Bi-Harmonic mappings and J. C. C. Nitsche type conjecture
David Kalaj, Saminathan Ponnusamy
在本说明中，它是制定的J。C。C.双调和映射的Nitsche型猜想。这个猜想是由环之间的径向双调和映射激发的。
In this note it is formulated the J. C. C. Nitsche type conjecture for bi-harmonic mappings. The conjecture has been motivated by the radial bi-harmonic mappings between annuli.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Harmonic mappings of an annulus, Nitsche conjecture and its generalizations
早在1962年，Nitsche就证明了平面环之间存在调和同胚$h \colon A(r,R) \to A(r_*, R_*)$当且仅当$\frac{R_*}{r_*} \ge {1/2} (\frac{R}{r} + \frac{r}{R})$。我们证明这个猜想时，域环不是太宽，明确地说，当$\log \frac{R}{r} \le {3/2}$。对于一般的$A(r,R)$，在附加假设$h$或其正规导数在内边界圆上的平均为零的条件下，证明了该猜想.这是临界Nitsche映射的情况，它在上面的不等式中产生相等。Nitsche标测代表了所谓的瓣环$A(r,R)$圆的自由演化。另一方面，它将表明，强制谐波演变的结果在更大的比率$\frac{R_*}{r_*}$。为此，我们引入了基本的微分算子的强制进化的循环手段，并使用它们来获得尖锐的下界$\frac{R_*}{r_*}$。
The extremal problem for weighted combined energy and the generalization of Nitsche inequality
本文研究同心圆环间加权组合能量极值问题，证明极小元唯一且为径向映射，导出 $\frac{1}{|w|^\lambda}$-Nitsche 型不等式，并推广至加权组合畸变。
Deformations of Annuli on Riemann surfaces with Smallest Mean Distortion
令$A$和$A'$是两个圆环，并且令$ρ$是在圆环$A'$中定义的径向度量。考虑$A$与$A'$之间的$ρ-$调和映射类$\mathcal H_ρ$.最近Iwaniec，Kovalev和Onninen证明了：若$ρ=1$（即$ρ$是欧几里德度量），则$\mathcal H_ρ$不为空当且仅当存在Nitsche条件（从而证明了J.C. C. Nitsche猜想）。本文给出了一个对应于$\mathcal H_ρ$的条件（我们称之为$ρ-$ Nitsche猜想），并定义了$ρ-$ Nitsche调和映射.本文确定了环上映射的最小平均偏差的极值映射。到度量$ρ$。作为推论，我们发现$ρ-$ Nitsche调和映射是所有同胚$h:A\to A'$中的Dirichlet极小化者。然而，在环的模的$ρ$ -Nitsche条件之外，在同胚类内，不存在这样的能量极小化器。然而，%在环模的$ρ-$ Nitsche范围之外，%在同胚类内，不存在这样的能量最小化器。这扩展了Astala，Iwaniec和Martin（ARMA，2010）的一些最新结果，其中考虑了$ρ=1$和$ρ=1/|z|$的情况。
The extremal problem for weighted combined energy and $ρ-$Nitsche type inequality
该研究针对两个圆环间的加权组合能量极值问题展开，证明极值映射为推广$\ ho-$调和映射的径向映射，得到$\ ho-$Nitsche型不等式，并拓展了加权组合畸变极值问题的相关已有结果。
The Nitsche--Hopf conjecture for minimal graphs
论文通过 bicentric-quadrilateral 比较定理和 Scherk 型比较家族，证明了非参数极小图的Nitsche-Hopf猜想，得出了关于Gaussian曲率和垂直分量的精确估计。
On J. C. C. Nitsche type inequality for annuli on Riemann surfaces
