Integral representations for products of two parabolic cylinder functions with different arguments and orders
本文导出了两个抛物柱面函数乘积的新整表示。特别地，获得了D_{nu}（x）D_{mu}（y）的表达式，其中x>0且y>0，其允许两个抛物柱面函数中的不同阶和自变量。利用抛物柱面函数与Kummer汇合型超几何函数之间的联系，得到了D_{nu}（-x）D_{mu}（y）的两个整表示.该整表示专用于两个互补误差函数和两个第二类1/4阶修正贝塞尔函数的乘积，以及专用于抛物柱面函数和第一类1/4阶修正贝塞尔函数的乘积。
2015-08-25 math-ph math.CA math.MP
Some Laplace transforms and integral representations for parabolic cylinder functions and error functions
本文利用拉普拉斯变换的卷积定理，导出了两个自变量可能符号相反的抛物柱面函数乘积的新拉普拉斯逆变换。这些变换随后专门用于误差函数及其补函数的乘积，从而产生后两个函数的乘积的新的整表示。本文推导的变换还允许校正文献中广泛报道的两个拉普拉斯逆变换，并随后使用校正后的表达式之一来获得广义超几何函数的两个新的定积分。
2019-07-31 math-ph math.CA math.MP
The Integral Representation for the Product of Two Parabolic Cylinder Functions $D_ν(x) D_ν(-x)$ at $Re ν<0$ by Means of the Fundamental Solution of a Landau-Type Operator
用两种方法计算了一阶矩阵常微分方程Landau型问题的基本解（格林函数）。这两种表示的重合导致两个抛物柱面函数$D_ν(x) D_ν(-x)$在$Re ν<0$，$x$的乘积的积分公式是实数。
2001-12-04 math-ph math.CA math.MP
Critical Casimir force scaling functions of the two-dimensional Ising model at finite aspect ratios
本文提出了一种计算二维伊辛模型在各种边界条件下临界Casimir力及其相应势的普适标度函数的系统方法。因此，我们从$L\times M$正方形晶格上相应配分函数$Z$的二聚体表示开始，该正方形晶格围绕具有纵横比$ρ=L/M$的环面。通过假设周期性的边界条件和平移不变性在至少一个方向上，我们系统地减少了问题的$2\times2$传输矩阵表示。对于圆环面，我们首先再现Kaufman的结果，然后给出标度函数的详细计算。然后给出了开边界条件下圆柱体的计算。所有的尺度函数都以无穷乘积和积分的组合形式给出。我们的结果再现了已知的薄膜$ρ\to 0$的极限标度函数。此外，对于临界状态下的圆柱体，我们的结果证实了从共形场论的预测。
2016-12-01 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
A new integral equation for the first passage time density of the Ornstein-Uhlenbeck process
对于一个常数阈值的Ornstein-Uhlenbeck过程的第一次穿越时间密度的拉普拉斯变换包含两个抛物柱面函数的比值，对于该比值没有可用的解析反演公式。最近推导出的逆拉普拉斯变换的产品的两个抛物柱面函数与卷积定理的拉普拉斯变换，然后允许导出一个新的Volterra积分方程的第一个通过时间密度。该积分方程的核包含一个抛物柱面函数，而Ornstein-Uhlenbeck过程的Fortet更新方程作为特例出现，即当抛物柱面函数的阶数q设为0时。示出的积分方程保持恒定以及不定常阈值。此外，当q<=-1时，该积分方程的核是正则的.
