Connectivity and giant component in random distance graphs
已经提出了各种不同的随机图模型，其中图的顶点被视为度量空间的成员，并且顶点之间的边被确定为对应度量空间元素之间的距离的函数。我们在这里提出了一个模型$G=G(X, f)$，其中$(X, d)$是一个度量空间，$V(G)=X$，和$\mathbb{P}(u\sim v) = f(d(u, v))$，其中$f$是一个递减函数的可能的距离在$X$。我们考虑的情况下，$X$是$n\times n \times \dots\times n$整数格的尺寸$r$，与$d$的$\ell_1$度量，和$f(d) = \frac{1}{n^βd}$，并确定了一个阈值的出现巨组件和连接在这个模型。我们比较这个模型与传统的Waxman图。此外，我们详细讨论了2维节点的期望度。
2015-09-11 math.CO math.PR
Connectivity of the k-out Hypercube
本文研究了由$k$ -out模型生成的$n$ -立方体的随机子图的连通性，记为$Q^n(k)$。令$k$为整数$1\leq k \leq n-1$。我们让$Q^n(k)$是通过独立地包括每个$v\in V(Q^n)$的一组$k$不同的边缘，从所有的$\binom{n}{k}$集的不同的边缘，是事件$v$均匀选择生成的图。我们研究了当$k$变化时，$Q^n(k)$的连通性.我们发现，w. h. p. $Q^n(1)$不包含一个巨大的组成部分，即一个组件，跨越$Ω(2^n)$顶点。此后，我们表明，这样的组件出现时$k=2$。此外，巨分量跨越除了$o(2^n)$之外的所有顶点，因此它是唯一的。然后，我们建立在$k_0= \log_2 n -2\log_2\log_2 n $上找到的连接阈值。阈值是尖锐的意义上说，$Q^n(\lfloor k_0\rfloor )$是断开的，但$Q^n(\lceil k_0\rceil+1)$连接w. h. p.此外，我们表明，w. h. p. $Q^n(k)$是$k$ -连接的每一个$k\geq \lceil k_0\rceil+1$。
2017-06-11 math.CO
Critical window for connectivity in the Configuration Model
我们确定的渐近概率的配置模型$\mathrm{CM}_n(\boldsymbol{d})$，以产生一个连通图在其临界窗口内的连通性，确定度1和2的顶点数，以及预期的程度。在这个窗口中，图连通的概率收敛到一个非平凡值，巨分支的补数的大小弱收敛到一个有限的随机变量。在有限的二阶矩条件下，我们还得到了简单性条件下连通概率的渐近性，由此得到了具有给定度序列的简单连通图的渐近数.
2022-04-14 math.CO math.PR
Giant Components in Random Temporal Graphs
本文研究随机时间图中巨型时间连通分量的涌现，证明在 p=log n/n 处存在尖锐阈值，最大分量规模由 o(n) 跃升至 n-o(n)，且适用于开放与闭连通分量。
2023-08-17 cs.DM math.CO
Randomized Near Neighbor Graphs, Giant Components, and Applications in Data Science
如果我们在$[0,1]^d$中均匀地选取$n$随机点，并将每个点连接到它的$k-$最近邻，则众所周知，存在一个具有高概率的巨连通分支。我们证明，在$[0,1]^d$它足以连接到$ c_{d,1} \log{\log{n}}$点随机选择的$ c_{d,2} \log{n}-$最近的邻居，以确保一个巨大的组件的大小$n - o(n)$具有高概率。这种构造产生了一个稀疏得多的随机图，其具有$\sim n \log\log{n}$而不是具有可比连通性的$\sim n \log{n}$边。这一结果对于构建亲和矩阵的数据科学问题具有重要意义：人们通常可以在不牺牲效率的情况下从$k-$最近邻居中挑选$k' \ll k$随机点，而不是挑选$k-$最近邻居。这可以大大简化和加速计算，我们用几个数值例子来说明这一点。
2017-11-13 cs.DM cs.DS math.CO
Component structure of the vacant set induced by a random walk on a random graph
