的集合有无穷减序列，则空间的每个非空闭子集都是环境空间的一致收缩子.其次，我们构造了广义度量和超度量的同时扩张。从广义度量扩张子的存在性出发，利用广义度量的完备性刻画了广义可度量化空间的最终紧性。
2022-07-21 math.GN math.MG
Dvoretzky-type theorem for Ahlfors regular spaces
证明了对任何$0<β<α$，任何有界Ahlfors $α$ -正则空间都包含一个$β$ -正则紧子集，该子集嵌入到一个偏差至多为$O(α/(α-β))$的超度量中.当$β\to α$。证明中使用的主要工具是超度量骨架定理的正则形式。
2022-01-25 math.MG
When the Gromov-Hausdorff distance between finite-dimensional space and its subset is finite?
本文刻画了有限维欧几里得空间中子集与全空间Gromov-Hausdorff距离有限的条件，即子集为某ε-网，并指出该结论在无穷维情形不成立。
2024-11-20 math.MG
Gromov-Hausdorff Geometry of Metric Trees
本文研究无有限性限制的度量树，得出了保证子集到整个树的Hausdorff距离与Gromov--Hausdorff距离相等的条件，并据此在所有度量空间的真类中构造出连接该子集与树本身的新一类最短测地线。
2024-12-25 math.MG
The space of minimal structures
对于至少有一个常数符号的签名L，如果L-结构没有适当的子结构，则称L-结构是最小的。设S_L是极小L-结构的同构类型集。S_L的元素可以用无量词L-语句的布尔代数的超滤子来标识，因此可以在S_L上定义一个Stone拓扑。S_L上的这个拓扑推广了n-标记群空间的拓扑。本文在SL上引入了一个自然超度量，证明了SL上的Stone拓扑与超度量空间SL的拓扑一致当且仅当SL是紧的当且仅当L是局部有限的（即对任意n，L包含n个n元符号）.作为Stone拓扑紧性在SL上的应用之一，我们证明了某些类度量空间在Gromov-Hausdorff拓扑中的紧性.这稍微完善了已知的结果的基础上格罗莫夫的想法，任何一致完全有界类的紧度量空间是预紧的。
2013-03-02 math.GR math.LO math.MG
Guaranteeing Hausdorff-Gromov-Hausdorff Equality for Metric Graphs
Karlsruher Institut für Technologie（卡尔斯鲁厄理工学院）
该数学研究证明，当度量图与子集的Hausdorff距离满足特定可达条件、且Gromov-Hausdorff距离不超过图收缩率时，二者数值相等。
2026-07-30 math.MG
Solution to Generalized Borsuk Problem in Terms of the Gromov-Hausdorff Distances to Simplexes
本文研究了广义Borsuk问题：给定的有界度量空间$X$能否划分成给定数目的$m$（可能是无限个）子集，每个子集的直径小于$X$？我们给出了一个完整的答案，这个问题的Gromov-Hausdorff距离从$X$到一个单形的基数$m$和直径小于$X$。这里的单纯形是一个度量空间，所有的非零距离都是相同的。
2019-06-25 math.FA math.MG
Calculating Hausdorff dimension in higher dimensional spaces
在本文中，我们证明了身份$\dim_{\textrm H}(F)=d\cdot \dim_{\textrm H}(α^{-1}(F))$，其中$\dim_{\textrm H}$表示豪斯多夫维数，$F\subseteq \mathbb{R}^d$，和$α:[0,1]\to [0,1]^d$是一个功能，其构造性定义是从一个强大的概念的分形结构的观点。这样一个结果特别地与在更一般的背景下陈述的其他一些结果相一致。因此，可以从$[0,1]$的$1-$维子集的豪斯多夫维数计算更高维子集的豪斯多夫维数。因此，豪斯多夫维数可用于处理的分形维数的有效计算的应用程序，作者在以前的工作中提供。值得指出的是，我们的结果推广了Skubalska-Rafajuowicz定理和Garc-Mora-Redtwitz定理.
2019-03-28 math.MG
Continuity of the magnitude for finite metric spaces with nonnegative weightings
The University of Osaka（大阪大学）
本文研究带非负权重的有限度量空间的幅度连续性，证明其幅度之比受Gromov-Hausdorff距离指数界约束，得出对数幅度函数Lipschitz连续、幅度函数局部Lipschitz连续的结论。
2026-09-01 math.MG
Steiner Problem in Gromov-Hausdorff Space: the Case of Finite Metric Spaces
证明了有限度量空间的每个有限族，作为Gromov-T2 T2空间的一个子集，都可以用Steiner极小树连通.
