A Categorification of the Spin Representation of $U(\mf{so}(7,\C))$ via Projective Functors
Yongjun Xu, Shilin Yang
本文利用复李代数$\mf{gl}_n$的BGG范畴的某些奇异块和投射函子，研究了$U(\mf{so}(7,\C))$的旋量表示的$n$阶张量幂的范畴化.
The purpose of this paper is to study a categorification of the $n$-th tensor power of the spin representation of $U(\mf{so}(7,\C))$ by using certain singular blocks and projective functors of the BGG category of the complex Lie algebra $\mf{gl}_n$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Categorification of Verma modules and indecomposable projective modules in the category $\mathcal I_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{sl}_2)$ for $\mathfrak{sl}_2$
利用T. T的一个张量积分解定理，对$\mathfrak{sl}_2$的Verma和不可分解投射模进行范畴$\mathcal I_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{sl}_2)$的分类. J.Enright和J.Chuang和R. Rouquier，A. Licata和A. Savage（Hecke代数、有限一般线性群和Heisenberg分类）和M. Khovanov（Heisenberg Algebra and a Graphical Calculus）.
Categorification of a linear algebra identity and factorization of Serre functors
我们提供了一个众所周知的身份从线性代数作为一个同构的三角范畴之间产生的有限维代数的某些函子的范畴解释。因此，我们推出有限维三角代数A的Serre函子在A的平凡扩张代数上的完美复形范畴中，在移位之前，总是提升到适当定义的反射函子的乘积.
Polynomial functors and categorifications of Fock space II
我们通过多项式函子范畴对对称函数代数上的各种Fock空间表示进行了分类。在前传中，我们利用多项式函子对A型仿射李代数的Fock空间表示进行了分类。在目前的工作中，我们继续从更高的表示论的角度研究多项式函子。首先，我们在多项式函子范畴上对海森堡代数的Fock空间表示进行了分类。其次，构造了特征p > 0的域上的多项式函子导出范畴上仿射李代数的交换作用和Heisenberg代数的水平p作用，从而弱范畴化了$\hat{gl}_p$的Fock空间表示.此外，我们还研究了这些交换与Schur-Weyl对偶之间的关系。对偶性被表述为从多项式函子范畴到线性物种范畴的函子。已知线性物种的范畴带有卡茨-穆迪代数和海森堡代数的作用。我们证明了Schur-Weyl对偶是这些范畴化结构的一个态射。
Polynomial functors and categorifications of Fock space
固定一个特征为$p$的无限域$k$，若$p=0$，则$\g$为Kac-Moody代数$\mathfrak{sl}_{\infty}$，否则为$\hat{\mathfrak{sl}}_p$.令$\PP$表示定义在$k$上的严格多项式函子的范畴。我们描述了一个$\g$ -作用在$\PP$（在庄和Rouquier的意义下）分类的Fock空间表示的$\g$。
Categorification of the internal braid group action for quantum groups I: 2-functoriality
该研究在单李型Kac-Moody代数的范畴化量子群上定义2-函子，实现了Grothendieck群层面Lusztig内蕴辫子群作用的范畴化构造。
Categorification of Clifford algebra via geometric induction and restriction
利用几何抛物诱导函子和超群Osp（2m+1，2n）的伴随函子（其中m和n是变化的）对无限维Clifford代数在半无限形式的Fock空间上的作用进行了分类.
