Uniqueness of percolation on products with Z
Itai Benjamini, Gady Kozma
我们证明了存在一个具有次指数体积增长的连通图G，使得G与直线的乘积上的临界渗流有无穷多个无穷簇。我们也给出了一些条件下，这不会发生。
We show that there exists a connected graph G with subexponential volume growth such that critical percolation on the product of G with the line has infinitely many infinite clusters. We also give some conditions under which this cannot occur.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Percolation on the product graph of a regular tree and a line does not satisfy the triangle condition at the uniqueness threshold
本文研究了正则树与直线的乘积图上的伯努利键渗流问题。我们表明，三角形条件不成立的唯一性阈值。
Uniqueness and non-uniqueness in percolation theory
本文介绍了在${\mathbb{Z}}^d$和更一般的传递图上渗流的无限簇的唯一性与非唯一性问题。对于${\mathbb{Z}}^d$上的iid渗流，无限簇的唯一性是一个经典的结果，而在某些其他传递图上唯一性可能失败。在这种情况下，图的关键属性是顺从性和不可顺从性。同样的问题被认为是某些相关的渗流模型-最突出的Fortuin-Kasteleyn随机簇模型-在标准的连接概念被替换为纠缠或刚性的情况下。也考虑了渗流过程耦合的同时唯一性。一些主要的结果证明了详细的，而对于其他人的证明仅仅是勾勒，还有其他人，他们被省略。几个开放的问题进行了讨论。
Continuity and uniqueness of percolation critical parameters in Finitary Random Interlacements
本文证明了有限随机交错（FRI）的临界渗流参数关于路径长度参数$T$是连续的。证明使用的结果，这是有趣的本身的权利，平等的自然临界参数FRI渗流相变。
Uniqueness of infinite open cluster in bond percolation in $\mathbb{Z}^d$
本文在不需要利用平移作用量的遍历性的情况下，交替地得到了$\mathbb{Z}^d, d \geq 2,$中无限开集团在键渗流中的几乎必然唯一性。如果$N$表示无限疏散星团的数量，我们使用Burton-Keane参数得到$N \in \{0,1,2\}$ a.s.。然后使用枢轴边缘变元来获得该$N \in \{0,1\}$ a.s.
Uniqueness of the critical probability for percolation in the two dimensional Sierpinski carpet lattice
我们证明了二维Sierpinski地毯晶格的临界概率是唯一确定的。过渡是尖锐的。这将Kumagai的结果推广到原始的Sierpinski地毯格。
Uniqueness and dimension for the geodesic of the critical long-range percolation metric
本文在临界长程渗流随机度量已构建的基础上，证明了两固定点间测地线的唯一性（关键要素为度量分布的连续性），并确定了测地线的Hausdorff维数。
Uniqueness of the critical long-range percolation metrics
本文研究 $\mathbb{Z}^d$ 上临界长程渗流的随机度量，证明其已有子序列标度极限可由一组自然公理唯一刻画。
Continuum percolation at and above the uniqueness treshold on homogeneous spaces
考虑齐次黎曼流形$M$上连续渗流的Poisson布尔模型.设$lambda$是模型中泊松过程的强度，并且设$lambda_u$是a.s.生成唯一的无界组件。我们证明了在$λ_u$之上存在a.s.一个独特的无界组件。我们还研究了某些空间在$λ_u$上发生的情况。特别地，如果$M$是双曲圆盘和实线的乘积，则在$λ_u$处存在a.s.而不是唯一的无界组件。结果的灵感来自伯努利债券渗流图由于Haggstrom，佩雷斯和Schonmann的结果。
