Critical and near-critical level-set percolation of the Gaussian free field on regular trees
对于具有$d \geq 2$的$(d + 1)$ -正则树上的高斯自由场，我们研究了其临界和近临界区域水平集的分解性质。特别是，我们证明了渗流概率的连续性，导出了临界水平集连通分量基数的精确渐近尾估计，并描述了近临界状态下渗流概率的渐近行为。
2023-02-06 math.PR
A scaling limit of crossing probabilities for critical percolation on the square lattice
本文证明了正方形晶格上临界渗流在等边三角形中的交叉概率存在标度极限，并指出Cardy公式在该情形下不成立。
2024-10-03 math.PR
The geometry of a critical percolation cluster on the UIPT
考虑了均匀无限平面三角剖分上的临界伯努利点渗流。我们研究了临界团簇壳的剥离时间、周长和体积的尾部分布。这里获得的指数与Angel和Curien（2015）在均匀无限半平面三角剖分上临界点渗流的情况下计算的指数相差2倍。
2017-01-06 math.PR
Expansion for the critical point of site percolation: the first three terms
本文将$d$维超立方晶格上的格位渗流的临界点用$2d$的幂倒数展开，严格地得到了前三项。这是通过花边扩张来实现的。
2021-01-15 math.PR
Critical Point and Percolation Probability in a Long Range Site Percolation Model on $\Z^d$
考虑在$\Z^d,\ d\geq 2$上具有参数$p \in (0,1)$的独立位点逾渗模型，其中仅存在长度为$k$的最近邻键和长程键平行于每个坐标轴。我们证明了当$k$趋于无穷大时，该模型的渗流阈值收敛于$p_c(\Z^{2d})$，即$\Z^{2d}$上的普通（最近邻）渗流的渗流阈值.我们还推广了这一结果的模型，其长程键有几个长度。
2011-05-23 math.PR
An update on lower bounds for the critical values of oriented percolation models
该研究借助多类型Galton-Watson树的随机控制方法，得到了多种定向渗流模型临界点的新下界，方法可推广至不同格点与三维场景。
2023-08-22 math.PR
Universality of the time constant for $2D$ critical first-passage percolation
本文研究了顶点权为$(t_v)$的三角格上的首次通过渗流问题，其公共分布函数$F$满足$F(0)=1/2$。这被称为FPP的临界情况，因为大的（临界）零权重集群允许在距离上是次线性的时间上的远点之间的旅行。用$T(0,\partial B(n))$表示从$0$到$\{x : \|x\|_\infty = n\}$的首次通过时间，我们证明了“时间常数”的存在，并发现它的精确值是\[ \lim_{n \to \infty} \frac{T(0,\partial B(n))}{\log n} = \frac{I}{2\sqrt{3}π} \text{ almost surely}, \]，其中$I = \inf\{x > 0 : F(x) > 1/2\}$和$F$是$t_v$的任何临界分布。这一结果表明，时间常数是普适的，仅取决于PDMATHAMV的值。此外，我们找到了极限归一化方差的精确值，这也是唯一的$I$的函数，在$F$上的最佳矩条件。在时间常数存在的条件下，证明方法在其他二维格上也具有类似的普适性。
2019-04-26 math.PR
Critical site percolation in high dimension
本文利用蕾丝展开证明了高维超立方晶格中位渗流的一个红外边界。这意味着三角形条件，并允许我们推导出几个临界指数，在高维的平均场行为的特征。
2020-06-22 math.PR
Critical percolation on mesoscopic triangulations
我们扩展Smirnov的证明的存在性和共形不变性的缩放限制的临界站点渗流的三角形晶格的特定序列的周期图具有更任意的大规模结构，通过拼凑三角形区域的三角形晶格。虽然没有正式地说一个标度极限声明（因为图不是彼此的重新标度版本），但结果是临界渗流的普遍性的弱形式。
