Connectivity of Direct Products of Graphs
Wei Wang, Ni-Ni Xue
令$κ(G)$是$G$的连通性，而$G\times H$是$G$和$H$的直积。本文证明了对任意图$G$和$K_n$，有$n\ge 3$，$κ(G\times K_n)=min\{nκ(G),(n-1)δ(G)\}$，这是Guji和Vumar提出的.
Let $κ(G)$ be the connectivity of $G$ and $G\times H$ the direct product of $G$ and $H$. We prove that for any graphs $G$ and $K_n$ with $n\ge 3$, $κ(G\times K_n)=min\{nκ(G),(n-1)δ(G)\}$, which was conjectured by Guji and Vumar.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the super connectivity of Kronecker products of graphs
本文给出了一般图与完全图的Kronecker积的超连通性。
Super connectivity of lexicographic product graphs
对于图$G$，$k(G)$表示其连通性。一个图是超连通的，如果每一个最小点割都隔离一个点。连通图的$k_{1}$ -连通度也是指去掉不含孤立点的不连通图的顶点的最小数目。本文给出了两个图的字典序积的超连通度和$k_{1}$ -连通度的界。
The generalized 3-edge-connectivity of lexicographic product graphs
图$G$的广义$k$ -边连通度$λ_k(G)$是边连通度概念的推广.两个图$G$和$H$的字典积，记为$G\circ H$，是一种重要的图积.本文主要研究$G \circ H$的广义3-边连通度，得到了$λ_3(G \circ H)$的上、下界.此外，所有的边界都是尖锐的。
On restricted edge-connectivity of replacement product graphs
本文研究了置换积图的边连通度和限制边连通度，给出了置换积图的边连通度和限制边连通度的一些界，并确定了一些特殊图的精确值.特别地，进一步证明了在一定条件下，两个Cayley图的置换积也是Cayley图，并给出了这类Cayley图具有最大限制边连通度的充要条件.在此基础上，利用$d \geqslant 5$和$1\leqslant s\leqslant d-3$构造了一个度为$d$的Cayley图，该图对给定的奇数$d$和整数$s$，其限制边连通度等于$d+s$.
Two bounds for generalized $3$-connectivity of Cartesian product graphs
图$G$的广义$k$ -连通性$κ_{k}(G)$是由Chartrand等人提出的.（1984）是顶点连通性概念的推广。设$G$和$H$是非平凡连通图.最近，Li等人给出了笛卡儿积图$G \square H$的广义$3$ -连通性的一个下界，并对$H$是$3$ -连通的情形提出了一个猜想.本文给出了笛卡儿积图的广义$3$ -连通度的两种不同形式的下界。第一个下界比他们的更强，第二个证实了他们的猜想。
The generalized 3-connectivity of Lexicographic product graphs
图$G$的广义$k$ -连通性$κ_k(G)$，由Chartrand等人引入，是（顶点）连通性概念的自然和良好的推广。本文证明了对任意两个连通图$G$和$H$，$κ_3(G\circ H)\geq κ_3(G)|V(H)|$ .给出了$κ_3(G\Box H)$和$κ_3(G\circ H)$的上界.此外，所有的边界都是尖锐的。
On conditional connectivity of the Cartesian product of cycles
最小度$ k > h$的连通图$H$的条件$h$ -顶点（$h$ -边）连通度是$H$的最小顶点（边）集$F$的大小，使得$H - F$是最小度至少为$h.$的不连通图。令$G$是$r\geq 1$圈的笛卡儿积，每个圈的长度至少为4，令$h$是整数，使得$0\leq h\leq 2r-2$。本文确定了图$G.$的条件$h$ -点连通度和条件$h$ -边连通度，证明了这两个连通度都等于$(2r-h)a_h^r$，其中$a_h^r$是$G.$的最小$h$ -正则子图的顶点数
