Module categories for finite group algebras
Dave Benson, Srikanth B. Iyengar, Henning Krause
这篇综述文章的目的是作为一个介绍最近的范畴分类定理的三位作者，限制到特殊情况下的范畴的模块有限群。
This survey article is intended as an introduction to the recent categorical classification theorems of the three authors, restricting to the special case of the category of modules for a finite group.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Some categories of modules for toroidal Lie algebras
在本文中，我们使用基本的形式变量技术来研究某些类别的模的环面李代数$τ$。更具体地说，我们利用生成函数定义并研究了$τ$ -模的两个范畴$\mathcal{E}_τ$和$\mathcal{C}_τ$，其中证明了$\mathcal{E}_τ$包含求值模，而$\mathcal{C}_τ$包含某些限制性$τ$ -模、求值模及其张量积模.进一步，我们将不可约可积模分类到范畴$\mathcal{E}_τ$和$\mathcal{C}_τ$中.
Realizing orbit categories as stable module categories - a complete classification
我们对Dynkin图的路代数的三角轨道范畴进行了分类，这些三角轨道范畴与表示有限自内射标准代数的稳定模范畴是三角等价的。对于每个三角化轨道范畴T，我们给出了一个表示有限的自内射标准代数的明确描述，该标准代数具有与T等价的稳定模范畴三角形。
Decomposition of torsion pairs on module categories
本文推广了扭偶的概念，并研究了扭偶的结构。作为求取全部挠对的尝试，我们利用投射模和内射模对挠对进行分解。然后我们计算了代数Kan和tub范畴上的挠对。最后，我们试图找到有限维遗传代数模范畴上的所有扭对。
Cycle-finite module categories
本文描述了代数闭域上有限维代数的模范畴的结构，其中不可分解的有限维模之间的非零非同构的圈是有限的（不属于模范畴的无限Jacobson根）.此外，这些模范畴的几何和同调性质的表现。
Extension Fullness of the Categories of Gelfand-Zeitlin and Whittaker Modules
证明了有限维半单复代数$\mathfrak{g}$的$\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}_n$的Gelfand-Zeitlin模和与之相关联的Whittaker模的范畴在所有$\mathfrak{g}$ -模的范畴中是扩张满的.这是用来估计，并在某些情况下，确定整体尺寸的块的类别的Gelfand-Zeitlin和惠特克模块。
Realising higher cluster categories of Dynkin type as stable module categories
本文证明了树类为A_n，D_n，E_6，E_7或E_8的有限表示型自内射代数的稳定模范畴与对应Dynkin型的u-簇范畴是三角等价的。证明依赖于Keller和Reiten的u-簇范畴的“森田”定理，以及Dugas最近对稳定模范畴的卡-丘维数的计算。
Whittaker categories and strongly typical Whittaker modules for Lie superalgebras
通过对李代数的类似构造，我们定义了有限维单李超代数的Whittaker模和Whittaker范畴。结果包括一个分解的Whittaker类别的李超代数根据一个适当的子超代数的行动;和，对于基本的经典李超代数的I型，强典型的简单的Whittaker模块的描述。
The Extension dimension of syzygy module categories
本文研究Artin代数关联的投射模同调范畴的延伸维度，证明在足够大的i时，衍生等价代数的i-投射模同调范畴具有相同的延伸维度，并且该维度在稳定等价和可分离等价下保持不变。
Fundamental domains of cluster categories inside module categories
设$H$是代数闭域上的有限维遗传代数，$\mathcal{C}_{H}$是相应的簇范畴.给出了$\mathcal{C}_{H} $在有界导出范畴$\mathcal{D}^{b}(H)$中的（标准）基本区的一个描述，以及在适当的倾斜代数$% Γ.$上有限生成模范畴$\modΓ$中的团倾斜对象的一个描述.
