On a correlation between ranks of elliptic curves and periods of continued fractions
Igor Nikolaev
证明了B. H. Gross是对应的非交换环面与实数乘法的算术复杂度的一个小。
It is proved that the rank of elliptic curves with complex multiplication introduced by B. H. Gross is one less an arithmetic complexity of the corresponding noncommutative tori with real multiplication.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Elliptic curves and continued fractions
证明了椭圆曲线的秩比相应的非交换环面的运算复杂度小1。作为例证，我们考虑一族具有复乘的椭圆曲线。
Elliptic curves and continued fractions
我们详细的连分数扩展的平方根的一般monic四次多项式，注意到每一行的扩展对应于除了除数在无穷大。我们分析由一般展开产生的数据。这样我们就得到了满足Somos关系的“椭圆序列”。我提到几个新的结果，这样的序列。本文对函数域上二次无理数的连分数作了详细的“提醒说明”。
Periodic continued fractions and elliptic curves over quadratic fields
设$f(x)$是定义在二次域$K$上的无平方的四次多项式，使得它的前导系数是平方。如果$\displaystyle \sqrt{f(x)}$的连分式展开是周期性的，那么它的周期$n$位于集合\[\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,17,18,22,26,30,34\}.\]中。我们明确地写出所有这样的多项式，其周期$n$出现在$K$上，但不出现在$\Q$和$\displaystyle n\not\in\{ 13,15,17\}$上。并给出了在$K$上存在周期为$13, 15$或$17$的连分式展开式的充要条件.
Pseudo-factorials, elliptic functions, and continued fractions
伪因子的递归关系是通常因子的递归关系的扭曲形式。这些数字与特殊的椭圆函数，最值得注意的是，一个迪克森和维尔斯特拉斯函数，参数化的费马三次曲线和相对于一个六边形晶格。本文建立了首次在经验上发现的伪因子的普通母函数的连分数展开式。本文还提供了相关的正交多项式，这似乎形成一个新的家庭的“椭圆多项式”，以及各种其他性质的伪Face，包括一个六角格和表达式和基本同余的特征。
Remark on the rank of elliptic curves
构造了椭圆曲线上的一个具有复乘的共变函子。函子在非交换环面上取实乘法的值。给出了关于椭圆曲线秩的一个猜想。
Geometry and combinatoric of Minkowski--Voronoi 3-dimesional continued fractions
本文研究了三维Minkowski-Voronoi连分数的组合结构。我们的主要目标是证明Minkowski-Voronoi复形在特殊的双参数秩1格族中的渐近稳定性。此外，我们明确地构造的情况下，白色的秩-1格的复合物，并提供了一个假设的描述，在一个更复杂的设置。
Pell equation: A generalization of continued fraction and Chakravala algorithms using the LLL-algorithm
本文推广了求解佩尔方程的连分数和Chakravala算法，采用LLL算法处理秩2格，提出新方法。
Using continued fractions with prescribed period for universal quadratic forms
本文通过分析连分数周期与二次型判别式的同余条件，改进了实二次域上通用二次型的大秩结果。
Infinite families of exact sums of squares formulas, Jacobi elliptic functions, continued fractions, and Schur functions
在本文中，我们得到了许多无限族的显式精确公式涉及平方或三角数，其中两个推广雅可比的4和8平方的身份，分别为4n^2或4 n（n+1）平方，而不使用尖点形式。事实上，我们同样推广到无限家庭的所有雅可比的明确规定的程度2，4，6，8兰伯特级数展开的经典θ函数。此外，我们还将Jacobi关于2个正方形、2个三角形、6个正方形、6个三角形的特殊分析分别推广到12个正方形、12个三角形、20个正方形、20个三角形。这些结果，取决于新的扩展的权力的各种产品的经典θ函数，出现在设置的雅可比椭圆函数，相关的连分数，经常C-分数，汉克尔或Turanian决定，傅里叶级数，兰伯特级数，包含/排除，拉普拉斯展开式公式的决定，和舒尔功能。这些无穷族恒等式的舒尔函数形式类似于麦克唐纳的η-函数恒等式。此外，麦克唐纳工作中出现的幂4 n（n+1）、2n^2+n、2n^2-n也出现在我们分析的适当位置。我们的一般方法的一个特殊情况产生的两个Kac-Wakimoto证明的身份涉及表示一个正整数由4n^2或4 n（n+1）三角数的和，分别。