A categorification of the Temperley-Lieb algebra and Schur quotients of U(sl(2)) via projective and Zuckerman functors
我们用基本（二维）sl（2）-模的n次张量幂幂来确定sl（n）的某个最高权范畴的奇异块直和的Grothendieck群. U（sl（2））的作用由投射函子给出，Temperley-Lieb代数的交换作用由Zuckerman函子给出.不可分解的投射函子对应于U（sl（2））中的Lusztig标准基。在对偶实现中，基本表示的n阶张量幂被确定为具有最高权类别的抛物块的直和。跨墙平移函子充当Temperley-Lieb代数的生成元，而Zuckerman函子充当U（sl（2））的生成元。
A categorification of the boson-fermion correspondence via representation theory of $sl(\infty)
近年来，人们对玻色子-费米子对应的分类进行了不同方面的研究。本文在有限无限矩阵李代数$sl(\infty)$的张量模范畴的基础上，给出了玻色子-费米子对应的一个分类。我们用$\mathbb T^+$表示“多项式”张量$sl(\infty)$ -模范畴。有一个自然的“创建”函子$\mathcal T_N: \mathbb T^+\to \mathbb T^+$，$M\mapsto N\otimes M,\quad M,N\in \mathbb T^+$。本文的核心思想是利用张量$sl(\infty)$ -模的整个范畴$\mathbb T$来定义对应于$\mathcal T_N$的“湮灭”函子$\mathcal D_N: \mathbb T^+\to \mathbb T^+$.我们表明，允许通过玻色子表达费米子的关系产生的关系在$\mathbb T^+$上的线性内函子复合物的上同调。
Categorifications from planar diagrammatics
讨论了函子和自然变换的图解表示以及双伴随性的优点。然后，我们回顾了图形描述的范畴Soergel双模和图形分类的积极一半的量子群。这些笔记是作者于2009年6月在北海道大学发表的高木讲座的记录。
Towards functor exponentiation
我们考虑一个可能的框架来分类的指数映射exp（-f）给定的分类生成器f的$\frak{sl}_2$的Lauda。在这种设置中，exp（-f）和exp（f）的泰勒展开式变成了由f的分类幂构成的复形。通过将nil-Hecke代数关系与一个附加的“短串”生成元的关系相结合的代数学，给出了范畴化f的张量幂幂之间的Hom空间.所提出的框架只是一个近似的指数分类，因为函子分类exp（f）和exp（-f）是不可逆的。
Whittaker categories, properly stratified categories and Fock space categorification for Lie superalgebras
本文研究I型Lie超代数的Whittaker模范畴，证明其等价于BGG范畴及Harish-Chandra双模奇异范畴的Serre商，并进一步证明这些范畴与Backelin函子一起范畴化了A型量子群的q-对称化Fock空间，其中典范基与倾斜对象、对偶典范基与单对象分别对应。
Tubular cluster algebras I: categorification
本文利用管权型加权射影线上凝聚层范畴的簇范畴对四突变有限簇代数进行了一个范畴化。我们称之为管状的这些簇代数中的每一个都与椭圆根系相关联。我们表明，通过一个集群字符的集群变量是双射与正实舒尔根相关联的加权投影线。在四种情况之一，这是实现的办法，以集群代数的Fomin-夏皮罗-瑟斯顿使用2球4标记点，而在其余情况下，它是由办法的Geiss-Leclerc-Schroer使用预投射代数。
Categorification of quantum Kac-Moody superalgebras
引入了一个非退化的双线性型，并利用它给出了无迷向奇单根的量子Kac-Moody超代数的一个新刻画.利用Ellis Khovanov Lauda最近的工作，我们证明了Kang Kashiwara Tsuchioka引入的自旋Hecke代数提供了量子Kac Moody超代数的一半的分类。这里的一个新想法是，超级符号被归类为自旋（即，parity-shift functor）。
On Diagrammatic Categorification of Verma Modules I: Braiding
本文通过图解双模的导出张量积范畴化 Verma 模的 R-矩阵，构造辫子函子并证明辫群作用，为纽结补空间建立 Khovanov 同调，并与环形 Khovanov 同调比较。
Categorification of based modules over the complex representation ring of $S_4$
