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arXiv 1006.4498math.DS
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关于柱面变换的闭轨道集的豪斯多夫维数

On Hausdorff dimension of the set of closed orbits for a cylindrical transformation

Krzysztof Fraczek, Mariusz Lemanczyk

备注：
32 pages, 1 figure
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摘要：

本文讨论了Besicovitch关于传递圆柱变换$T_φ:(x,t)\mapsto(x+α,t+φ(x))$的离散轨道的存在性问题，其中$Tx=x+α$是圆$\T$上的无理旋转，而$φ:\T\to\R$是连续的，即我们试图估计集合$D(α,φ):=\{x\in\T:|φ^{(n)}(x)|\to+\infty\text{as}|n|\to+\infty\}$可以有多大。我们证明了对于几乎每一个$α$都存在$φ$使得$D(α,φ)$的豪斯多夫维数至少为$1/2$ .我们还提供了一个丢番图的$α$的条件，保证$φ$的存在，使$D(α,φ)$的尺寸是积极的。最后，对于$\T^d$，$d\geq3$上的某些多维旋转$T$，我们构造了光滑的$φ$，使得$D(α,φ)$的豪斯多夫维数为正.

英文摘要：

We deal with Besicovitch's problem of existence of discrete orbits for transitive cylindrical transformations $T_φ:(x,t)\mapsto(x+α,t+φ(x))$ where $Tx=x+α$ is an irrational rotation on the circle $\T$ and $φ:\T\to\R$ is continuous, i.e.\ we try to estimate how big can be the set $D(α,φ):=\{x\in\T:|φ^{(n)}(x)|\to+\infty\text{as}|n|\to+\infty\}$. We show that for almost every $α$ there exists $φ$ such that the Hausdorff dimension of $D(α,φ)$ is at least $1/2$. We also provide a Diophantine condition on $α$ that guarantees the existence of $φ$ such that the dimension of $D(α,φ)$ is positive. Finally, for some multidimensional rotations $T$ on $\T^d$, $d\geq3$, we construct smooth $φ$ so that the Hausdorff dimension of $D(α,φ)$ is positive.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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