Brownian Paths Homogeneously Distributed in Space: Percolation Phase Transition and Uniqueness of the Unbounded Cluster
本文考虑$\R^d$上的连续渗流模型$d\geq 1$ .对于$t,λ\in (0,\infty)$和$d\in\{1,2,3\}$，其占有集由到达时间$t$的独立布朗路径的并集给出，这些布朗路径的初始点形成强度为$λ\textgreater{}0$的Poisson点过程.当$d\geq 4$时，布朗路径被半径为$r\textgreater{}0$的Wiener香肠所代替.我们建立了，对于$d=1$和$t$的所有选择，没有渗流发生，而对于$d\geq 2$，只要$λ$和$r$选择适当，$t$中存在非平凡的渗流转变。最后一个语句意味着$λ$必须被选择为严格小于在时间零处被占用集合的临界渗流参数（当$d\in\{2,3\}$时，它是无限的，但当$d\geq 4$时，它是有限的并且依赖于$r$）。我们进一步表明，对于所有$d\geq 2$，在此基础上，将布尔模型中的非渗流有限盒判据推广到具有指数尾的半径分布。这可能是独立的利益。本文件解决了模型的基本属性，应被视为一个跳板，更精细的结果。
Phase transition and uniqueness of levelset percolation
本文的主要目的是介绍和建立经典布尔渗流模型（也称为吉尔伯特圆盘模型）的自然推广的基本结果。我们用一个正的非增衰减函数$l:(0,\infty) \to (0,\infty)$代替该模型的球来创建随机场$Ψ(y)=\sum_{x\in η}l(|x-y|),$，其中$η$是${\mathbb R}^d.$中的齐次泊松过程。特别是，我们研究了水平集$Ψ_{\geq h}(y)$包含的点$y\in {\mathbb R}^d$，使$Ψ(y)\geq h.$在$l$的情况下，有无界的支持，我们给出了，对于任何$d\geq 2,$上的$l$ $Ψ_{\geq h}(y)$的确切条件，有一个作为$h.$的函数，我们还证明了，当$l$是连续的，那么$Ψ$几乎肯定。此外，在这种情况下，对于$d=2,$，我们证明了$Ψ_{\geq h}$的无限分量存在唯一性，并且我们还证明了所谓的渗透函数在临界值$h_c$以下是连续的。
Percolation in the hyperbolic space: non-uniqueness phase and fibrous clusters
在这篇论文中，我将考虑d维双曲空间H^d的等距群的点传递作用的图上的Bernoulli渗流。在第一章中，我对渗流及其术语作了概述。在对其他各章的单独介绍中，我更准确地解释了它的内容，也给出了其中需要的一些细节。在第二章中，我证明了Cayley图上Bernoulli渗流的非平凡非唯一相的存在性，对于H^3中的一类有限型多面体的Coxeter反射群。在第三章中，我们考虑了H^d中一类连通的、传递的、局部有限的图上Bernoulli键渗流中的簇在非唯一性阶段的几何性质，对于任意d。
Non-vanishing uniqueness threshold for hyperbolic Poisson-Voronoi percolation in dimension at least three
研究三维及以上双曲空间上泊松 - 沃罗诺伊渗流恰有一个无界簇的阈值。此前相关唯一性阈值在一些情况下随强度趋于零而趋于零，本文将表明对于三维及以上双曲空间，该阈值下确界大于零，回答了Grebík和Recke的问题。
Constrained-degree percolation on the hypercubic lattice: uniqueness and some of its consequences
本文研究了超立方晶格上约束度渗透模型的唯一性，证明了在超临界区域渗透函数的连续性。
Dimension jump at the uniqueness threshold for percolation in $\infty+d$ dimensions
本文研究了正则树与超立方格乘积图上的渗流问题，证明了在唯一性阈值处无穷簇聚点集合的 Hausdorff 维度存在跳跃不连续性，并发现多种临界阈值与唯一性阈值重合，这是首批具有此性质的非顺从图示例。
Infinite geodesics, asymptotic directions, and Busemann functions in first-passage percolation