该研究对对称群$S_4$复表示环上秩≤5的不可约有基模分类，得到16个不等价模，并基于此探讨了由子群射影表示诱导的模范畴实现的有基模范畴化问题。
On functors preserving projective resolutions
控制（极小）投射分解在各种函子下的行为对于同调代数在表示论中的应用是很重要的。在这篇文章中，我们描述了三个广泛的家庭函子，保持这样的决议。我们将在Schur代数的表示论的工作中使用这些结果。
Stable functors of derived equivalences and Gorenstein projective modules
从具有足够投射对象的阿贝尔范畴的有界导出范畴之间的某些三角形函子（称为非负函子）出发，引入了它们的稳定函子，它们是阿贝尔范畴的稳定范畴之间的某些可加函子.该建筑概括了胡和习以前的工作。证明了非负函子的稳定函子具有良好的正合性，并且与函子的合成相容。这使我们能够方便地比较由稳定函子链接的对象的同调性质。特别地，我们证明了两个任意环之间的导出等价的稳定函子提供了Gorenstein投射模的稳定范畴之间的显式三角等价。这推广了Y.加藤我们的结果也可以用来提供一些已知的同调代数结果的更短的证明。
Categorification of Lie algebras [d'apres Rouquier, Khovanov-Lauda]
给定一个具有半单李代数作用的向量空间，我们可以尝试“分类”这个表示，这意味着找到一个范畴，其中李代数的生成元通过函子作用。这样的范畴表示自然出现在几何表示论和对称群的模表示论中。Rouquier和Khovanov-Lauda提出了一个研究范畴表示的框架。他们的定义是代数/图解，但连接到拓扑结构的random品种的工作Rouquier和Varagnolo-Vasserot。在本文中，我们给出了一个调查上述思想圈。
Categorification of a parabolic Hecke module via sheaves on moment graphs
我们调查某些类别，相关的Fiebig与几何表示的Coxeter系统，通过层Bruhat图。我们修改Fiebig的平移函子的定义，以便将其扩展到奇异设置，并使用它来分类抛物Hecke模。作为应用，我们利用相应的Bruhat图的结构代数上的不可分解特殊模，得到了范畴$\mathcal{O}$（变形版本）的（截断）非临界奇异块的不可分解投射对象的组合描述.
Towards a categorification of scattering amplitudes
本文给出了多项式势标量场理论中平面费曼图的散射振幅的分类。立方理论的振幅直接用中间$t$的心的投影来写下来--结构限于颤动表示的簇类别，而不求助于几何。它表明，理论与$ϕ^{m+2}$潜在的那些对应于$m$ -集群类别被使用。一般多项式潜力的情况下处理，我们的结果表明存在一个更高的集群类别，我们称之为伪周期范畴的推广。给出了一种算法来获得这些类型的中间$t$ -结构的心的投影。
Categorification and Heisenberg doubles arising from towers of algebras
代数塔上的有限生成模和有限生成投射模范畴的Grothendieck群可以被赋予（余）代数结构，在许多感兴趣的情况下，这些代数结构会产生一对对偶的霍普夫代数。此外，给定一对对偶霍普夫代数，可以构造一个称为海森堡对偶的代数，它是经典海森堡代数的推广。本文的目的是研究海森堡双打所产生的塔代数以这种方式。首先，我们发展了这种海森堡二重的基本表示论，并证明了如果归纳和限制满足Mackey同构，那么海森堡二重的Fock空间表示具有自然的范畴化。这统一了Weyl代数的多项式表示和Heisenberg代数的Fock空间表示的现有的简化。其次，我们详细地发展了应用于0-Hecke代数的塔的理论，得到了新的类海森堡代数，我们称之为拟海森堡代数。作为推广的Stone-von Neumann定理的一个应用，我们给出了拟对称函数环在对称函数环上自由的一个新的证明。
A categorification of finite-dimensional irreducible representations of quantum sl(2) and their tensor products
本文研究sl（2）的量子群的有限维模的张量积的展开。利用复李代数gl（n）的某些Harish-Chandra双模得到了主要的分类.对于单模的特殊情形，我们自然地推出了一个通过某些旗簇的上同调环上的模的范畴化。进一步讨论了它与Steinberg簇的关系和几何代数。我们还给出了一个范畴版本的量化Schur-Weyl对偶和解释的（对偶）典型基地和（对偶）标准基地的投射，倾斜，标准和简单的Harish-Chandra双模。
Simple transitive $2$-representations of some $2$-categories of projective functors
证明了与树相关联的预投射代数的二次对偶的商为一定的条件下，投射函子的$2$ -范畴的每个简单传递$2$ -表示等价于胞腔$2$ -表示.