Geodesic continued fraction for Shimura curves and its periodicity: the case of $(2,3,7)$-triangle group
本文研究了Shimura曲线来自$(2,3,7)$ -三角形群的测地线连分数。利用Shimura曲线上测地线的编码构造了实数的一种连分数展开式，并证明了该展开式的Lagrange型周期性定理，该定理捕捉了$\mathbb{Q}(\cos(2π/7))$的秩为1的二次扩张的基本相对单位.我们还讨论了这些连分数的收敛性。
On the rank of universal quadratic forms over real quadratic fields
本文研究了实二次域$\mathbb Q(\sqrt D)$上的全正定对角泛二次型所需变量的最小数目，并利用相关的连分数的某些系数和得到了它的上界.我们还估计这样的总和方面的$D$和建立一个连分数展开和特殊值的$L$ -函数的克罗内克的极限公式的精神之间的联系。
Symmetric diophantine systems and families of elliptic curves of high rank
虽然已经有相当大的兴趣在这个问题上找到高秩的椭圆曲线的$\mathbb{Q}$，很少参数化家庭的椭圆曲线的一般秩$\geq 8$已公布。在本文中，我们使用某些对称丢番图系统的解决方案，以建立几个参数化的家庭椭圆曲线，其一般的秩范围从至少8到至少12。具体数值的参数产生椭圆曲线具有相当大的系数，因此，我们可以确定精确的排名只有在少数情况下，排名的椭圆曲线$\leq 13$。然而，期望本文中得到的椭圆曲线的参数化族将产生具有更高秩的椭圆曲线的例子。
Positive-rank elliptic curves arising pythagorean triples
本文引入了一类新的正秩椭圆曲线，它们都是由勾股三元组组成的.
A positive proportion of elliptic curves over $\mathbb{Q}$ have rank one
证明了当$\mathbb{Q}$上的所有椭圆曲线按朴素高度排序时，正比例的代数秩和解析秩都为1.因此，椭圆曲线的平均秩和平均解析秩都是严格正的。
New Rank Records For Elliptic Curves Having Rational Torsion
我们提出了具有扭子群Z/2 Z、Z/3 Z、Z/4 Z、Z/6 Z和Z/7 Z的破秩记录的椭圆曲线。
A heuristic for boundedness of ranks of elliptic curves
我们提出了一个启发式，表明椭圆曲线的秩有理数是有界的。事实上，它表明只有1000多个椭圆曲线的秩大于大于21。我们的启发式算法基于同时对椭圆曲线的秩和Shafarevich-Tate群进行建模，并依赖于对指定秩的交替整数矩阵进行计数的定理。我们还讨论了类似的椭圆曲线在其他全球领域。
Ranks of elliptic curves in families of quadratic twists
证明了椭圆曲线二次扭的秩的无界性等价于某些无穷级数的发散性。
On the distribution of analytic ranks of elliptic curves
本文在椭圆$L$ -函数的GRH下，给出了椭圆曲线具有$L$ -函数的解析秩$L$-的概率的上界，以及椭圆曲线的解析秩的$n$ -阶矩的上界.这些是计算具有局部条件的椭圆曲线的应用，例如，在$p$处具有好约化。
Average analytic rank of elliptic curves with prescribed torsion
证明了在椭圆曲线$L$ -函数的GRH下，具有给定挠率$G$的椭圆曲线的平均解析秩对每个挠群$G$是有界的.
Upper bounds for moments of analytic ranks of elliptic curves over number fields
研究数域上椭圆曲线解析秩矩的上界，通过证明条件上界及解析秩大于给定界的椭圆曲线密度的条件界来进行研究。
On the rank of certain parametrized elliptic curves
本文研究了\Q上由方程E_{p}：Y^2=（X-p）^3+X^3+（X+p）^3给出的椭圆曲线族，其中p是素数.证明了椭圆曲线的最大秩至多为3，并给出了秩（E_p（\Q））=0或秩（E_p（\Q））=1或秩（E_p（\Q））>=2的条件.证明了该族中存在秩为0，1，2，3的椭圆曲线.