我们证明了FPP模型中无穷测地线的存在性、唯一性和有向性。在给出基本定义之后，我们描述了Newman和他的合作者在一个未被证明的曲率假设下给出有向测地线的存在性和唯一性的结果。然后，我们给出了两个证据的存在至少有两个无限测地线下没有未经证明的假设。在最后两个部分，我们给出了证明的有向性声明的无限测地线使用最近的方法，即使在没有未经证明的假设下提供信息，并证明了一个广义的唯一性声明的无限测地线。
A Geometrical Structure for an Infinite Oriented Cluster and its Uniqueness
我们考虑超临界定向渗流模型。设${\fK}$为所有渗流点。对于每个$u\in {\fK}$，我们写$γ_u$作为它的最右路径。令$G=\cup_u γ_u$。本文证明了$G$是一棵只有一个拓扑端点的单树。给出了${\fK}$和$G$之间的关系，并利用前序遍历算法构造了${\fK}$和$\Z$之间的双射.通过这一基本图形属性的应用，我们证明了一个无限定向集群的唯一性，忽略有限顶点。
Heavy Bernoulli-percolation clusters are indistinguishable
证明了拟传递非幺模图上的重簇对于Bernoulli渗流是不可区分的。作为应用，我们证明了任何拟传递图的唯一性阈值也是连通性衰减的阈值。这解决了Lyons和Schramm（1999）在Bernoulli渗流情况下的一个问题，并证实了Schonmann（2001）的一个猜想。我们还证明了在一个非顺从的拟传递图上的Bernoulli渗流的每一个无限簇几乎必定是瞬时的。
Approximation on slabs and uniqueness for inhomogeneous percolation with a plane of defects
设$ \mathbb{L}^{d} = ( \mathbb{Z}^{d},\mathbb{E}^{d} ) $为$ d $维超立方晶格。考虑$ \mathbb{L}^{d} $上的非齐次Bernoulli渗流模型，其中$ s $维超平面$ \mathbb{Z}^{s} \times \{ 0 \}^{d-s} $，$ 2 \leq s < d $中的每条边都以概率$ q $开，其它每条边都以概率$ p $开.我们证明了在超临界状态下无限簇的唯一性，只要$ p \neq p_{c}(d) $，其中$ p_{c}(d) $表示均匀渗流的阈值，并且对于任何$ p < p_{c}(d) $，临界点$ (p,q_{c}(p)) $可以在相空间上由板的临界点近似。
Uniqueness of the infinite cluster for monotone percolation models without insertion tolerance
本文研究了一类依赖性位点渗流模型，证明在特定条件下超临界相中存在唯一的无限簇，应用于阿贝尔沙堆等模型。
The Poisson stick model in hyperbolic space
本文研究了双曲空间中泊松棒模型的临界行为，发现渗流相变临界点随长度L的平方反比变化，而唯一性相变临界点随L反比变化。
Bivariate Uniqueness and Endogeny for Recursive Distributional Equations : Two Examples
这篇论文已经被作者撤回，因为在本文讨论的两个例子之一的冻结渗滤RDE的内生性证明中发现了一个缺陷。另一个例子是正确的，可以从作者的工作“二元单变量和内生的Logistic递归分布方程”。目前，我们认为内生性对于冻渗RDE是错误的。作者和大卫·J·奥尔德斯独立完成的新模拟表明非内生性。虽然还没有找到严格的证明，但有趣的是，人们可以证明相关的递归树过程（RTP）的尾部是平凡的。作者在“递归树过程尾平凡的一个充要条件”中给出了这一结果。
Percolation at the uniqueness threshold via subgroup relativization
本文通过子群相对化方法，在包含指数增长可遗 $wq$-正规子群的群类中证明了唯一性阈值处的非唯一性，并建立了强非唯一性的共遗传性质，同时解决了随机游走与渗流簇相交的公开问题。
Indistinguishability of Percolation Clusters
我们表明，当渗流产生无限多的无限集群的凯莱图，一个不能区分集群彼此的任何不变定义的属性。这意味着无限簇的唯一性等价于连通性的非衰减（也称为非衰减）。远程命令）。然后，我们得到的应用有关的唯一性Kazhdan群和圈积，和不等式$p_u$。
Amenability of horocyclic products of percolation trees