2019-08-06 math-ph math.MP math.PR
Lattice Integrals of Motion of the Ising Model on the Strip
本文研究了带边界固定的二维临界伊辛模型。它示出，对于一个合适的重新参数化的已知玻尔兹曼权重的转移矩阵成为一个多项式的变量$\csc(4u)$，是$u$的光谱参数。该多项式的系数分解的固定边界Temperley-Lieb代数通过引入一个格版本的局部积分的运动。
2012-11-12 math-ph math.MP
Holonomic functions of several complex variables and singularities of anisotropic Ising n-fold integrals
格统计力学，经常提供一个自然的（完整的）框架来执行奇异性分析，在一般的数学框架中，这将是太复杂了，或者不能定义。考虑几个Picard-Fuchs系统的两个变量的“以上”卡-丘常微分方程，与双超几何级数，我们表明，完整功能实际上是一个很好的框架，实际上找到的奇异流形。然后，我们分析了奇异代数簇的n重积分$ χ^{(n)}$，相应的各向异性平方伊辛模型的磁化率的分解。我们重温一组镍奇点，原来是一个双参数家庭的椭圆曲线。然后，我们找到了第一组非尼克尔奇性的$ χ^{(3)}$和$ χ^{(4)}$，这也是有理或椭圆曲线。我们强调的事实，这些奇异曲线依赖于各向异性的伊辛模型。我们解决，从一个双理性的观点，出现家庭的椭圆曲线，和卡-丘流形上这样的问题。我们讨论了非完整各向异性全磁化率的这些奇异曲线的积累。
2012-10-08 hep-th math-ph math.MP
The anisotropic square lattice Ising model with quenched surface disorder
Fakultät für Physik, Universität Duisburg-Essen and CENIDE（杜伊斯堡-埃森大学物理学院及CENIDE）
该研究针对圆柱几何下带淬火表面无序的各向异性方格伊辛模型，通过精确枚举法计算临界状态下的表面自由能等物理量，发现二维中淬火表面无序无关但会产生对数修正。
2026-08-06 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math-ph
Magnetic susceptibility of the 2D Ising model on a finite lattice
本文将二维伊辛模型的关联函数的形状因子表示推广到任意关联自旋的情形。晶格上的磁化率，其尺寸（$N$）之一是有限的，计算在两个para-and铁磁区域的参数的模型。讨论了复温度平面上极化率在$N$有限值处的奇异结构和热力学极限$N\to\infty$。
2007-08-24 cond-mat hep-th math-ph
Ising n-fold integrals as diagonals of rational functions and integrality of series expansions: integrality versus modularity
我们表明，n重积分$χ^{(n)}$的磁化率的伊辛模型，以及各种其他的n重积分的“伊辛类”，或n重积分从枚举组合，像格格林函数，实际上是对角线的有理函数。因此，这些解的幂级数展开式是全局有界的，这意味着，在对展开变量进行一次重新标度之后，它们可以转换为具有整数系数的级数展开式。此外，在一个更枚举的组合学的背景下，我们表明，其系数表示的二项式项的产品的嵌套和方面的生成函数也可以被证明是有理函数的对角线。我们给出了一个大的结果，说明了一个事实，即唯一的分析解决方案的卡-丘常微分方程，更一般的MUM常微分方程，几乎总是，对角线的有理函数。我们重新Christol的猜想，全球有界系列的G-运营商必然是有理函数的对角线。我们提供了一个大的例子，全球有界的系列，或系列的整数系数，与模块化形式，或阿达玛产品的模块化形式，或与卡-丘常微分方程，模块化的概念。最后，我们解决的问题之间的关系的概念的完整性（系列与整数系数，或更一般地说，全球有界系列）和模块性（特别是完整性的泰勒系数的镜像映射），介绍新的表示汤川耦合。
2012-11-26 math-ph math.MP
Superconcentration for minimal surfaces in first passage percolation and disordered Ising ferromagnets
我们考虑标准的第一通道渗流模型上的$\mathbb Z^ d$与分布$G$采取两个值$0<a<b$。本文研究了圆柱体$[0,n]^ {d-1}\times [0,hn]$在其顶部和底部之间的最大流以及与之相关的极小曲面。我们证明了最大流的方差是超集中的，即在$O(\frac {n^{d-1}} {\log n})$中，对于$h\geq h_0$（对于足够大的常数$h_0=h_0(a,b)$）。等效地，我们得到，当在顶面和底面施加相反的边界条件并且对于足够大的常数$h\geq h_0$（这取决于耦合常数的定律）时，圆柱体$[0,n]^ {d-1}\times [0,hn]$中无序Ising铁磁体的基态能量是超集中的。我们的证明受到Benjamini-Kalai-Schramm证明的启发。然而，在这种设置中的一个主要困难是控制边缘的影响，因为Benjamini-Kalai-Schramm证明中使用的平均技巧对曲面失败。独立的利益，我们证明了极小曲面（在目前的离散设置）不能有长薄烟囱。
