Existence of Hopf subalgebras of GK-dimension two
Guangbin Zhuang
设$H$是特征为零的代数闭域上的点霍普夫代数.如果$H$是一个有限Gelfand-Kirillov维数大于或等于2的整环，则$H$包含一个Gelfand-Kirillov维数为2的Hopf子代数.
Let $H$ be a pointed Hopf algebra over an algebraically closed field of characteristic zero. If $H$ is a domain with finite Gelfand-Kirillov dimension greater than or equal to two, then $H$ contains a Hopf subalgebra of Gelfand-Kirillov dimension two.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Depth Two Hopf Subalgebras of Semisimple Hopf algebras
设H是特征为零的代数闭域上的有限维半单霍普夫代数.本文给出了H的一个Hopf子代数是深度为2的子代数的一个简短证明当且仅当它是正规的Hopf子代数。
On normal Hopf subalgebras of semisimple Hopf algebras
推广了Masuoka关于正规Hopf子代数的判据，给出了子余代数在伴随作用下不变的一个判据。在特征标水平上，正规Hopf子代数的归纳函子的象与限制函子的象同构。
Projectivity of Hopf algebras over subalgebras with semilocal central localizations
证明了一类Hopf子代数和右余理想子代数上的霍普夫代数的模结构的一些新结果。
On the flatness and the projectivity over Hopf subalgebras of Hopf algebras over discrete valuation rings
研究了定义在Dedekind环上的霍普夫代数在其霍普夫子代数上的平坦性和射影性。给出了一个忠实平坦性的判别准则，并利用它来证明任意平坦霍普夫代数在其有限正规Hopf子代数上的忠实平坦性.对于投射霍普夫代数的投射性，我们需要一些关于积分模的有限性条件。特别地，我们证明了积分模的秩为1.
Flatness of Noetherian Hopf algebras over coideal subalgebras
证明了剩余有限维霍普夫代数是任意右Noether右余理想子代数上的平坦模.在Hopf子代数的情况下，我们得到忠实平坦。这些结果是通过证明这些代数的经典商环的存在性得到的。证明了左、右Noether剩余有限维霍普夫代数的对极都是双射的.因此，这样的霍普夫代数同时是右诺特代数和左诺特代数。
Failure of flatness over finite-dimensional Hopf subalgebras
本文证明任意有限维非半单 Hopf 代数作为子代数时存在非平坦的包含代数，并指出一类无限维 Hopf 代数保证所有 Hopf 代数在其子代数上忠实平坦。
Flatness over PI coideal subalgebras
在剩余有限维霍普夫代数H具有Artin分式环的假设下，证明了H是满足多项式恒等式的右余理想子代数上的平坦模，且H在多项式恒等式的Hopf子代数上是忠实平坦的.作为一个结果，我们发现了一大类的霍普夫代数是平坦的所有共理想子代数，并忠实平坦的所有Hopf子代数。
Faà di Bruno subalgebras of the Hopf algebra of planar trees from combinatorial Dyson-Schwinger equations
考虑平面有根树H的非交换Connes-KreimerHopf代数中的组合Dyson-Schwinger方程X=B^+（P（X）），其中B^+是嫁接到根上的算子，P是形式级数.该方程的唯一解X生成\H的分次子代数A_P。我们描述了所有形式级数P，使得A_P是一个霍普夫子代数。我们以这种方式获得一个2参数家庭的H的Hopf子代数，组织成三个同构类：第一个，限制在一个变量的一个多项式环;第二个，限制在梯子的Hopf子代数，同构的霍普夫代数的准对称函数;最后（无限）一个，它给出了一个非交换版本的Faà di Bruno霍普夫代数。最后一类通过取商，给出了Faà di Bruno代数到有根树的Connes-Kreimer霍普夫代数的无限嵌入集.此外，我们给出了D变量上的自由Faà di Bruno霍普夫代数到装饰有根树的霍普夫代数的一个嵌入，以及这个嵌入的一个非交换形式。
Normal Hopf subalgebras of semisimple Hopf algebras
本文引入了半单霍普夫代数表示的核的概念。在某些特殊情况下，证明了与群表示的核类似的性质。特别地，半单霍普夫代数H的每个正规Hopf子代数都是H的一个表示的核.