设$(\mathcal{N},\hbar)$和$(\mathcal{M},\wp)$是两个具有共形度量$\hbar$和$\wp$的黎曼曲面。我们证明了如果具有共形模$\mathrm{Mod}(\mathcal{A})$的环$\mathcal{A}\subset \mathcal{N}$与测地环$A_\wp(p,ρ_1,ρ_2)\subset \mathcal{M}$之间存在调和同胚，则我们有${ρ_2}/{ρ_1}\ge Ψ_\wp\mathrm{Mod}(\mathcal{A})^2+1,$，其中$Ψ_\wp$是依赖于度量$\wp$的高斯曲率上界的某个正常数.给出了极小曲面的一个应用。
The Nitsche conjecture
该猜想涉及圆环A（r，R）与A（r*，R*）之间调和同胚的存在性，部分是由具有给定边界的双连通极小曲面的存在性问题所激发的. 1962年，J.C.C. Nitsche观察到图像环不能太薄，但可以任意厚（甚至是穿孔的磁盘）。然后，他解释说，这样一个映射存在，我们必须有以下不等式，现在被称为Nitsche界：R*/r* 是大于或等于（R/r+r/R）/2。本文对他的猜想给出了肯定的回答。作为推论，我们发现在给定环上的所有极小图中，悬链面的上板具有最大的共形模。
Harmonic maps between annuli on Riemann surfaces
设$ρ_Σ=h(|z|^2)$是黎曼曲面$Σ$上的度量，其中$h$是正实函数.设$\mathcal H_{r_1}=\{w=f(z)\}$是欧氏环$A(r_1,1):=\{z:r_1< |z| <1\}$到黎曼曲面$Σ$的一个真环$A_Σ$上的单叶$ρ_Σ$调和映射族，它受某些几何限制.它表明，如果$A_Σ$是固定的，那么$\sup\{r_1: \mathcal H_{r_1}\neq \emptyset \}<1$。这推广了欧几里德情形下的类似结果。黎曼和双曲调和映射的情况下进行了详细的处理。利用具有常平均曲率（CMC）的曲面的Gauss映射是Riemann调和映射这一事实，给出了CMC曲面的一个应用（见推论\ref{cor}）。此外，还给出了双曲径向调和同态和黎曼径向调和同态的一些新的例子，这些例子启发了J. C。C.这些映射类的Nitsche型图。
Invertible harmonic mappings beyond Kneser theorem and quasiconformal harmonic mappings
本文将Rado-Choquet-Kneser定理推广到具有Lipschitz边界数据且在边界上Jacobi为本质正的映射，而不限制象域的凸性。它是Alessandrini和Nesi \cite{ale}最近结果的推广.给出了Jordan域间拟共形调和映射族的一些应用。
On the elliptic harmonic mappings and sense-preserving harmonic mappings
该文研究椭圆调和映射与保定向调和映射，建立多类Landau-Bloch型定理，给出系数估计与猜想，所得结果在部分情形下精确且改进了已有结论。
Results on normal harmonic and $φ$-normal harmonic mappings
本文研究平面调和映射中的正常性与$\phi$-正常性，建立Zalcman-Pang引理的调和映射版本，并引入扩展球面导数，给出$\phi$-正常的充分条件。
Doubly connected minimal surfaces and extremal harmonic mappings
共形变形的概念有两个自然扩张：拟共形映射和调和映射。这两个类都不保持域的共形类型，但是它们不能以任意的方式改变它。双连通域是首次观察到非平凡共形不变量的区域。Herbert Groetzsch和Johannes C. C. Nitsche分别针对拟共形映射和调和映射解决了这个问题。结合这些概念，我们得到了双连通区域间拟共形调和映射的精确估计。然后，我们将我们的结果应用到柯西问题的极小曲面，也被称为Bjorling问题。具体来说，我们得到了一个尖锐的估计的模的双连通极小曲面，从它的内边界与给定的初始斜率。
On univalent log-harmonic mappings
考虑单位圆盘上的单叶对数调和映射类。首先，我们得到了复值连续函数在单位圆内是星形或凸的充要条件。给出了构造对数调和Koebe映射、对数调和右半平面映射和对数调和双缝映射的一般思路，并给出了这些映射的精确值域.此外，还得到了单叶对数调和星形映象的系数估计。研究了一类特殊的对数调和映射子类的增长定理和偏差定理。最后，我们提出了两个对数调和系数和对数调和覆盖图。
Properties of Normal Harmonic Mappings
本文给出了调和映射正规的几个充要条件。并讨论了正规调和映射的最大值原理和五点定理。进一步研究了保义正规调和映射序列的收敛性，证明了保义正规调和映射序列的渐近值和角极限是一致的.