2014-10-02 math.PR
Limit of the Wulff Crystal when approaching criticality for site percolation on the triangular lattice
近十年来，人们对三角晶格上的位渗流的认识有了很大的进展。Smirnov证明了临界渗流的共形不变性，从而为其标度极限的构造铺平了道路。最近，Garban，Pete和Schramm也建立了近临界渗流的标度极限。这一非常有限的贡献的目的是解释如何这些结果意味着收敛，因为p趋于p_c，武尔夫晶体的欧几里德磁盘。证明的主要成分是由这三位数学家证明的近临界渗流标度极限的旋转不变性。
2013-05-26 math.PR
Percolation in majority dynamics
我们考虑二维相关的动态网站渗流网站执行多数动态。我们引入时间t处的临界渗流函数作为下确界密度，为了在时间t处获得无限开分量，需要从下确界密度开始。我们证明了，对于任何固定的时间t，在临界状态下没有渗流，临界渗流函数是连续的。我们还证明了，对于任何正的时间，渗流阈值严格小于的独立网站渗流的临界概率。
2020-01-30 math.PR
The 2D Ising model near criticality: a FK percolation analysis
我们研究的二维伊辛模型定义在有限的盒子在温度低于，但非常接近的临界点。当温度接近临界点和盒子的大小增长足够快，我们建立了大偏差的FK-渗流事件的相共存现象的估计。
2008-11-27 math.PR
Near-critical percolation in two dimensions
我们给一个独立的和详细的介绍Kesten的结果，允许相关的临界和近临界渗流的三角晶格。他们构成了一个重要的步骤，在推导的指数描述近临界行为的这个模型。为了将来的使用和参考，我们还展示了如何在更一般的情况下得到这些结果，我们陈述了一些新的结果。
2007-11-30 math.PR
Basic techniques in two-dimensional critical Ising percolation with investigation of scaling relations
本文研究了二维正方晶格上高温Ising模型在临界外场下的渗流问题。我们发现，所有的标度关系，除了一个单一的超标度关系，举行的幂律假设的单臂路径和四臂路径。
2010-10-08 math.PR
Critical Percolation and the Incipient Infinite Cluster on Galton-Watson Trees
我们认为临界渗流的高尔顿-沃森树和证明淬火类似的经典定理的临界分支过程。我们表明，概率临界渗流达到深度$n$是渐近树依赖常数倍$n^{-1}$。类似地，在临界渗流达到深度$n$的条件下，临界渗流簇中深度$n$处的顶点数几乎肯定在分布上收敛于指数随机变量，其均值仅取决于后代分布。构造了a.e. Galton-Watson树，我们证明了一个极限法的顶点数在IIC在深度$n$，再次只取决于后代分布。假设用于生成这些高尔顿-沃森树的后代分布都具有有限矩，则这些结果几乎都成立。
2019-02-18 math.PR
Some toy models of self-organized criticality in percolation
我们认为伯努利渗流模型在一个有限的盒子，我们介绍了一个自动控制的渗流概率，这是一个功能的渗流配置。对于这种自动控制的适当选择，该模型是自临界的，即，当盒子的大小趋于无穷大时，渗流概率收敛到临界点$p_c$。我们在这里研究三个简单的例子，这样的模型，涉及的最大集群的大小，连接到框的边界的顶点的数量，或集群大小的分布。
2021-11-22 math.PR
Critical exponents of planar gradient percolation
研究了三角格点上的梯度渗流问题。这是一个渗流模型，其中渗流概率线性依赖于站点的位置。我们证明了物理学家对这个模型的预测结果。更确切地说，我们描述的波动的接口周围的（直）缩放限制，以及这些接口的预期和典型的长度。这些结果建立在最近的结果临界渗流在这个晶格上的Smirnov，劳勒，Schramm和沃纳，和由Kesten开发的缩放思想。
2008-09-24 math.PR
Universality in Two-Dimensional Enhancement Percolation
