On the rank of the fibres of rational elliptic surfaces
本文研究定义在数域$k$上的椭圆曲面$π: \mathcal{E}\rightarrow \mathbb{P}^1$，研究了$k$上特殊纤维的秩与$k(\mathbb{P}^1)$上一般纤维的秩的比较问题.我们证明，对于一个大类的理性椭圆曲面，存在无穷多个纤维的秩至少等于一般秩加2。
2013-07-23 math.AG math.NT
Rank jumps on elliptic surfaces and the Hilbert property
给定数域上的椭圆曲面，研究了Mordell-Weil秩大于一般秩的纤维的集合.在适当的假设下，我们表明，这个集合是不薄的。我们的结果适用于二次扭曲的家庭和del Pezzo表面的程度$1$。
2020-11-25 math.AG math.NT
Moderate rank jumps on rational elliptic surfaces via construction of conics
本文通过构造圆锥方法，在有理椭圆面中实现秩的适度跳跃，研究具有高秩纤维的椭圆面家族。
2025-12-02 math.AG math.NT
Ordinary elliptic curves of high rank over $\bar F_p(x)$ with constant j-invariant II
证明了对所有奇素数$p$，存在$\bar{\mathbb{F}}_p(x)$上的正常椭圆曲线，它具有任意高的秩和常数$j$ -不变量.这表明，特别是有椭圆曲线与任意高的秩在这些领域，相应的椭圆表面是不是超奇异的。这个结果是由一个定理得出的，该定理指出，对于所有奇素数$p$和$\ell$，在亏格为$(\ell-1)/2$的$\bar{\mathbb{F}}_p$上存在一条超椭圆曲线，其雅可比矩阵与一条普通椭圆曲线的幂同构。
2006-07-18 math.AG math.NT
On the Rank of the Elliptic Curve y^2=x(x-p)(x-2)
定义在\Q上的椭圆曲线E是一个代数簇，它形成一个生成的阿贝尔群，并且结构定理意味着E = \Z^r + \Z_{tors}，对于某个r \geq 0;这个值r被称为E的秩。曲线的秩分类是椭圆曲线研究中的经典问题。本文利用2-下降法计算了两类椭圆曲线的秩，其中E由E：y^2 = x（x-p）（x-2）给出，p，p-2为孪生素数.
2009-09-09 math.AG math.NT
The rank and generators of Kihara's elliptic curve with torsion $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ over $\mathbb{Q}(t)$
对于Kihara发现的$\mathbb{Q}(t)$上的椭圆曲线$E$，在挠群$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$和秩$\geq 5$上，利用适当的内射特化，我们精确地确定了$E(\mathbb{Q}(t))$的秩和生成元.
2014-10-25 math.AG math.NT
Ranks of elliptic curves with prescribed torsion over number fields
研究了2、3、4阶数域上椭圆曲线的Mordell-Weil群的结构。证明了若$T$是群，则二次域上所有具有扭子群$T$的椭圆曲线的类要么为空，要么包含秩为0的曲线和正秩的曲线.我们证明了一个类似的，但稍弱的三次和四次领域的结果。另一方面，我们找到一个群$T$和一个四次域$K$，使得在具有挠子群$T$的$K$上的椭圆曲线中，存在正秩曲线，但不存在秩~0的曲线。我们发现的例子椭圆曲线的正秩和给定的挠在许多以前未知的情况下。我们还证明了所有的椭圆曲线在二次域上的一个点的阶数为13或18和所有的椭圆曲线在四次域上的一个点的阶数为22是同构的伽罗瓦共轭之一，并通过一个现象，我们称之为\emph{false complex multiplication}，有偶数秩。最后，我们讨论了与有限域上的椭圆曲线的关系以及在整数分解中的应用。
2011-12-31 math.AG math.NT
Constructing Elliptic Curves over $\mathbb{Q}(T)$ with Moderate Rank