2023-01-26 math-ph math.MP math.PR
Landau singularities and singularities of holonomic integrals of the Ising class
我们认为家庭的多重和简单的积分的"伊辛类“和线性常微分方程的多项式系数，他们的解决方案。我们比较完整的一组奇点给出的根的头多项式的这些线性常微分方程的和子集的奇点发生在积分，从朗道条件得到的奇点。对于这些伊辛类积分，我们表明，朗道条件可以制定出，要么给相应的线性微分方程的奇异性或奇异性发生在积分。这些积分的奇异行为是在自对偶变量$w= s/2/(1+s^2)$中得到的，其中$s= \sinh(2K)$，其中$K=J/kT$是通常的伊辛模型耦合常数。切换到变量$s$，我们表明，这些积分的级数展开的解析延拓的奇异性实际上打破了Kramers-Wannier对偶。我们重新审视（J.Phys.A { \bf 38}（2005）9439-9474）中对Ising模型$χ^{(3)}$在点$1+3w+4w^2= 0$处的磁化率的第三贡献，并且示出了$χ^{(3)}(s)$在单位圆$| s |=1$内的对应点处不是奇异的，而其在变量$s$中的解析延拓实际上在单位圆（$| s | > 1$）外部的对应点$ 2+s+s^2=0$处是奇异的。
2007-02-14 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Ising n-fold integrals as diagonals of rational functions and integrality of series expansions
我们表明，n重积分$χ^{(n)}$的磁化率的伊辛模型，以及各种其他n重积分的“伊辛类”，或n重积分从枚举组合，如格格林函数，对应于一类杰出的功能推广代数函数：他们实际上是对角线的有理函数。因此，在x=0处解析的这些线性微分方程的解的幂级数展开式是全局有界的，这意味着，在对展开变量进行一次重新缩放之后，它们可以转换为具有整数系数的级数展开式。我们还给出了几个结果表明，唯一的解析解的Calabi-Yau常微分方程，更一般地说，Picard-Fuchs线性常微分方程，与解决方案的最大重量，总是有理函数的对角线。此外，在更枚举的组合学背景下，其系数表示为二项式项乘积的嵌套和的生成函数也可以被证明是有理函数的对角线。最后，我们解决的问题之间的关系的概念的完整性（系列与整数系数，或更一般地说，全球有界的系列）和模的常微分方程。
2013-03-17 math-ph math.MP
A High-Order Nyström Method for Coupled Boundary Integral Equations in Oblique-Incidence Scattering by Impedance Cylinders
School of Mathematics and Physics, Qingdao University of Science and Technology（青岛科技大学数理学院）
针对斜入射下无限长阻抗圆柱的电磁散射问题，提出基于Kress型对数核分解、周期乘积求积和傅里叶微分的高阶Nyström方法，并构建块对角预条件器，实现边界密度和远场模式的高阶收敛。
2026-06-16 cs.NA math-ph math.MP
The anisotropic Ising correlations as elliptic integrals: duality and differential equations
本文将各向异性正方形格子上伊辛模型的关联函数约化为第一、第二和第三类完备椭圆积分，将Kramers-Wannier对偶性推广到各向异性关联函数，并给出了这些各向异性关联的线性微分方程.更精确地说，我们证明了各向异性关联函数是第一、第二和第三类完全椭圆积分的齐次多项式。给出了与关联函数匹配的精确对偶变换和对偶关联函数。我们表明，线性微分算子零化一般两点关联函数的因式分解在一个非常简单的方式，在运营商的降阶。
2016-09-21 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
On the Singularities in the Susceptibility Expansion for the Two-Dimensional Ising Model
当温度低于临界温度时，二维各向同性伊辛模型的磁化率可以用多重积分的无穷级数表示。对于与温度和相互作用常数有关的参数，积分可以推广到单位圆外的解析函数。在一篇开创性的论文中，B。G.镍确定了一类奇异的单位圆上的这些积分。本文证明了单位圆上不存在其它奇点。
