Exeptional set estimates for the Hausdorff dimension of intersections
Pertti Mattila
对于欧氏n-空间的Borel子集A和B，A与B的一般旋转和平移的交通常具有至少dim A + dim B-n的豪斯多夫维数。例外的旋转集的估计。
For Borel subsets A and B of the Euclidean n-space the intersection of A with generic rotations and translations of B has often Hausdorff dimension at least dim A + dim B - n. Estimates for the exceptional set of rotations are derived.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On Intersections of Cantor Sets: Hausdorff Measure
我们建立公式的Haudorff措施的某些康托集的交集与他们的翻译界。作为结果，我们得到了这些交叉的豪斯多夫维数的公式。
Codimension formulae for the intersection of fractal subsets of Cantor spaces
我们研究了$m$元Cantor空间$\mathcal{C}^m$的子集$E$与子集$F$的像在关于自然度量的随机等距下的交集的维数。我们得到几乎必然的上界的Hausdorff和上计盒维数的交集，和一个下界的本质上确界的豪斯多夫维数。交集的维数通常是$\max\{\dim E +\dim F -\dim \mathcal{C}^m, 0\}$，类似于其他余维定理。上限估计来自覆盖的预期大小，而下限估计则更加复杂，使用鞅来定义交集上的随机测度，以方便潜在的理论论证。
Intersection the twin dragon with rational lines
本文研究 Knuth Twin Dragon 分形边界与直线的交集，证明有理参数直线不会产生一般直线所具有的 $s-1$ 维交集，并刻画其与对角线及轴平行线的交集。
A unified approach to mass transference principle and large intersection property
本文从Hausdorff容度视角建立一般质量转移原理，统一证明满Hausdorff测度陈述与大交集性质，避免构造类Cantor子集，从而简化多个质量转移原理的证明。
Large intersection property for limsup sets in metric space
证明了在一定条件下，由紧致Ahlfors $s$ -正则空间$(X,\mathscr{B},μ,ρ)$中的开集序列生成的limsup集属于以$λ$为指标的大交集类，记为$\mathcal{G}^λ(X)$.特别是，这提供了一个下界的Hausdorff维数这样的集合。应用这些结果，得到了具有指标$γ_2$和$δ$的limsup随机分形几乎必然属于$\mathcal{G}^{s-δ-γ_2}(X)$，具有指数混合性质的随机覆盖集几乎必然属于$\mathcal{G}^{s_0}(X)$，其中$s_0$几乎必然等于覆盖集的Hausdorff维数.我们还研究了度量空间中矩形生成的limsup集的大交性质。
Curves in hyperspaces obtained by intersection of $r$-neighborhoods with a fixed subset
本文研究了通过固定子集与r-邻域交集构造的超空间曲线，探讨了其在不同拓扑下的连续性条件及Hausdorff距离的有限性。
Intersection of projections and slicing theorems for the isotropic Grassmannian and the Heisenberg group
本文研究了$\mathbb{R}^{2n}$的子集的各向同性投影的交的Hausdorff维数以及集合与各向同性平面的交的维数。证明了若$A$和$B$是维数大于m的$\mathbb{R}^{2n}$的Borel子集，则对于各向同性m-平面的正测度集，$A$和$B$在这些平面上的正交投影下的像的交集具有正Hausdorff $m$ -测度.此外，如果$A$是大于$m$的Hausdorff维数的可测量集合，则存在具有$\dim B\leq m$的集合$B\subset\mathbb{R}^{2n}$，使得对于所有$x\in\mathbb{R}^{2n}\setminus B$，存在各向同性m平面的正测度集合，对于该正测度集合，每个这样的平面的正交补的$x$的平移在维数集合$\dim A-m$上与$A$相交。然后将这些结果应用于$n^{th}$ Heisenberg群，得到了类似的结果.