A Simple Method for High-Rank Families of Elliptic Curves with Specified Torsion
我们描述了一个简单而有效的方法，用于推导具有高秩的所有成员具有相同挠子群结构的椭圆曲线族。
On The Rank Of Congruent Elliptic Curves
本文中，$p$和$q$是两个不同的奇素数.首先构造了对应于$p$、$2p$、$pq$和$2pq,$的全等椭圆曲线，然后在全等数的情况下，确定了相应的全等椭圆曲线的秩.
Infinitely many elliptic curves of rank exactly two, II
在奇偶猜想下，构造了一类秩为2且扭子群为二阶或三阶循环群的椭圆曲线的无穷族.
On positive proportion of rank zero twists of elliptic curves over Q
推广\cite{dab2}的思想，利用2-下降法，给出了Q上的三类椭圆曲线，使得这类椭圆曲线的素数扭转的正比例同时为秩零.
Elliptic curves of rank one over number fields
该研究证明了对任意数域 $K$，均存在无穷多条秩恰好为 1 的椭圆曲线，解决了该领域的一个基本存在性问题。
Elliptic curves of unbounded rank and Chebyshev's bias
建立了$\mathbb Q$上椭圆曲线解析秩的定量无界性与高偏椭圆曲线素数族存在性之间的条件等价性.我们表明，有条件的黎曼假设和假设上的多重性的零$L(E,s)$，大的分析秩转化为一个极端的切比雪夫偏见。相反，我们表明，在一定的线性独立性假设下的零点$L(E,s)$，如果高度偏置的椭圆曲线素数种族确实存在，然后黎曼假设成立无限多个椭圆曲线$L$ -功能，并存在椭圆曲线的任意大的秩。
Infinite family of elliptic curves of rank at least 4
我们研究了椭圆曲线$E_t$：$y^2+txy=x^3+tx^2-x+1$的$\mathbb{Q}$ -秩，其中$t$是有理参数.我们证明了对于无穷多个$t$值，$E_t(\mathbb{Q})$的秩至少为4。
Rank of elliptic curves and class groups of real quadratic fields
本文研究了椭圆曲线的秩与实二次域类群非平凡性之间的联系。
An elliptic K3 surface X/Q(t) with Mordell-Weil rank 17, I: Formulas for X and base changes of rank 18 and 19
本文给出Q(t)上Mordell-Weil秩17的椭圆K3曲面X的公式，证明其二次基变换可得到秩18的椭圆曲面，一对复合后得秩19的椭圆曲面，对应无穷多条Q上高秩椭圆曲线。
Rank one elliptic curves and rank stability
本文证明对任意数域的二次扩张，存在无穷多个秩为一的椭圆曲线，推广了相关定理，并通过特化非平凡秩一椭圆曲线族并计算所有秩来获得结果。
On the Ranks of the 2-Selmer Groups of Twists of a Given Elliptic Curve
本文推广了Swinnerton-Dyer关于给定椭圆曲线具有特定秩的2-Selmer群的扭数密度的工作.