An affine PI Hopf algebra not finite over a normal commutative Hopf subalgebra
在建立一个广义的框架来研究某些自然产生于表示论的非交换代数时，K。A.布朗问，如果每一个生成的霍普夫代数满足多项式身份是有限的正常交换的霍普夫子代数。本文证明了Radford的双积应用于李超代数pl（1，1）的包络代数，提供了一个Noether素反例.
Cosemisimple Hopf algebras are faithfully flat over Hopf subalgebras
关于一个霍普夫代数$H$在一个霍普夫子代数$A$上是否忠实平坦的问题在几种特殊情况下得到了肯定的答案：当$H$（或者更一般地说，只是$A$）是交换的，或者是余交换的，或者是指向的，或者当$K$包含$H$的余根时。我们证明了标题中的陈述，将余半单霍普夫代数类添加到已知在所有霍普夫子代数上忠实平坦的那些上。我们还证明了所得到的“正合序列”$A\to H\to C$的第三项总是一个余半单余代数，并且当$H$是一个CQG代数时，期望$H\to A$是正的.
Normal Hopf subalgebras in cocycle deformations of finite groups
设$G$是有限群，$π: G \to G'$是满射群同态.考虑$G$上的$k$值线性函数的Hopf代数$H = k^G$的上循环变形$L = H^σ$，关于某个卷积可逆的2-上循环$σ$ .（正规）霍普夫子代数$k^{G'} \subseteq k^G$对应于一个霍普夫子代数$L' \subseteq L$。我们的主要结果是一个明确的必要和充分条件的正规性$L'$在$L$。
Cohen-Macaulay invariant subalgebras of Hopf dense Galois extensions
设$H$是半单Hopf代数，$R$是Noether左$H$ -模代数.若$R/R^H$是右$H^*$ -稠密Galois扩张，则不变子代数$R^H$在适当的条件下继承$R$的AS-Cohen-Macaulay性质，且$R$作为右$R^H$ -模是Cohen-Macaulay模.特别地，我们证明了如果$R$是一个整体维数为2的Noether完全半局部代数，且对于某个有限子群$G\subseteq Aut(R)$，$H=\operatorname{\bf k} G$是AS-正则的，则$R^H$的所有不可分解Cohen-Macaulay模都是$R_{R^H}$的直和项，从而$R^H$是Cohen-Macaulay-有限的，推广了交换环的一个经典结果.本文所使用的主要工具是对象在相应的商范畴中的扩张群。