对于正则树的渗透子树的倍循环积，我们证明了几乎必然顺从性。在一个关于两棵渗流树的生长的对称条件下，我们证明了一个增长的Foelner序列的存在性（我们称之为强顺从性）。
Non-uniqueness phase of Bernoulli percolation on reflection groups for some polyhedra in H^3
本文考虑三维双曲空间H ^3中有限边Coxeter多面体的反射群的Cayley图，它具有标准的生成元集。作为主要结果，本文证明了在这类图上存在键和位Bernoulli渗流的非平凡非唯一性相，即对于两类这类多面体：* 对于任意k-多面体，k至少为13; * 对于任意紧致直角多面体，p_c < p_u。我还建立了一个自然的下界的增长率，这样的凯莱图（当多面体的面数至少是6;见thm。5.2)以及对于具有区别顶点O的度至少为2的正则图，序列（#{长度为n到O的简单圈}）_n的增长率的上界取决于其谱半径（参见THM. 5.1和REM。2.3），两者都用于证明主要结果。
First passage percolation, local uniqueness for interlacements and capacity of random walk
本文研究了随机交错模型的首达渗流，给出了FPP距离与图距离可比概率的渐近锐下界，并在低维情形下将其应用于局部唯一性和随机游走容量的锐大偏差界。
Vanishing uniqueness thresholds in Voronoi percolation on products
本文研究了Voronoi渗流在非可缩积积空间中的唯一性阈值，提出了一种新方法证明小强度时阈值的小性，并提供了多个具体例子，补充了对称空间的结果，同时回答了关于非可缩 Cayley 图的问题。
Conformal Measure Ensembles for Percolation and the FK-Ising model
在一般假设下，我们构造了一类二维渗流模型中开团簇的标度极限及其计数测度。我们的结果适用于，特别是，临界伯努利网站渗流的三角形晶格和临界FK-伊辛模型的正方形晶格。基本属性的缩放限制，如共形协方差，进行了探讨。作为Bernoulli渗流的一个应用，我们得到了有界区域中最大簇的标度极限。我们还将我们的结果应用到临界的二维伊辛模型，得到的磁化场的标度极限的存在性和唯一性，以及连续磁化场的几何表示，可以看作是连续模拟的FK表示。
Percolation and local isoperimetric inequalities
本文建立了给定图G上的渗流与其几何之间的一些关系。我们的主要结果表明，若G具有多项式增长，且满足维数d > 1的局部等周不等式，则p_c（G）< 1.这部分回答了Benjamini和Schramm的一个问题。作为这个结果的结果，我们得出，在有界度的附加条件下，这些图也经历了非平凡的相变的伊辛模型，Widom-Rowlinson模型和海滩模型。我们的技术也适用于相关的渗流过程与长程相关性。我们提供了关于无限渗透簇的唯一性的结果以及有限分量大小的定量估计。最后，我们留下了一些在这项工作中自然产生的评论和问题。
Bootstrap percolation on the product of the two-dimensional lattice with a Hamming square
图上的自举渗透是一个确定性的过程，它通过邻接至少有$θ$占据的邻居的点来迭代地扩大一组占据的站点。初始占用集是随机的，由具有低密度$p$的均匀积测度给出。我们主要关注的是产品图$\mathbb{Z}^2\times K_n^2$上的这个过程，其中$K_n$是一个完全图。我们调查如何$p$规模与$n$，使一个典型的网站最终被占领。在临界标度下，偶$θ$的动力学表现出尖锐的相变，而奇$θ$产生一个渐进的渗流转变。我们还建立了一个逐步过渡的自举渗流$\mathbb{Z}^2\times K_n$。主要工具是$\mathbb{Z}^2$上的非均质自举渗流。
Percolation on a product of two trees
我们证明了两个正则树的乘积上的临界渗流满足三角形条件，树的度为$\ge$ 3。证明不检查顶点的度，并且在任何意义上都不是“微扰”的。它依赖于Oded Schramm的一个未发表的引理。
Non-uniqueness and mean-field criticality for percolation on nonunimodular transitive graphs