A categorification of the Malvenuto--Reutenauer algebra via a tower of groups
用代数塔的模（或者更好地用群塔的表示论）来分类组合霍普夫代数有着悠久的传统。从组合学的观点来看，这样的分类提供了规范基、内积和证明正性结果的自然途径。超特征标理论的最新思想使得将群塔的表示论塑造成一个霍普夫结构变得更加容易。本文将这一程序应用于Malvenuto-Littenauer霍普夫代数。特别是，我们设计函子的表示论的塔的$p$ -群，实现了Hopf结构的Malvenuto--Alternauer代数的方式，其著名的基本基础对应于一个超特征的基础。
Categorification via blocks of modular representations for sl(n)
Bernstein、Frenkel和Khovanov构造了$\mathfrak{sl}_2$的标准表示的张量积的范畴化，其中他们使用范畴$\mathcal{O}$的奇异块来表示$\mathfrak{sl}_n$和平移函子。在这里，我们构建了一个积极的特征模拟使用块的表示$\mathfrak{sl}_n$在一个字段$\textbf{k}$的特征$p$与零Frobenius字符，奇异Harish-Chandra字符。我们发现，上述分类承认Koszul分次电梯，这是相当于一个几何分类构造的Cautis，Kamnitzer和Licata使用相干层的余切丛Grassmanians。特别是，后者承认一个阿贝尔细化。关于这个阿贝尔细化，分层向井触发器诱导一个反常等价的导出范畴互补格拉斯曼。这是一个更大的项目的一部分，给一个组合的方法，Lusztig的代数表示的李代数的积极特征。
Categorification of Wedderburn's basis for \mathbb{C}[S_n]
M. Neunh{<$}ffer在\cite{Ne}中研究了$\mathbb{C}[S_n]$的某个基础，其起源于\cite{Lu}，并表明这个基础实际上是Wedderburn的基础。特别地，在此基础上，$S_n$的右正则表示分解为不可约表示的直和（即Specht或细胞模块）。在本文中，我们重新发现了本质上相同的基础与一个范畴的起源来自投射-内射模在某些子范畴的BGG-范畴$\mathcal{O}$。在我们的论证中，占主导地位的投射模在这些范畴中扮演着重要的角色。作为一个双积的研究，这个占主导地位的投射模块，我们表明，{ \it Kostant的问题}（\cite{Jo}）有一个否定的答案，一些简单的最高权模块的李代数$\mathfrak{sl}_4$，这反驳了一般的信念，Kostant的问题应该有一个肯定的答案，所有简单的最高权模块的类型$A$。
From Gorenstein derived equivalences to stable functors of Gorenstein projective modules
本文主要将Gorenstein导等价与Gorenstein投射模的稳定函子联系起来。特别地，我们证明了CM-有限代数A和B之间的Gorenstein导出等价可以在因子范畴A-mod/A-Gproj和B-mod \B -Gproj之间诱导出一个稳定函子.此外，当A和B是Gorenstein时，上述稳定函子是等价的。
Parabolic projective functors in type A
我们将BGG范畴$\mathcal{O}$的Rocha-Caridi抛物型的正则块上的投射函子分类为$A$型.事实上，我们表明，在类型$A$，限制的一个不可分解的投射函子从$\mathcal{O}$的抛物范畴是不可分解的或零。因此，我们得到了在$A$型中的抛物范畴$\mathcal{O}$上的投射函子在同构之前完全由它们在Grothendieck群水平上诱导的线性变换所决定，而Grothendieck群是由Stroppel在\cite{St}中证明的.
Projective-injective modules, Serre functors and symmetric algebras
我们描述了与半单复李代数相关的范畴O的Serre函子。在我们的方法中，投射-内射模起着重要的作用。他们控制的塞尔函子的情况下，一个准遗传代数具有双重中心化财产的对称代数。作为双中心化子性质和我们对Serre函子的描述的应用，我们证明了Khovanov关于sl_n的抛物范畴O中投射-内射模的三个定理.