Commutator Hopf subalgebras and irreducible representations
S. Montgomery和S. Witherspoon证明了当有限维的上、下半可解、半单霍普夫代数的维数不能被基域的特征整除时，它们是Froebenius型的.本文证明了有限维半单下可解霍普夫代数在任意特征下都是Froebenius型的.
Plane posets, special posets, and permutations
本文研究了Malvenuto和Albertenauer引入的特殊偏序集的自对偶霍普夫代数$\h\_{\SP}$以及由线性扩张给出的从$\h\_{\SP}$到自由拟对称函数的Hopf代数$\FQSym$的霍普夫代数态射.特别地，我们构造了两个同构于$\FQSym$的Hopf子代数;第一个是基于平面偏序集，第二个是基于堆序森林。这两个Hopf子代数之间的显式同构也定义了两个特殊偏序集上的变换的帮助下。本文还研究了$\h\_{\SP}$的Hopf对这些Hopf子代数和其他Hopf子代数的限制，以及它们之间的某些等距。Darij Grinberg注意到第7节中的一个错误，并相应地修改了文本。
Multigraded combinatorial Hopf algebras and refinements of odd and even subalgebras
我们发展了一个多阶的理论（即，$N^l$ -分次）组合霍普夫代数代数建模的理论，分次组合霍普夫代数代数开发的阿吉亚尔，Bergeron，和Sottile [Compos. 142（2006），1- 30]。特别是，我们引入的概念，规范$k$ -奇和$k$ -偶子代数与任何多级组合霍普夫代数，同时延长Aguiar等人的工作。在我们的研究结果是具体的分类结果，更高级别的拟对称函数，几个基础的变化公式，并推广的下降到峰值的地图。
Normal Hopf subalgebras, depth two and Galois extensions
设$S$为深度为2的扩张的左$R$ -双代数胚，其中心化器为$R$，如数学QA/0108067中所定义。证明了深度为2的扩张的左自同态环是$A^{\rm op}$的左$S$-Galois扩张，但不一定是平衡的.看看深度2的例子，我们建立了一个Hopf子代数是正规的当且仅当它是一个Hopf-Galois扩张。我们在数学中找到了一类可供选择的Hopf代数胚的例子。QA/0302325。我们还刻画有限弱Hopf-伽罗瓦扩展使用交替伽罗瓦规范映射与几个推论：这些是深度2和满射的伽罗瓦映射意味着它的双射。
Normal Hopf subalgebras of semisimple Drinfeld doubles
给出了半单Drinfeld对偶的所有正规Hopf子代数的一个刻划.这是通过考虑一个类似的Goursat的引理有关的Deligne产品的两个融合类别的融合子类别。作为一个应用，我们证明了任何阿贝尔扩张的Drinfeld二重化也是阿贝尔扩张。
Semisimple Hopf algebras and their depth two Hopf subalgebras
证明了半单霍普夫代数H的深度为2的Hopf子代数K是正规的（其中基域$k$是特征零代数闭的）.这意味着，一方面，一个Hopf子代数是正常的，当诱导（然后限制）模几次，而不是一次创建没有新的简单成分。这一观点是采取的文件http://arxiv.org/abs/math/0409346建立了正规性的结果的情况下H和K是有限群代数。另一方面，这意味着当H| K是关于广义双代数如双代数胚、弱霍普夫代数或Hopf代数胚作用的Galois扩张。本文采用深度为2的广义Galois图的观点：在证明中心化子R是可分代数后，利用Hopf不变量理论计算出深度为2的半单霍普夫代数对H| K是自由的Frobenius扩张，其马尔可夫迹满足Kadison和Nikshych，Frobenius扩张和弱霍普夫代数，J.代数244（2001）中考虑的所有假设。根据文中的主要定理，它是一个具有半单弱霍普夫代数（也是正则的，具有Haar积分）作用的Galois扩张.然后利用限制在积分上的Galois标准同构（通过核理论）将霍普夫代数的代数同态诱导为具有核HK^+ = K^+H的弱霍普夫代数.
Depth one extensions of semisimple algebras and Hopf subalgebras
$k$ -代数的扩张$B \subset A$称为深度为1，如果存在正整数$n$使得$ A$是$_B\mtr{Mod}_B$中$ B^n$的直和项.利用中心完全刻画了半单代数的深度1扩张.对于半单霍普夫代数的扩张，我们的结果类似于\cite{BKone}中有限群代数扩张的结果.
Kernels of representations and coideal subalgebras of Hopf algebras
定义了霍普夫代数的左、右表示核。在群代数的情形下，左核和右核重合，它们是模的通常核。在一般情况下，我们证明了这些核与\cite{AD}中定义的霍普夫代数的态射的范畴左、右霍普夫核一致.将群代数上的Brauer核定理推广到霍普夫代数上.