本文研究了非幺模拟传递图的Bernoulli键渗流问题，以及自同构群具有非幺模拟传递子群的图的Bernoulli键渗流问题。我们证明了任何这样的图上的渗流有一个非空的阶段，其中有无限的轻集群，这意味着存在一个非空的阶段，其中有无限多的无限集群。也就是说，我们表明，$p_c<p_h \leq p_u$的任何这样的图。这回答了Haggstrom，Peres，and Schonmann（1999）的一个问题，并验证了Benjamini and Schramm（1996）的一个著名猜想的非幺模情形。我们还证明了三角形条件在任何这样的图的临界，这意味着各种临界指数存在，并采取他们的平均场值。例如，我们所有的结果都适用于$k$ -正则树的乘积$T_k\times \mathbb{Z}^d$，其中对于$k\geq 3$和$d \geq 1$，有$\mathbb{Z}^d$，这些结果以前只知道对于大的$k$。此外，我们的方法也使我们能够建立基本的拓扑特征的相图各向异性渗流对这样的产品，其中树边和$\mathbb{Z}^d$边被赋予不同的保留概率。这些功能之前仅针对$d=1$、$k$大号确立。
Percolation in an ultrametric space
研究了$N$阶等级格上的渗流问题，其中距离为$k$的两点之间的连通概率为$c_k/N^{k(1+δ)},\; δ>-1$ .由于距离是超度量，因此与欧氏格上的渗流有显著的不同。有两种非临界状态：$δ<1$（发生渗滤）和$δ>1$（不发生渗滤）。在关键的情况下，$δ=1$，我们使用的方法在统计物理学的重整化群方法的精神和连接结果的Erdens-Renyi随机图发挥了关键作用。我们发现充分条件$c_k$，使渗流发生，或不发生。也被认为是一个中间的情况称为预渗流。在渗流的情况下，我们证明了所构造的渗流簇的唯一性。在以前的论文\cite{DG1}，我们研究了渗流的$N\to\infty$限制（平均场渗流），它提供了一个简化，允许找到一个充要条件渗流。对于固定的$N$有开放的问题，特别是关于存在的一个参数的临界值的定义中的$c_k$，如果它存在，将是什么样的行为在临界点。
Percolation on hypergraphs and the hard-core model
本文通过凸松弛优化方法证明了两类最大度受限的k-均匀超图的点渗流阈值紧界，并结合分歧渗流改进硬核模型的唯一性阈值，进而为高效近似计数与采样算法提出新的计算阈值猜想。
A lower bound on the two-arms exponent for critical percolation on the lattice
我们考虑$d$维晶格上的标准位渗流模型。Aizenman、Kesten和Newman [Comm.Math.Phys.111（1987）505-531]的无限簇的唯一性证明的直接结果是双臂指数大于或等于$1/2$。我们在任何维度$d\geq2$上稍微改进了这个下界。接下来，仅从假设$θ(p)>0$开始，在不使用板技术的情况下，我们推导出在有限盒中建立长程有序的定量估计。
Fully-connected bond percolation on $\mathbb{Z}^d$
考虑了约束条件为全连通的格点$\mathbb{Z}^d$（$d\ge 2$）上的键渗流模型.每条边以概率$p\in(0,1)$开放，以概率$1-p$封闭，然后该过程被调节为具有唯一的开放连通分量（有界或无界）。该模型定义在$\mathbb{Z}^d$上，通过传递到具有一般边界条件的有限体积模型序列的极限。研究了几个问题：存在性、唯一性、相变、DLR方程。我们的主要结果涉及存在一个阈值$0<p^*(d)<1$，使任何无限体积过程是必要的真空状态在亚临界制度（没有开放的边缘），是非平凡的超临界制度（存在一个固定的无界连接集群）。给出了$p^*(d)$的边界，并表明它大大小于$\mathbb{Z}^d$中的标准键逾渗阈值。例如$0.128<p^*(2)<0.202$（严格边界），而2D键逾渗阈值等于$1/2$。
Bootstrap percolation on products of cycles and complete graphs
图上的自举渗流通过邻接至少具有$θ$被占用邻居的点来迭代地扩大被占用站点的集合。最初被占据的集合是随机的，由一个均匀的积测度给出，如果每个点最终都被占据，我们说生成发生了。主要问题涉及临界概率，即使生成可能的最小初始密度。我们考虑的图是$m$点的圈与$n$点的完全图的乘积。本文主要讨论了两个因子是完全图，一个因子是圈的情形。我们确定的临界概率的渐近行为，并表明，当$θ$是奇数，有两个定性不同的阶段：从低到高的过渡概率跨越作为初始密度的增加是尖锐的或渐进的，这取决于大小的$m$。
Critical percolation in the plane
研究了三角格点上临界点渗流的标度极限和共形不变性。我们证明了一些与量子化有关的量是调和的共形不变量，并计算了它们在标度极限下的值。作为特例，我们得到了交叉概率的共形不变性和Cardy公式。然后我们证明了连续统标度极限的存在性、唯一性和共形不变性。
