Critical percolation on mesoscopic triangulations
我们扩展Smirnov的证明的存在性和共形不变性的缩放限制的临界站点渗流的三角形晶格的特定序列的周期图具有更任意的大规模结构，通过拼凑三角形区域的三角形晶格。虽然没有正式地说一个标度极限声明（因为图不是彼此的重新标度版本），但结果是临界渗流的普遍性的弱形式。
2014-10-02 math.PR
Percolation and $O(1)$ loop model
我们提出了一个“终极”证明的Cardy公式的临界渗流的六角晶格\cite{Smirnov01criticalpercolation}，显示存在的普遍和共形不变的比例限制的交叉概率。新的方法概念性更强，技术要求更低，易于推广。
2021-11-30 math-ph math.CV math.MP
On Convergence to SLE$_6$ I: Conformal Invariance for Certain Models of the Bond-Triangular Type
遵循[26]中概述的方法，建立了[11]中研究的相关键三角型模型的探索过程向SLE $_6$的收敛。这使得所述模型与三角形晶格上的标准位点渗流模型处于相同的普适性类[27]。在这些模型的背景下，证明了所有域的边界Minkowski维数小于2。此外，收敛性的证明适用于一般的临界2D渗流模型的背景下，并为一般域，在规定的卡迪公式可以建立在这个一般性的域。
2010-04-26 math-ph math.CV math.MP
The scaling limits of near-critical and dynamical percolation
在Schramm和Smirnov提出的渗流组态的“四交叉”空间$\mathcal{H}$中，我们证明了三角格子$η\mathbb{T}$上的近临界渗流和动力学渗流具有与网格$η\to 0$相同的标度极限.证明本质上是通过“扰动”临界模型的标度极限进行的，使用我们先前论文中研究的关键措施。这些新的限制对象的马尔可夫性和共形协方差也建立。
2017-01-25 math-ph math.MP math.PR
Conformal Invariance for Certain Models of the Bond-Triangular Type
遵循[18]中概述的方法，建立了[7]中研究的相关键三角型模型的探索过程的收敛到SLE6。这使得所述模型与三角形晶格上的标准位点渗流模型处于相同的普适性类[19]。结果证明所有域的边界（上）Minkowski维数小于2。此外，收敛性的证明适用于临界二维渗流模型的一般情况下，卡迪公式可以成立的规定。
2010-04-26 math-ph math.MP math.PR
One-arm exponent for critical 2D percolation
证明了在三角形网格上临界位渗流中起源团簇直径大于$R$的概率像$R^{-5/48}$一样衰减为$R\to\infty$。
2001-08-30 math-ph math.CV math.MP
Critical percolation: the expected number of clusters in a rectangle
我们表明，临界点渗流的三角形晶格上的两个新的可观的共形不变的标度极限。特别地，分离两对点的聚类的期望数目收敛于显式的共形不变量。我们的证明是独立的早期的结果和$SLE$技术，原则上应该提供一个新的方法来建立共形不变性的渗流。
2009-09-24 math-ph math.CV math.MP
Cardy's formula does not hold on some 2D lattices for critical two-dimensional percolation
本文证明了在临界二维渗流中，Cardy公式并非在所有二维格上成立，特别是对某些周期二维三角格和正方型图不成立。
2023-09-10 math.PR
Critical Percolation Exploration Path and SLE(6): a Proof of Convergence
Schramm和Smirnov认为，三角形晶格上的临界点渗流探索路径在分布上收敛于弦SLE的迹线（6）。我们在这里提供了一个详细的证明，它依赖于斯米尔诺夫定理，交叉概率有一个共形不变的缩放限制（由卡迪公式）。我们证明的收敛到SLE（6）的版本足以用于某些临界渗流交叉指数的Smirnov-Werner推导，并用于我们作为连续非简单循环过程的临界渗流满标度极限的分析。