A problem of intersection of balls in normed space
研究有限维赋范空间中球交集的拓扑性质，证明在任意赋范平面中，从有限个开小球交集中移除一个大闭球后得到的非空集总是可缩的。
Gromov-Hausdorff distance and Jung constant of finite-dimensional normed spaces
研究有限维赋范空间\(V\)及与\(V\)有有限豪斯多夫距离的子集\(X\)，通过证明得出\(X\)与\(V\)的格罗莫夫 - 豪斯多夫距离和豪斯多夫距离、容格常数的关系，特定条件下有更强结论。
Hausdorff measures and dimensions in non equiregular sub-Riemannian manifolds
本文是计算具有奇点的子黎曼流形中子流形的豪斯多夫维数和小球的豪斯多夫体积的一个起点。我们首先考虑强等正则子流形的情况，即，一个光滑子流形N，其中分布D的增长向量和D与TN的交的增长向量在N上是常数。在这种情况下，我们推广了[12]中的结果，该结果将豪斯多夫维数与分布的增长向量联系起来。然后我们考虑解析子黎曼流形，在奇点p是典型的假设下，我们陈述一个定理，该定理用分布和分布与奇异轨迹的交的增长向量来刻画流形的豪斯多夫维数和小球B（p，ρ）的豪斯多夫体积的有限性，以及沿某些向量场族赋值的M上的体积形式在p处的非完整阶。
Intersections of certain deleted digits sets
本文研究了消去数Cantor集与其平移数的交的一些性质。我们调查的条件的数字集，使任何t之间的零和删除的数字康托尔集本身的尺寸，一组的翻译，使交集的豪斯多夫维数等于t是密集的集合F的翻译，使交集是非空的。我们对集合F的性质做了一些简单的观察，特别是，我们根据数集上的条件刻画了F是区间的情况。
Intersections of multiplicative translates of 3-adic Cantor sets
受Erdans问题的启发，本文考虑了关于3-adic整数乘2的离散动力系统的问题。设3-adic康托尔集由所有其展开式仅使用数字0和1的3-adic整数组成。例外集是3进整数的集合，其在此作用下的前向轨道与3进康托尔集相交无限次。它已被证明，这个集有豪斯多夫维数0。接近上界的豪斯多夫维数，这些集导致研究的交叉乘法平移康托集的权力2。更一般地，本文研究了3进康托尔集的一般乘法平移与整数1 < M_1 < M_2 <. < M_n。这些集合可描述为3-adic整数的集合，其3-adic展开具有由有限自动机给出的单侧符号动力学。因此，对于一个代数整数β，这样一个集合的豪斯多夫维数总是log（β）的形式。本文给出了一种确定给定数据（M_1，…，M_n）。实验结果表明，这类集合的豪斯多夫维数以一种非常复杂的方式依赖于整数M_1，.，M_n。
Fractal Intersections and Products via Algorithmic Dimension
分形维数量化了各个点的算法信息密度，并且可以根据柯尔莫哥洛夫复杂度来定义。这项工作使用这些尺寸约束的经典豪斯多夫和包装维数的交叉和笛卡尔积的分形在欧几里德空间。这种方法表明，两个突出的，基本的结果，关于维度的博雷尔或分析集也适用于任意集。
Intersections of multiplicative translates of $3$-adic Cantor sets II: two infinite families
本文继续研究整数$1\leq M_1<\cdots<M_n$的一般乘法平移$\mathcal{C}(M_1,\ldots,M_n)=\frac{1}{M_1}Σ_{3,\bar{2}}\cap\cdots\cap\frac{1}{M_n}Σ_{3,\bar{2}}$的有限交的结构，其中$Σ_{3,\bar{2}}$表示$3$ -adic Cantor集.本研究的动机是$3$ -进整数$\mathbb{Z}_3$乘$2$给出的离散动力系统的问题。例外集$\mathcal{E}(\mathbb{Z}_3)$被定义为$\mathbb{Z}_3$的所有元素的集合，这些元素的前向轨道在此作用下与$3$ -adic Cantor集$Σ_{3,\bar{2}}$相交无限次。