Moduli Space of Sheaves and Categorified Commutator of Functors
通过稳定层四重模空间的两种交截理论描述，构建了Schiffmann-Vasserot和Neguţ在代数曲面稳定层模空间Grothendieck群上量子环面代数作用的弱范畴化。
Projective and Whittaker functors on category $\mathcal{O}$
本文证明了半单复李代数 BGG 范畴 $\mathcal{O}$ 正则块上的 Whittaker 函子可由平移至墙函子与 Soergel-Miličić 等价复合得到，并证明它是与所有投射函子及其自同态交换的商函子。
Applying projective functors to arbitrary holonomic simple modules
本文证明投影函子作用于完整简单模会产生含有限长度本质半单子模的模，并据此刻画李超代数完整简单超模的诱导商结构。
Simple transitive 2-representations for two non-fiat 2-categories of projective functors
证明了$\Bbbk(\xymatrix{\bullet\ar[r]&\bullet})$的代数和$\Bbbk(\xymatrix{\bullet\ar[r]\ar@/^/@{.}[rr]&\bullet\ar[r]&\bullet})$的代数的投射内函子的$2$-代数的任何简单传递$2$-表示等价于胞腔$2$ -表示.
On uniqueness of tensor products of irreducible categorifications
本文提出张量积范畴化的公理化定义，证明其在标准分层条件下具有唯一性，并给出晶体实现及经典表示论中的例子。
Simple transitive $2$-representations of left cell $2$-subcategories of projective functors for star algebras
本文研究了星代数上投射函子的$2$ -范畴的某些$2$ -子范畴的单传递$2$-表示.我们表明，在最简单的情况下，这是与Dynkin型$A_2$，简单的传递$2$ -表示分类的细胞$2$ -表示。在一般情况下，我们猜想存在许多简单的传递$2$ -表示，而不是细胞$2$ -表示，并为我们的猜想提供了一些证据。
Simple and projective correspondence functors
一个对应函子是一个从有限集范畴到$k$ -模范畴的对应函子，其中$k$是一个交换环。我们精确地确定哪些简单对应函子是投射的。此外，我们分析了这种简单的投射函子内的对应函子$F$与有限格的出现，我们推导出的直和分解$F$。
A categorification of representations of $U_q(\mathfrak{gl}_{1|1})$
本文通过构造格拉斯曼流形上向量丛全空间的导出范畴及 Fourier-Mukai 函子，将量子群 $U_q(\mathfrak{gl}_{1|1})$ 在张量积上的作用范畴化。
On the projective dimensions of Mackey functors
研究了Mackey函子和上同调Mackey函子的投射维数.证明了在特征为$p$的域上，上同调Mackey函子是Gorenstein的当且仅当Sylow $p$ -子群是循环的或二面体的，并且它们具有有限的整体维数当且仅当群阶可逆或Sylow子群是2阶循环的.相反，我们证明了域上唯一的有限投射维数的Mackey函子是投射的。这使得我们能够给出Greenlees关于戴德金整环上Mackey函子的投射维数的一个定理的新证明.最后，我们完成了Arnold关于$\ZZ$上的上同调Mackey函子的整体维数的工作.
Knot invariants and higher representation theory II: the categorification of quantum knot invariants
我们构造了纽结不变量，对量子群的所有表示的量子纽结变量进行了分类。我们表明，这些不变量与以前定义的Khovanov sl（2）和sl（3）和Mazenuk-Stroppel和Sussan sl（n）的不变量相吻合。我们的方法使用了Kac-Moody代数和量子群的张量积表示的简化，构造了本文的一个前传。这些类别是基于Khovanov和Lauda的图像方法。在本文中，我们证明了这些范畴是由对应于量子群表示之间的辫子和（共）评价映射的函子联系起来的。正如这些映射可以用来定义附着在任何缠结上的量子不变量一样，它们的量子化也可以用来定义纽结同调。
Biadjointness in cyclic Khovanov-Lauda-Rouquier Algebras
证明了量子群的不可约最高权模通过分圆Khovanov-Lauda-Rouquier代数的范畴化中出现的单根函子E和F是双伴随对.