我们考虑几类图上的随机游动，并探讨了空集的可能结构，即未访问顶点的集合。设Γ（t）是由步t的空走集导出的子图。我们证明了对于连通度阈值以上的随机图G_{n,p}和随机正则图G_r，r \geq 3，图Γ（t）经历著名的Erdos-Renyi相变.因此，对于t \leq（1-ε）t^*，存在唯一的巨分支，加上大小为O（log n）的分支，而对于t \geq（1+ε）t^*，所有分支的大小都为O（log n）。对于G_{n,p}和G_r，我们给出了t^* 的值和Γ（t）的大小.对于G_r，我们也给出了Γ（t）的度序列，Γ（t）的巨分支（如果有的话）的大小以及给定大小k=O（logn）的树分支的个数.我们还表明，对于随机有向图D_{n,p}以上的强连通性阈值，有一个类似的有向相变。因此，对于t \leq（1-ε）t^*，存在唯一的强连通巨连通分支，以及大小为O（log n）的强连通分支，而对于t \geq（1+ε）t^*，所有强连通分支的大小都为O（log n）。
2011-03-22 cs.DM cs.DS math.CO
A note on log-concave random graphs
利用广义Orlicz球上的均匀分布确定了一类随机图的连通性阈值，并利用它们的负相关性质给出了这类随机图的连通性阈值.我们还证明了这样的随机图的唯一巨分量的存在性。
2018-06-21 math.CO
Small components in k-nearest neighbour graphs
令$G=G_{n,k}$表示通过根据密度为1的泊松过程将点放置在面积为$n$的正方形中并将每个点与其$k$最近的邻居连接而形成的图。Balister、Bollobás、Sarkar和Walters证明了，如果是$k<0.3043\log n$，那么$G$连通的概率趋于0，而如果是$k>0.5139\log n$，那么$G$连通的概率趋于1。我们证明，在连通性的阈值附近，所有的顶点附近的边界的广场的一部分（唯一的）巨人组成部分。这表明，关于$G$连通性的论点不需要考虑“边界”效应。我们还改进了$G$到$k=0.4125\log n$的连通性阈值的上界。
2011-01-13 cs.CG math.CO math.PR
The graph structure of a deterministic automaton chosen at random: full version
在$k$-字母表上的$n$状态的确定性有限自动机（DFA）可以被看作是具有$n$顶点的有向图，这些顶点都具有精确标记为$k$的出弧（$k$ -出有向图）。1973年Grusho首先证明了在随机$k$ -out有向图中，以高概率（whp）存在从所有顶点可达的线性大小的强连通分支（SCC），即巨人他还证明了巨人的大小遵循中心极限定律。我们发现，在巨星系外的部分，最多只包含几个短的周期，并且大多由重叠的树状结构组成。因此，随机$k$ -出有向图的有向无圈图（DAG）几乎与巨收缩为一个顶点的有向图相同。这些发现导致一个新的，简洁的和独立的证明Grusho的定理。这一工作还包括一些其他的结果，包括巨外部的结构，强连通性中的相变现象，典型距离，以及对简单有向图的推广。
2016-08-09 cs.FL math.CO math.PR
Connectivity of a Family of Bilateral Agreement Random Graphs
针对La和Kabkab提出的双边协议随机图，我们证明了其连通性猜想（k(t)=t log n时t>1连通、t<1不连通），并给出平均度渐近表达式，解决了该图族连通性未被正式分析的问题。
2025-07-08 math.CO math.PR
On the jump of the cover time in random geometric graphs
University of Bonn（波恩大学）；Pontificia Universidad Católica（天主教 Pontificia 大学）
研究超临界d维随机几何图巨分支上简单随机游走的覆盖时间，证明在连通阈值半径处覆盖时间从Θ(n log² n)跳跃到Θ(n log n)。
2026-06-25 math.CO math.PR
Evolution of high-order connected components in random hypergraphs