Flip-connectivity of triangulations of the product of a tetrahedron and simplex
翻转是多面体的两个三角剖分之间的最小移动。一个悬而未决的问题是，两个单形的乘积的任何两个三角剖分是否可以通过一系列翻转连接。Santos在2005年证明了这一点，其中一个单形是三角形。在本文中，我们扩展到当其中一个单纯形是一个四面体。
Connectivity and other invariants of generalized products of graphs
Figueroa-Centeno等人引入了以下有向图的积：设$D$是有向图，$Γ$是一族有向图，使得对每个$F\in Γ$都有$V(F)=V$。考虑任何函数$h:E(D)\longrightarrowΓ$。则积$D\otimes_{h} Γ$是顶点集为$V(D)\times V$和$((a,x),(b,y))\in E(D\otimes_hΓ)$的有向图当且仅当$(a,b)\in E(D)$和$(x,y)\in E(h (a,b))$ .在本文中，我们介绍了无向版本的$\otimes_h$ -产品，这是一个推广的经典直积的图，并在它的动机，我们也恢复了推广的经典字典积的图，是由Sabidussi en 1961年推出。我们研究的连通性和其他不变量的因素。我们还提出了一个新的交叉图，出现在我们的$\otimes_h$ -产品的图的连通性的特点。
On g-Extra Connectivity of Corona-Type Graph Products
本文研究了多种corona型图乘积的g-额外连通性，定义了R_g割集及其最小基数，并推导了边corona、邻域corona等五种图乘积的g-额外顶点和边连通性，为容错网络分析提供了理论支持。
On the edge connectivity of direct products with dense graphs
令$κ'(G)$是$G$的边连通度，而$G\times H$是$G$和$H$的直积。设$H$是一个具有最小度$δ(H)>|H|/2$的任意稠密图.证明了对任意图$G$，$κ'(G\times H)=\textup{min}\{2κ'(G)e(H),δ(G)δ(H)\}$，其中$e(H)$表示$H$中边的个数.此外，还描述了最小割边的结构。作为应用，我们给出了$G\times K_n(n\ge3)$是超边连通的一个充要条件.
A characterization of the edge connectivity of direct products of graphs
图$G=(V(G),E(G))$和$H=(V(H),E(H))$的直积是具有顶点集$V(G\times H)=V(G)\times V(H)$的图，记为$G\times H$，其中如果$x_1x_2\in E(G)$和$y_1y_2\in E(H)$，则顶点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$在$G\times H$中相邻。图$G$的边连通度，记作$λ(G)$，是$G$中最小边割的大小。本文引入了一个函数$ψ$，证明了直积$$λ(G\times H)=\min {2λ(G)|E(H)|,2λ(H)|E(G)|,δ(G\times H), ψ(G,H), ψ(H,G)} .$$的边连通度的公式%，并描述了$G\times H$中每个最小边割的结构。
The $g$-extra connectivity of the strong product of paths and cycles
设$G$是连通图，$g$是非负整数. $G$的$g$ -额外连通性是$G$中顶点集的最小基数，如果它存在，则移除它会断开$G$并使每个组件具有多于$g$的顶点。图$G_1=(V_{1}, E_{1})$和$G_2=(V_{2}, E_{2})$的强积$G_1 \boxtimes G_2$是具有点集$V(G_1 \boxtimes G_2)=V_{1} \times V_{2}$的图，其中两个不同的点$(x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2}) \in V_{1} \times V_{2}$在$G_1 \boxtimes G_2$中相邻当且仅当对于$i=1, 2$为$x_{i}=y_{i}$或$x_{i} y_{i} \in E_{i}$.本文给出了两条路的强积、一条路与一个圈的强积以及两个圈的强积的$g$ -额外连通性。
Monochromatic connectivity and graph products