我们考虑一种由Aizenman和Grimmett引入的依赖渗流，他们证明了独立（伯努利）渗流的某些“增强”，称为本质，使渗流临界概率严格较小。在本文中，我们首先证明，对于具有自然单调性的二维增强，本质也是移动临界点的必要条件。然后，我们表明，（一些）临界指数和二维渗流过程的交叉概率的标度极限是不变的，如果该过程受到单调增强，是不必要的。这证明了一种形式的普遍性，通过单调增强（伯努利渗流），不改变临界点获得的所有相关的渗流模型。对于网站渗透的三角形晶格的情况下，我们也证明了一个更强的形式的普遍性，通过显示，全标度限制不受任何单调增强，不转移临界点。
2007-12-20 math-ph math.MP math.PR
Asymptotic expansion of the critical point for oriented percolation in high dimensions
本文利用花边展开方法，研究高维最近邻有向渗流临界点随维数趋于无穷时按 $d^{-1}$ 幂次的渐近展开。
2025-08-17 math.PR
Lectures on two-dimensional critical percolation
这些是与2007年7月在国际会计师协会-帕克城研究生暑期学校所授课程相对应的笔记。
2008-09-19 math.PR
Universal Behavior of Connectivity Properties in Fractal Percolation Models
为了更好地理解分形渗流中的连通性相变，我们引入并研究了一类维数d大于或等于2的连续分形渗流模型。这些包括一个规模不变版本的经典（泊松）布尔模型的随机几何和（d=2）的布朗循环汤介绍了劳勒和沃纳。该模型导致随机分形集的连通性取决于一个参数λ。本文主要研究随机分形集全不连通的相和随机分形集含有大于一点的连通分量的相之间的过渡。特别是，我们表明，有连接的组件大于一个点在唯一的值的lambda分开的两个阶段（称为临界点）。我们证明，这样的行为也发生在Mandelbrot的分形渗流在所有尺寸d大于或等于2。我们的研究结果表明，它是一个通用的功能，独立的尺寸或模型的精确定义，基本上是一个后果的规模不变性。此外，对于d=2，我们证明了大于一个点的连通分量的存在意味着存在一个唯一的，无界的连通分量。
2010-12-29 math.PR
On the chemical distance in critical percolation II
我们继续我们的研究化学（图）的距离内大临界渗流集团在二维。我们证明了新的估计，其中涉及三臂概率，点到表面和点到点的距离。我们证明了在$\mathbb{Z}^2$中，同一临界渗流簇中两点之间的点到点距离具有无穷大的二阶矩。我们也给我们以前的结果比较的长度最短的交叉，最低的交叉盒的定量版本。
2016-01-14 math.PR
Critical Percolation on Random Networks with Prescribed Degrees
随机图在模拟现实世界的网络中发挥了重要作用，这些网络来自互联网拓扑结构、社交网络，甚至是细胞内的蛋白质相互作用网络。另一方面，渗透是理解这些网络上流行病的鲁棒性和传播的基本模型。从数学的角度来看，渗流是表现相变的最简单的模型之一，并且在临界点附近观察到迷人的特征。在这篇论文中，我们证明了随机图在临界点上的渗流连通分支的结构性质的极限定理。结果得到了一般的度序列的随机图，我们确定不同的普遍性类的临界行为的矩假设的程度分布的基础上。
2018-09-10 math.PR
Scaling limit of critical percolation clusters on hyperbolic random half-planar triangulations and the associated random walks
本文证明了半平面随机双曲三角剖分上临界渗流簇的Gromov-Hausdorff-Prohorov标度极限为布朗连续随机树，并推得其上的简单随机游走重标度为该树上的布朗运动。
2023-11-20 math.PR
Relations between invasion percolation and critical percolation in two dimensions
我们研究了二维的侵入渗流。我们比较的起源的侵入区域的连接特性的（一）临界渗流集群的起源和（b）初始的无限集群。为了表现出相似性，我们表明，对于任何$k\geq1$，$k$点函数的第一个所谓的池塘具有相同的渐近行为的概率，$k$点是在关键的集群的起源。然而，更突出的是差异。我们发现，有无限多的池塘，包含许多大的不相交的$p_c$ -开集群。此外，对于$k>1$，我们计算了第$k$池的半径分布的精确衰减率，并看到它不同于起源的临界簇的半径。最后，我们证明了入侵渗流测度和初始无限簇测度是相互奇异的。