给出了$\mathbb{Q}(T)$上中秩椭圆曲线的几种新构造.特别是，我们构造无穷多个有理椭圆曲面（不属于维尔斯特拉斯形式）秩6以上$\mathbb{Q}$使用多项式的次数为2 $T$。虽然我们的方法生成线性无关点，但我们能够证明秩正好是6 \emph{without}，必须验证点是独立的。该方法具有推广性;然而，高阶曲面不是有理的，我们需要检查构造的点是线性无关的。
2004-06-28 math.AG math.NT
Mordell-Weil ranks of families of elliptic curves parametrized by binary quadratic forms
证明了二元二次型参数化的椭圆曲线$y^2=x(x-αa^2)(x-βb^2)$的Mordell-Weil秩.我们表达我们明确的下界的数字字段，并提供了一个详细的描述相应的Mordell-Weil群结构的功能字段的情况下。
2016-09-15 math.AG math.NT
Descent on elliptic surfaces and arithmetic bounds for the Mordell-Weil rank
我们介绍了使用$p$下降技术的椭圆曲面上的一个完满域的特点不是$2$或$3$。在适当的假设下，得到了非常数椭圆曲面秩的一个上界。当$p=2$时，该界是从Igusa不等式推导出的秩的著名几何界的算术精化。这回答了Ulmer提出的问题。我们给出了有理数上椭圆曲面的秩界的一些应用。
2021-06-30 math.AG math.NT
Ranks of elliptic curves over function fields
我们提出的实验证据来支持广泛持有的信念，一半的所有椭圆曲线有无穷多个有理点。用于收集这一证据的方法是一个完善的算法，由于作者是基于刚性和结晶上同调。
2007-11-29 math.AG math.NT
The average Mordell-Weil rank of elliptic surfaces over number fields
该研究证明了椭圆面在数域上平均Mordell-Weil秩的猜想，并展示了稀疏集性质及类似结果。
2022-04-26 math.AG math.NT
Hodge theory and the Mordell-Weil rank of elliptic curves over extensions of function fields
利用Hodge理论证明了函数域上椭圆曲线的Mordell-Weil群的秩的一个新上界，该上界是对基域进行正则几何伽罗瓦扩张后得到的，改进了Silverman和Ellenberg以前的结果，当基域具有特征零点并且椭圆曲线导体的支撑和扩张的分歧因子的支撑不相交时。
2014-01-04 math.AG math.NT
Mordell-Weil ranks of families of elliptic curves associated to Pythagorean triples
研究了由勾股三元组$(a,b,c)$参数化的椭圆曲线族$y^2=x(x-a^2)(x-b^2)$.证明了对于一般三元组，$\mathbb{Q}$上的Mordell-Weil群的秩的下界为1，对于某些显式给定的无限族，秩为2.对每个家庭，我们附加一个椭圆表面纤维的投影线。我们表明，下界的秩是最佳的，在这个意义上说，这样的椭圆形表面的每一个通用的纤维，其相应的Mordell-Weil组的功能领域$\mathbb{Q}(t)$有秩1或2，分别。为了证明这一点，我们计算的特征多项式的弗罗贝尼乌斯自同构作用于第二个$\ell$ -进上同调群附加到椭圆形表面的Kodaira尺寸0和1。
2013-06-29 math.AG math.NT
Databases of elliptic curves ordered by height and distributions of Selmer groups and ranks
大多数与椭圆曲线的秩相关的系统数据表按导体对曲线进行排序。最近的事态发展，导致工作的Bhargava，Shankar研究的平均大小的$n$ -塞尔默群，已经给出了新上界的平均代数秩在家庭的椭圆曲线超过$\mathbb{Q}$有序的高度。我们描述的数据库中的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$排序的高度，我们计算的行列和$2$ -Selmer组的大小，其分布也可以比较这些理论结果。在这些数据库中观察到的一个引人注目的新现象是，随着身高的增加，平均排名最终会下降。
2016-05-19 math.AG math.NT
Murmurations and Sato-Tate Conjectures for High Rank Zetas of Elliptic Curves