2014-03-16 math-ph math.MP
Integral equations and large-time asymptotics for finite-temperature Ising chain correlation functions
本文研究了有限温度下，在量子临界点附近的普适区域内，横向伊辛量子链的动态两点自旋关联函数。它们是大质量马约拉纳费米子量子场论中扭曲场的关联函数。在有限温度下，这些已知满足一组可积偏微分方程，包括sinh-Gordon方程。我们应用经典的逆散射方法对它们进行了研究，发现对应于关联函数的“初始散射数据”仅仅与作者最近计算的单粒子有限温度形状因子有关。与逆散射问题相关的线性积分方程组（Gelfand-Levitan-Marchenko方程组）原则上给出了所有空间和时间间隔以及所有温度下的两点函数。从他们，我们评估的大时间渐近展开“附近的光锥”，在该区域的空间和时间之间的差异的相关长度的顺序。
2007-11-28 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
The direct electromagnetic scattering problem by a piecewise constant inhomogeneous cylinder at oblique incidence
本文研究斜入射时谐电磁波被分段常数非均匀可穿透无限长圆柱体散射的直接问题，利用边值算子性质和积分方程方法证明了解的存在唯一性，并通过配点法与求积规则逼近奇异积分算子，证明了数值格式在近场和远场中对内部场和散射场的收敛性。
2020-04-29 math-ph math.AP math.MP
Diagonal Ising susceptibility: elliptic integrals, modular forms and Calabi-Yau equations
我们给出了伊辛模型对角磁化率的偏磁化率$χ^{(3)}_d$和$χ^{(4)}_d$的模形式和Calabi-Yau常微分方程的精确表达式，更具体地说，给出了$_3F_2([1/3,2/3,3/2],\, [1,1];\, z)$和$_4F_3([1/2,1/2,1/2,1/2],\, [1,1,1]; \, z)$超几何函数的精确表达式.通过求解连接问题，我们解析地计算了$χ^{(3)}_d$和$χ^{(4)}_d$在所有有限奇点处的行为。我们也给出了$χ^{(5)}_d$的新结果。我们特别看到，出现了一个显着的六阶算子，这是这样的，它的对称平方有一个合理的解决方案。这些新的精确结果表明，出现在伊辛模型的$n$ -重积分中的线性微分算子不仅是“从几何导出的”（整体幂零），而且实际上对应于“特殊几何”（与它们的形式伴随同态）.这就提出了一个问题，看看这些“特殊几何”伊辛算子，是“特殊”的，减少，实际上系统地，（选择，k平衡，.）$_{q+1}F_q$超几何函数，或对应于卡-丘方程的更一般的解决方案。
2011-12-11 math-ph math.MP
From Holonomy of the Ising Model Form Factors to n-Fold Integrals and the Theory of Elliptic Curve
我们回想起与正方形晶格上的伊辛模型的两点对角相关函数的$λ$ -扩展$C(N,N; λ)$对应的形状因子$ f^{(j)}_{N,N}$及其相关的线性微分方程，它们表现出“俄罗斯娃娃”嵌套，以及线性微分算子作为算子直和的分解（等价于完全椭圆积分$E$的微分算子的对称幂）。这些微分算子的标度极限打破了直和结构，但不是"俄罗斯娃娃“结构，"标度”线性微分算子不再是Fuchsian。然后，我们引入一些多重积分的伊辛类预期具有相同的奇异性的$n$ -粒子贡献$χ^{(n)}$的磁化率的正方形晶格伊辛模型的奇异性。我们发现这些多重积分满足的Fuchsian线性微分方程的$n=1,2,3,4$，只有模一个素数，$n=5$和6，从而提供了一个大的（可能的）新的奇点的$χ^{(n)}$。...
2007-10-15 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Anisotropic scaling of the two-dimensional Ising model II: surfaces and boundary fields
基于最近发表的结果[SciPost Phys. 7，026（2019）]，计算了铁磁各向异性正方形晶格伊辛模型在有限晶格上以及在有限尺寸标度极限下的表面和边界场的影响。从开口圆柱体开始，我们独立地在两侧施加边界场，边界场可以是均匀的或交错的，代表不同的边界条件组合。我们确认几个预测从标度理论，共形场论和重整化群理论：我们明确表明，各向异性耦合进入的标度函数通过一个广义的纵横比，并证明开放和交错的边界条件是渐近相等的标度制度。此外，我们研究了出现的表面张力，由于一个反周期边界系统中的对称性破缺边界领域的存在下，再次有限系统以及在标度限制。最后，我们将结果推广到反铁磁伊辛模型.