Degenerations for derived categories
我们提出了一个理论的退化派生模范畴，类似于退化模品种的模范畴。特别是我们定义了两种类型的退化，一个代数和其他几何。我们表明，这些是等价的，类似于黎曼Zwara定理的模品种。应用倾斜复形，特别是任何两项倾斜复形是由它的分次模结构。
Combinatorics of infinite rank module categories over finite dimensional $\mathfrak{sl}_3$-modules in Lie-algebraic context
本文研究有限维 $\mathfrak{sl}_3$-模幺半范畴作用于任意单模时产生的传递模范畴，确定其组合结构，并得到一族八个图作为经典无限 Dynkin 图的 $\mathfrak{sl}_3$-推广。
Infinite rank module categories over finite dimensional $\mathfrak{sl}_2$-modules in Lie-algebraic context
本文研究复李代数 $\mathfrak{sl}_2$ 有限维模范畴上无限秩单传递模范畴的局部有限实现，证明六个无限 Coxeter 图中五个可实现而 $B_\infty$ 型不可实现，并描述了相关子范畴。
Simple-minded systems in stable module categories
利用正交性和生成性质定义了稳定模范畴中的简单模系统，使得简单模在一个稳定等价下的象形成这样的系统。头脑简单的系统被证明是不变的稳定等价下，因此所有头脑简单的系统的集合是一个稳定的模范畴的不变量。简单的头脑系统的几类代数的描述和连接的Auslander-Reiten猜想指出。
Homotopy categories of injective modules over derived discrete algebras
研究了有限维代数导出范畴为离散的$A$上所有内射模的同伦范畴$ K(\Inj A)$.对任意根式平方零自内射代数$A$给出了$ K(\Inj A)$不可分解对象的分类.特别地，每个不可分解的对象都是有穷的。
Dg algebras with enough idempotents, their dg modules and their derived categories
我们发展了幂等元充分的dg代数及其dg模的理论，并证明了它们与小dg范畴及其dg模的等价性。引入dg伴随的概念，并证明了结合酉代数上模的经典共变张量-Hom和逆变Hom-Hom伴随可推广为dg双模范畴之间的dg伴随.研究了相应的三角剖分函子，并研究了当它们是双函子的单侧部分时，它们对两个变量都是三角剖分的。最后，我们证明了，对于具有足够幂等元的dg代数，完美左和右导出范畴是彼此对偶的。
Whittaker categories for the Virasoro algebra
本文建立在早期的工作，其中作者描述了惠特克模块的Virasoro代数。利用Batra和Mazorchuk的框架，本文研究了一类包含Whittaker模的Virasoro代数模。本文的结果包括简单模范畴的分类和某些诱导模的描述，这些诱导模是简单Whittaker模的自然推广。
Stratification for module categories of finite group schemes
对正特征域上有限群概型的稳定模范畴（包括无限维）的张量理想局部化子范畴进行了分类.给出了关于稳定模范畴的结构以及在约束和归纳下支撑和上支撑的行为的各种应用。
Categories of modules given by varieties of p-nilpotent operators
对于特征p>0的代数闭域k上的有限群概型G，我们研究了G-模M，G-模M是根据G的p-点的拉回性质定义的.我们证明了相应的子范畴强依赖于G的结构。本文的第二部分从Auslander-Reiten理论的角度讨论了Carlson-Friedlander-Suslin最近关于等象模子范畴的工作。
Module categories for group algebras over commutative rings
本文给出了任意交换环k上有限群G的稳定模范畴的一个适当形式。构造的目的是产生一个紧生成的三角范畴，它的紧对象是可表示的KG-模。其主要思想是形成一个本地化的通常版本的稳定模范畴的过滤colimits的弱内射模。弱内射KG-模的同伦范畴也有类似的版本，KG-模的稳定范畴、同伦范畴和导出范畴也有类似的版本。
Auslander-Reiten theory via Nakayama duality in abelian categories
本文通过Nakayama对偶性在abelian范畴中研究Auslander-Reiten理论，探讨了几乎分裂序列的存在性及在不同模块范畴中的应用。
On the module categories of generalized preprojective algebras of Dynkin type
对于可对称化的GCM $C$及其对称化子$D$，Geiss-Leclerc-Schröer [Invent. Math.209（2017）]引入了与$C$和$D$相关联的广义预投射代数$Π$，其包含一类称为局部自由模的模。本文证明了任何基支撑$τ$ -倾斜$Π$ -模是局部自由的，并给出了$\operatorname{\mathbf{rep}}Π$中无挠类的分类定理，作为Mizuno [Math.Z. 277（2014）]。
Ladders and simplicity of derived module categories
派生模块范畴的重组进行了研究，使用一种新的技术，梯子的突变序列的重组。显示阶梯中的位置是为了控制一个子元素是否限制从无界到另一个导出范畴级别。梯子也在各个层面上控制着衍生的简单性。一个代数是导出单的，如果它的导出范畴不能被解构，也就是说，如果它不是一个非平凡元的中间项，而这个非平凡元的外项又是代数的导出范畴。每一层的衍生简单性都以梯子的高度为特征。这些结果的补充提供了新的类的例子，派生单代数，特别是不可分解的交换环，以及有限维反例的约旦-Hölder性质的派生模范畴。此外，矩阵元用于计算同调和K-理论不变量。
Tilting Modules in Truncated Categories
我们开始研究有限维复单李代数的当前李代数在某些截断模范畴$\mathcal G(Γ)$中的倾斜理论，其中$Γ= P^+ \times J$，$J$是$\mathbb Z$中的一个区间，$P^+$是单李代数的优势整权集.我们用它把一个倾斜理论放在范畴$\mathcal G(Γ')$上，其中$Γ' = P' \times J$，其中$P'\subseteq P^+$是饱和的。在$Γ'$上的某些自然条件下，我们注意到$\mathcal G(Γ')$容许全倾模.