2006-11-07 math-ph math.MP math.PR
A Particular Bit of Universality: Scaling Limits of Some Dependent Percolation Models
我们研究家庭的依赖网站渗流模型上的三角形晶格${\mathbb T}$和六边形晶格${\mathbb H}$，通过应用某些元胞自动机独立的渗流配置。我们分析了这种模型的标度极限，并表明，在我们的家庭之一的任何两个渗流模型的集群边界的宏观部分之间的距离几乎肯定为零的标度极限。由此可见，这些元胞自动机生成的相关渗流模型中的每一个都具有与${\mathbb T}$上的独立位点渗流相同的标度极限（在Aizenman-Burchard [3]的意义上）。
2003-08-12 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Critical percolation in the plane
研究了三角格点上临界点渗流的标度极限和共形不变性。我们证明了一些与量子化有关的量是调和的共形不变量，并计算了它们在标度极限下的值。作为特例，我们得到了交叉概率的共形不变性和Cardy公式。然后我们证明了连续统标度极限的存在性、唯一性和共形不变性。
2009-09-24 math-ph math.CV math.MP
Constrained percolation, Ising model and XOR Ising model on planar lattices
我们研究了平面格点上的约束渗流模型，包括$[m,4,n,4]$格点和双曲平面的正方形格点，满足一定的4度面局部约束，并研究了无限簇的存在性.这些格上的约束渗流模型与欧氏平面或双曲平面上的正则平铺上的Ising模型和XOR Ising模型密切相关。特别地，我们得到了在具有自由边界条件的双曲平面的顶点可迁三角形镶嵌上的铁磁伊辛模型的无限“$+$“和“$-$“团簇的数目的完整图像，其中包含了耦合常数的所有可能值.我们的结果表明，对于双曲平面上顶点可迁三角形镶嵌的Ising模型，其随机团簇表示可能没有无限开团簇，而Ising模型有无限多个无限“$+$“团簇和无限多个无限“$-$“团簇.我们还研究了异或伊辛模型的无限“$+$“和“$-$“簇在欧氏平面和双曲平面的规则镶嵌上的不同行为。一个副产品，我们证明的结果是，临界随机集群模型与$q\geq 1$和有线边界条件上的准传递，非顺从，幺模图几乎肯定没有无限开集群。
2020-01-28 math-ph math.MP math.PR
Last passage percolation in lower triangular domain
本文研究下三角区域中最后通过渗流的渐近分布，证明反对角线情形由GOE Tracy-Widom分布控制，主对角线情形由GSE Tracy-Widom分布控制，并在截断下三角情形中得到了GSE Tracy-Widom分布的新推广。
2025-07-22 math.CO math.PR math.RT
The percolation energy field and its logarithmic partner
NYU Abu Dhabi（阿布扎比纽约大学）；Courant Institute（库朗数学科学研究所）；Tsinghua University（清华大学）；University of Michigan（密歇根大学）
针对三角晶格上的点逾渗，定义了两个形成共形场论中对数对的晶格场，并证明在临界点其两点和三点相关函数具有符合对数场论预测的标度极限，其中一场对应逾渗的Ising能量场，另一场与四臂事件相关。
2026-06-01 math-ph math.MP math.PR
Exceptional times for percolation under exclusion dynamics
本文分析了Häggström、Peres和Steif在[HPS 97]中提出的著名的动态渗流模型的保守模拟。它简单地定义如下：从初始渗流构型$ω(t=0)$开始。让这种配置根据具有对称核$K(x,y)$的简单排斥过程随时间演化。我们开始一般调查（以下[HPS 97]），这个动态过程$t \mapsto ω_K(t)$，我们称之为$K$ -排斥动态渗流。然后，我们进行了详细的分析，在临界点的平面情况下（无论是三角形网格和正方形晶格$Z^2$），我们认为幂律内核$K^α$ \[ K^α(x,y) \propto \frac 1 {\|x-y\|_2^{2+α}} \, . \]我们证明，如果$α> 0$选择足够小，存在例外的时间$t$的无限集群出现在$ω_{K^α}(t)$。(On三角形网格，我们证明它适用于所有$α< α_0 = \frac {217}{816}$。）标准i.i.d.的这种特殊时间的存在。动态渗流（其中站点根据独立的泊松点过程演化）可以追溯到Schramm-Steif在[SS 10]中的工作。为了处理这样的$K$ -排除动力学，我们进一步推动了在[BGS 13]中发起的排除噪声灵敏度的频谱分析。(The后一篇论文可以被视为Benjamini-Kalai-Schramm [BKS 99]关于i.i.d.的开创性论文的保守类似物。噪声敏感度）。最近邻简单排斥过程的情况，对…