单色连通性的概念是由Caro和Yuster提出的。边有色图中的路径称为\emph{monochromatic path}，如果路径上的所有边都着色相同。$G$的边着色是\emph{monochromatic connection coloring}（简称$MC$ -着色），如果在$G$中的任意两个顶点之间有一条单色路连接。用$mc(G)$表示的\emph{monochromatic connection number}被定义为在图$G$的$MC$ -着色中使用的颜色的最大数目。本文研究了字典序积、强积、笛卡尔积和直积图的单色联络数，给出了这些积的几个上界和下界。
On the sharp upper and lower bounds of multiplicative Zagreb indices of graphs with connectivity at most k
对于一个（分子）图，第一个乘法Zagreb指标$\prod_1(G) $是每个顶点度的平方的乘积，第二个乘法Zagreb指标$\prod_2(G) $是邻顶点对的度的乘积。在本文中，我们探讨图的（边）连通性。给出了连通度至多为$k$的图的最大值和最小值$\prod_1(G) $和$\prod_2(G) $。此外，还刻画了相应的极图，推广和丰富了一些已知的结论。
Algebraic connectivity of Kronecker products of line graphs
该研究刻画了线图与完全图的克罗内克积代数连通度为m-1的树的特征，给出其为拉普拉斯整图的充要条件，并讨论了两类树对应乘积图的代数连通度。
Connectivity of Kronecker products by K2
令$κ(G)$为$G$的连通性。图$G_1$和$G_2$的克罗内克积$G_1\times G_2$具有点集$V(G_1\times G_2)=V(G_1)\times V(G_2)$和边集$E(G_1\times G_2)=\{(u_1,v_1)(u_2,v_2):u_1u_2\in E(G_1),v_1v_2\in E(G_2)\}$。本文证明了$κ(G\times K_2)=\textup{min}\{2κ(G), \textup{min}\{|X|+2|Y|\}\}$，其中第二极小值取在所有不相交集$X,Y\subseteq V(G)$上，满足（1）$G-(X\cup Y)$有二分分支$C$，（2）对于每个$x\in X$，$G[V(C)\cup \{x\}]$也是二分的.
The multiplicative Zagreb indices of graphs with given connectivity or number of pendant vertices
对于图$G$，第一乘法Zagreb指标$\prod_1(G) $是顶点度的平方的乘积，并且第二乘法Zagreb指标$\prod_2(G) $是邻顶点对的度的乘积。在本文中，我们探讨了图的极值$Π_{1}(G)$和$Π_{2}(G)$的（边）连通性和悬挂点。相应的极图在最多$k$和$p$悬挂点处具有给定的连通性.此外，还提供了$\prod_1(G) $和$\prod_2(G) $的最大值和最小值。我们的结果推广和丰富了一些已知的结论。
Eccentric Connectivity Index of Cartesian product and Strong product of Strongly Connected Digraphs
本文研究强连通有向图的笛卡尔积和强积的偏心连通指数，给出其公式、界及等式条件，并探讨自中心性，推广至多个有向图的积。
Mixed connectivity of Cartesian graph products and bundles
混合连通度是点连通度和边连通度的推广。一个图是$(p,0)$ -连通的，$p>0$，如果图在删除任何$p-1$顶点后仍然是连通的。一个图是$(p,q)$ -连通的，$p\geq 0$，$q>0$，如果它在删除任何$p$顶点和任何$q-1$边后仍然是连通的。笛卡尔图丛是覆盖图和笛卡尔图积的推广图。证明了如果图$F$是$(p_{F},q_{F})$ -连通的，而图$B$是$(p_{B},q_{B})$ -连通的，则基图$B$上带有纤维$F$的笛卡尔图丛$G$是$(p_{F}+p_{B},q_{F}+q_{B})$ -连通的.此外，如果是$q_{F},q_{B}>0$，则$G$也是$(p_{F}+p_{B}+1,q_{F}+q_{B}-1)$连接的。最后，设图$G_i, i=1,...,n,$是$(p_i,q_i)$ -连通的，$k$是具有$q_i>0$的图的个数。笛卡尔图积$G=G_1\Box G_2\Box ... \Box G_n$是$(\sum p_i,\sum q_i)$ -连通的，对于$ k\geq 1$，它也是$(\sum p_i+k-1,\sum q_i-k+1)$ -连通的.