Subcategories of Module Categories via Restricted Yoneda Embeddings
本文提出利用受限 Yoneda 嵌入构造结合代数模范畴的子范畴，刻画了该构造给出范畴等价的条件，并统一解释了权模、Harish-Chandra 模及 Mickelsson 阶梯代数模等重要范畴。
Quotients of one-sided trianglated categories by rigid subcategories as module categories
证明了单侧三角范畴的某些子商范畴是交换的。这统一了Iyama-Yoshino在三角范畴情况下的结果和Demonet-Liu在精确范畴情况下的结果。
Jordan Hölder theorems for derived module categories of piecewise hereditary algebras
对分片遗传代数的导模范畴建立了Jordan Hölder定理。由此产生的合成列的导出范畴示出是独立的有界或无界的导出模类别的选择，也选择的随机生成的或任意的模块。
On certain categories of modules for twisted affine Lie algebras
我们将可积不可约$\hat{g}[σ]$ -模分类到范畴E和C中，证明了E包含著名的赋值模，C统一了最高权模、赋值模及其张量积模.
On derived categories of module categories over multiring categories
本文证明了在特定条件下，多环范畴上模范畴的导出范畴等价性等价于原模范畴的等价性，并探讨了相关局部化理论。
Derived Reconstruction of Semisimple Tensor and Module Categories
本文研究半单张量范畴及其模范畴的有界导出范畴，通过整值特征和稳定化子子群分类幺半与模$t$-结构，证明导出等价可重构原范畴。
Cohomology of modules over $H$-categories and co-$H$-categories
设$H$是一个Hopf代数.本文考虑Hopf模范畴$\mathcal C$上的$H$ -等变模作为Smash扩张$\mathcal C\# H$上的模.我们构造Grothendieck谱序列的上同调以及这些对象的$H$ -局部有限上同调。我们还引入了Hopf余模范畴$\mathcal D$上的相对$(\mathcal D,H)$ -Hopf模.这些结果推广了$H$ -余代数$A$上的相对$(A,H)$-Hopf模.利用Grothendieck谱序列的有理$Hom$对象和共不变量的高阶导函子构造了它们的上同调的Grothendieck谱序列.