2016-04-07 math.MG
Isometries of spaces of convex compact subsets of CAT(0)-spaces
在本文中，我们刻画了具有Hausdorff度量的测地线不分裂的真测地线完备CAT（0）-空间的紧凸子集空间的满射等距。此外，一个适当的，唯一测地线，测完全度量空间，其中测地线不分裂，当赋予Hausdorff度量的紧子集的空间的满射等距的一个类似的特征。
2004-04-21 math.MG
Equilateral triangles in subsets of ${\Bbb R}^d$ of large Hausdorff dimension
证明了豪斯多夫维数足够大的${\Bbb R}^d$、$d \ge 4$的子集包含一个等边三角形的顶点.已知需要附加的假设来确保二维中等边三角形的存在（参见\cite{CLP14}）。我们证明了在四维和更高维中不需要额外的条件。三维案件仍处于开放状态。欧几里得空间中的三角形问题与有限域上向量空间中的三角形问题之间存在一些有趣的相似之处。我们将概述这些相似之处，希望最终达到一个全面的了解这一现象的设置局部紧阿贝尔群。
2016-03-07 math.CA math.CO math.MG
Continua in the Gromov--Hausdorff space
首先证明了在具有有限个给定值的Gromov-T2空间中，对所有的紧可度量空间，存在紧可度量空间到每个连通的、路连通的、测地线的或CAT（0）的紧度量空间集合的拓扑嵌入.作为其应用，我们证明了上述集合是路连通的，其非空开子集具有无穷拓扑维数。用同样的方法，我们还证明了所有真CAT（0）空间的集合是道路连通的，并且它的非空开子集关于点Gromov-Hausdorff距离具有无穷拓扑维数.
2022-02-19 math.MG
Hausdorff and Gromov-Hausdorff stable subsets of the medial axis
在本文中，我们介绍了修剪中轴称为$(λ,α)$ -中轴（$\textrm{ax}_λ^α$）。证明了在弱假设下，集合$K$的$(λ,α)$-中轴在Gromov-Hausdorff意义下是稳定的.更正式地，我们证明了，如果$K$和$K'$在Hausdorff（$d_H$）意义下是接近的，那么$K$和$K'$的$(λ,α)$ -中轴作为度量空间是接近的，即两者之间的Gromov-Hausdorff距离（$d_{GH}$）在$d_{GH} (\textrm{ax}_λ^α(K),\textrm{ax}_λ^α(K')) \lesssim d_H(K,K')^{1/4}$意义下是$\frac{1}{4}$ {<$}lder。两个中轴之间的Hausdorff距离也以$d_{H} (\textrm{ax}_λ^α(K),\textrm{ax}_λ^α(K')) \lesssim d_H(K,K')^{1/2}$为界。这些量化的稳定性结果为近似中轴的实际计算提供了保证。此外，他们提供了关键成分的中轴线的可计算性研究的背景下，可计算分析。
2023-03-07 cs.CG math.GN math.MG
Exeptional set estimates for the Hausdorff dimension of intersections
对于欧氏n-空间的Borel子集A和B，A与B的一般旋转和平移的交通常具有至少dim A + dim B-n的豪斯多夫维数。例外的旋转集的估计。
2016-06-27 math.MG
A Fubini-type theorem for Hausdorff dimension
众所周知，经典的关于豪斯多夫维数的富比尼定理不能成立;也就是说，一个固定集合与一个平行平面族的交集的维数不决定该集合的维数。在这里，我们证明了一个Fubini定理的豪斯多夫维数不持有模集是所有Lipschitz图小。我们说$G\subset \mathbb{R}^k\times \mathbb{R}^n$是$Γ_k$ -null，如果对于每个Lipschitz函数$f:\mathbb{R}^k\to \mathbb{R}^n$，集合$\{t\in\mathbb{R}^k\,:\,(t,f(t))\in G\}$的测度为零。