The generalized 3-connectivity of Cartesian product graphs
图的广义连通性是最近由Chartrand等人提出的，是顶点连通性概念的推广。设$S$是$G$的一个非空顶点集，$G$中的树的集合$\{T_1,T_2,...,T_r\}$称为连接$S$的内部不交树，如果对于任何一对不同的整数$i,j$，有$E(T_i)\cap E(T_j)=\emptyset$和$V(T_i)\cap V(T_j)=S$，其中$1\leq i,j\leq r$ .对于具有$2\leq k\leq n$的整数$k$，$G$的$k$ -连通性$κ_k(G)$是最大正整数$r$，对于该最大正整数，$G$至少包含连接$S$的$S$的$k$顶点的任何集合的$S$的$r$内部不相交树。显然，$κ_2(G)=κ(G)$是$G$的连通性。Sabidussi证明了对任意两个连通图$G$和$H$都有$κ(G\Box H) \geq κ(G)+κ(H)$.本文首先研究了图$G$和树$T$的笛卡儿积的3-连通性，证明了$(i)$如果$κ_3(G)=κ(G)\geq 1$，则$κ_3(G\Box T)\geq κ_3(G)$ ; $(ii)$如果$1\leq κ_3(G)< κ(G)$，则$κ_3(G\Box T)\geq κ_3(G)+1$ .此外，对于任何两个连通图$G$和$H$，如果$κ(G)>κ_3(G)$，则$κ_3(G\Box H)\geq κ_3(G)+κ_3(H)$ ;如果…
Connectivity of Double Graphs
图$G$的倍图定义为$\mathcal{D}[G]$ = $G \times T_2$，其中\(T_2\)是2个顶点的全图，$\times$表示图的克罗内克积.本文给出了倍图是最大点连通图、最大边连通图的充分条件。
Strong subgraph 2-arc-connectivity and arc-strong connectivity of Cartesian product of digraphs
设$D=(V,A)$是一个阶为$n$的有向图，$S$是$V$的一个子集，其大小为$k$和$2\le k\leq n$ . $D$的一个强子图$H$称为$S$ -强子图，如果$S\subseteq V(H)$ .一对$S$ -强子图$D_1$和$D_2$称为弧不交的，如果$A(D_1)\cap A(D_2)=\emptyset$ .设$λ_S(D)$是$D$中弧不交$S$ -强子图的最大个数.定义强子图$k$ -弧连通度为$$λ_k(D)=\min\{λ_S(D)\mid S\subseteq V(D), |S|=k\}.$$。参数$λ_k(D)$可以看作是无向图的经典边连通度的推广。本文首先给出了两个有向图$G$和$H$的笛卡儿积$λ(G\Box H)$的弧连通度公式，推广了徐和杨（2006）给出的两个无向图的笛卡儿积的边连通度公式.研究了笛卡儿积$λ_2(G\Box H)$的强子图2-弧连通性，证明了$ \min\left \{ λ\left ( G \right ) \left | H \right | , λ\left ( H \right ) \left |G \right |,δ^{+ } \left ( G \right )+ δ^{+ } \left ( H \right ),δ^{- } \left ( G \right )+ δ^{- } \left ( H \r…
The connectivity of a bipartite graph and its bipartite complementary graph
1956年，Nordhaus和Gaddum用图的阶给出了图与其补图的色数的和与积的上下界.从那时起，图$G$中的一个不变量与$G$的补图$G^c$中的同一不变量的和或积的任何界被称为Nordhaus-Gaddum型不等式或关系。关于连通性的Nordhaus-Gaddum型不等式已经被一些作者研究过。对于一个具有二划分的二部图$G=G[X,Y]$（$X,Y$），它的二部补图$G^{bc}$是一个具有$V(G^{bc})=V(G)$和$E(G^{bc})=\{xy:\ x\in X,\ y\in Y$和$xy \notin E(G)\}$的二部图.本文得到了二部图及其二部补图的连通度的Nordhaus-Gaddum型不等式。此外，我们证明了这些不等式是最好的可能。
A note on connectivity in directed graphs
本文研究无冗余有向图，即删除任意边都会减少可达顶点对数量的图，确定了其最大边数并刻画了极值情况，从而强形式解决了 Crane 和 Russell 的开放问题。
A structure theorem for rooted connectivity in bidirected graphs
本文提出了双向图中以根为起点的连通性的结构定理，并应用该定理证明了Lovász火焰定理、Pym定理以及Menger定理的强变体。
The maximum average connectivity among all orientations of a graph