The giant component after percolation of product graphs
在本文中，我们证明了存在一个尖锐的阈值的出现后，一个巨大的组件的笛卡儿积的图的最大程度和等周常数的假设下，渗透。特别是，这概括了工作Ajtai，Komlós和Szemerédi从1982年关于渗流的超立方体在高维。
Invariant Percolation and Harmonic Dirichlet Functions
本文的主要目标是回答问题1.10，解决Benjamini-Lyons-Schramm [BLS 99]的猜想1.11，该猜想将图上的调和Dirichlet函数与Bernoulli渗流唯一性阶段的无限簇的调和Dirichlet函数联系起来。我们将结果扩展到更一般的不变量，包括随机簇模型。本文证明了在含有非常数调和Dirichlet函数的单模传递局部有限图上Bernoulli渗流的非唯一性相的存在性（并对Random-Cluster模型的非唯一性相作了一些改进）.这是通过使用$\ell^2$贝蒂数的装置来完成的。
Uniqueness for a class of one-dimensional stochastic PDEs using moment duality
对于Z^d（d >> 6）上的独立最近邻键渗流，我们证明了初始无限集团的两点函数和三点函数在标度极限下收敛于积分超布朗漂移（ISE）的两点函数和三点函数.证明是基于在以前的文件中导出的渗流的新的扩展，并涉及治疗磁场作为一个复变数。我们的结果对于两个点函数的一个特殊情况意味着，在临界点处，原点的簇由n个位点组成的概率由n^{-3/2}的倍数加上n{-3/2-ε}阶的误差项（ε> 0）给出。这是一个强有力的声明，临界指数δ由δ= 2给出。
The giant component of excursion sets of spherical Gaussian ensembles: existence, uniqueness, and volume concentration
本文证明 Kostlan、带限和随机球面调和函数三类球面高斯场超临界游程集中存在唯一且体积集中的巨分量，并给出近最优或强定量界。
A Phase Transition for the Metric Distortion of Percolation on the Hypercube
设H_n是超立方体{0，1}^n，H_{n,p}表示具有参数p=n^-α的伯努利键渗流的同一图.结果表明，当α=1/2时，H_n和H_{n,p}之间的度规畸变存在相变.当α<1/2时，渐近地存在一个从H_n到H_{n,p}的具有常数畸变的映射（只与α有关）.当α>1/2时，失真趋于n的幂的无穷大。我们指出的相似性存在的一个非唯一性阶段的背景下，无限的不服从图形。
Site percolation on non-regular pseudo-random graphs
本文研究了图序列$\{G_n\}_{n\geq1}$在$n$顶点上的点渗透问题，其中每个顶点的度都在区间$(np -a_n, np+a_n)$内，且每对顶点的余度至多为${n}p^2+ b_n$，其中$p \in (0,1)$和$\{a_n\}_{n\geq1}$，$\{b_n\}_{n\geq1}$是实数序列.在适当的条件下，$p \in (0,1)$，$a_n$的和$b_n$的，我们表明，这些序列的图上的网站渗流在$\frac{1}{np}$进行急剧的相变。更精确地说，对于$\varepsilon>0$，我们通过以概率$ρ_n$独立地包括$G_n$的每个顶点来形成随机集$R(ρ_n)$。如果$ρ_n = \frac{1-\varepsilon}{np}$，则对每个足够小的$\varepsilon>0$和足够大的$n$，由$R(ρ_n)$诱导的$G_n$的子图中的所有连通分支在$n$中以高概率最多是多对数的.如果$ρ_n = \frac{1+\varepsilon}{np}$，则对于每个足够小的$\varepsilon>0$和足够大的$n$，由$R(ρ_n)$诱导的$G_n$的子图以高概率包含大小至少为$\frac{\varepsilon}{p}$的“巨”连通分支。此外，我们证明了在一个额外的假设下，$\{b_n\}_{n\geq 1}$的巨组件是唯一的。这部分地解决了Krive…
Non-amenable Cayley graphs of high girth have p_c < p_u and mean-field exponents
在本文中，我们证明了高围长的非顺从Cayley图上的渗流具有非唯一性阶段，即，p_c < p_u。此外，我们证明了在这样的图上的渗流和自避免行走有平均场临界指数。特别是，自我回避行走具有正速度。