证明了对于每一个具有$\dim (\text{proj}_{\mathbb{R}^k} E)=k$的Borel集$E\subset \mathbb{R}^k\times \mathbb{R}^n$，存在一个$Γ_k$ -空子集$G\subset E$，使得$$\dim (E\setminus G) = k+\text{ess-}\sup(\dim E_t)$$，其中$\text{ess-}\sup(\dim E_t)$是$E$的垂直截面$\{E_t\}_{t\in \mathbb{R}^k}$的豪斯多夫维数的本质上确界.此外，我们还证明，只要$E$不是$Γ_k$ -空，就存在$Γ_k$ -空子集$G\subset E$，使得对于$F=E \setminus G$，…
2022-09-15 math.CA math.MG
Fermat-Steiner Problem in the Metric Space of Compact Sets endowed with Hausdorff Distance
费马-施泰纳问题是在一个度量空间$Y$中寻找所有点，使得从每个点到$Y$的某个固定有限子集中的点的距离之和最小。研究了具有Hausdorff距离的度量空间$X$的紧子集构成的度量空间$Y=H(X)$.对于真度量空间$X$，得到了在其上达到最小值的所有紧$K\in H(X)$的描述.特别是，Steiner最小树的三个元素的边界进行了说明。我们还在$H(R^2)$中构造了一个正三角形的例子，使得它的所有最短树都没有“自然”对称性。
2016-01-15 math.MG
On sets with unit Hausdorff density in homogeneous groups
给出度量空间的一个子集$E$，如果$E$在$α\ge 0$维上有有限Hausdorff测度，且$\mathscr{H}^α\llcorner E$几乎处处有单位密度，则$E$是一个$α$ -可求长集，这是一个长期存在的猜想.我们证明了这个猜想的假设下，周围的度量空间是一个齐次群的光滑盒模。
2022-06-30 math.MG
Coincidence and noncoincidence of dimensions in compact subsets of $[0,1]$
我们证明了，给定任何六个数$r,s,t,u,v,w \in (0,1]$满足$r \leq s \leq \min(t,u) \leq \max(t,u) \leq v \leq w$，它是可能的，以构造一个紧凑的$[0,1]$的Hausdorff维数等于$r$，下修改盒维数等于$s$，包装维数等于$t$，下盒维数等于$u$，上盒维数等于$v$和Assouad维数等于$w$。此外，所构造的集合是一个$r$ -Hausdorff集和一个$t$ -packing集.
2018-12-22 math.MG
Self-conformal sets with positive Hausdorff measure
我们研究了一类拟自相似集的Hausdorff测度和内容，例如，图定向集、次自相似集和自共形集。我们证明了这样一个集合的任何Hausdorff可测子集都具有可比的Hausdorff测度和Hausdorff内容。特别地，这证明了具有正Hausdorff测度的图定向集和次自共形集是Ahlfors正则的，而与分离条件无关。当限制到实直线的自共形子集的豪斯多夫维数严格小于1时，我们还证明了弱分离条件等价于Ahlfors正则性，并且它的失效意味着满Assouad维数.事实上，我们解决了降维猜想的一个自共形推广，证明了具有正Hausdorff测度的自共形集的豪斯多夫维数低于期望值当且仅当存在精确重叠.
2019-12-11 math.CA math.DS math.MG
Potential method and projection theorems for macroscopic Hausdorff dimension
集合E $\subset$ Rd的宏观豪斯多夫维数Dim H（E）是由Barlow和Taylor引入的，用来量化无界的、可能离散的集合E的“大尺度分形”行为。我们开发了一种方法的基础上位势论，以估计这方面的RD。然后，我们应用这种方法得到了Marstrand型投影定理：给定集合E $\subset$ R 2，对几乎每个$θ$ $\in$ [0，2 $π$ ]，E在以角$θ$通过0的直线上的投影维数等于min（Dim H（E），1）.