Minimum depth of double cross product extensions
本文研究了有限维霍普夫代数的双向量积中的最小奇深度子代数偶和最小偶深度子代数偶.我们首先定义分解代数，并概述如何子环深度在这种情况下与模块深度的正规左模表示的给定子代数。其次，研究了双向量积Hopf子代数的最小奇深度，并确定了它们的模深度，得到了Drinfeld双Hopf子代数的最小奇深度为3.最后给出了二重向量积Hopf子代数扩张的深度为2的一个充要条件.这个充分条件被用来证明Drinfeld二重Hopf子代数中最小深度为2的结果，特别是在有限群霍普夫代数的情况下.最后，我们给出了双向量积情形下正规霍普夫子代数的中心化子的公式。
Faithful flatness of Hopf algebras over coideal subalgebras with a bimodule conditional expectation
本文直接自足地证明了：若Hopf代数H的右余理想子代数A作为A-双模是H的直和项，则H作为左、右A-模忠实平坦。
Coset decomposition for semisimple Hopf algebras
在有限维半单霍普夫代数中引入了双陪集的概念。这是通过考虑对偶霍普夫代数的不可约特征标集上的等价关系来实现的。作为应用，给出了正规Hopf子代数的不可约特征标的限制公式。
One-dimensional partial actions of 8-dimensional Hopf algebras and right coideal subalgebras
本文完成8维Hopf代数一维部分作用的分类，证明其对称性，并证明有限维余半单Hopf代数的右余理想子代数均可实现为部分smash积。
General Dyson-Schwinger equations and systems
我们对组合Dyson-Schwinger方程进行了分类，给出了所考虑的量子场论的Feynman图的霍普夫代数的一个Hopf子代数。我们首先处理单方程与任意数量（最终无限）的插入运营商。我们区分两种情况，在第一种情况下，由解生成的Hopf子代数同构于Faà di Bruno霍普夫代数或对称函数的霍普夫代数;在第二种情况下，我们得到了一个特殊的结合代数的包络代数的对偶（可以看作是一个李代数）.我们也处理系统的任意有限数量的方程，与任意数量的插入运营商，与至少一个度1在每个方程。
Hopf-Galois extensions and isomorphisms of small categories
我们将两个线性范畴与两个对象关联到一个Hopf-Galois扩张的共不变量的子代数上的一个模，并证明了它们是同构的。利用这些同构可以得到裂缝扩张的结构定理和Militaru \cStefan提升定理。
Combinatorial Hopf algebras and generalized Dehn-Sommerville relations
组合霍普夫代数是域$F$上的分次连通霍普夫代数，它具有特征标（乘性线性泛函）$ζ:H\to F$。我们证明了组合霍普夫代数范畴中的终对象是拟对称函数的代数$QSym$;这解释了拟对称函数作为生成函数在组合学中的普遍性。我们用几个例子来说明这一点。我们证明，每个字符分解唯一的产品的一个偶数字符和一个奇数字符。相应地，每个组合霍普夫代数$(H,ζ)$都有两个标准Hopf子代数，其上的特征标$ζ$分别为偶数（奇数）。奇子代数由某些典型关系定义，我们称之为广义Dehn-Sommerville关系。证明了对于$H=QSym$，广义Dehn-Sommerville关系是Bayer-Billera关系，奇子代数是Stembridge的峰值霍普夫代数.证明了$QSym$是它的奇、偶Hopf子代数的乘积（在范畴意义下）.我们还计算了各种相关的组合霍普夫代数的奇子代数：排列的Malvenuto-Rittenauer霍普夫代数，平面二叉树的Loday-Ronco霍普夫代数，对称函数和非交换对称函数的霍普夫代数。
Mulitgraded Dyson-Schwinger systems
我们研究具有任意数量的耦合常数$N$的组合Dyson-Schwinger方程组。所考虑的Feynman图的霍普夫代数是$\mathbb{N}^N$ -分次的，我们想知道由解生成的分次子代数是否是Hopf.我们首先介绍了一个家庭的前李代数，我们分类，对偶提供系统产生的一个Hopf子代数，我们还描述了相关的群体，作为扩展的正式的代数群上的几个变量。然后，我们考虑来自费曼图的量子场论的系统。我们证明了如果独立耦合常数的个数$N$是所考虑的QFT的相互作用的个数，那么生成的子代数是Hopf。对于QED，$φ^3$和QCD，我们也证明了这是$N$的极小值。所有这些例子都是第一类Dyson-Schwinger系统在一个耦合常数情况下的推广，称为基本的。我们还给出了第二类的推广，称为循环的。
Galois theory for bialgebroids, depth two and normal Hopf subalgebras
我们减少了在math.RA/0108067，math.RA/0408155，和math.QA/0409589中的某些证明，仅从一侧深入两个拟基，一个最小化的方法，导致有限投射双代数胚的Galois扩张的特征没有Frobenius扩张性质。证明了代数$R$上的右有限投射左双代数胚的真代数扩张是左$T$ -Galois扩张当且仅当它是左深度为2的左平衡扩张.交换左和右在这个声明中，我们有一个特征的右伽罗瓦扩张的左有限投射右双代数胚。看看深度2的例子，我们建立了一个Hopf子代数是正规的当且仅当它是一个Hopf-Galois扩张。我们的特点有限弱Hopf-伽罗瓦扩展使用交替伽罗瓦规范映射与几个推论：这些是深度2和满射的伽罗瓦映射意味着它的双射。
Rationality of the Hilbert series of Hopf-invariants of free algebras
证明了当基域具有零特征时，有限秩自由结合代数在半单霍普夫代数的线性作用下的不变量的子代数具有关于通常度函数的有理Hilbert级数.