2019-12-23 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Singularities of $n$-fold integrals of the Ising class and the theory of elliptic curves
我们引入了一些多重积分，预计具有相同的奇异性的$ n$ -粒子贡献$χ^{(n)}$的正方形晶格伊辛模型的磁化率的奇异性。我们发现这些多重积分满足的Fuchsian线性微分方程的$ n=1, 2, 3, 4$和$ n=5$和$ 6$，只有模一些素数，从而提供了一个大的（可能的）新的奇异性的$χ^{(n)}$。通过求解Landau条件，我们讨论了这些重积分的奇异性结构。我们发现，相关的常微分方程的奇点识别（高达$n= 6$）与领先的夹朗道奇点。得到的第二个显著特征是与多重积分相关的常微分方程的奇异性退化为与{ \em有限个一维积分}相关的常微分方程的奇异性。在发现的奇异性，我们强调的事实是，二次多项式条件$ 1+3 w +4 w^2 = 0$，发生在线性微分方程的$ χ^{(3)}$，实际上对应于一个显着的属性选定的椭圆曲线，即发生复杂的乘法。解释复杂的乘法椭圆曲线作为复杂的不动点选择的生成元的重整化群，即椭圆曲线的同源性，勾勒。在我们的多重积分中发生的大多数其他奇异性与复杂的乘法情况无关，这表明在椭圆曲线理论之外的（动机）数学结构方面的解释。
2007-06-22 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
$T \bar{T}$ deformation of the Ising model and its ultraviolet completion
纯$T\bar{T}$变形的共形场论一般是渐近不完整的紫外线（UV）由于平方根奇异性的基态能量的圆柱圆周$R$，这样的理论是病态的距离短于一些临界$R_*$。在这篇文章中，我们将展示如何一个理论可以完成，如果一个包括一个无限数量的额外的无关扰动。这一点在红外（IR）的$c_{IR}= 1/2$的伊辛模型中得到了充分的证明，在那里我们发现了两个中心电荷的完全化$c_{UV} = 3/2$和$c_{UV} = 7/10$，后者是三临界的伊辛模型.这两个紫外完备都具有${\cal N}=1$超对称性，在重整化群流中被破坏到低能量。我们还考虑了自由无质量玻色子的多重$T\bar{T}$变形，其中我们无法找到与c定理一致的UV完备。对于违反c定理的负耦合$g$，在两种情况下我们都发现$c_{UV} = -c_{IR}$为$g \to -\infty$。最后我们还研究了非临界伊辛模型的纯$T\bar{T}$形变。
2022-11-16 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Partition function for several Ising model interface structures
本文提出一种解析方法，计算有限Ising圆柱体中畴壁的过剩自由能，通过最速下降法精确分析积分路径，以提取有限尺寸效应并检测极点交点。
2025-06-20 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Free Fermions and Two-Dimensional Ising Model
二维伊辛模型可表示为格点自由费米子场论的反对易格拉斯曼变量积分。在零磁场的精确解，然后通过计算高斯费米子积分的配分函数。本文认为，通过打开非零磁场，作用量中出现了非局域和非高斯的费米子项，这意味着近似的分析方法。
2004-11-29 cond-mat.stat-mech hep-lat hep-th
Electric potentials and field lines for uniformly-charged tube and cylinder expressed by Appell's hypergeometric function and integration of $Z(u|m) \mathrm{sc}(u|m)$
Research and Education Center for Natural Sciences, Keio University（庆应义塾大学自然科学与教育中心）
本文利用椭圆积分和 Appell 超几何函数推导了均匀带电管和圆柱的电势与场线闭式表达式，引入场线势概念并定义了拓扑荷，同时填补了经典公式表中关于 $Z(u|m)\operatorname{sc}(u|m)$ 积分的空白。
2025-10-11 hep-th math-ph math.MP
A thermal form factor series for the longitudinal two-point function of the Heisenberg-Ising chain in the antiferromagnetic massive regime