Uniqueness and multiplicity of infinite clusters
关于无限簇的几乎处处唯一性的Burton-Keane定理是随机几何的一个里程碑。设$μ$是$d$维格的边集上具有有限能量性质的概率概率测度.定理指出无限分支的个数$I$满足$μ(I\in\{0,1\})=1$。证明是一个优雅的和最低限度的组合零-在顺从性的存在一个参数。该方法可以扩展（并非没有困难）到其他问题，包括刚性和纠缠渗流，以及吉布斯理论的随机集群措施，和中心极限定理的随机游动在随机的反射线。这是一个关键的假设基础图的边界/体积比趋于零的大盒子，和图片的非顺从图是完全不同的。
Inhomogeneous percolation on ladder graphs
我们定义了一个非齐次渗流模型的“梯形图”作为一个任意的图形$G = (V,E)$和一组整数$\mathbb{Z}$（顶点被认为是有一个“垂直”的组成部分，由一个整数索引）的直积。我们做两个自然的选择的边缘集，产生一个无向图$\mathbb{G}$和定向图$\vec{\mathbb{G}}$。这些图被赋予渗透配置，其中独立地，在一个固定的无限“列”内的边缘是开放的概率$q$，和所有其他边缘是开放的概率$p$。对于所有固定的$q$，可以定义临界逾渗阈值$p_c(q)$。我们证明了这个函数在$(0, 1)$中是连续的。
Uniqueness and Mixing in the Low-Temperature Random-Cluster Model on Trees and Random Graphs
研究低温度下树和树状图的随机簇模型，证明在特定参数下存在唯一性和非唯一性相变，并展示随机簇Glauber动力学在随机图上的高效混合性。
Poisson-Voronoi percolation in higher rank
本文证明在具有性质(T)的连通高秩半单Lie群对称空间中，Poisson-Voronoi渗流的唯一性阈值在低强度极限下趋于零，并基于此为Gaboriau固定价格问题提供新证明及新的非顺从Cayley图实例。
Competing first passage percolation on random regular graphs
我们考虑两个竞争的第一次通过渗流过程开始于$N$顶点上的随机正则图的一致选择的子集。允许进程以不同的速率、从不同大小的顶点子集或在不同的时间开始传播。我们得到严格的结果，每个进程所占用的顶点集的大小，表明在一般情况下，一个进程将占用$Θ(1)N^α$顶点，为一些$0 < α< 1$。$α$的值是根据进程的相对速率、初始顶点集的大小和一个进程可能的时间优势来计算的。这项工作的动机来自于对社交网络上病毒式营销的研究。所描述的过程可以被看作是通过社会网络（随机正则图）传播的两个竞争产品。考虑到以不同速度增长的过程（对应于两种产品的不同吸引力水平）或在不同时间开始（首先获得市场优势），可以对实际竞争的各个方面进行建模。所获得的结果可以被解释为两种产品之一占据了市场的最大份额。我们将这些结果与运行在$d$维网格上的相同过程进行比较，我们表明，在一般情况下，这两种产品将各自具有线性的市场份额。
Supercritical percolation on finite transitive graphs I: Uniqueness of the giant component
该研究针对有限顶点传递图的伯努利边渗流，证明稀疏图序列的超临界巨片以高概率唯一，验证了Benjamini的相关猜想，并给出稠密图超临界唯一性的充要等周条件。
Weighted-amenability and percolation
本文将传递图经典的幺模顺从性结果扩展至非幺模情形，证明了加权顺从性的新等价刻画，并证实了Hutchcroft关于渗流阈值猜想的放松版本，揭示了相变的连续性。
The $L^2$ boundedness condition in nonamenable percolation
设$G=(V,E)$是连通的、局部有限的、可迁图，考虑$G=(V,E)$上的Bernoulli键渗流.在最近的工作中，我们证明了如果$G$是不服从的，那么临界连接概率矩阵$T_{p_c}(u,v)=\mathbb{P}_{p_c}(u\leftrightarrow v)$作为算子$T_{p_c}:L^2(V)\to L^2(V)$是有界的，并证明了这个猜想对几类图都成立.我们还注意到，在这项工作中，该猜想意味着两个旧的apturtures，即渗流传递noncompliant图总是有一个非平凡的非唯一性阶段，并在同一类图的临界渗流平均场临界行为。在本文中，我们进一步研究的$L^2$有界性猜想的后果。特别地，我们证明了：i）对于所有的$p<p_{2\to 2}$，两点函数在距离上指数衰减，ii）如果$p_c<p_{2\to 2}$，则控制临界团簇外直径的临界指数是$1$ ; iii）低于$p_{2\to 2}$，在两点之间的内在距离不可能指数地远大于它们的外在距离的意义上，渗流是“弹道式的”; iv）如果是$p_c<p_{2\to 2}$，则$\|T_{p_c}\|_{q\to q} \asymp (q-1)^{-1}$和$p_{q\to q}-p_c \asymp q-1$为$q\downarrow 1$。v）如果是$p_c<p_{2\to 2}$，则各种“多臂”事件的概率与BK不等…