对于图$G$中的不同顶点$u$和$v$，$u$和$v$之间的{ \em连通性}，表示为$κ_G(u,v)$，是$G$中内部不相交的$u$ - $v$路径的最大数量。$G$的{ \em平均连通性}，表示为$\overlineκ(G),$，是在$G$的所有无序的不同顶点对$u,v$上取得的$κ_G(u,v)$的平均值。类似地，对于有向图$D$，从$u$到$v$的{ \em连通性}（表示为$κ_D(u,v)$）是$D$中内部不相交的有向$u$ - $v$路径的最大数目。$D$的{ \em平均连通性}，表示为$\overlineκ(D)$，是在$D$的不同顶点的所有有序对$u,v$上取得的$κ_D(u,v)$的平均值。图$G$的{ \em方向}是通过向$G$的每条边分配方向而获得的有向图。对于图$G$，令$\overlineκ_{\max}(G)$表示$G$的所有方向之间的最大平均连通度。在本文中，我们得到了在给定的阶和给定的图类中的所有图$G$的$\overlineκ_{\max}(G)$和比率$\overlineκ_{\max}(G)/\overlineκ(G)$的界。只要有可能，我们证明这些界限的清晰度。这个问题以前已经研究过树。我们重点讨论了三次$3$ -连通图、最小$2$ -连通图、$2$ -树和最大外平面图的类别。
The 3-restricted Edge-Connectivity of Strong Product Graphs
研究强积图的3-边连通性，证明G□C_n是最大3-强边连通图，并确定G□K_n的3-强边连通性。
On Linkedness of Cartesian Product of Graphs
研究了图的笛卡儿积的连通性，证明了当图足够大时，$a$ -连通图和$b$ -连通图的积是$(a+b-1)$ -连通图.进一步的界限方面的连通性。我们确定了路的乘积和圈的乘积的连通性。
Connectivity versus Lin-Lu-Yau curvature
本文系统研究图的连通性与Lin-Lu-Yau曲率的关系，证明连通性下界由最小度与曲率乘积给出，并确定正曲率图的边连通性等于最小度，应用于充分正则图。
Extra Connectivity of Strong Product of Graphs
本文研究了图的强积的额外连通性，给出了极大连通正则图强积在$g(\leq 3)$时的额外连通性，并推导出其在$PMC$模型下的条件故障可诊断性。
The Restricted Edge-Connectivity of Strong Product Graphs
本文研究强乘积图的限制边连通度，确定了任意图与路径、圈、完全图的强乘积的限制边连通度，并给出其为极大、超限制边连通图的充分条件。
Strong Subgraph $k$-connectivity
由Hager（1985）提出的广义连通度在无向图中得到了广泛的研究，并成为无向图理论中的一个成熟领域。对于连通性问题，有向图可以被认为是无向图的推广。通过用强连通度代替连通度，将无向图的广义$k$ -连通度自然地推广到有向图（我们称之为强子图$k$ -连通度）.我们证明了NP-完全性结果和多项式算法的存在性。我们证明了强子图$k$ -连通性在某种意义上比广义$k$ -连通性更难计算。而对于半完全有向图和对称有向图，强子图$k$ -连通度可以在多项式时间内计算.我们也给出了强子图$k$ -连通性的精确界，并提出了一些开放的问题。
The 3-restricted edge-connectivity of the direct product graphs
本文研究了直接积图的3-限制边连通度，确定了正则连通图与环图、完全图、总图的直接积的3-限制边连通度，并给出了最大3-限制边连通的充分条件。
On the $l_\infty$-analog of Algebraic Connectivity
本文研究图的代数连通性的$\ell_\infty$类比参数$\gamma(G)$，建立其组合公式、广度优先搜索多项式算法，刻画其与图连通性及$\ell_\infty$-Fiedler向量的关系，推导其界与笛卡尔积公式，得到多类图的显式表达式。
Splitting groups with cubic Cayley graphs of connectivity two
如果$G$是带有合并$A \underset{C}{\ast} B$的自由积或HNN扩展$G=A \underset{C}{\ast} (t)$，则组$G$在子组$C$上拆分。我们调用Bass-Serre理论和分类的所有无限群，承认立方Cayley图的连通性2在分裂的子群。
Bounds for the modified eccentric connectivity index
一个图的修正偏心连通度指数被定义为图的所有顶点上的偏心度与相邻顶点的全次数的乘积之和。这是偏心连通性指数的推广。本文利用图的顶点数、边数、半径、最小度、最大度、总偏心率、第一、第二Zagreb指标、Weiner指标等图的参数，给出了修正偏心连通度指标的上界和下界.