2009-12-09 math.PR
Cardy's formula does not hold on some 2D lattices for critical two-dimensional percolation
本文证明了在临界二维渗流中，Cardy公式并非在所有二维格上成立，特别是对某些周期二维三角格和正方型图不成立。
2023-09-10 math.PR
The universal relation between scaling exponents in first-passage percolation
在许多物理论文中已经证明，在整数格点上的普通首次通过渗流中，涨落指数$χ$和游荡指数$ξ$通过普适关系$χ=2ξ-1$联系在一起，而与维数无关。这有时被称为两个指数之间的KPZ关系。本文在假设指数在一定意义下存在的前提下，给出了该猜想的严格证明。
2012-08-17 math-ph math.MP math.PR
A Particular Bit of Universality: Scaling Limits of Some Dependent Percolation Models
我们研究家庭的依赖网站渗流模型上的三角形晶格${\mathbb T}$和六边形晶格${\mathbb H}$，通过应用某些元胞自动机独立的渗流配置。我们分析了这种模型的标度极限，并表明，在我们的家庭之一的任何两个渗流模型的集群边界的宏观部分之间的距离几乎肯定为零的标度极限。由此可见，这些元胞自动机生成的相关渗流模型中的每一个都具有与${\mathbb T}$上的独立位点渗流相同的标度极限（在Aizenman-Burchard [3]的意义上）。
2003-08-12 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Iterated Graph Systems (II): Bernoulli percolation and critical-exponent universality classes on hierarchical lattices
Imperial College London（帝国理工学院）
研究层级晶格上的伯努利渗流，证明有限维数族不能决定普适类，并否证普适性需可公度重整化尺度的猜想。
2026-10-08 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Bond percolation on isoradial graphs: criticality and universality
在等径图上的渗流研究中，我们证明了正则键渗流在可平面图的等径嵌入上的临界性，从而推广了较早的关于均匀和非均匀正方形、三角形和其它格点的著名结果。这是通过星三角形变换实现的，通过在等径图族中传输盒交叉属性。因此，我们得到的普遍性，这些模型在临界点，在这个意义上说，单臂和2 j-交替臂临界指数（因此也是连通性和体积指数）是恒定的家庭这样的渗流过程。所讨论的等径图是那些在嵌入和迹系上满足一定弱条件的图。这类图包括，例如，周期图的等距嵌入，以及从菱形彭罗斯镶嵌导出的图。
2013-03-07 math-ph math.MP math.PR
Universality for bond percolation in two dimensions
正方形、三角形和六边形晶格上的所有（非）均质键渗流模型都属于同一普适类，因为它们在临界点具有相同的临界指数（假设指数存在）。这是证明使用星三角形变换和盒交叉性质。所讨论的指数是单臂指数$ρ$、$j\ge1$的2 j-交替臂指数$ρ_{2j}$、体积指数$δ$和连通性指数$η$。根据Kesten早期的结果，这意味着对于满足某种附加假设的任何模型，如这三种晶格上的均匀键渗流模型，近临界指数$β$、$γ$、$ν$、$Δ$（假设这些指数存在）也具有普适性。
2013-10-03 math-ph math.MP math.PR
On some special directed last-passage percolation models
我们研究了在有向模型中由最后通过时间给出的扩展过程，该模型是用指数变量和衰减均值定义的。在某些情况下，我们发现普遍的艾里过程，但其他情况下导致非普遍和平凡的扩展过程。
2007-03-16 math-ph math.MP math.PR
Is the critical percolation probability local?