本研究将有理数域上椭圆曲线的Sato-Tate猜想与murmuration现象从阿贝尔Hasse-Weil Zeta函数推广至其p约化的非阿贝尔高秩Zeta函数，证明二者在该场景下同样成立。
2024-10-07 math.AG math.NT
Three lectures on elliptic surfaces and curves of high rank
在过去的两年中，我们已经改进了几个（Mordell-Weil）秩记录的椭圆曲线在Q和非常数椭圆曲线在Q（t）。例如，我们发现了曲线E/Q在E（Q）中有28个独立点P_i的第一个例子（之前的记录是24，由R.Martin和W.McMillen在2000年发现），以及Q上的曲线的第一个例子，其Mordell-Weil群同构于（Z/2 Z）x Z ^[18]（之前的曲线的秩记录是15，由Dujella在2002年发现）。在这些讲座中，我们给出了导致这些新记录和相关应用的一些背景、理论和计算工具。一.背景和概述：定理的Mordell（-Weil）和Mazur;秩问题;的方法Neron-Shioda和梅斯特;椭圆曲面和Neron专业化;领域以外的Q。II椭圆曲面和K3曲面：Mordell-Weil和Neron-Severi群;高Neron-Severi秩的K3曲面及其模; Mordell-Weil秩为17的Q上的椭圆K3曲面。高秩K_3曲面及其模的其他应用III计算问题、技术和结果：Niemeier格的切片;寻找和转换高阶K3曲面的模型;寻找良好的专业化。椭圆曲线的新秩记录摘要。
2007-09-18 math.AG math.NT
Ordinary elliptic curves of high rank over $\bar F_p(x)$ with constant j-invariant
证明了在Artin原根猜想的假设下，对所有素数p，存在$\bar F_p(x)$上任意高秩且具有常数j不变的正常椭圆曲线.对于奇素数p，这个结果来自一个定理，该定理指出，只要p是（Z/ell Z）^*/<-1>（ell是奇素数）的生成元，就存在$\bar F_p$上的超椭圆曲线，其雅可比矩阵与一个正常椭圆曲线的幂同构。
2003-05-04 math.AG math.NT
Murmurations and Sato-Tate Conjectures for High Rank Zetas of Elliptic Curves II: Beyond Riemann Hypothesis
本文提出不依赖黎曼假设的新方法，利用更强渐近界建立椭圆曲线高阶Zeta函数的Sato-Tate定律并表述Murmuration现象。
2025-01-21 math.AG math.NT
Distribution of Mordell--Weil ranks of families of elliptic curves
讨论了椭圆曲线族$y^2=(x+αf^2)(x+βb g^2)(x+γh^2)$的Mordell-Weil秩的分布，其中$f,g,h$是参数化射影光滑二次曲线的互质多项式，$a^2+b^2=c^2$和$α,β,γ$是$\overline{\mathbb{Q}}$的元素.在我们以前的论文中，我们讨论了这个问题的某些特殊情况，在这篇文章中，我们通过证明一般结果来完成这一过程。
2016-09-15 math.AG math.NT
The rank of elliptic surfaces in unramified abelian towers
设E -> C是定义在数域K上的椭圆曲面。对于定义在K上的每个有限覆盖C' --> C，设E' --> C'是拉回.在C' -> C是非分歧阿贝尔覆盖的情况下，在Tate猜想对E'/K成立的假设下，给出了E '（C'/K）的秩的一个强上界.当C是椭圆曲线，映射C '= C --> C是n乘映射时，E'（C '/K）的秩对于每个e > 0都是O（n^e），这可以与O（n^2）的初等界相比较。
2003-05-01 math.AG math.NT
Intermediate Jacobian and Some Arithmetic Properties of Kummer-surface-type CY 3-folds
在这篇文章中，我们研究了Kummer曲面型CY三重$\hat{T/G}$的算法方面，其特征在于只有孤立奇点的三环面轨道$T/G$的临界分辨率。直到同构为止，只有两个这样的空间$\hat{T/G}$具有$|G|=3, 7$，并且两个$T$都具有CM椭圆曲线的三重积结构。这些$\hat{T/G}$的（Griffiths）中间雅可比行列式被明确地标识为$T$结构中出现的相应椭圆曲线。我们进一步给出了$\hat{T/G}$的$\QZ$ -结构，并验证了它们的模块性.