证明了它具有Hausdorff维数$0$。第一部分表明，在所有$M_i$都是$2$的幂的情况下，例外集的Hausdorff维数的上界可以从上述类型的集合的Hausdorff维数中提取。这些交集被证明是分形，其点具有可由有限自动机中的标记路径描述的$3$ -adic展开，其Hausdorff维数是精确可计算的，并且具有$\log_3(β)$的形式，其中$β$是实代数整数。给出了自动机的判定算法，并通过计算实例说明了自动机和$β$值对参数$(M_1,\ldots,M_n)$的依赖关系是复杂的。本文研究了两个新的无限家庭的例子，说明…
Sets with large intersection properties in metric spaces
在这项工作中，我们再现的$\Gg^s$ -集的特征，从欧几里德设置[J. London Math.Soc.49：267- 280，1994]到更一般的度量空间。这些集合具有至少为$s$的豪斯多夫维数，并且由可数交集闭合，这对于估计所谓的$α$ -可逼近点（通常出现在丢番图逼近中）的集合的维数特别有用。
Isometries of the class of ball-bodies
本文刻画了欧几里得单位球交集体型体类关于豪斯多夫距离的满射等距变换，证明其为刚体运动与恒等映射或c-对偶映射的复合，c-对偶映射将体型体映射为以其内部点为中心的单位球交集。
A New Hausdorff Content Bound for Limsup Sets
本文给出了limsup集的一个新的Hausdorff容限，它与Falconer的大交集有关。Falconer的大交集对空间中的所有球都满足一个内容界。相比之下，我们的主要定理只假设形成极限优越集的球的标度不变界。我们给四个应用这些想法和我们的主要定理：一个新的证明和推广的质量转移原则有关的丢番图逼近，一个相关的结果随机limsup集，一个新的证明费德勒的表征集的有限周长和声明有关一般的道路和测量理论的边界。新的一般质量转移原理将一个球集合的内容边界转移到另一个集合的内容边界-然而，这个内容边界必须保持在空间中的所有球上。我们的方法的好处是大大简化的参数，以及新的工具来估计豪斯多夫内容。新的方法使我们能够省去以前工作中的许多假设。具体地说，我们的一般质量转移原理和随机limsup集的界限并不假设Ahlfors正则性。此外，它们适用于任何完全度量空间。我们的一般Hausdorff内容估计适用于任何完全度量空间中的limsup集，这一事实使这种普遍性成为可能。
About the continuity of one operation with convex compacts in finite-dimensional normed spaces
本文研究了一个紧集与另一个紧集的闭邻域的交通过改变这个邻域的半径而产生的变形。证明了在有限维赋范空间中，当两个紧集都是非空凸集时，这种运算在Hausdorff度量生成的拓扑中是连续的.问题的连续依赖性所描述的交叉点的半径附近出现的副产品的发展理论的极值网络。然而，事实证明它本身很有趣，提出了各种概括。因此，决定单独出版。
On randomly placed arcs on the circle
我们完全描述的Hausdorff措施的大小的一组点的圆所涵盖的无限往往是一系列的随机弧与给定的长度。我们还证明了这个集合是一个具有大交集的集合。
A Fubini-type theorem for Hausdorff dimension
众所周知，经典的关于豪斯多夫维数的富比尼定理不能成立;也就是说，一个固定集合与一个平行平面族的交集的维数不决定该集合的维数。在这里，我们证明了一个Fubini定理的豪斯多夫维数不持有模集是所有Lipschitz图小。我们说$G\subset \mathbb{R}^k\times \mathbb{R}^n$是$Γ_k$ -null，如果对于每个Lipschitz函数$f:\mathbb{R}^k\to \mathbb{R}^n$，集合$\{t\in\mathbb{R}^k\,:\,(t,f(t))\in G\}$的测度为零。