From triangulated categories to module categories via homotopical algebra
在Hom有限三角范畴C中，刚性对象的自同态代数上的模范畴被给出了两种不同的描述：一方面，如Osamu Iyama和Yuji Yoshino所证明的，它等价于C的一个子范畴的理想商;另一方面，Aslak Buan和Robert Marsh证明了这个模范畴也等价于C的某些局部化。在本文中，我们给出了一个概念性的解释，启发同伦代数，这种双重描述。我们的主要目标，尚未实现，是推广Buan-Marsh的结果的情况下，Hom-infinite集群类别。我们注意到，与模型范畴是同伦范畴是三角化的模范畴的更常见的情况相反，我们在这里考虑一些同伦范畴是模范畴的三角化范畴。
On the uniqueness of stratifications of derived module categories
三角范畴的重新排列可以看作是这些范畴的精确序列。三角化范畴的迭代代数元是几何或拓扑分层的类似物，也是代数对象的合成列的类似物。我们讨论的问题的唯一性，这样的分层，有序和派生等价，派生模块类别。主要结果是一个积极的回答的形式的约旦Hölder定理的衍生模范畴的遗传artin代数。我们还提供了导出的单环的例子。
Quotients of exact categories by cluster tilting subcategories as module categories
证明了正合范畴的某些子商范畴是交换的。这推广了Koenig-Zhu在（代数）三角范畴中的一个结果。作为一种特殊情况，如果一个具有足够投射和内射的正合范畴B有一个簇倾斜子范畴M，则B/M是阿贝尔范畴。更确切地说，它等价于M的稳定范畴上的可表示模范畴。
From triangulated categories to module categories via localisation
我们表明，范畴的有限维模的自同态代数的刚性对象在一个Hom有限的三角范畴是等价的Gabriel-Zisman局部化的范畴就一定的一类地图。这推广了Keller-Reiten的2-Calabi-Yau倾斜定理，其中模范畴作为因子范畴获得，到刚性情况。
Module categories, internal bimodules and Tambara modules
本文利用Tambara模理论将刚性幺半范畴上模范畴的重构定理推广至非刚性情形，证明了循环模范畴与Tambara模代数双模对象的双等价性，并给出了“通过丰富化实现作用”的嵌入结果。
Algebraic stability theorem for derived categories of zigzag persistence modules
本文从导出范畴和Auslander-Reiten箭图的角度研究了Z形持久模上的距离.导出了普通持久模的导出范畴等价于任意zigzag持久模的导出范畴，并依赖于一个经典的倾斜模。通过这个导出的等价，我们定义和计算任意zigzag持久模的导出范畴上的距离，并证明了一个代数稳定性定理。我们还比较了我们的距离与纯曲折持久性模块介绍Botnan-Lesnick和层理论卷积距离由于柏原-Schapira。
Stable categories of spherical modules and torsionfree modules
Auslander和Bridger引入了n-球面模和n-挠自由模的概念。本文构造了n-球面模的稳定范畴与阶数至少为n的模范畴之间的一个等价关系，并给出了它的Gorenstein类比.作为应用，证明了若R是克鲁尔维数d>0的Gorenstein局部环，则（d-1）-挠自由R-模范畴与d-球面模范畴关于局部上同调函子存在稳定等价.
Bousfield localization in quotients of module categories
本文研究了有限群模范畴的各种三角剖分。我们证明，这些都不是由简单的模块生成的companies，并提出了修改Rickard的幂等模块建设，占这一点。当局部化的子范畴是足够好的，我们给出了明确的描述对象的Bousfield三角形的模块是直接限制的序列的有限维模块的同伦colimits。
Recollements of Module Categories
我们建立了直到等价的阿贝尔范畴的基本元素与某些TTF-三元组之间的对应关系。对于一个模块类别，我们显示，此外，对应于幂等理想，恢复一个定理的Jans。进一步证明了一个项为模范畴的元等价于一个由幂等元诱导的元，从而回答了Kuhn的一个问题.
Fully exact and fully dualizable module categories
本文提出完美模范畴作为有限张量2-范畴的模型，研究了完全精确模范畴的性质及其在不同霍普夫代数中的应用。
Finiteness and purity of subcategories of the module categories
本文利用函子环和函子范畴研究了模范畴的子范畴的有限性和纯性。给出了有限表示型模范畴的逆变有限分解子范畴的函子环刻画。我们还刻画了模范畴$Λ$ { \rm -mod}中包含有限型的$Λ$的Jacobson根的逆变有限分解子范畴的函子范畴.当$\mathscr{X}$是$Λ$的协变有限子范畴，且Mod $(\mathscr{X}^{\rm op})$中的每个单对象都是可表示的时，研究了局部可表示范畴${\underrightarrow{\lim}}\mathscr{X}$的纯半单性猜想，并利用其闭包在滤余极限下的分解性质给出了有限表示型的协变有限子范畴的一个刻画.作为结果，我们研究了$n$ -簇倾斜子范畴的有限性和纯性，以及这些倾斜子范畴的Gorenstein投射模的子范畴.这些结果推广和统一了一些已知结果。
Stratifications of finite directed categories and generalized APR tilting modules
有限有向范畴是一个具有多个对象和偏序集结构的$k$ -线性范畴，其中$k$是一个代数闭域.这个概念统一了偏序集和有限EI范畴的$k$ -线性化、有限维遗传代数的商代数、三角形矩阵代数等结构。本文研究了有限有向范畴的表示，讨论了它们的分层性质，并在一定的假设下证明了三角形矩阵代数的广义APR倾斜模的存在性。