A note on inhomogeneous percolation on ladder graphs
设$\mathbb{G}=\left(\mathbb{V},\mathbb{E}\right)$是由一个无限连通图$G=(V,E)$与整数集$\mathbb{Z}$的乘积所得到的图。我们选择$G$的有限连通子图的集合$\mathcal{C}$，并考虑$\mathbb{G}$上的Bernoulli键渗流模型，该模型将概率$q$分配给每个边缘，其在$G$上的投影位于$\mathcal{C}$的某个子图中，并将概率$p$分配给每个其他边缘。我们证明了临界逾渗阈值$p_{c}\left(q\right)$是$\left(0,1\right)$中的连续函数，条件是$\mathcal{C}$中的图在$G$中是“良好间隔的”，并且它们的顶点集具有一致有界的基数.这推广了Szabó和Valesin最近的一个结果。
Percolation on High-dimensional Product Graphs
本文研究基图正则且阶数有界的高维乘积图上的渗流，刻画次临界与超临界区域最大分支阶数，并证明其相变定量上类似于二项随机图。
Strict monotonicity of percolation thresholds under covering maps
我们回答了Benjamini和Schramm的一个问题，证明了在合理的条件下，严格地表示一个图会增加其渗流临界参数$p_c$的值。更精确地说，令$\mathcal{G}=(V,E)$是一个具有$p_c(\mathcal{G})<1$的拟传递图，令$G$是一个通过图自同构自由作用于$V$的非平凡群。假设$\mathcal{H}:=\mathcal{G}/G$是准传递的。然后是$p_c(\mathcal{G})<p_c(\mathcal{H})$。我们提供的结果超出了这个设置：我们治疗的情况下，一般覆盖映射，并提供了一个类似的结果的唯一性参数$p_u$，根据一个额外的假设的有界性的纤维。证明使用了通过提升集群的探索而构建的耦合，以及Aizenman-Grimmett的基本增强的探索性对应物。
An upper bound for the critical probability on the Cartesian product graph of a regular tree and a line
在$d$ -正则树与直线的笛卡儿积图上的Bernoulli键渗流中，给出了临界概率$p_c$的一个上界.
Interlacement percolation on transient weighted graphs
在本文中，我们首先扩展了由A.S. Sznitman在[arXiv：0704.2560]，更一般的设置瞬态加权图。我们证明了该模型的Harris-FKG不等式，并分析了它在特定图类上的一些性质。对于非顺从图的情形，我们证明了空集渗流的临界值u * 是有限的。我们还证明了，当G满足等周不等式IS_6（见（1.5））时，u_* 对乘积G × Z（其中我们赋予Z单位权）是正的。当所考虑的图是一棵树时，我们能够用一个Bernoulli独立的渗流过程来刻画包含某些不动点的空簇。对于正则树的特殊情况，我们得到了临界值u_* 的一个显式公式。
Adelic Models of Percolation
本研究通过基于幂平均函数的单参数形变、函数域阿代尔乘积公式、数域阿代尔乘积公式三种中间几何结构，建立了格点与分级格点上长程渗流模型和阿代尔渗流模型的关联。
Conformally covariant probabilities, operator product expansions, and logarithmic correlations in two-dimensional critical percolation
本文严格证明二维临界逾渗标度极限中连接概率出现对数奇点，并给出可视为CFT算子乘积展开的渐近展开，为逾渗CFT构建奠定基础。
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