Constructing Internally Disjoint Pendant Steiner Trees in Cartesian Product Networks
Hager在1985年提出了树连通性的概念。对于图$G=(V,E)$和至少两个顶点的集合$S\subseteq V(G)$，\emph{an $S$-Steiner tree}或\emph{a Steiner tree connecting $S$}（或简称\emph{an $S$-tree}）是$G$的这样的子图$T=(V',E')$，其是具有$S\subseteq V'$的树。对于$S$ -Steiner树，如果$S$中每个顶点的度都等于1，则此树称为\emph{pedant $S$-Steiner tree}。两个pedant $S$-Steiner树$T$和$T'$被称为\emph{internally disjoint}，如果$E(T)\cap E(T')=\varnothing$和$V(T)\cap V(T')=S$ .对于$S\subseteq V(G)$和$|S|\geq 2$，\emph{local pedant tree-connectivity} $τ_G(S)$是$G$中内部不相交的$S$-Steiner树的最大数目.对于具有$2\leq k\leq n$的整数$k$，\emph{pedant tree $k$-connectivity}定义为$τ_k(G)=\min\{τ_G(S)\,|\,S\subseteq V(G),|S|=k\}$。本文证明了对任意…
Super connected direct product of graphs and cycles
互连网络的拓扑可以用图$G=(V(G),E(G))$来建模。图$G$的连通度是衡量相应网络可靠性的一个参数。直积是一种重要的图积。本文主要研究图与圈的直积的超连通性。$G$的连通性，用$κ(G)$表示，是最小顶点集$S\subseteq V(G)$的大小，使得$G-S$不连通或只有一个顶点。称图$G$是超连通的，简称为超$κ$，如果每个最小点割都是最小度点的邻域。两个图$G$和$H$的直积，记作$G\times H$，是指具有点集$V(G \times H) = V (G)\times V (H)$和边集$E(G \times H) = \{(u_{1} ,v_{1} )(u_{2} ,v_{2} )|\ u_{1}u_{2} \in E(G), v_{1}v_{2} \in E(H)\}$的图。本文给出了直积$G\times C_{n}$是超连通的几个充分条件，其中$C_{n}$是$n$顶点上的圈.此外，这些充分条件是最好的可能。
New Eccentricity Based Topological Indices of Total Transformation Graphs
图G的偏心连通度是图G中每个顶点的偏心度与度的乘积之和。本文定义了四个新的与偏心连通度有关的不变量，得到了全变换图的上界，它是全图的推广。
Simplicial $q$-connectivity of directed graphs with applications to network analysis
有向图是一种普遍存在的网络模型，它所产生的拓扑空间，如有向旗复合体，已成为应用拓扑学中的有用对象。单形由有向团构成。我们将Atkin的$q$ -连通性理论推广到有向单形的情形。这导致了一个前序，其中单形由共享$q$ -面的单形序列相关，所述面相对于由所选面映射指定的方向。我们利用Alexandroff等价的前序和拓扑空间引入一类新的拓扑空间的有向图，使分配新的同伦类型不同的有向旗复合体所看到的单纯同调。我们进一步介绍了简单路径分析，使连接前序。作为一个应用程序，我们通过计算它们的最长单纯路径来识别各种大脑网络之间的结构差异。
Vertex and Edge connectivity of the zero divisor graph $Γ[\mathbb {Z}_n]$
交换环$R$的零因子图记为$Γ[R]$，是指其顶点是$R$的非零零因子且两个顶点的乘积为零时相邻的图.本文对任意自然数$n$，导出了零因子图$Γ[\mathbb{Z}_n]$的顶点连通度和边连通度.我们还讨论了零因子图$Γ[\mathbb{Z}_n]$的最小度。
On reversing arcs to improve arc-connectivity
本研究聚焦有向图弧连通性提升问题，证明在特定初始弧连通度条件下，仅重定向目标弧集中的一条弧即可保证弧连通性不下降，改进了已有相关研究结论。
Edge-Connectivity versus Lin--Lu--Yau Curvature