我们考虑了反铁磁质量体系中XXZ量子自旋链的纵向动力学两点函数。它具有基于模型的量子传输矩阵的形状因子的级数表示。该级数的第$n$被加数是考虑量子转移矩阵的所有$n$ -粒子$n$ -空穴激发的重积分。在以前的作品中，积分下出现的形状因子振幅的表达式再次表示为多重积分或Fredholm行列式。在这里，我们得到一个表示，减少，在零温度限制，基本上是一个产品的两个有限矩阵的决定因素，其条目是已知的特殊功能。这将有助于进一步分析关联函数。
2021-11-27 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Solid angle subtended by a cylindrical detector at a point source in terms of elliptic integrals
位于任意位置的点源处的直圆柱所对的立体角通常由两项之和组成：由圆柱表面（$Ω_{cyl}$）定义的立体角和由任一端圆（$Ω_{circ}$）定义的立体角。我们推导出一个表达式$Ω_{cyl}$的第一和第三类椭圆积分，并给出类似的表达式$Ω_{circ}$使用的第一和第二类积分。这些后者可以用来替代表达式也在椭圆积分方面，由于菲利普A。麦克林和包括作为一个脚注在面具（修订版科学。仪器，28（3），191-197，1957）。当源位于任意位置时，整个圆柱体所对的立体角可以使用椭圆积分来计算。
2003-02-02 math-ph math.MP physics.ins-det
Lee-Yang zeros for DHL and 2D rational dynamics, I. Foliation of the physical cylinder
在20世纪50年代的一项经典工作中，Lee和Yang证明了铁磁Ising模型的分拆函数的零点总是位于单位圆上。这些零点的分布在物理上很重要，因为它控制着模型中的相变。我们研究这种分布的Migdal-Kadanoff钻石分级晶格（DHL）。在这种情况下，它可以用两个变量的显式有理函数$\RR$的动力学（重整化变换）来描述。证明了$\RR$在不变柱面$\CC$上是部分双曲的.李-杨零点被组织在一个横向措施的中心稳定叶理$\RR|\, \CC$。它们的分布是绝对连续的。其密度在临界温度以下为$C^\infty$（且不为零）。在临界温度以上，它在开稠密子集上为$C^\infty$，但在正测度的补康托尔集上为零.这似乎是第一次一个完整的严格的描述李杨分布超过一维模型。
2010-09-23 math-ph math.CV math.DS
Scaling functions in the square Ising model
对于伊辛模型$ F_{\pm}(r)= \lim_{scaling} {\cal M}_{\pm}^{-2} < σ_{0,0} \, σ_{M,N}> = \sum_{n} I_{n}(r)$的两点相关标度函数中的积分$I_n(r)$，证明并给出了q= n^2/4+n+7/8+（-1）^n/8阶线性微分算子${\cal L}^{scal}_q$.在具有超越组合系数的$\, {\cal L}^{scal}_q$形式解的基础上，给出了r= 0附近展开的积分$ I_{n}(r)$。我们发现表达式$ r^{1/4}\,\exp(r^2/8)$是Painlevé VI方程在标度极限下的解。$ {\cal L}^{scal}_q$的（在$ r= 0$的分析）溶液的组合总和为$ \exp(r^2/8)$。我们表明，表达式$ r^{1/4} \exp(r^2/8)$是相关函数$ C(N, N)$和$ C(N, N+1)$的标度极限。给出了算子$ {\cal L}^{scal}_q$中因子的微分Galois群.
2014-10-25 math-ph math.MP
Holonomy of the Ising model form factors
我们研究了伊辛模型的两点对角相关函数$ C(N,N)$，提出了一个指数和形状因子展开的积分表示，不同于已知的扩展吴，McCoy，特雷西和Barouch。我们扩展这种扩展，加权，由一个变量$λ$，$j$粒子的贡献，$ f^{(j)}_{N,N}$的权力。相应的$ λ$扩展的两点对角相关函数，$ C(N,N; λ)$，示出，对于任意的$λ$，是一个解决方案的sigma形式的Painlev{é} VI方程介绍的Jimbo和Miwa。线性微分方程的形状因子$ f^{(j)}_{N,N}$得到，并示出有一个"俄罗斯娃娃“嵌套，和分解的微分算子作为一个直接和运营商等效的椭圆积分$ E$的微分算子的对称权力。每个$ f^{(j)}_{N,N}$用椭圆积分$ E$和$ K$多项式表示。这些微分算子的标度极限打破了直和结构，但没有打破“俄罗斯娃娃”结构。以前的$ λ$ -扩展，$ C(N,N; λ)$，对于挑选出的值$ λ= \cos(πm/n)$（$m, n$整数），也是线性微分方程的解。这些解决方案Painlevé VI实际上是代数函数，与模曲线。
2006-11-06 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