我们考虑了$k$ -一致超图的高阶连通性，定义如下：两个$j$ -集是$j$ -连通的，如果它们之间有一条边的行走，使得两个连续的边至少相交于$j$的顶点.本文描述了$k$ -均匀二项随机超图$\mathcal{H}^k(n,p)$中$j$ -连通分支的演化.特别是，我们确定的渐近大小的巨大组件后不久，它的出现和建立的阈值，在该$\mathcal{H}^k(n,p)$成为$j$ -连接的概率很高。我们还得到了一个有关的随机超图过程$\{\mathcal{H}^k(n,M)\}_M$的首中时结果-超图成为$j$ -连接的时刻，当最后一个孤立的$j$ -集消失。这推广了超图中图和点连通性的著名结果。
2017-04-19 math.CO math.PR
Sharp vertex connectivity of the Markoff graphs modulo $p$
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Tsinghua University（清华大学）
该研究针对模p的马尔可夫图G_p，证明若其连通则必为2-连通，且对所有足够大的素数p成立，同时指出其非3-连通的最优性，回应了该序列是否为扩张器族的相关问题。
2026-09-04 math.CO math.NT
Rigid partitions: from high connectivity to random graphs
本文引入满足连通性条件的“刚性划分”以建立图的 $d$-刚性新判据，并据此推导高连通图、随机图、随机二部图、伪随机图及稠密图的刚性结果。
2023-12-12 math.CO
The evolution of random reversal graph
随机反转图提供了新的视角，允许研究基因组的连通性以及它们最可能的距离作为反转率的函数。我们的主要结果表明，在$λ_n=1/\binom{n+1}{2}$的随机反转图的结构发生了显着的变化。对于$λ_n=(1-ε)/\binom{n+1}{2}$，随机图由大小至多为$O(n\ln(n))$ a.s.的分量组成。对于$(1+ε)/\binom{n+1}{2}$，出现了唯一的最大组件，大小为$\sim \wp(ε) \cdot 2^n\cdot n$！$ a. s.这个“巨”分量在反转图中更密集。
2010-03-03 math.CO math.PR
Phase transitions on Markovian bipartite graphs - an application of the zero-range process
我们分析了二部多重图的马尔可夫模型的静态巨分支的存在性和大小，其中二部图的一组顶点上的边端的移动是零程过程，另一组顶点上的度是静态的.分析的基础上，由独立变量的近似和Molloy和里德的结果与规定的度序列的图形。通过研究零程凝聚点以下的行为，确定了可能的相图类型。作为一个具体的例子，我们考虑所谓的埃文斯相互作用。特别是，我们检查的临界指数的值，描述的增长的巨人组件的稀释参数控制的连接的值增加到临界阈值以上。严格的分析跨越了大部分的参数空间的模型，正是在点的零范围凝聚。这些结果，补充与蒙特卡罗模拟支持的图表，表明，现象学的朗道理论的渗流图是不打破的波动。
2004-11-25 cond-mat.stat-mech math.CO
On two biased graph processes
在[Amir等人]中，作者考虑Erdens-Rényi随机图过程$G$的推广$\Gor$，其中$\Gor$不是均匀地添加新的边，而是对孤立顶点对之间的缺失边给出大小为1的权重，否则给出大小为$K\in[0,\infty)$的权重。这可以对应于定居点的连接或流行病的传播。作者研究了$\tgor(K)$，作为$K$的函数的巨组分出现的临界时间，并证明了$\tgor=(1+o(1))\frac{4}{\sqrt{3K}}$，使用适当的时间尺度。在这项工作中，我们表明，自然变化的模型$\Gor$有有趣的属性。定义过程$\Gand$，其中大小为$K$的权重被分配给非孤立顶点对之间的边，否则大小为1的权重。我们证明了巨分量阈值的渐近行为对于$\Gand$基本上是相同的，即$\tgand / \tgor$趋向于$\frac{64\sqrt{6}}{π(24+π^2)}\approx 1.47$为$K\to\infty$。然而，对于每个$K>0$，对应的连通性阈值满足$\tcand / \tcor=\max\{{1/2},K\}$。按照[Amir等人]的方法，$\tgand$的特点是奇点的微分方程组，和计算机模拟的两个模型同意的分析结果，以及与渐近分析。在这个过程中，我们回答了以下问题：当一个巨大的组件出现在一个图形过程中，边缘被均匀地选择出所有的边缘事件孤立的顶点，而这样的存在，否则均匀？这对应…
2006-08-03 math.AP math.CO math.PR