2019-06-28 math-ph math.MP math.PR
The lowest crossing in 2D critical percolation
本文研究了三角格点上临界点渗流问题。设A和B是在一条水平线e上相距距离n的两个点。考虑在e上面的半平面中，从A左边的半直线到B右边的半直线的最低占有交叉R。我们证明了R在距离AB小于m处有一个站点的概率为（log（n/m））^{-1}阶，在1 <= m < n/2中是一致的。我们的许多分析也可以对其他二维晶格进行。
2002-01-04 math-ph math.MP math.PR
Percolation and number of phases in the 2D Ising model
我们重新考虑了Russo，Aizenman和Higuchi的渗流方法，证明了正方格子上的Ising模型中只存在两相。我们给出了一个相当短的替代证明，它只基于FKG单调性，避免了使用GKS型不等式原来需要的一些背景结果。我们的证明扩展到其他平面晶格，如三角形和蜂窝晶格上的伊辛模型。我们也可以在$Z^2$上处理外场中的Ising反铁磁体和硬核晶格气模型。
1999-11-08 math-ph math.MP math.PR
Limit theorems for critical first-passage percolation on the triangular lattice
考虑（独立的）第一次通过渗流的网站上的三角形格子$\mathbb{T}$。用$t(v)$表示$\mathbb{T}$中位点$v$的通过时间，并假设$P(t(v)=0)=P(t(v)=1)=1/2$。用$b_{0,n}$表示从0到半平面$\{v\in\mathbb{T}:\mbox{Re}(v)\geq n\}$的通过时间，用$T(0,nu)$表示从0到最接近$nu$的位点的通过时间，其中$|u|=1$。我们证明，作为$n\rightarrow\infty$，$b_{0,n}/\log n\rightarrow 1/(2\sqrt{3}π)$ a.s.，$E[b_{0,n}]/\log n\rightarrow 1/(2\sqrt{3}π)$和Var $[b_{0,n}]/\log n\rightarrow 2/(3\sqrt{3}π)-1/(2π^2)$ ;概率为$T(0,nu)/\log n\rightarrow 1/(\sqrt{3}π)$，但非a.s.，$E[T(0,nu)]/\log n\rightarrow 1/(\sqrt{3}π)$和Var $[T(0,nu)]/\log n\rightarrow 4/(3\sqrt{3}π)-1/π^2$。这回答了Kesten和Zhang（1997）的一个问题，并改进了我们以前的工作（2014）。从这个结果，我们得到了一个明确的形式…
2016-12-28 math.PR
Universality for bond percolation in two dimensions
正方形、三角形和六边形晶格上的所有（非）均质键渗流模型都属于同一普适类，因为它们在临界点具有相同的临界指数（假设指数存在）。这是证明使用星三角形变换和盒交叉性质。所讨论的指数是单臂指数$ρ$、$j\ge1$的2 j-交替臂指数$ρ_{2j}$、体积指数$δ$和连通性指数$η$。根据Kesten早期的结果，这意味着对于满足某种附加假设的任何模型，如这三种晶格上的均匀键渗流模型，近临界指数$β$、$γ$、$ν$、$Δ$（假设这些指数存在）也具有普适性。
2013-10-03 math-ph math.MP math.PR
Frozen percolation in two dimensions