Convolution of a harmonic mapping with $n$-starlike mappings and its partial sums
本文研究调和映射$f=h+\bar{g}$与一个与映射$z+\sum_{k=2}^{\infty}k^nz^k$的卷积为星形的映射$ϕ$的卷积$ϕ\tilde{*}f=ϕ*h+\overline{ϕ*g}$的单叶性和方向凸性（这种映射$ϕ$称为$n$ -星形）.此外，我们还研究了解析凸映射与斜半平面映射的卷积，以及$6$ -星形映射与调和Koebe映射和调和半平面映射的卷积的部分和的方向凸性.
Some properties of univalent log-harmonic mappings
本文给出了$α$阶对数调和星形映射的表示定理、偏差定理、系数估计和Bohr半径，推广了已有的结果.此外，通过构造一族$1$ -缝对数调和映射，得到了对数调和映射的内映射半径.最后，我们引入了非零对数调和映射的预Schwarzian、Schwarzian导数和Bloch范数，并得到了与之相关的一些性质。
On Harmonic Univalent Spirallike Mappings
本文研究了调和映射的遗传螺形性，给出了其系数条件、增长估计，并建立了与解析螺形映射的联系，提供了实例验证。
On Harmonic $ν$-Bloch and $ν$-Bloch-type mappings
该文致力于研究两个问题.一是引入调和$ν$型映射类作为调和$ν$型映射的推广，从而推广了Eframidis等最近研究的调和$1$型映射的一些结果。另一个是研究调和Bloch映射的一些从属性原理，然后在一般情况下，在某些情况下建立这类映射的Bohr定理。
Fully Starlike and Convex Harmonic Mappings of order α
共形映射的凸性和星形性的遗传性质不能推广到单叶调和映射。这一失败导致了α阶完全星形凸映射的概念，（0 \leq α<1）.对某些单叶调和映射族，确定了α阶完全星形半径和α阶完全凸半径的一个界.与解析情形不同，在单叶调和凸映射的卷积下凸性不保持。给定两个单叶调和凸映射f和g，研究了在|z| < r_{0}中求半径r_{0}使得f*g是单叶调和凸映射的问题.
Schwarz lemma for harmonic mappings between Riemann surfaces
证明了Riemann曲面上单位与测地线之间调和映射的Schwarz型引理。
Linear measure and $K$-quasiconformal harmonic mappings
本文研究了线性测度与调和映射之间的关系。
Coefficient estimates, Landau's theorem and Lipschitz-type spaces on planar harmonic mappings
本文研究了局部单叶和多叶平面调和映射的性质。首先讨论了几类局部单叶调和映射的系数估计和Landau定理，然后研究了局部单叶和多叶调和映射的Lipschitz型空间.
Landau type theorem for $α$-harmonic mappings
本文通过建立α-调和映射的系数估计，证明了单位圆盘上α-调和映射的Landau型定理。
Extreme points and support points of families of harmonic Bloch mappings
本文主要讨论调和Bloch映射族和小调和Bloch映射族的极值点和支撑点的存在性。首先，利用Bloch单位值集，证明了调和Bloch映射的一个必要条件（分别为：一个小调和Bloch映射）是正规调和Bloch空间（分别为.规范化的小调和Bloch空间）。证明了调和Bloch映射$f$是$\mathbb{D}$中正规调和Bloch空间的单位球的支撑点当且仅当$f$的Bloch单位值集不为空.我们还给出了$\mathbb{D}$中调和Bloch空间的单位球的支撑点的一个刻划.
The boundary behaviour of $K$-quasiconformal harmonic mappings
本文首先讨论了$K$ -拟共形调和映射的Lipschitz特征和线性测度偏差。然后利用调和映射的Pre-Schwarzian给出了径向John圆的一些特征。
Rotations and convolutions of harmonic convex mappings
本文研究了斜半平面映射和带映射的卷积，推广了一般情形下的相关结果。我们还考虑了一类含有斜半平面映射和带映射的调和映射，并证明了这类映射的凸组合是凸的。
Certain geometric properties of planar harmonic mapping involving four parameter Wright functions
本文构造了与四参数Wright函数相关的调和映射，建立了其满足调和星形性和凸性的充分条件，并研究了调和近凸映射子类间的关系，所得结果新颖且具有意义。
Lipschitz spaces and bounded mean oscillation of harmonic mappings
本文首先研究了平面调和映射的有界平均振动性，然后建立了Lipschitz型空间与实调和映射的等价模之间的关系。最后利用有界平均振荡范数得到了平面调和映射Lipschitz数的精确估计，证明了调和Bloch空间与$BMO_{2}$同构为巴拿赫空间.