On a Family Of Elliptic Curves With Positive Rank arising from Pythagorean Triples
本文的目的是引入一个新的椭圆曲线族的形式$y^2=x(x-a^2)(x-b^2)$，具有正秩。我们首先生成一个列表的勾股三元组$(a,b,c)$，然后构造这个家庭的椭圆曲线。证明了这个新族具有正秩，并求出了它们的秩的上界。
Rank bias for elliptic curves mod $p$
我们猜想，对于一个固定的素数$p$，有理椭圆曲线具有较高的秩往往有更多的点模$p$。我们发现，有一个类似的偏置模形式的根数，并推测，顺序的秩偏置椭圆曲线大于根数偏置模形式。
Analytic ranks of elliptic curves over number fields
设$E$是$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线。然后，我们证明了$E$在$\mathbb{Q}$上的次数为$l$的循环扩张上的平均解析秩至多为$2$，其中$r_{\mathbb{Q}}(E)$是$\mathbb{Q}$上椭圆曲线$E$的解析秩.这个界与$l$的度无关。另外，我们还得到了$S_d$ -域上的平均解析秩结果。
Elliptic curves with large torsion and positive rank over number fields of small degree and ECM factorization
本文给出了几种构造小次数域上具有大扭群和正秩的椭圆曲线的方法。我们还讨论了这种曲线在椭圆曲线分解方法（ECM）中的潜在应用。
Higher-rank Bohr sets and multiplicative diophantine approximation
加拉格尔定理是对几乎所有实数的元组都成立的利特尔伍德猜想的一个加强和扩展。我们提供了一种纤维细化，解决了Beresnevich，Haynes和Velani在2015年提出的问题。然而，这只在飞机上知道，因为以前的方法严重依赖于连分数理论。在丢番图逼近的背景下，利用约化的连续极小值代替连分数，发展了任意秩玻尔集的结构理论。此外，我们将理论和结果推广到非均匀背景。为了处理这种不齐性，我们采用丢番图转移不等式代替三距离定理。
On the typical rank of elliptic curves over ${\mathbb Q}(T)$
我们给上界的一些家庭有积极的秩的理性椭圆曲面的数量，特别是获得这些形成一个子集的密度为零。这证实了Cowan在$m,n\leq2$情况下的猜想（arXiv：2009.08622 v2）。
Conjecture: 100% of elliptic surfaces over $\mathbb{Q}$ have rank zero
基于一个方程的秩的椭圆表面上$\mathbb{Q}$出现在工作中的长尾，罗森，和西尔弗曼，我们猜想，100%的椭圆表面的秩$0$时，他们的维尔斯特拉斯方程的系数的大小排序，并提出了一个概率启发式证明这一猜想。然后，我们将讨论它将如何遵循无论是从某些$L$ -功能的理解，或从理解的局部行为的表面。最后，我们对有限域上椭圆曲面的秩提出了一个猜想，并给出了一些实验证据。
Infinite rank of elliptic curves over $\mathbf{Q}^{\ab}$
如果$E$是定义在二次域$K$上的椭圆曲线，并且$E$的$j$不变量不是0或1728，则$E(\mathbf{Q}^{\ab})$具有无限秩。如果$E$是Legendre形式的椭圆曲线$y^2 = x(x-1)(x-λ)$，其中$\mathbf{Q}(λ)$是三次域，则$E(K \mathbf{Q}^{\ab})$具有无限秩。若$λ\in K$有一个4次极小多项式$P(x)$，且$v^2 = P(u)$是$\bbq$上的正秩椭圆曲线，我们证明了$y^2 = x(x-1)(x-λ)$在$K\bbq^{\ab}$上有无穷秩.
100% of elliptic curves with a marked point have positive rank
本文为带标记点的椭圆曲线具有正秩提供了替代证明，并将该结论扩展至特征不为2或3的global fields。
Conditionally bounding analytic ranks of elliptic curves
在Birch猜想和Swinnerton-Dyer猜想以及广义黎曼假设的假设下，给出了一种确定椭圆曲线秩的方法.作为一个例子，我们计算，根据这些结构，确切的上界曲线，已知有秩至少为20，21，22，23，和24一样大。对于秩至少为28的已知曲线，我们得到的界为30。
Diophantine triples and construction of high-rank elliptic curves
利用丢番图m元组理论，即任意两个不同元素加1的乘积是完满平方的集合，我们构造了Q（t）上秩至少为4的具有三个非平凡扭点的椭圆曲线.通过特殊化，得到了Q上挠群Z/2 Z * Z/2 Z秩为7的椭圆曲线的一个例子.