On some semidirect products of skew braces arising in Hopf-Galois theory
本文分类了作为理想与左理想半直积的斜撑，并据此分类Galois群为半直积的域扩张上由正规Hopf子代数和Hopf子代数实现的Hopf-Galois结构，进而研究广义正规基生成元与局部域扩张的整模结构。
Affineness on Noetherian graded rings, algebras and Hopf algebras
本文研究Noether分次环及Hopf代数的有限生成性，证明零次部分有限生成即可推出整体有限生成，并应用于分次Hopf代数及其辫子Hopf代数。
Weakly multiplicative coactions of quantized function algebras
确定了一个条件，保证了一个霍普夫代数上的一个余作用的共不变量形成一个子代数，即使该余作用可能不是一个代数同态。对于余半单霍普夫代数的这种余作用，得到了一个Hilbert定理（余不变量子代数的有限生成）.这是适用于两个伴随作用的量化函数代数的典型群上的相关FRT双代数。如果霍普夫代数是余半单的余拟三角的，则余不变量的代数构成两个具有相同Hilbert级数的可交换生成的分次子代数.因此，霍普夫代数中的余交换元和S^2-余交换元构成了一个可生成的子代数。发现了量子一般线性群到量子特殊线性群上的Laurent多项式的一个霍普夫代数单态，并用来解释这些量子群的余表示（和余不变）理论之间的强联系.
Coideal subalgebras of pointed and connected Hopf algebras
本文证明了在温和条件下，尖点Hopf代数及其连通分次版本中的余理想子代数具有PBW基结构，并借助Lyndon词和辫子换位子的组合方法构造性地建立了齐次余理想子代数对的结构定理。
On right coideal subalgebras
设$H$是特征霍普夫代数.每个包含余根的右余理想子代数都有一个PBW-基，它可以扩张到$H.$的PBW-基
A central closure construction for certain extensions. Applications to Hopf algebra actions
代数扩张A < B，其中A是左B-模，使得B-作用扩张A中的乘法是普遍存在的。我们遇到的例子，这种扩展的研究群作用，组分级或更一般的霍普夫行动，以及在研究的双模结构的代数。本文将R.Wisbauer利用半素代数的乘法代数构造半素代数的中心闭包的方法推广到这类代数的扩张上。更精确地说，如果A是一个k-代数，B是End（A）的一个包含A的乘法代数的子代数，则A作为B-模的自内射壳\hat{A}成为一个k-代数，只要A不包含任何幂零B-稳定理想.我们证明了在一定的假设下，\hat{A}可以与A的Martindale商环的一个子代数相同.然后将这种构造应用于Hopf模代数。
A decomposition Theorem for pointed braided Hopf algebras
本文推广了带点辫子Hopf代数的分解定理，证明在底层普通Hopf代数余半单时，其张量积分解与Yetter-Drinfeld范畴的余模结构相容。
An approach to Hopf algebras via Frobenius coordinates II
本文研究交换环$k$上的一个射影霍普夫代数$H$作为一个$P$ -Frobenius代数.我们定义的模函数在这种情况下，并提供了一个完整的证明雷德福公式的第四权力的对极，使用Frobenius代数技术。作为进一步的应用，我们推广了Etingof和Gelaki关于可分和余可分的霍普夫代数具有二阶对极的结果，Schneider关于Hopf子代数是扭曲的Frobenius扩张的结果，并证明了量子对偶总是Frobenius代数.