2022-03-14 math.CA math.MG
A dichotomy of self-conformal subsets of the real line with overlaps
我们证明了不满足弱分离条件的$\mathbb{R}$的自共形子集具有完整的Assouad维数。结合Käenmäki和Rossi最近的结果，我们得出结论，一个有趣的二分法适用于自共形而不仅仅是自相似集：如果$F\subset\mathbb{R}$是自共形的，豪斯多夫维数严格小于$1$，要么豪斯多夫维数和Assouad维数一致，要么Assouad维数是$1$。我们的结论是弱分离性在这种情况下等价于Assouad维数和豪斯多夫维数重合。(This手稿包含错误，见下面的评论。）
2019-05-01 math.DS math.MG
Strong Marstrand theorems and dimensions of sets formed by subsets of hyperplanes
我们提出强版本的Marstrand的投影定理和其他相关定理。例如，如果E是一个正的有限s维Hausdorff测度的平面集，则存在一个勒贝格测度0的方向集X，使得E的任何正s维测度子集F在X外方向的任何直线上的投影具有豪斯多夫维数min（1，s），即例外方向集与F无关。使用对偶这导致的结果集的维度相交家庭的线或超平面在积极的勒贝格测度。
2015-11-18 math.MG
How to avoid a compact set
$\mathbb{R}$ -向量空间结构在$\mathbb{R}$上的一阶展开并不定义每个$\mathbb{R}^n$的每个紧子集当且仅当拓扑维数和豪斯多夫维数在所有闭可定义集上重合。等价地，如果$A \subseteq \mathbb{R}^k$是闭的，并且$A$的豪斯多夫维数超过$A$的拓扑维数，则每个$\mathbb{R}^n$的每个紧子集都可以从$A$使用多个布尔运算、笛卡儿积和线性运算来构造。当用填充维数代替豪斯多夫维数时，同样的语句失败。
2017-07-17 math.LO math.MG
Sets with arbitrary Hausdorff and packing scales in infinite dimensional Banach spaces
本文证明对满足温和假设的任意Hausdorff函数对，可在Baire空间中构造紧集使其Hausdorff测度与packing测度均有限且正，并嵌入任意无限维Banach空间，肯定回答了Fan关于任意尺度度量空间存在性的问题。
2025-11-07 math.DS math.FA math.MG
Curves in hyperspaces obtained by intersection of $r$-neighborhoods with a fixed subset
School of Mathematics, Harbin Institute of Technology（哈尔滨工业大学数学学院）；Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University（莫斯科国立大学力学与数学系）
本文研究了通过固定子集与r-邻域交集构造的超空间曲线，探讨了其在不同拓扑下的连续性条件及Hausdorff距离的有限性。
2025-12-06 math.MG
Lower Bounding the Gromov--Hausdorff distance in Metric Graphs
本文在度量图中通过拓扑障碍证明Gromov-Hausdorff距离下界等于Hausdorff距离，并确定了最佳常数π/3。
2025-12-23 math.MG
Gromov-Hausdorff distance and stability of dynamical systems
本文引入F-空间概念与对应的格罗莫夫-豪斯多夫距离，定义动力系统间的新距离，证明其保持两类稳定性，研究豪斯多夫映射性质，还改进距离并计算环面平移的精确距离。
2026-10-06 math.MG
Metric trees in the Gromov--Hausdorff space
利用度量空间的楔形和，对所有紧可度量空间，构造了紧可度量空间到Gromov-T2空间中所有具有有限预定值的度量树的集合的拓扑嵌入.作为其应用，我们证明了所有度量树的集合都是路连通的，并且它的所有非空开子集都具有无穷拓扑维数。
2021-12-10 math.MG
Hausdorff dimension of Furstenberg-type sets associated to families of affine subspaces
证明了如果$B \subset \mathbb{R}^n$和$E \subset A(n,k)$是$\mathbb{R}^n$的$k$维仿射子空间的非空集合，使得每个$P \in E$在一组豪斯多夫维数中至少与$k-1 < α\leq k$相交，则$\dim B \geq α+\dim E/(k+1)$，其中$\dim$表示豪斯多夫维数.这个估计推广了著名的Furstenberg型估计，即平面上的每个$α$-Furstenberg集的豪斯多夫维数至少为$α+ 1/2$。更一般地说，我们证明，如果$B$和$E$与$0 < α\leq k$相同，则$\dim B \geq α+(\dim E-(k-\lceil α\rceil)(n-k))/(\lceil α\rceil+1)$。我们还表明，这个界是尖锐的一些参数。因此，我们证明了对任何$1 \leq k<n$，$\mathbb{R}^n$的$k$维仿射子空间的任何非空$s$-Hausdorff维族的并至少有豪斯多夫维数$k+\frac{s}{k+1}$ .
2019-03-11 math.CA math.MG
Codimension formulae for the intersection of fractal subsets of Cantor spaces
我们研究了$m$元Cantor空间$\mathcal{C}^m$的子集$E$与子集$F$的像在关于自然度量的随机等距下的交集的维数。我们得到几乎必然的上界的Hausdorff和上计盒维数的交集，和一个下界的本质上确界的豪斯多夫维数。交集的维数通常是$\max\{\dim E +\dim F -\dim \mathcal{C}^m, 0\}$，类似于其他余维定理。上限估计来自覆盖的预期大小，而下限估计则更加复杂，使用鞅来定义交集上的随机测度，以方便潜在的理论论证。
2015-01-19 math.MG
Gromov-Hausdorff distances between quotient metric spaces
本文研究群作用下度量空间及其商空间之间Hausdorff距离与Gromov-Hausdorff距离的关系，证明前者在G-不变子集上保持相等，而后者可被构造得任意大或任意小。
2024-10-19 math.MG