Norm estimates of the partial derivatives for harmonic mappings and harmonic quasiregular mappings
设$p\geq1$，$w=P[F]$是单位圆盘$\mathbb{D}$的调和映射，满足$F$绝对连续和$\dot{F}\in L^p(0, 2π)$，其中$\dot{F}(e^{it})=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}F(e^{it})$ .本文得到了$w$的偏导数的Bergman模估计，即，$\|w_z\|_{L^p}$和$\|\overline{w_{\bar{z}}}\|_{L^p}$，其中$1\leq p<2$ .进一步，如果$w$是$\mathbb{D}$的调和拟正则映射，则证明了$w_z$和$\overline{w_{\bar{z}}}$在Hardy空间$H^p$中，其中$1\leq p\leq\infty$ .得到了相应的Hardy模估计$\|w_z\|_{p}$和$\|\overline{w_{\bar{z}}}\|_{p}$.
Completely monotone sequences and harmonic mappings
本文研究了解析部分和余解析部分均为完全单调序列生成函数的调和映射的几何性质。
Superharmonicity of Logarithm of Jacobian of harmonic mappings between surfaces
证明了在图像域的高斯曲率非负的条件下，曲面间保感调和映射的Jacobian的对数是超调和的。
Uniformly locally univalent harmonic mappings
本文的主要目的是刻画单位圆盘上的一致局部单叶调和映射。然后，我们得到了单参数一致局部单叶调和映射族${\mathcal B}_{H}(λ)$的尖锐偏差、增长和覆盖定理。最后，我们证明了${\mathcal B}_{H}(λ)$中的$k$ -拟共形调和映射的子类和类${\mathcal B}_{H}(λ)$分别包含在具有依赖于$λ$的特定指数的Hardy空间中，并讨论了${\mathcal B}_{H}(λ)$中调和映射系数的增长性.
Quasiconformal Extensions of Harmonic Univalent Mappings of the Unit Disk
本文研究单位圆盘内调和单叶映射的拟共形延拓条件，证明调和强星形映射可延拓至全平面并给出显式延拓函数，同时探讨圆盘外调和映射的可延拓性。
Construction of subclasses of univalent harmonic mappings
开单位圆盘上的单叶保义性复值调和函数得到了广泛的研究。利用一种新的方法，从给定的单叶解析函数子族构造单叶调和映射的子类。引入调和Alexander积分算子的概念。此外，确定了某些调和函数族的凸半径。
Pre-Schwarzian and Schwarzian derivatives of harmonic mappings
本文在不对$f$的（第二复）伸缩$ω_f$附加任何条件的情况下，给出了复平面上局部单叶调和映射$f$的预Schwarz导数和Schwarz导数的定义.利用调和映射的Schwarzian导数的新定义，我们证明了类似于Chuaqui，Duren和Osgood的定理。同时，我们得到了调和映射单叶性的一个Becker型判据。
On quasiconformal extensions of harmonic mappings associated with pre-Schwarzian derivative
本文将Ahlfors关于解析函数的单叶判别准则和拟共形扩张推广到单位圆盘上的调和映射。此外，我们给出了调和Teichmüller映射的一个一般拟共形扩张，其最大伸缩估计是渐近尖锐的.
A class of Weierstrass-Enneper lifts of harmonic mappings
本文引入了一类调和映射的Weierstrass-Enneper提升，它们满足Duren，Osgood和第一作者在[J. Geom. Anal.（2007）]。
On Riesz type inequalities for harmonic mappings on the unit disk
证明了单位圆盘上复调和函数的几个尖锐不等式。结果推广了M. Riesz共轭函数定理及全纯函数的一些著名估计。本文将某些结果应用于调和映射的等周不等式。
Area integral means, Hardy and weighted Bergman spaces of planar harmonic mappings
本文研究了平面调和映射的一些性质。首先推广了\cite{CPW3}和\cite{HT}中的主要结果，然后讨论了面积积分平均与调和Hardy空间或调和加权Bergman空间的关系.最后给出了加权Bergman空间中映射的系数估计.