Aldous在二叉树上引入了对键渗透过程的修改，其中簇一旦变得无限大就停止生长（冻结）。我们研究了这个过程的网站版本上的三角形晶格的集群冻结，只要他们达到L无穷大直径至少N的一些参数N。我们表明，非正式地说，在极限N趋于无穷大，集群只冻结在三角形晶格上的网站渗透的临界窗口。因此，最终（i. e.在时间1）在冻结的集群中趋于0，因为N趋于无穷大。我们还证明了在给定顶点的时刻1，疏散星团的直径很可能小于N，但为N阶。这表明，在三角形格子上的过程有一个行为完全不同于Aldous的过程。我们还指出了必须进行哪些修改才能使证明适应方形晶格上N参数冻结键渗透过程的情况。这将我们的结果推广到正方形格子，并回答了范登伯格，德利马和诺林在早期的论文中提出的问题。
2013-07-12 math.PR
A simple proof of exponential decay in the two dimensional percolation model
Kesten证明了二维渗流模型在亚临界相的渗流概率呈指数衰减。这一结果暗示了他的著名计算：$p_c=0.5$分别适用于正方形晶格中的键渗流和三角形晶格中的位渗流。本文给出了Kesten定理的一个简单证明。
2008-12-25 math.PR
The sizes of the pioneering, lowest crossing and pivotal sites in critical percolation on the triangular lattice
设L_n表示嵌入Z ^2的三角形格子上临界点渗流的正方形2n \times 2n盒的最低交叉。F_n也表示在这个交叉点下面延伸的开拓点，Q_n表示这个交叉点上的关键点。结合Smirnov和Werner [Math. Res. Lett. 8（2001）729-744]关于平面和半平面中多臂路径的渐近概率，Kesten的[Comm.Math.Phys.109（1987）109-156]方法，用于表明某些限制的多臂路径在概率上等价于无限制的多臂路径，以及我们自己的二阶和更高阶矩上界，我们得到以下结果。对于每个正整数τ，作为n \to \infty：1。E（|L_n| ^τ）=n^{4τ/3+o（1）}。2. E（|F_n| ^τ）=n^{7τ/4+o（1）}。3. E（|Q_n| ^τ）=n^{3τ/4+o（1）}。这些结果扩展到更高的时刻的离散模拟最近的结果劳勒，施拉姆和维尔纳[数学。8（2001）401-411]证明了平面布朗运动的前沿、先锋点和截点的豪斯多夫维数分别为4/3、7/4和3/4。
2005-08-24 math.PR
Homological percolation on a torus: plaquettes and permutohedra
本文构建环面上的高维同调渗流模型，证明巨型同调循环存在尖锐相变，并在中间维数得到临界阈值 $p_c=1/2$，推广 Kesten 的经典结果。
2023-09-29 math-ph math.AT math.MP
Bond percolation on isoradial graphs: criticality and universality
在等径图上的渗流研究中，我们证明了正则键渗流在可平面图的等径嵌入上的临界性，从而推广了较早的关于均匀和非均匀正方形、三角形和其它格点的著名结果。这是通过星三角形变换实现的，通过在等径图族中传输盒交叉属性。因此，我们得到的普遍性，这些模型在临界点，在这个意义上说，单臂和2 j-交替臂临界指数（因此也是连通性和体积指数）是恒定的家庭这样的渗流过程。所讨论的等径图是那些在嵌入和迹系上满足一定弱条件的图。这类图包括，例如，周期图的等距嵌入，以及从菱形彭罗斯镶嵌导出的图。
2013-03-07 math-ph math.MP math.PR
Conformal invariance of the exploration path in 2-d critical bond percolation in the square lattice
本文证明了正方形格点上临界键渗流探索过程收敛于SLE $_{6}$的迹。这是数学物理和概率论中的一个重要猜想。在Smirnov的开创性工作中，通过证明Cardy公式，建立了六方晶格上临界点渗流的情况。我们的证明使用了一系列的变换和条件来构造一对路径：$+\partial$ CBP和$-\partial$ CBP。在六方格子上的网站渗流的情况下的收敛性，使我们能够获得一定的估计上的缩放限制的$+\partial$ CBP和$-\partial$ CBP。通过考虑一个路径，这是级联的$+\partial$ CBP和$-\partial$ CBP在交替的方式，我们可以证明的情况下，在正方形晶格上的键渗流的收敛性。
2013-01-10 math.PR
Singularity of Full Scaling Limits of Planar Nearcritical Percolation