2005-03-16 math.AG math.NT
The $p$-rank stratification of the moduli space of double covers of a fixed elliptic curve
本文研究了固定椭圆曲线双覆盖的模空间中 $p$-阶数分层的结构，证明了闭层的维数与预期一致，并展示了存在光滑双覆盖可取所有可能的 $p$-阶数。
2026-02-28 math.AG math.NT
Symmetric diophantine systems and families of elliptic curves of high rank
虽然已经有相当大的兴趣在这个问题上找到高秩的椭圆曲线的$\mathbb{Q}$，很少参数化家庭的椭圆曲线的一般秩$\geq 8$已公布。在本文中，我们使用某些对称丢番图系统的解决方案，以建立几个参数化的家庭椭圆曲线，其一般的秩范围从至少8到至少12。具体数值的参数产生椭圆曲线具有相当大的系数，因此，我们可以确定精确的排名只有在少数情况下，排名的椭圆曲线$\leq 13$。然而，期望本文中得到的椭圆曲线的参数化族将产生具有更高秩的椭圆曲线的例子。
2018-09-18 math.NT
Positive-rank elliptic curves arising pythagorean triples
本文引入了一类新的正秩椭圆曲线，它们都是由勾股三元组组成的.
2017-03-29 math.NT
A positive proportion of elliptic curves over $\mathbb{Q}$ have rank one
证明了当$\mathbb{Q}$上的所有椭圆曲线按朴素高度排序时，正比例的代数秩和解析秩都为1.因此，椭圆曲线的平均秩和平均解析秩都是严格正的。
2014-01-01 math.NT
New Rank Records For Elliptic Curves Having Rational Torsion
我们提出了具有扭子群Z/2 Z、Z/3 Z、Z/4 Z、Z/6 Z和Z/7 Z的破秩记录的椭圆曲线。
2020-02-28 math.NT
A heuristic for boundedness of ranks of elliptic curves
我们提出了一个启发式，表明椭圆曲线的秩有理数是有界的。事实上，它表明只有1000多个椭圆曲线的秩大于大于21。我们的启发式算法基于同时对椭圆曲线的秩和Shafarevich-Tate群进行建模，并依赖于对指定秩的交替整数矩阵进行计数的定理。我们还讨论了类似的椭圆曲线在其他全球领域。
2018-07-10 math.NT
Ranks of elliptic curves in families of quadratic twists
证明了椭圆曲线二次扭的秩的无界性等价于某些无穷级数的发散性。
1999-12-01 math.NT
On the distribution of analytic ranks of elliptic curves
本文在椭圆$L$ -函数的GRH下，给出了椭圆曲线具有$L$ -函数的解析秩$L$-的概率的上界，以及椭圆曲线的解析秩的$n$ -阶矩的上界.这些是计算具有局部条件的椭圆曲线的应用，例如，在$p$处具有好约化。
2020-04-10 math.NT
Average analytic rank of elliptic curves with prescribed torsion
证明了在椭圆曲线$L$ -函数的GRH下，具有给定挠率$G$的椭圆曲线的平均解析秩对每个挠群$G$是有界的.
2021-07-26 math.NT
Upper bounds for moments of analytic ranks of elliptic curves over number fields
研究数域上椭圆曲线解析秩矩的上界，通过证明条件上界及解析秩大于给定界的椭圆曲线密度的条件界来进行研究。
2026-07-20 math.NT
On the rank of certain parametrized elliptic curves
本文研究了\Q上由方程E_{p}：Y^2=（X-p）^3+X^3+（X+p）^3给出的椭圆曲线族，其中p是素数.证明了椭圆曲线的最大秩至多为3，并给出了秩（E_p（\Q））=0或秩（E_p（\Q））=1或秩（E_p（\Q））>=2的条件.证明了该族中存在秩为0，1，2，3的椭圆曲线.