我们证明了在一个d-正则的非顺从的大围长图上的渗流临界概率接近于在一个无限d-正则树上的渗流临界概率。这是O. Schramm关于p_c的局部性。我们还证明了一个有限的模拟膨胀图的猜想。
2009-01-29 math.GR math.PR
A homological upper bound on critical probabilities for hyperbolic percolation
研究了一类无限双曲图的键渗流问题。我们与渗流的外观在有限版本的这些图的同源性。作为结果，我们得到了无限图的临界概率的一个上界。
2014-09-02 math.CO math.PR
Kardar-Parisi-Zhang Universality in First-Passage Percolation: the Role of Geodesic Degeneracy
我们已经描述了两种类型的离散网络，规则的正方形晶格和无序的Delaunay晶格上的第一次通过渗流（FPP）模型的标度行为，从而解决底层拓扑结构的影响。几个分布函数的链接时间被认为是。的渐近行为的波动的最小到达时间和横向偏差的测地线路径是在完美的协议与Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）普适类的链接时间分布和格拓扑的类型无关。前渐近行为，另一方面，被发现依赖于唯一的测地线在没有混乱的地方交叉时间，拓扑性质的晶格方向，我们术语测地线退化。这个属性对模型有重要的影响，例如众所周知的规则晶格中的各向异性生长。在这项工作中，我们提供了一个框架，以了解其影响，以及表征其程度。
2018-02-14 cond-mat.stat-mech math.PR
Asymptotic expansions in $n^{-1}$ for percolation critical values on the $n$-cube and $\mathbb{Z}^n$
我们使用花边展开证明，最近邻键渗流的临界值上的$n$立方体$\{0,1\}^n$和$\mathbb{Z}^n$有渐近展开，合理的系数，在所有的权力的顺序$n^{-1}$。
2004-01-08 math.CO math.PR
Critical percolation on any quasi-transitive graph of exponential growth has no infinite clusters
我们证明了在任何指数增长的拟传递图上的临界渗流都不存在唯一的无限簇。这使我们能够从早期的结果推断，临界渗流在任何图在这一类不具有任何无限集群。当图是顺从的或非幺模的时，这个结果是新的。
2016-05-17 math-ph math.MP math.PR
Critical percolation in annuli and $SLE_6$
基于对临界渗流勘探过程的标度极限作为Schramm-Loewner演化的识别，我们推导出环空穿越概率的PDE表征。
2003-06-03 math-ph math.MP math.PR
Absence of infinite cluster for critical Bernoulli percolation on slabs
证明了对于图$\mathbb{Z}^2\times\{0,\dots,k\}$（$k\ge 0$）上的Bernoulli渗流，几乎必然地不存在临界的无限簇。证明扩展到有限范围伯努利渗流模型在$\mathbb{Z}^2$下是不变的$π/2$ -旋转和反射。
2014-01-28 math-ph math.MP math.PR
The scaling limits of near-critical and dynamical percolation
在Schramm和Smirnov提出的渗流组态的“四交叉”空间$\mathcal{H}$中，我们证明了三角格子$η\mathbb{T}$上的近临界渗流和动力学渗流具有与网格$η\to 0$相同的标度极限.证明本质上是通过“扰动”临界模型的标度极限进行的，使用我们先前论文中研究的关键措施。这些新的限制对象的马尔可夫性和共形协方差也建立。
2017-01-25 math-ph math.MP math.PR
Divergence of the correlation length for critical planar FK percolation with $1\le q\le4$ via parafermionic observables
Smirnov为了研究临界相$(p,q)=(p_c(q),q)$，在平面FK渗流中引入了准费米观测量.这篇文章收集了这些观测量的几个已知属性。这些性质中的一些被用来证明当$1\le q\le 4$接近FK渗流的临界点时，相关长度的发散。关键的一步是考虑在穿孔平面的泛覆盖上的FK渗流。我们还提到了几个具有任意簇权$q>0$的FK逾渗的例子。
2012-09-23 math-ph math.MP math.PR
A proof of factorization formula for critical percolation
我们给数学证明的一些声明出现在一系列文件的Kleban，西蒙斯和齐夫，他们计算的概率几个渗透交叉事件。
2011-10-22 math-ph math.MP math.PR
Crossing probabilities for critical Bernoulli percolation on slabs
本文证明了在二维格板上的临界伯努利渗流中，任意长宽比的矩形的开的左右交叉的概率是一致正的。