我们考虑Schramm和Smirnov提出的四交叉拓扑中平面近临界渗流的满标度极限。我们证明了两个不同参数的近临界标度极限是奇异的。这些结果适用于一般晶格上的渗流模型，包括正方形晶格上的键渗流和三角形晶格上的位渗流。
2014-07-16 math.PR
Random knots in three-dimensional three-colour percolation: numerical results and conjectures
四面体格子上的三维三色渗流是三角形格子上二维双色渗流的直接推广。单色簇之间的界面由双色曲面和三色非相交和非自相交曲线组成。由于三维空间，这些曲线描述了节点和链接。本文提出了一种使用特殊的边界条件和一些不变量的纽结的数值研究的随机结的建设。所得结果为精确推导随机纽结的Alexander多项式的极限定律提供了依据。
2019-05-20 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Incipient infinite cluster in 2D Ising percolation
本文研究了在临界外场或其附近的二维正方晶格上高温伊辛模型的渗流问题。构造了Kesten意义下的初始无限簇测度。由此，我们可以得到IIC的一些几何性质。这个结果也适用于三角晶格。
2013-07-27 math.PR
Conformal invariance of the loop-erased percolation explorer
本文研究有界单连通区域中三角形格子上的临界渗流问题，其边界条件是在两个指定的边界点之间存在一个界面。我们说，界面形成一个“近环”，当它来到一个晶格间距的本身。我们定义了一条新的曲线，当我们穿过界面时，擦除这些近环。我们的Monte Carlo模拟这个模型使我们得出结论，这个循环擦除渗流界面的标度极限是共形不变的，分形维数为4/3。但是，它不是SLE_8/3。我们还考虑了一个近环的过程中，当探险家来到两个晶格间距本身。
2018-09-28 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Entropy and singularity of spectral and pivotal sets in planar percolation
Einstein Institute of Mathematics, The Hebrew University of Jerusalem（希伯来大学爱因斯坦数学研究所）
本文证明平面临界渗流中谱集与关键集的香农熵与总影响量可比，并揭示二者渐近互异，重叠衰减指数为11/12，最小对称差距离与总影响量可比。
2026-09-15 math.PR
Cardy's Formula for some Dependent Percolation Models
我们证明了卡迪的矩形交叉概率公式在依赖网站渗流模型，产生于一个确定性的元胞自动机与随机初始状态。元胞自动机对应于六角晶格H上的多曼尼随机伊辛铁磁体的零温度情况（两个子晶格交替更新）;当一个位置与六个相邻位置中的六个、五个，有时甚至四个不一致时，它也可以在三角形晶格T上实现。
2001-11-15 cond-mat.stat-mech math.PR
Is critical 2D percolation universal?
本文的目的是探讨可能的方式扩展斯米尔诺夫的证明卡迪公式的临界网站渗流的三角形晶格的其他情况下（如债券渗流的正方形晶格），我们解决的主要问题是，选择的晶格嵌入到平面，从而产生共形不变性的标度限制。尽管我们无法给出一个完整的证明，但我们相信这里提出的想法是正确的。
2007-08-29 math.PR
High-density hard-core model on triangular and hexagonal lattices
我们进行了严格的研究的吉布斯统计的高密度硬核随机配置的单位三角形晶格$\mathbb{A}_2$和单位蜂窝图$\mathbb{H}_2$，任何值的（欧几里德）排斥直径$D>0$。只有可达到的$D$值是相关的，$D^2=a^2+b^2+ab$、$a, b \in\mathbb{Z}$（洛希数）。根据算术性质的$D^2$，我们确定，大逸度，纯相（极端吉布斯措施），并指定其对称性。答案取决于边长为$D$的等边三角形如何内接于$\mathbb{A}_2$或$\mathbb{H}_2$。在$\mathbb{A}_2$上，我们的方法适用于所有可达到的$D^2$ ;在$\mathbb{H}_2$上，我们必须排除$D^2 = 4, 7, 31, 133$，其中发生滑动现象，类似于单位正方形晶格$\mathbb{Z}^2$。对于所有的值$D^2$除了被排除的，我们证明了存在的一阶相变共存的纯相的数量增长至少为$O(D^2)$。证明是基于Pirogov-西奈理论，它需要非平凡的关键假设验证：有限的周期性基态和Peierls界的集合。为了建立Peierls界，我们开发了一个通用的方法的概念的基础上重新分布的区域Delaunay三角形。一些提出的证明是计算机辅助的。作为基态识别的副产品，我们解决了磁盘包装问题的$\mathbb{A}_2$和$\mathbb{H}_2$的任何值的磁盘直径$D$。