Linear connectivity, Schwarz-Pick lemma and univalency criteria for planar harmonic mappings
本文首先建立了高阶Schwarz-Pick引理，并应用它得到了平面调和映射的一个单叶性准则。然后讨论了单位圆盘上具有线性连通象的平面调和映射的偏差定理、Lipschitz连续性和单叶性。
Radial length, radial John disks and $K$-quasiconformal harmonic mappings
本文继续研究调和映射的边界表现。首先讨论了径向长度增长的经典问题，得到了$K$ -拟共形调和映射径向长度的一个锐增长定理。然后，我们提出了径向约翰磁盘的另一种表征。此外，我们还研究了单位圆盘到径向John圆盘上的$K$ -拟共形调和映射的线性测度偏差和Lipschitz连续性。最后，利用Pommerenke内域刻画了$K$ -拟共形调和映射的某些微分性质.
Generalized Bloch spaces, Integral means of hyperbolic harmonic mappings in the unit ball
本文研究了单位球$\mathbb{B}^{n}$中双曲调和映射的性质。首先，我们分别建立了双曲调和映射在Bloch空间$\mathcal{B}(\mathbb{B}^{n})$和广义Bloch空间$\mathcal{L}_{\infty,ω}\mathcal{B}_{α,\mathrm{a}}^{0}(\mathbb{B}^{n})$中的充要条件.其次，讨论了双曲调和映射的积分平均与其梯度的积分平均之间的关系。所得结果是Hardy和Littlewood的相关结果在双曲调和映照下的推广。最后，利用拟双曲度量刻画了双曲调和映射的弱一致有界性。
Radius of injectivety for harmonic mappings with fixed analytic part
本文研究了$\mathbb{D}$中的非保义调和映射$f=h+\overline{g}$，当它的解析部分$h$在$\mathbb{D}$中是凸的和内射的时，得到了它的内射半径.
Affine and linear invariant families of harmonic mappings
研究了单位圆盘上平面调和映射的仿射和线性不变映射族的阶，并确定了具有有界Schwarz范数的映射族的阶。结果表明，单叶调和映射类$\mathcal{S}_H$的阶可归结为Schwarzian范数的问题，特别地，我们的结果表明$\mathcal{S}_H$的阶与调和Koebe函数的Schwarzian范数是一致的.
John disk and $K$-quasiconformal harmonic mappings
本文的主要目的是建立$K$ -拟共形调和映射与John圆之间的某些关系。本文的结果是Ch.~ Pommerenke \cite{Po}。
Ahlfors-Weill extensions for harmonic mappings
对于定义在单位圆盘上且Schwarz导数足够小的调和映射，给出了$\overline{\mathbb{C}}$的拟共形扩张的两个新公式。它们都是全纯函数的Ahlfors-Weill扩张的推广。
Several properties of a class of generalized harmonic mappings
研究定义一类二阶齐次偏微分方程解的实核 α-调和映射，并分析其表示定理、Lipschitz 连续性、单叶性等性质。
Weighted Lipschitz continuity, Schwarz-Pick's Lemma and Landau-Bloch's theorem for hyperbolic-harmonic mappings in $\mathbb{C}^{n}$
本文讨论了$\mathbb{C}^{n}$的单位球上双曲调和映射的一些性质。首先，我们研究了加权Lipschitz函数与双曲调和Bloch空间之间的关系。然后建立了双曲调和映射的Schwarz-Pick型定理，并应用它证明了$α$ -Bloch空间中映射的Landau-Bloch常数的存在性.
Criteria for univalence and quasiconformal extension of harmonic mappings in terms of the Schwarzian DERIVATIVE
证明了：如果单位圆盘上的复值局部单叶调和映射$f$的Schwarz范数足够小，则$f$确实是全局单叶的，并且可以推广到扩充复平面上的拟共形映射.