2012-01-27 math.NT
A Simple Method for High-Rank Families of Elliptic Curves with Specified Torsion
我们描述了一个简单而有效的方法，用于推导具有高秩的所有成员具有相同挠子群结构的椭圆曲线族。
2014-10-07 math.NT
On The Rank Of Congruent Elliptic Curves
本文中，$p$和$q$是两个不同的奇素数.首先构造了对应于$p$、$2p$、$pq$和$2pq,$的全等椭圆曲线，然后在全等数的情况下，确定了相应的全等椭圆曲线的秩.
2017-01-08 math.NT
Infinitely many elliptic curves of rank exactly two, II
在奇偶猜想下，构造了一类秩为2且扭子群为二阶或三阶循环群的椭圆曲线的无穷族.
2018-09-27 math.NT
On positive proportion of rank zero twists of elliptic curves over Q
推广\cite{dab2}的思想，利用2-下降法，给出了Q上的三类椭圆曲线，使得这类椭圆曲线的素数扭转的正比例同时为秩零.
2013-11-20 math.NT
Elliptic curves of rank one over number fields
该研究证明了对任意数域 $K$，均存在无穷多条秩恰好为 1 的椭圆曲线，解决了该领域的一个基本存在性问题。
2025-05-22 math.NT
Elliptic curves of unbounded rank and Chebyshev's bias
建立了$\mathbb Q$上椭圆曲线解析秩的定量无界性与高偏椭圆曲线素数族存在性之间的条件等价性.我们表明，有条件的黎曼假设和假设上的多重性的零$L(E,s)$，大的分析秩转化为一个极端的切比雪夫偏见。相反，我们表明，在一定的线性独立性假设下的零点$L(E,s)$，如果高度偏置的椭圆曲线素数种族确实存在，然后黎曼假设成立无限多个椭圆曲线$L$ -功能，并存在椭圆曲线的任意大的秩。
2013-04-30 math.NT
Infinite family of elliptic curves of rank at least 4
我们研究了椭圆曲线$E_t$：$y^2+txy=x^3+tx^2-x+1$的$\mathbb{Q}$ -秩，其中$t$是有理参数.我们证明了对于无穷多个$t$值，$E_t(\mathbb{Q})$的秩至少为4。
2009-11-14 math.NT
Rank of elliptic curves and class groups of real quadratic fields
本文研究了椭圆曲线的秩与实二次域类群非平凡性之间的联系。
2026-01-24 math.NT
An elliptic K3 surface X/Q(t) with Mordell-Weil rank 17, I: Formulas for X and base changes of rank 18 and 19
本文给出Q(t)上Mordell-Weil秩17的椭圆K3曲面X的公式，证明其二次基变换可得到秩18的椭圆曲面，一对复合后得秩19的椭圆曲面，对应无穷多条Q上高秩椭圆曲线。
2026-08-27 math.NT
Rank one elliptic curves and rank stability
本文证明对任意数域的二次扩张，存在无穷多个秩为一的椭圆曲线，推广了相关定理，并通过特化非平凡秩一椭圆曲线族并计算所有秩来获得结果。
2025-05-22 math.NT
On the Ranks of the 2-Selmer Groups of Twists of a Given Elliptic Curve
本文推广了Swinnerton-Dyer关于给定椭圆曲线具有特定秩的2-Selmer群的扭数密度的工作.