2020-10-21 math.PR
A singularity at the criticality for the free energy in percolation
考虑三角格子上的渗流。设$κ(p)$为零场的自由能。我们表明，$$|κ'''(p)| \leq |p-p_c|^{-1/3+o(1)} \mbox{ if } p \neq p_c.$$此外，我们表明，存在一个序列$ε_n\downarrow 0$，使$$|κ'''(p_c\pm ε_n)|\geq ε_n^{-1/3+o(1)}.$$这肯定地回答了一个猜想，问赛克斯和Essam半个世纪前，是否$κ(p)$有一个奇点的临界。
2020-03-01 math.PR
Critical exponents of planar gradient percolation
研究了三角格点上的梯度渗流问题。这是一个渗流模型，其中渗流概率线性依赖于站点的位置。我们证明了物理学家对这个模型的预测结果。更确切地说，我们描述的波动的接口周围的（直）缩放限制，以及这些接口的预期和典型的长度。这些结果建立在最近的结果临界渗流在这个晶格上的Smirnov，劳勒，Schramm和沃纳，和由Kesten开发的缩放思想。
2008-09-24 math.PR
Large deviation bounds for the volume of the largest cluster in 2D critical percolation
设M_n表示在边长为n的三角形格子上临界位渗流的最大簇中的位数。我们给出了M_n / E（M_n）> x的概率的下界和上界，其形式为exp（- C x^（2/alpha）），其中x > 1且n较大，alpha = 5/48且C > 0。我们的结果推广到其他二维格，并加强了以前已知的指数上界由Borgs，Chayes，Kesten和Spencer [BCKS 99]。此外，在一些类似于[BCKS 99]的一般假设下，我们得到了类似的上界d > 2。
2014-04-08 math.PR
Planar percolation with a glimpse of Schramm-Loewner Evolution
近年来，二维统计物理领域取得了重要进展。最引人注目的成就之一是Cardy-Smirnov公式的证明。这一定理，连同介绍Schramm-Loewner演化和技术开发多年来在渗流，允许精确描述的临界和近临界制度的模型。本调查的目的是描述不同的步骤，导致证明的无限簇密度$θ(p)$的网站渗透上的三角形晶格行为像$(p-p_c)^{5/36+o(1)}$作为$p\searrow p_c=1/2$。
2013-06-07 cond-mat.stat-mech math.PR
Percolation and the pandemic
本文旨在纪念迪特里希·斯托弗，他是渗流理论的先驱，并将其应用于社会问题，如流行病学。流行病是一个失控的渗透过程，也就是说，超过了临界转变阈值$p_c$。在这里，我们讨论的阈值是如何相关的邻居$R_0$的基本传染性，树（贝特格），树与三角形集团，并在非平面晶格渗流与扩展范围的连接。它示出了如何有一个较小的范围内的接触增加$R_0$的临界值以上的值$R_{0,c}=1$适当的树，无限范围的系统或一个大的完全连接的图形。
2021-01-03 cond-mat.dis-nn math.PR
Percolation on dual lattices with k-fold symmetry
Zhang发现了一个简单而优雅的论证，从无限开团簇存在时的唯一性的一般结果中推导出在某些晶格渗流模型（例如，正方形晶格上的p=1/2键渗流）中不存在无限开团簇;这个论证需要一些对称性。在这里，我们表明，一个简单的修改张的论点只需要2倍（或3倍）的对称性，证明了临界概率渗流的对偶平面晶格与这种对称性总和为1。像张的论点，我们的扩展适用于许多情况下，特别是，它使我们能够回答一个问题的Grimmett关于各向异性随机簇模型的三角晶格。
2007-02-06 math.CO math.PR