证明了对于每一个具有$\dim (\text{proj}_{\mathbb{R}^k} E)=k$的Borel集$E\subset \mathbb{R}^k\times \mathbb{R}^n$，存在一个$Γ_k$ -空子集$G\subset E$，使得$$\dim (E\setminus G) = k+\text{ess-}\sup(\dim E_t)$$，其中$\text{ess-}\sup(\dim E_t)$是$E$的垂直截面$\{E_t\}_{t\in \mathbb{R}^k}$的豪斯多夫维数的本质上确界.此外，我们还证明，只要$E$不是$Γ_k$ -空，就存在$Γ_k$ -空子集$G\subset E$，使得对于$F=E \setminus G$，…
Cantor sets in higher dimension I: Criterion for stable intersections
本文在高维空间中研究Cantor集的稳定相交判据，并提出构造显式稳定相交Cantor集的方法，适用于Hausdorff维度极小的复杂情形。
Fractals as Sculptures
本文证明在紧致有界度量空间上，迭代函数系统存在紧致不变子空间，使吸引子可表示为递减紧致空间序列的交集。
Moiré Pattern of Rotated Sierpiński Gaskets
本文研究旋转谢尔宾斯基地毯的摩尔纹交集，证明共振角下为有限型并计算维数，给出几乎处处角度的上界，并猜想非共振角维数等于该上界，部分内容已在Lean中形式化。
Well and badly approximable sets, and rapid winning
该研究引入Ψ-快速博弈确定τ-逼近数集与非齐次恶劣逼近数集交集的豪斯多夫维数，得到了τ≥1时该交集的精确Jarník–Besicovitch维数。
Quantitative results using variants of Schmidt's game: Dimension bounds, arithmetic progressions, and more
Schmidt博弈通常用于推导分形集及其交集的豪斯多夫维数的定性信息。然而，人们也可以询问获胜集合的性质的定量版本。在本文中，我们表明，这样的定量信息具有应用程序的各种问题，包括：* 什么是最大长度的等差数列的“中间$ε$“康托集？* 什么是最小的$n$，使得有一些元素的三元康托集的连分数部分的所有$\leq n$？* Cantor集上的$ε$ -差逼近数集的豪斯多夫维数是多少？我们表明，施密特的游戏称为$potential$ $game$的一个变种是能够提供更好的边界上的答案，这些问题比经典的施密特的游戏。我们还使用潜在的游戏提供了一个新的证明的一个重要引理在霍尔射线的存在性的经典证明。
An interpolation of metrics and spaces of metrics
本文提出了一种度量及其空间的插值定理，并探讨了度量空间中子集的典型性，通过研究各种度量集合的稠密交集，展示了其在非倍度和非均匀断开度量中的应用。
Ubiquitous systems and metric number theory
我们研究了$$E_{t}=\{x\in\R^d \:|\: \|x-k-x_{i}\|<{r_{i}}^t\text{for infinitely many}(i,k)\in I^{μ,α}\times\Z^d\},$$的大小和大相交性质，其中$d\in\N$，$t\geq 1$，$I$是可数集，$(x_{i},r_{i})_{i\in I}$是$[0,1]^d\times (0,\infty)$中的一个族，$I^{μ,α}$表示所有$i\in I$的集合，使得对于给定的Borel测度$μ$和给定的$α>0$，具有中心$x_{i}$和半径$r_{i}$的球的$μ$-质量表现为${r_{i}}^α$.我们建立了集合$E_{t}$属于关于某个规范函数$h$的大交集合类$\grint^h(\R^d)$，只要$(x_{i},r_{i})_{i\in I}$是关于$μ$的异构泛在系统.特别地，$E_{t}$对于在零的邻域中比$h$增加得更快的每个规范函数$g$具有无限Hausdorff $g$-测度。我们也给出了度量数论的几个应用。
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