2013-09-03 math.NT
On a Family Of Elliptic Curves With Positive Rank arising from Pythagorean Triples
本文的目的是引入一个新的椭圆曲线族的形式$y^2=x(x-a^2)(x-b^2)$，具有正秩。我们首先生成一个列表的勾股三元组$(a,b,c)$，然后构造这个家庭的椭圆曲线。证明了这个新族具有正秩，并求出了它们的秩的上界。
2011-06-19 math.NT
Rank bias for elliptic curves mod $p$
我们猜想，对于一个固定的素数$p$，有理椭圆曲线具有较高的秩往往有更多的点模$p$。我们发现，有一个类似的偏置模形式的根数，并推测，顺序的秩偏置椭圆曲线大于根数偏置模形式。
2021-03-03 math.NT
Analytic ranks of elliptic curves over number fields
设$E$是$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线。然后，我们证明了$E$在$\mathbb{Q}$上的次数为$l$的循环扩张上的平均解析秩至多为$2$，其中$r_{\mathbb{Q}}(E)$是$\mathbb{Q}$上椭圆曲线$E$的解析秩.这个界与$l$的度无关。另外，我们还得到了$S_d$ -域上的平均解析秩结果。
2022-03-28 math.NT
Elliptic curves with large torsion and positive rank over number fields of small degree and ECM factorization
本文给出了几种构造小次数域上具有大扭群和正秩的椭圆曲线的方法。我们还讨论了这种曲线在椭圆曲线分解方法（ECM）中的潜在应用。
2011-12-31 math.NT
On the typical rank of elliptic curves over ${\mathbb Q}(T)$
我们给上界的一些家庭有积极的秩的理性椭圆曲面的数量，特别是获得这些形成一个子集的密度为零。这证实了Cowan在$m,n\leq2$情况下的猜想（arXiv：2009.08622 v2）。
2022-03-29 math.NT
Conjecture: 100% of elliptic surfaces over $\mathbb{Q}$ have rank zero
基于一个方程的秩的椭圆表面上$\mathbb{Q}$出现在工作中的长尾，罗森，和西尔弗曼，我们猜想，100%的椭圆表面的秩$0$时，他们的维尔斯特拉斯方程的系数的大小排序，并提出了一个概率启发式证明这一猜想。然后，我们将讨论它将如何遵循无论是从某些$L$ -功能的理解，或从理解的局部行为的表面。最后，我们对有限域上椭圆曲面的秩提出了一个猜想，并给出了一些实验证据。
2020-09-21 math.NT
Infinite rank of elliptic curves over $\mathbf{Q}^{\ab}$
如果$E$是定义在二次域$K$上的椭圆曲线，并且$E$的$j$不变量不是0或1728，则$E(\mathbf{Q}^{\ab})$具有无限秩。如果$E$是Legendre形式的椭圆曲线$y^2 = x(x-1)(x-λ)$，其中$\mathbf{Q}(λ)$是三次域，则$E(K \mathbf{Q}^{\ab})$具有无限秩。若$λ\in K$有一个4次极小多项式$P(x)$，且$v^2 = P(u)$是$\bbq$上的正秩椭圆曲线，我们证明了$y^2 = x(x-1)(x-λ)$在$K\bbq^{\ab}$上有无穷秩.
2012-02-07 math.NT
100% of elliptic curves with a marked point have positive rank
本文为带标记点的椭圆曲线具有正秩提供了替代证明，并将该结论扩展至特征不为2或3的global fields。
2025-03-18 math.NT
Conditionally bounding analytic ranks of elliptic curves
在Birch猜想和Swinnerton-Dyer猜想以及广义黎曼假设的假设下，给出了一种确定椭圆曲线秩的方法.作为一个例子，我们计算，根据这些结构，确切的上界曲线，已知有秩至少为20，21，22，23，和24一样大。对于秩至少为28的已知曲线，我们得到的界为30。
2011-12-07 math.NT
Diophantine triples and construction of high-rank elliptic curves
利用丢番图m元组理论，即任意两个不同元素加1的乘积是完满平方的集合，我们构造了Q（t）上秩至少为4的具有三个非平凡扭点的椭圆曲线.通过特殊化，得到了Q上挠群Z/2 Z * Z/2 Z秩为7的椭圆曲线的一个例子.
1998-06-09 math.NT