Asymptotics and Sequential Closures of Continued Fractions and Generalizations
给定一个复方阵序列$a_n$，考虑它们的部分乘积序列，定义为$p_n=p_{n-1}a_{n}$。关于序列$f(p_n)$的渐近性$n\to\infty$，可以说些什么，其中$f$是连续函数？我们最一般的结果的一个特殊情况下解决这个问题的假设下，矩阵$a_n$是一个$l_1$扰动的矩阵序列有界部分产品。我们应用我们的理论来研究连分数逼近的渐近性。特别地，当连分数是椭圆型或斜驶型的$l_1$极限1-周期时，我们证明了它的逼近序列趋向于$\hat{\mathbb{C}}$中的一个圆，或趋向于一个圆上的有限点集.我们的主要定理，这样的连分数统一的斜驶和椭圆的情况下，这是收敛和发散，分别治疗。当逼近序列趋于圆时，我们得到了逼近序列极限分布的统计信息。当圆是真正的线，点被证明有一个柯西分布的参数给出的修改的原始连分数。作为一般理论的一个例子，详细研究了五个复变量的$q$ -连分式。本文中最一般的定理在Banach代数中成立。该理论也适用于$(r,s)$ -矩阵连分数和Poincaré型递归序列，并与密切相关的文献进行了比较。
Ranks of elliptic curves over Z_p^2-extensions
设$E$是在固定奇素数$p$处具有好约化的椭圆曲线，$K$是$p$分裂的虚二次域。给出了在$K$的$\mathbb{Z}_p^2$ -扩张内的有限扩张上$E$的Mordell-Weil秩的增长估计.
Sums of two biquadrates and elliptic curves of rank $\geq 4$
如果整数$n$以两种不同的方式写成两个双二次曲线之和，则椭圆曲线$y^2=x^3-nx$具有秩$\geq 3$。此外，如果$n$是奇数，奇偶猜想是真的，那么它有偶数秩$\geq 4$。最后，给出了秩为4，5，6，7，8和10的一些例子.
The average analytic rank of elliptic curves with prescribed level structure
本文在Hasse--Weil猜想与广义黎曼假设下，对模叠可由射影直线表示的指定级结构椭圆曲线，给出了其平均解析秩的上界。
A new family of elliptic curves with positive ranks arising from the Heron triangles
本文的目的是引入一类新的正秩椭圆曲线。这些椭圆曲线是用一定的有理数，即a、b和c作为具有有理数面积$k$的Heron三角形的边来构造的。证明了这个族的扭群是$\frac{\Bbb{Z}}{2\Bbb{Z}}\times \frac{\Bbb{Z}}{2\Bbb{Z}}$形式的，并且秩是正的.
The Parity of Analytic Ranks among Quadratic Twists of Elliptic Curves over Number Fields
椭圆曲线的解析秩的奇偶性由函数方程L（E，s）中的根数给出。在任意数域上固定一条椭圆曲线，并考虑它的二次扭曲族，很自然地会问这个族的平均解析秩是多少。这个数的下界由平均根数给出。本文研究了这类曲线族的根数，并给出了这类曲线族中偶数秩曲线所占比例的一个渐近公式。然后，我们的结果被用来支持一个猜想的平均解析秩在这个家庭的椭圆曲线。
High rank elliptic curves with prescribed torsion group over quadratic fields
定义在二次数域上的椭圆曲线的挠群有26种可能。我们给出了具有给定扭群的高秩椭圆曲线的例子，这些例子给出了大多数扭群的当前记录。特别地，我们证明了对于每一个可能的挠群，除了可能是Z/15 Z之外，存在一条在某个二次域上具有该挠群且秩>= 2的椭圆曲线。
Elliptic curves of high rank and the Riemann zeta function on the one line
我们描述了一些实验，显示之间的连接高秩椭圆曲线和黎曼ζ函数的一条线。我们还讨论了一对夫妇的统计涉及$L$ -功能的zeta功能的一条线上起着突出的作用。
The distribution of 2-Selmer ranks of quadratic twists of elliptic curves with partial two-torsion
本文给出了任意数域K上椭圆曲线的二次扭族的2-Selmer秩分布的一个新结果，该数域K上有一个二阶点，且在其二除域上没有定义循环4-等距线.我们证明了这样一条椭圆曲线的所有二次扭转中至少有一半具有任意大的2-Selmer秩，表明这样一条椭圆曲线的二次扭转族中的2-Selmer秩的分布不同于没有有理二挠或完全有理二挠的椭圆曲线的二次扭转族中的2-Selmer秩的分布.