New examples of Green functors arising from representation theory of semisimple Hopf algebras
研究了半单霍普夫代数表示的一般Mackey型分解.我们表明，这样的分解发生的情况下，该模块是从一个任意的Hopf子代数诱导，它被限制回一个群子代数。当这种分解发生的其他一些例子也被构造。它们产生于半单霍普夫代数的余表示范畴上的分次，并在文献中提供了格林函子的新例子。
Algebraic structures on double and plane posets
本文研究了二重偏序集的Hopf代数及其两个Hopf子代数，平面偏序集的霍普夫代数和“无N”偏序集的Hopf代数.证明了它们是自由的、上自由的、自对偶的，并给出了这些霍普夫代数上的一个显式的Hopf对.我们还证明了它们是自由2-As代数，特别地，“无N”偏序集的霍普夫代数是一个生成元上的自由2-As代数.本文给出了2-As代数和B_infty代数的运算的平面偏序集描述。
The Hopf algebras of type B quasisymmetric functions and peak functions
我们证明了在适当选择余积的情况下，B型拟对称函数构成一个霍普夫代数，最近引入的B型峰函数构成一个霍普夫子代数.
Generalized (co)integrals on coideal subalgebras
给定一个Hopf代数$H$，它的左余理想子代数$A$和$A$上的一个非零乘法泛函$μ$，定义了左$μ$ -积分空间$L^A_μ\subset A$ .我们观察到，如果$A$是Frobenius代数，则$\dim L^A_μ=1$，并且我们得出弱有限Hopf代数的有限维左余理想子代数的等式。在一般情况下，我们证明，如果$\dim L^A_μ>0$然后$\dim A <\infty$。给定一个类群元$g\in H$，我们定义了$ A$上的$g$ -余积分空间$L^g_{ A}\subset A'$，并将这一概念与$μ$ -积分理论联系起来，我们观察到：-每一个被平方对极保持的半单左余理想子代数$A\subset H$都有一个忠实的$1$ -余积分;- 每一个允许忠实$1$ -余积分的幺模有限维左余理想子代数$A\subset H$被对极方保持;- 余半单Hopf代数中的每个非退化右类群投影都是双边类群投影。最后列出了Taft代数中左余理想子代数的所有$\varepsilon$ -积分和它们上的所有$g$ -余积分。
Partial Hopf actions, partial invariants and a Morita context
霍普夫代数的部分作用可以看作是群在代数上的部分作用的推广。在部分霍普夫作用的重要性质中，有可能保证包络作用的存在。这允许扩展部分群作用理论的几个结果的Hopf代数设置。本文研究了霍普夫代数的不动点子代数与部分作用的关系。对于有限维霍普夫代数的部分作用，我们还构造了一个Morita上下文，它将不动点子代数与部分Smash积联系起来.这是部分作用情形下霍普夫代数理论中一个著名结果的推广。最后，我们研究了Hopf-Galois扩张，在部分情形下重新得到了一些经典结果。
Flatness and freeness properties of the generic Hopf Galois extensions
在以前的工作中，对于每个霍普夫代数H和H上的每个可逆右2-上圈，Eli Aljadeff和第一位作者附加了一个由H下的余代数生成的自由交换霍普夫代数S的子代数B;代数B是一般霍普夫伽罗瓦扩张的余不变量的子代数。本文给出了S作为B-模是忠实平坦甚至自由的条件。我们还表明，B是生成的代数所产生的某些元素的理论所产生的多项式身份的comomosized代数共同开发与Aljadeff。
Coloured peak algebras and Hopf algebras