Coinduction functor in representation stability theory
研究了FI-模范畴及其变体上的余诱导函子。利用余归纳函子，我们给出了FI-模同调性质的各种结果的新的和更简单的证明。我们还证明了特征为0的域上的任意n-生成投射VI-模都是内射的。
Frobenius functors and Gorenstein homological properties
证明了阿贝尔范畴之间的任何忠实Frobenius函子都保持对象的Gorenstein投射维数。因此，它保留并反映Gorenstein投射对象。给出了Frobenius函子保持Gorenstein投射对象的稳定范畴、奇异范畴和Gorenstein亏范畴的条件.在附录中，我们给出了如下已知结果的直接证明：对于一个具有足够多投射和内射的阿贝尔范畴，它的整体Gorenstein投射维数与整体Gorenstein内射维数一致。
Semisimplifying categorical Heisenberg actions and periodic equivalences
本文通过半简化函子构造多种函子，细化Brauer构造并范畴化Glauberman对应，在退化范畴海森堡作用中实现周期等价，并全局化Henke-Koenig等价，进而推导对称群模表示的分支性质。
TQFT with corners and tilting functors in the Kac-Moody case
我们研究投影函子（即直接求和的组合物的翻译通过墙壁）的抛物线版本的$\cO$，以及在对称化的卡茨-穆迪的情况下的临界超平面外的积分规则块。事实证明，在这两种情况下，函子完全由它们对由“全投射倾斜”对象（的极限）生成的加法范畴的限制决定。我们描述了如何在抛物设置投影函子产生的不变量的纠缠协边，并制定了一个直接连接到Khovanov同源性。然而，我们的主要结果是在Kac-Moody情形下不可分解投射函子的分类定理，验证了F.马利科夫和我。弗伦克尔
Completions of Grothendieck groups
对于某一类阿贝尔范畴，我们证明了如何理解无限投射分解（或者更一般地说，某些只在上面有界的链复形）的“欧拉示性数“，通过传递到Grothendieck群的一个适当的完备化。我们还证明了右正合函子（或其左导出函子）诱导这些完备Grothendieck群的连续同态，并讨论了来自范畴化的例子和应用。
The Parity of Lusztig's Restriction Functor and Green's Formula
本文的研究基于三个重要结果。(1)在[12]中，Ringel引入了有限域上一个代数的表示的Hall代数，并证明了对应于简单表示的元素满足量子Serre关系。这就给出了量子群的幂零部分的一个实现，如果量子群是有限型的。(2)在[4]中，Green找到了Ringel Hall代数的表示范畴的同调公式，并给Ringel Hall代数配备了一个余乘。由简单表示生成的Hall代数的合成子代数的一般形式实现了任何类型的量子群的幂零部分。(3)在文献[9]中，Lusztig定义了旗簇上的常数层的直接象中出现的表示簇上的反常层的归纳函子和限制函子，并在他的归纳函子和限制函子之间找到了一个公式，该公式给出了量子群的代数同态的余乘。本文证明了这个公式对所有具有Weil结构的半单复形都成立。这就建立了格林公式的分类。
Covariant functors commuting with direct limits
本文研究了协变右正合函子与直极限交换的条件，证明了若函子与投射模的直极限交换，则其与所有直极限交换。
Tensor functors between Morita duals of fusion categories
给定一个融合范畴$\mathcal{C}$和一个不可分解的$\mathcal{C}$ -模范畴$\mathcal{M}$，$\mathcal{M}$的$\mathcal{C}$ -模内函子的融合范畴$\mathcal{C}^*_\mathcal{M}$称为$\mathcal{C}$关于$\mathcal{M}$的（森田）对偶融合范畴。我们描述了两个任意的双$\mathcal{C}^*_\mathcal{M}$和$\mathcal{D}^*_\mathcal{N}$之间的张量函子的数据相关的$\mathcal{C}$和$\mathcal{D}$。我们将结果应用于融合范畴和群论融合范畴的$G$ -等变分。我们描述的轨道上的一组模块类别的Brauer-Picard组的行动，我们提出了一个分类的Rosenberg-Zelinsky序列的融合类别。