Coefficient Conditions for Harmonic Univalent Mappings and Hypergeometric Mappings
本文给出了单位圆上的归一化调和函数近似凸和完全星形的系数准则。利用这些系数条件，我们提出了不同类型的调和逼近凸（分别为）。完全星形）函数，涉及高斯超几何函数。此外，我们提出了一类单叶调和函数的卷积特征最近讨论的Mocanu，后来由Bshouty和Lyzzaik在2010年。我们的方法提供的例子，调和多项式是接近凸和星形，分别。
Quasiconformal extension for harmonic mappings on finitely connected domains
本文证明了定义在平面上的一个非连通区域上的调和拟共形映射，如果其Schwarzian导数很小，且其边界分量都是点或拟圆，则它允许拟共形扩张到整个平面.我们还观察到调和映射的一个单叶准则在一致区域上成立。
Normal harmonic mappings
本文的主要目的是研究单位圆盘$\mathbb{D}$到复平面的调和映射的正规函数的概念。特别地，我们得到了函数$f$正规的必要条件。
Some properties of certain close-to-convex harmonic mappings
本文给出了一类近凸调和映射的Toeplitz行列式的精确估计。此外，我们还得到了一个近似凸调和映射子类的Bohr不等式的改进形式，其解析部分是Ma-Minda凸函数。
Univalent harmonic mappings and lift to the minimal surfaces
我们构造了一类保感单叶调和映射，它将单位圆盘映射到一个在水平方向上是凸的，但具有可变伸缩的区域上。同时，我们还得到了与这类调和映射相联系的极小曲面。这也解决了Dorff和Muir（Abstract. Appl. Anal.（2014））。在几种情况下，我们用\texttt{Mathematica}软件图解映射及其极小曲面。
Notes on the starlike log--harmonic mappings of order alpha
设$h$和$g$是单位圆$Δ$中的两个解析函数，其中$g(0)=1$ .也让$β$是一个复数与${\rm Re}\{β\}>-1/2$。一个函数$f$称为对数调和映射，如果它有如下表示\begin{equation*} f(z)=z |z|^{2β} h(z)\overline{g(z)}\quad (z\in Δ). \end{equation*}一个对数调和映射$f$称为$α$阶星形对数调和映射，其中$0\leq α<1$，如果\begin{equation*} {\rm Re}\left\{\frac{zf_z -\overline{z}f_{\overline{z}}}{f}\right\}>α\quad(z\in Δ). \end{equation*}本文利用从属原理，研究了$α$阶星形对数调和映射的一些几何性质.同时，我们还估计了对数调和映射的雅可比矩阵。
Landau-type Theorem and Bloch constant for elliptic harmonic mappings
研究 $(K,K')$-椭圆调和映射，通过估计其 Taylor 系数证明 Landau 型定理，并给出该映射类的 Bloch 常数。
Note on Improved Bohr Inequality for harmonic mappings
本文对有界解析函数和解析部分有界的保义调和函数给出了Bohr不等式的精化形式的新推广。
Lower and upper order of harmonic mappings
本文定义了$\mathbb{D}$中保感调和映射的上下阶。本文将已知的关于具有正低阶的全纯函数的一些结果推广到调和函数的情形，并给出了关于具有有限高阶的函数的一些结果。此外，我们改进了有限高阶调和映射的已知偏差定理中存在等式的情形下的一个相关结果。最后给出了一些例子来说明所发展的理论。
Two-point distortion theorems for harmonic mappings
本文建立了保感平面调和映射$f=h+\overline{g}$的两点偏差定理，它满足单位圆盘内的单叶性准则，使得Becker和Nehari的调和形式.此外，我们还得到了当$h$是凸函数时的两点偏差定理，以及当$h(\D)$是$c$ -线性连通域时的正规化映射.为了做到这一点，我们使用这个家庭的秩序。
Lipschitz property of harmonic mappings with respect to the pseudo-hyperbolic metric
本文证明了调和Bloch映射关于伪双曲度量是Lipschitz连续的。这个结果改进了[P. Ghatage，J. Yan，and D. Zheng，Bloch空间上具有闭值域的复合算子，Proc.Amer.Math.Soc.129（2000），2039-2044]。进一步证明了调和拟正则Bloch型映射的相似性质。
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