对于有限交换群$G$，我们研究了$G_n=G^n\rtimes \SG_n$，即$G$与对称群$\SG_n$的圈积，也称为$G$ -着色对称群上的一般等价关系的性质.我们证明了在一定条件下，某些等价关系产生$\k G_n$的子代数以及$\bigoplus_{n\ge o} \k G_n$的分次连通Hopf子代数.特别地，我们构造了Mantaci-Schottenauer代数的一个$G$ -着色峰子代数（或$G$ -着色下降代数）.证明了$G$ -着色峰代数的直和是一个Hopf代数.对于平面二叉树的Loday-Ronco霍普夫代数的$G$ -着色也有类似的结果。对于所研究的许多等价关系，我们得到了从有限阿贝尔群范畴到分次连通霍普夫代数范畴的函子。我们结束我们的调查，描述了一个Hopf自同态的$G$ -着色下降的Hopf代数的图像是$G$ -着色的峰值Hopf代数。我们概述了一个理论的组合$G$着色的Hopf代数的$G$着色的拟对称的Hopf代数和分次对偶的$G$着色的峰值Hopf代数的中心对象。
Co-Frobenius Hopf algebras and the coradical filtration
证明了具有有限余根滤子的霍普夫代数是余Frobenius，即. e.证明了根为1的量子群上的函数代数是co-Frobenius。我们还刻画了余根为一个Hopf子代数的余Frobenius霍普夫代数.这种表征是在提升方法的框架内，由于H.- J. Schneider和第一位作者。这是我们的主要结果。设H是一个霍普夫代数，其余根是一个Hopf子代数.设gr H是相伴分次霍普夫代数，R是H的图.（2）gr H是co-Frobenius，（3）R是有限维的，（4）H的余根滤子是有限的。这个定理允许构造许多新的例子的co-Frobenius霍普夫代数和开辟了道路，以分类的丰富类的这种霍普夫代数。
Actions of cocommutative Hopf algebras
设$H$是作用在代数$A$上的余交换霍普夫代数.假设基域是代数闭的，$A$上的$H$ -作用是积分的，即它是由一个整环的有限对偶$H^\circ$的某个Hopf子代数的余作用给出的，我们利用某些交换代数的素谱对素谱$\mbox{Spec}\, A$进行了分层.对于特征$0$中的任意$H$ -作用，我们证明了包含在$A$的给定半素理想中的$A$的最大$H$ -稳定理想也是半素的.
Biproducts and Kashina's examples
我们重新审视一类的例子中描述的原文件的双产品，扩大类，并提供了详细的分析，这些例子中的许多的余代数和代数结构。连接与半单霍普夫代数的维数的幂2确定的Kashina。我们构造的有限维非平凡半单余半单霍普夫代数是下余可解的.其中一些有一个正常的正常的Hopf子代数，并不是下可解的。
An Approach to Hopf Algebras via Frobenius Coordinates I
在第1节中，我们介绍了Frobenius坐标的一般设置，包括Hopf子代数。在第二节和第三节中，我们简要地回顾了Frobenius代数和增广Frobenius代数的理论，并在第三节中提供了一些新的材料。第四节研究了FH-代数H \cite{Par72}的Frobenius结构，推广了\cite{EG}中的两个定理。我们得到了H中对极的两个Radford公式，并推广了第七节中关于它在\cite{FMS}中的阶的结果.第五节和第六节研究了FH-子代数对上的Frobenius结构。在第8节中，我们证明了H的量子偶是对称的和么模的。
(Hopf) Algebra Automorphisms of the Hopf algebra ${\check U}^{\geq 0}_{r,s}({\mathfrak sl_{3}})$
本文完全确定了双参数霍普夫代数${\check U}_{r,s}^{\geq 0}({\mathfrak sl_{3}})$的代数自同构群。由此也确定了$\V$的霍普夫代数自同构群.进一步刻画了子代数$U^{+}_{r,s}({\mathfrak sl_{3})}$的所有导子，并计算了它的一次Hochschild上同调群.