该研究系统探究图的边连通度与Lin--Lu--Yau曲率的关系，证明连通图边连通度的下界由最小度、Lin--Lu--Yau曲率与$\frac{3}{2}$的乘积给出，还给出保证正Lin--Lu--Yau曲率的边连通度下界并讨论其尖锐性。
Infinite primitive directed graphs
一个集合$Ω$的置换群$G$是{\em本原}，如果它传递地作用在$Ω$上，并且$Ω$上的唯一$G$不变等价关系是平凡关系和泛关系。一个图$Γ$是{\em本原}的，如果它的自同构群在它的顶点集上连续作用.一个图$Γ$有{\em连通度1}，如果它是连通的，并且存在$Γ$的一个顶点$α$，使得导出图$Γ\setminus \{α\}$不连通。如果$Γ$具有连通性1，则$Γ$的{\em block}是在不具有连通性1的条件下最大的连通子图。连通度为1的本原无向图已被Jung和Watkins完全分类：这类图的块是本原的，两两同构的，至少有三个顶点。然而，当考虑连通度为1的有向本原图的一般情况时，这个结果不再成立。本文研究了这类有向图的结构，得到了一个完整的刻画。
Directed hypergraph connectivity augmentation by hyperarc reorientations
本研究将Ito等人关于无向2k-边连通图定向转换的结果推广到超图，证明无向(k,k)-划分连通超图的任意定向可通过逐次重定向超弧且不降低连通性转化为k-超弧连通定向，并给出多项式时间的组合算法，为Frank等人的超图定向特征结论提供了算法性证明。
Strong connectivity and its applications
有向图广泛应用于各种科学和工程学科中的非对称关系建模。我们讨论了强连通有向图的不变量-最小数量的顶点或边需要删除，使剩余的图不是强连通的。通过与无向图类比，这些不变量被称为强顶点/边连通性。我们回顾这些不变量的一些性质。一些公开的神经科学中使用的连接图的计算结果进行了说明。
Maximum Eccentric Connectivity Index for Graphs with Given Diameter
该研究刻画了给定阶数与直径的连通图中离心连通指数最大的图结构，并进一步给出了固定阶数下该指数最大的图的特征，属于图论与组合数学领域的理论结果。
Connectivity and Giant Component of Stochastic Kronecker Graphs
随机Kronecker图是复杂网络的模型，其中每个边根据固定矩阵k × k矩阵P与[0，1]中的元素的Kronecker（张量）乘积独立存在。本文给出了一般随机Kronecker图的邻接与固定马尔可夫链作用之间的一种新的对应关系。利用这种对应关系，我们能够推广霍恩和拉德克利夫的论点出现的巨组件的情况下，k = 2到任意k。我们也能够使用这种对应关系来完全分析一般的随机Kronecker图的连通性。
Hochschild homology, and a persistent approach via connectivity digraphs
本文提出面向有向图的持久 Hochschild 同调框架，通过连通有向图及其两类构造将同调扩展至更高次数，并给出稳定计算流程与相关理论综述。
Supermodularity in Unweighted Graph Opitimization III: Highly-connected Digraphs
通过推广Hong，Liu和Lai关于简单强连通有向图的度序列的一个结果，给出了简单$k$ -结点连通有向图的度序列的一个刻画.更一般地说，我们解决了有向节点连接增强问题时，增强有向图是度指定的和简单的。在边连通度扩充方面，我们解决了边连通度增加1且扩充有向图必须是简单图的特殊情况。
Shattering, Graph Orientations, and Connectivity
我们提出了两个看似不同的领域之间的连接：VC理论和图论。这种联系产生了VC理论中的基本概念之间的自然对应关系，例如破碎和VC维数，以及与连通性，组合优化，禁止子图等相关的图论中研究充分的概念。在一个方向上，我们使用这个连接来导出图论中的结果。我们的主要工具是Sauer-Shelah引理的推广。利用这个工具，我们得到了一系列与图的方向性质有关的不等式和等式。其中一些结果似乎是新的，对于其他人，我们给新的和简单的证明。在另一个方向，我们提出了新的说明性的例子破碎极值系统-一类集系统的VC理论，其理解被一些作者认为是不完整的。这些例子是从与网络中的距离和流量相关的方向属性中推导出来的。
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