A conditional determination of the average rank of elliptic curves
在一个比椭圆曲线$L$ -函数的黎曼假设稍强的假设下，我们证明了二次扭族中椭圆曲线的平均解析秩和平均代数秩都恰好是$\frac 12$ .作为推论，我们得到，在这最后一个假设下，伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想几乎对我们族中的所有曲线都成立，并且这些曲线的渐近一半具有代数秩$0$，其余一半具有代数秩$1$。在所有椭圆曲线族中，我们也证明了一个类似的结果。解释我们的结果的一种方法是说，椭圆曲线$L$ -函数族中的非实零点对这个族中的平均秩有直接的影响。卡茨-萨尔纳克和杨的结果构成了证明的主要成分。
On the Distribution of 2-Selmer Ranks within Quadratic Twist Families of Elliptic Curves with Partial Rational Two-Torsion
本文给出了关于在二除域上没有循环4-等距线的二阶单点椭圆曲线的二次扭族中2-Selmer秩分布的一个新结果。我们证明了这样一条椭圆曲线的所有二次扭转中至少有一半具有任意大的2-Selmer秩，表明这样一条椭圆曲线的二次扭转族中的2-Selmer秩的分布不同于没有有理二挠或完全有理二挠的椭圆曲线的二次扭转族中的2-Selmer秩的分布.
Ranks of elliptic curves over cyclic cubic, quartic, and sextic extensions
对于给定的群$G$和定义在数域$K$上的椭圆曲线$E$，本文讨论了寻找$K$的$G$ -扩张，使$E$在其上获得秩的问题.我证明了下面的定理，扩展了Fearnley，Kisilevsky和Kuwata的结果：设$n = 3,4,$或$6$。如果$K$包含其$n^{th}$ -单位根，则对于$K$上的任何椭圆曲线$E$，存在无穷多个$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ -$K$的扩展，其中$E$获得秩。
Elliptic curves with bounded ranks in function field towers
设$k$表示代数闭域。我们重新建设的作者的家庭椭圆曲线的有理函数域$k(t)$。结合组合分析与乌尔默的秩公式，我们证明了，对于所有的，但许多家庭的这些曲线，Mordell-Weil群在$k(t^{1/d})$的秩为零，因为$d$范围在正整数素数的特征$k$。
Quadratic Twists of Elliptic Curves with 3-Selmer Rank 1
1979年戈德菲尔德猜想的一个较弱的形式指出，对于每一条椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，它的二次扭曲$E^{(d)}$的秩为1。利用Galois上同调的工具，我们给出了E和d的准则，该准则使得E的二次扭曲的正比例具有3-Selmer秩1和整体根数-1。然后，我们给出了四个非同构的椭圆曲线的无限族$E_{m, n}$满足这些标准。在Birch和Swinnerton-Dyer猜想的秩部分的条件下，这证明了无限多条椭圆曲线的上述猜想。我们的椭圆曲线很容易明确地给出，我们精确地说明了使用哪些二次扭曲d。此外，我们的方法有可能被推广到其他数域上的椭圆曲线。
Rank zero elliptic curves induced by rational Diophantine triples
有理丢番图三元组，即有理a，b，c具有ab+1，ac+1，bc+1是完满平方的性质，常用于构造高秩椭圆曲线。在本文中，我们考虑相反的问题，并询问如何小的秩的椭圆曲线诱导的有理丢番图三元组。很容易找到包含混合符号元素的有理丢番图三元组，它们诱导秩为0的椭圆曲线。然而，找到这样的例子的合理丢番图三元组的积极元素的问题是更具挑战性的，我们将提供第一个这样的已知的例子。
Congruent number elliptic curves with rank at least two
我们给出了一类无穷多个同余数椭圆曲线，每一条曲线的秩至少为2，它们与$m^2=n^2+nl+l^2$的积分解有关。
Ranks of elliptic curves in cubic extensions
对于数域K上的椭圆曲线E，证明了E的代数秩在K的无穷多个扩张中上升，这些扩张是通过邻接K的一个元素的一个立方根而得到的.作为一个例子，我们简要地讨论了E=X_1（11）在Q上的性质，以及这个结果与岩泽理论的关系。
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