The structure of connected (graded) Hopf algebras revisited
设$H$是特征为零的域上的连通分次霍普夫代数，$K$是$H$的任意分次Hopf子代数.我们发现，有一个家庭的齐次元素的$H$和全阶的指标集，满足几个理想的条件，揭示了一些有趣的联系之间的$H$和$K$。作为其结果之一，我们看到，只要$H$是有限Gelfand-Kirillov维数的，则$H$是$K$的导子型的分次迭代Hopf Ore扩张.这项工作的主要工具是林登的话，沿着陆，沈和第二个命名的作者在[24]中发展的想法。
The Graded Dual of a Combinatorial Hopf Algebra on Partition Diagrams
本文针对分拆图上的组合Hopf代数ParSym，定义其分次对偶ParQSym并显式构造其CHA结构，同时给出两类代数的子结构、分次滤过及对应基。
A note on Masuoka's Theorem for semisimple irreducible Hopf algebras
Masuoka（2009）证明了一个具有正特征的有限维不可约霍普夫代数$H$是半单的当且仅当它是交换半单的当且仅当由所有基元生成的Hopf子代数是半单的。本文利用余代数的Hochschild上同调给出了这一结果的另一个证明。
Hopf dense Galois extensions with applications
设$H$是有限维Hopf代数，$A$是左$H$ -模代数.受$A^H$和自同态环$\mathrm{End}_{A^H}(A)$孤立奇点研究的启发，本文引入了Hopf稠密Galois扩张的概念. Hopf稠密伽罗瓦扩张在$A$和$A^H$上的商范畴之间产生某些等价性.一类特殊的Hopf稠密Galois扩张由所谓的稠密群分次代数组成，它们是强分次代数的较弱版本。Dade定理的一个较弱版本对稠密群分次代数成立。作为应用，我们分别恢复了Noether $\mathbb{N}$ -分次代数$A$及其$d$ -th Veroness子代数$A^{(d)}$上的非交换射影概形的经典等价性. Hopf稠密伽罗瓦扩张也被应用到非对易分次孤立奇点的研究中。
Local criteria for cocommutative Hopf algebras
证明了有限维余交换霍普夫代数$H$是局部的当且仅当它的余根滤子$H_1$的首项生成的子代数是局部的.特别地，如果$H$是连通的，则$H$是局部的当且仅当$H$的所有本原元都是幂零的。
A Hopf algebra having a separable Galois extension is finite dimensional
本文证明了域上的霍普夫代数是有限维的，域上的Galois扩张可分于其共不变子代数上。这肯定地回答了Beattie等人在[{ \it Proc. Amer. Math. Soc.} 128 No. 11（2000），3201-3203]。
Depth Two and the Galois Coring
研究了具有中心化子$R$和双模自同态环$S = End {}_BA_B$的环扩张$A \| B$的循环模${}_SR$.证明了如果$A \| B$是H-可分的Hopf子代数，则$B$是$A$的正规Hopf子代数.我们观察从数学。RA/0107064和数学。RA/0108067深度两个在非交换正常的作用（如在领域理论）在深度两个可分离的弗罗贝纽斯表征的不可约半单-霍普夫-伽罗瓦扩展。证明了深度为2的扩张在$A ø_R T$上具有Galois $A$ -coring结构，其中$T$是$S$的右$R$ -双代数胚对偶.
Projectivity and freeness over comodule algebras
设H是霍普夫代数，A是H-单右H-余代数.证明了在一定的假设下，每个（H，A）-Hopf模作为A-模是投射的或自由的，并且A是拟Frobenius环或半单环.作为应用，证明了每个弱有限（特别是有限维）霍普夫代数在其有限维右余理想子代数上作为左模和右模都是自由的，并且后者是Frobenius代数.对H-单H-模代数也得到了类似的结果。
Algebra depth in tensor categories
研究有限维Hopf子代数对的商模以计算其深度产生了一个相对的Maschke定理，其中半单扩张的特征在于是可分的，因此是一个普通的Frobenius扩张。研究了半单霍普夫代数的核霍普夫理想，证明了商模的张量幂的零化子链的长度与其深度线性相关.张量的范畴定义的深度，并从这个新的角度总结以往的结果。最后一节证明了代数扩张的深度、Bratteli图和相对循环同调是Morita不变量。
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