Projective Dimensions in Cluster-Tilted Categories
研究函子Hom（-，X）到三角范畴C的逆变有限刚性子范畴T的限制的投射维数.证明了Hom（-，X）的投射维数|T至多是1当且仅当T[1]中的对象之间不存在通过X分解的非零态射，当对象X属于C的适当子范畴时。由此，我们得到了C的簇倾斜子范畴上的由反变函子表示的范畴中无限投射维数对象的一个刻画。
Serre functors for Lie superalgebras and tensoring with $S^{\mathrm{top}}(\mathfrak{g}_{\overline{1}})$
本文证明了拟约化有限维李超代数抛物型BGG范畴中Serre函子在投射-内射模上的作用等价于与奇部对称幂顶端分量作张量积，并据此判定所有奇异李超代数中该子范畴何时对称。
Knot invariants and higher representation theory I: diagrammatic and geometric categorification of tensor products
本文研究了2-量子群（在Rouquier和Khovanov-Lauda意义下）的2-表示，它们是不可约表示的张量积的范畴.我们的目标是构建结的同源性分类Reshetikhin-Turaev不变量的任意表示，这将在后续文件中完成。我们考虑这些类别的代数结构，通过明确的图解表示，推广分圆商的Hecke代数。我们的主要结果之一是，当两者都被定义时，这些类别是一致的。我们还研究了这些类别的更精细的结构。像许多类似的表示论范畴一样，它们是标准分层的，并且关于它们的自对偶模满足双中心化子性质。分层的标准模扮演着重要的角色，正如Vermas在更经典的表示论中所做的那样，作为函子的测试对象。这些表示的存在对以前研究的代数代数的结构有影响;它使我们能够证明Khovanov和Lauda的2-范畴在所有可对称化类型中的非退化性（其Hom空间具有期望的维数），并且分圆的Hecke代数是对称的Frobenius。
Tensor product of the Fock representation with its dual and the Deligne category
我们描述了sl（\infty）的基本Fock表示的张量积及其移位对偶的结构.更确切地说，我们证明了这个张量积有一个唯一的下降过滤简单的双折射。我们使用的范畴化的表示通过平移函子的阿贝尔包络的Deligne范畴GL（t）的整数t。我们还计算了标准和倾斜物体在这个阿贝尔包络的尺寸。
Positivity and the canonical basis of tensor products of finite-dimensional irreducible representations of quantum sl(k)
在量子sl（k）的基本表示的张量积通过最高权范畴的范畴化中，不可分解的倾斜模下降到正则基。由于投射函子将倾斜模映射到倾斜模，有限维不可约表示的张量积在Chevalley生成元作用下的正则基的系数为正.
Asymptotic behaviors of representations of graded categories with inductive functors
本文通过引入归纳函子，推广了$\mathrm{FI}$ -模的移位函子的重要性质，描述了一种归纳机制，研究了交换诺特环$k$上某些分次组合范畴的表示的同调群及其相关不变量的渐近行为.特别地，得到了这些范畴的非线性生成表示的Castelnuovo-Mumford正则性有限的一个充分判据.作为应用，我们证明了在表示稳定性理论中出现的几个重要的无限组合范畴都具有归纳函子，从而保证了它们的归纳生成表示的Castelnuovo-Mumford正则性的有限性.我们还证明了这些范畴的截断表示具有由相对投射模的线性极小归结，当$k$是特征为0的域时，这些线性极小归结就是线性极小投射分解.