Classification of split torsion torsionfree triples in module categories
如果$(\mathcal{C},\mathcal{T})$或$(\mathcal{T},\mathcal{F})$是分裂挠率理论，则阿贝尔范畴中的TTF-三元组$(\mathcal{C},\mathcal{T},\mathcal{F})$称为“单侧分裂”。本文在模范畴中对单侧分裂TTF-三元组进行了分类，从而完成了Jans对双侧分裂TTF-三元组的分类，并回答了一个近四十年来一直悬而未决的问题。
Equivalence between module categories over quiver Hecke algebras and Hernandez-Leclerc's categories in general types
我们证明了Kang-Kashiwara-Kim引入的广义量子仿射Schur-Weyl对偶函子给出了Hernan-Hecke代数上的有限维模范畴与量子仿射代数上的有限维模的某个满子范畴之间的等价性，该满子范畴是Hernan-Leclerc范畴$\mathcal{C}_Q$的推广.这一点以前已由Fujita用非扭曲的$ADE$型证明过，但这在一般情况下并不适用。我们的证明是纯代数的，因此可以统一推广到一般类型。
Mutation in triangulated categories and rigid Cohen-Macaulay modules
在具有Auslander-Reiten-Serre对偶的三角范畴中引入了$n$ -簇倾斜子范畴的变异概念。利用这一思想，我们能够得到某些Veronese子环上刚性Cohen-Macaulay模的完全分类。
Eventually homological isomorphisms and Gorenstein projective modules
证明了模范畴之间的某个最终同调同构导致它们的奇异范畴、Gorenstein亏范畴和Gorenstein投射模的稳定范畴之间的三角等价.进一步证明了Auslander-Reiten猜想和Gorenstein对称性猜想可以通过最终同调同构约化。将所得结果应用于箭头去除和顶点去除，刻画了某些非单项式代数上的Gorenstein投射模，并对某些代数验证了Auslander-Reiten猜想.
Supports of simple modules in cyclotomic Cherednik categories O
本文的目的是计算范畴$\mathcal{O}$中与群$G(\ell,1,n)$相关的有理Cherednik代数的单模的支撑.为此，我们计算一些组合映射的一组简单：跨壁双射和一定的$\mathfrak{sl}_\infty$ -晶体相关的海森堡代数行动的Fock空间。
A-infinity algebras, modules and functor categories
在这篇综述中，我们首先介绍了A-无穷代数和模的基本事实，包括它们在描述三角范畴中的应用。然后，我们描述了Quillen模型的方法，以A-无穷结构以下K。Lefevre的论文。最后，从V. Lyubashenko的思想出发，利用一个合适的闭余范畴幺半范畴，给出了A-无穷函子范畴的概念构造.特别是，这产生了一个自然的双代数结构的结合代数的Hochschild复形的酒吧建设。
From triangulated categories to module categories via localisation II: Calculus of fractions
证明了Hom有限三角化范畴C与函子Hom（T，-）的核的商是Preabel的，其中T是刚性对象.我们进一步表明，一类正规态射的商承认一个演算的左，右分数。由此可见，在正则态射类上的商的Gabriel-Zisman局部化是阿贝尔的。证明了它等价于C中T的自同态代数上的有限维模范畴。
Openness of the regular locus and generators for module categories
本文阐明了交换诺特环R的正则轨迹的开性与R的有界生成R-模范畴、相应的有界导出范畴和奇异范畴的生成元的存在性之间的关系。
Generalised Burnside Rings, G-categories and Module Categories
本说明介绍了应用理论的广义伯恩赛德环代数表示论。表的标记明确给出的群体$S_4$和$S_5$这是特别感兴趣的上下文中的约简代数群。作为应用，计算了幂零元$F_4 (a_3)$的基集。
Several results on exact sequences in categories of modules over trusses
本文在truss上模范畴中建立了蛇引理和九引理，推进了truss上模理论的范畴论研究。
Cluster algebra structures on module categories over quantum affine algebras
研究了量子仿射代数上有限维模的某些monoidal子范畴$\mathcal{C}_J$的monoidal分解，这些子范畴的簇代数结构与A型${}_\infty$ ${}_\infty$上的有限维模范畴的簇代数结构一致.特别地，当量子仿射代数是A型或B型时，子范畴与Hernandel-Leclerc引入的幺半范畴$\mathcal{C}_{\mathfrak{g}}^0$重合。因此，对应于簇单名的模是量子仿射代数上的实简单模。
Relative Singularity Categories and Gorenstein-Projective Modules
引入了关于阿贝尔范畴的自正交子范畴$ω$的相对奇异范畴的概念。引入了$ω$ -Cohen-Macaulay对象的Frobenius范畴，并在一定条件下证明了$ω$ -Cohen-Macaulay对象的稳定范畴与相对奇异范畴是三角等价的.作为应用，我们将Gorenstein-投射模的稳定范畴与环的奇异范畴联系起来.证明了Gorenstein环的Gorenstein-投射模的稳定范畴是紧生成的，并且它的紧对象与有限生成的Gorenstein-投射模在直和项下一致.