2016-03-22 math-ph math.MP math.PR
Critical exponents for two-dimensional percolation
我们将展示如何结合Kesten的标度关系，确定与随机Loewner演化过程的临界指数由Lawler，Schramm和Werner，和Smirnov的证明Cardy的公式，以确定临界指数的存在和价值与渗流的三角晶格。
2001-12-17 math-ph math.MP math.PR
Critical Percolation Exploration Path and SLE(6): a Proof of Convergence
Schramm和Smirnov认为，三角形晶格上的临界点渗流探索路径在分布上收敛于弦SLE的迹线（6）。我们在这里提供了一个详细的证明，它依赖于斯米尔诺夫定理，交叉概率有一个共形不变的缩放限制（由卡迪公式）。我们证明的收敛到SLE（6）的版本足以用于某些临界渗流交叉指数的Smirnov-Werner推导，并用于我们作为连续非简单循环过程的临界渗流满标度极限的分析。
2006-11-07 math-ph math.MP math.PR
Maximal clusters in non-critical percolation and related models
我们研究了在各种简化型模型中，大盒子中的最大非临界簇。我们研究了它的典型大小，以及围绕这个典型大小的波动。这些波动的极限规律与独立随机变量的最大值有关，其规律可用单个簇来描述。
2004-02-11 math-ph math.MP math.PR
Critical points for spread-out self-avoiding walk, percolation and the contact process above the upper critical dimensions
我们考虑$\Zd$中的自回避行走和渗流，$\Zd\times\Zp$中的定向渗流，以及$\Zd$中的接触过程，其中$p D(\cdot)$是耦合函数，其值域用$L<\infty$表示.例如，对于渗流，每个键$\{x,y\}$以概率$p D(y-x)$被占据。已知上述模型在参数$p$围绕依赖于模型的临界点$\pc$变化时表现出相变。我们研究了当$d>6$用于渗流，$d>4$用于其他模型，以及$L\gg1$时$\pc$的值。我们证明了在一个统一的方式，$\pc=1+C(D)+O(L^{-2d})$，其中的通用项1是平均场临界值，和模型相关的术语$C(D)=O(L^{-d})$是明确地写在功能$D$。我们的证明是基于这些模型的花边扩展。
2004-09-24 math-ph math.MP math.PR
Critical percolation: the expected number of clusters in a rectangle
我们表明，临界点渗流的三角形晶格上的两个新的可观的共形不变的标度极限。特别地，分离两对点的聚类的期望数目收敛于显式的共形不变量。我们的证明是独立的早期的结果和$SLE$技术，原则上应该提供一个新的方法来建立共形不变性的渗流。
2009-09-24 math-ph math.CV math.MP
Percolation probability and critical exponents for site percolation on the UIPT
在均匀无限平面三角剖分（UIPT）上，导出了伯努利点渗流的三个临界指数。首先，我们明确计算根簇是无限的概率。因此，我们表明，非临界指数为现场渗流的UIPT是$β= 1/2$。然后，我们建立了根簇顶点数的生成函数的积分公式。我们使用这个公式来证明，在临界状态下，根簇至少有$n$顶点的概率像$n^{-1/7}$一样衰减。最后，我们还推导出一个表达式的法律的根集群的周长，并使用它来建立，在临界状态下，概率的根集群的周长等于$n$像$n^{-4/3}$衰减。在这三个指数中，只有最后一个是以前已知的。我们的主要工具是所谓的垫圈分解的渗滤集群，随机玻尔兹曼映射的一般属性，以及分析组合学。
2022-01-28 math-ph math.CO math.MP
One-arm exponent for critical 2D percolation
证明了在三角形网格上临界位渗流中起源团簇直径大于$R$的概率像$R^{-5/48}$一样衰减为$R\to\infty$。
2001-08-30 math-ph math.CV math.MP
Critical percolation in the plane
研究了三角格点上临界点渗流的标度极限和共形不变性。我们证明了一些与量子化有关的量是调和的共形不变量，并计算了它们在标度极限下的值。作为特例，我们得到了交叉概率的共形不变性和Cardy公式。然后我们证明了连续统标度极限的存在性、唯一性和共形不变性。
2009-09-24 math-ph math.CV math.MP
SLE(6) and CLE(6) from Critical Percolation
我们回顾了二维临界渗流标度极限的一些最新进展，特别是弦线SLE（6）的探索路径的收敛性和集团界面环的“完整”标度极限。本文给出的关于满标度极限及其共形不变性的结果推广了以前的结果。对于三角格子上的位渗流，结果是完全严格的。我们解释一些主要的想法，跳过大多数技术细节。
2006-11-05 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