Constructing cogenerators in triangulated categories and Brown representability
对于一个三角范畴的产品，我们开发了一种方法，用于构建一个很好的一套cogenerator，使我们能够证明一个正式的标准，以满足布朗表示的共变函子。我们应用这个准则证明了从小范畴到模范畴的函子范畴中的投射模的同伦范畴和投射对象的同伦范畴都满足这种可表示性。特别地，投射复形的同伦范畴满足共变函子的布朗表示性。
Parity Sheaves and Smith Theory
设$p$是一个素数，$X$是一个作用为$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$的复代数簇。我们发展了等变可构造导出范畴$D^b_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}(X,\mathbb{Z}_p)$在一定$2$ -周期局部化中的宇称复形理论。在某些假设下，我们用它来定义一个函子，从$X$上的奇偶层范畴到不动点轨迹$X^{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}$上的奇偶层范畴。这可以被认为是斯密理论的一种分类。当$X$是某个复约化群的仿射Grassmannian时，我们的函子给出了M最近定义的Frobenius-压缩函子的一个尺规作图法. Gros和M.金田通过几何佐竹等价。
Deconstructing Auslander's formulas, I. Fundamental sequences associated with additive functors
该研究针对加法函子构造长正合序列，半正合函子所得序列正合，一般函子非平凡同调可能仅在导出函子处。专门针对有限表现模上的Hom和张量积函子恢复奥斯特兰德公式，结果适用于任意环和模，还得出任意复形同调与上同调的通用系数定理。
Positive and negative extensions in extriangulated categories
我们在外三角范畴的背景下开始了对导出函子的研究。通过使用coends，我们适应米田的理论，更高的扩展到这个框架。我们表明，当有足够的投射或足够的内射，因此定义的扩展同意与先前定义的通过投射或内射决议。对于有足够多投射态射或足够多内射态射的范畴，我们证明了它们是$\operatorname{Hom}$ -双函子的右导出函子。由于$\operatorname{Hom}$在每个参数中仅是半精确的，因此很自然地期望“负扩展”，即其左导出函子存在而不一定消失。我们定义负扩展相对于第一个和第二个参数，并表明，它们产生普遍的$δ$ -函子，当有足够的投射或内射态射，分别。总的来说，它们是不平衡的。然而，对于拓扑extriangulated范畴，存在一个平衡版本的负扩展如下结合工作的Klemenc的确切$\infty$ -范畴的结果的第二和第三作者。我们讨论了各种标准下，一个平衡的上述双函子的函或数值水平。这种情况发生，特别是在案件的确切或三角范畴，也在案件的范畴的$n$ -长期复杂的投射组件在有限维代数。给定一个外三角范畴$(\mathcal{C},\mathbb{E},\mathfrak{s})$上的连通函子序列，确定了该序列是$δ$ -函子的最大相对外三角结构.我们还找到了几个等价的标准存在足够的投射或内射态射在一个给定的外三角范畴。
Applications of mutations in the derived categories of weighted projective lines to Lie and quantum algebras
设$\rm{coh}\mathbb{X}$是加权射影线$\mathbb{X}$上的凝聚层范畴，$D^b(\rm{coh}\mathbb{X})$是它的有界导出范畴.本文主要研究附着在某些线丛上的$D^b(\rm{coh}\mathbb{X})$中产生的左右突变函子。作为应用，我们首先表明，这些突变函子产生简单的反射的Weyl群的星形的$Q$与$\mathbb{X}$。通过进一步处理$\mathbb{X}$的Ringel-Hall代数，我们证明了这些函子为与$Q$相关的Kac-Moody代数$\frak{g}_Q$的Tits自同构以及${\frak g}_Q$的量子包络代数的Lusztig对称性提供了实现.
On adjoint functors of the Heller operator
给定一个具有足够射影的阿贝尔范畴A，我们可以构成它的稳定范畴_A_：= A/Proj（A）$。Heller算子Omega：_A_ -> _A_在对象X上的特征在于选择A中的短正合序列Omega X -> P -> X，其中P是射影的。如果A是弗罗贝纽斯，那么Ω是等价的，因此有一个左伴随和一个右伴随。如果A是遗传的，那么Ω是零，因此有一个左伴随和一个右伴随。一般来说，Ω既不是等价的，也不是零。在我们通过Magma计算的例子中，它有一个左伴随，但一般没有右伴随。如果A有投射覆盖，则Ω保持单态;这也可以从Ω有一个左伴随得出。我不知道哪一个例子是Ω没有左伴随的。
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