Recollement of homotopy categories and Cohen-Macaulay modules
利用有界复形的同伦范畴研究了具有有界同调的无界复形的同伦范畴及其商范畴。我们证明了上述商范畴的一个同伦范畴的存在性，并且它具有作为三角化子范畴的无圈复形的同伦范畴。在Iwanaga-Gorenstein环上的商生成投射模的同伦范畴的情形下，我们证明了上述商范畴与Cohen-Macaulay $\opn{T}_2(R)$ -模的稳定模范畴是三角等价的.
Auslander correspondence for proper connective DG-algebras via extended module categories
本文通过扩展模范畴，建立了d-截断proper连通DG代数的Auslander对应关系，揭示了其与Auslander三角范畴的联系。
The stable module category of a general ring
对于任何环R，我们构造两个三角范畴，每个范畴都允许R-模的函子使投射模和内射模为0。当R是拟Frobenius或Gorenstein环时，这些三角范畴彼此一致，并与通常的稳定模范畴一致。我们的稳定模范畴是R-模范畴上Quillen模型结构的同伦范畴。这些模型范畴涉及Gorenstein投射和内射模的推广，我们通过用FP-无穷型的模来替换非线性表示的模而得到。在此过程中，我们通过考虑较弱的内射性和平坦性的概念，将在诺特环上保持的内射左模和平坦右模之间的完美对偶扩展到一般环。
Tilting modules and cellular categories
本文研究倾斜模范畴。我们的出发点是正特征约化代数群G的倾斜模。这里我们推广了[8]中的主要结果，证明了这些倾斜模构成一个（严格对象适应的）胞腔范畴。我们使用这个结果来指定一个子集的细胞的基础元素，这产生了所有的态射在这个类别。在另一个不同的方向上，我们将以前的结果推广到用Frobenius子群方案G_r在G中的极大环面T的无穷小加厚G_r T代替G的情况。在这里，我们的程序导致一组特殊的生成元投射G_rT-模范畴中的态射。我们的方法是相当普遍的（适用于“类遗传”范畴）。特别地，对于量子群在单位根处的倾斜模，有完全类似的结果。作为例子，我们处理了普通BGG范畴O中的倾斜模，并在模的情况下，我们研究了G = SL_2的一些细节。
Pivotal tricategories and a categorification of inner-product modules
本文研究了有限张量范畴上双模范畴的扩张问题。我们表明，有限双模范畴形成一个三范畴，并讨论了在这个三范畴的对偶使用内部霍姆斯。本文研究了枢轴张量范畴上的内积双模范畴，在内函子上具有附加结构。内积模范畴与Frobenius代数有关，并导致枢轴张量范畴的$*$ -Morita等价的概念.我们证明了内积双模范畴形成了一个包含两个对偶运算和一个附加枢轴结构的三元范畴。这是工作的动机在拓扑域论的缺陷。
Weight-one elements of vertex operator algebras and automorphisms of categories of generalized twisted modules
给定顶点算子代数$V$的权为1的元素$u$，我们构造了$V$的自同构$g$的广义$g$ -扭模范畴的自同构，该自同构固定于$u$ .我们将这种构造应用到$V$是仿射顶点算子代数的情形，得到了范畴自同构的显式结果。特别地，我们给出了某些广义扭曲模的显式结构，从广义扭曲模相关的图自同构的有限维简单李代数和广义（untwisted）模。
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