On the set where the iterates of an entire function are bounded
Walter Bergweiler
证明了对于一个超越整函数，其迭代轨道有界的点集可以具有任意小的正豪斯多夫维数.
We show that for a transcendental entire function the set of points whose orbit under iteration is bounded can have arbitrarily small positive Hausdorff dimension.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Connectedness properties of the set where the iterates of an entire function are unbounded
研究了整函数$ f $的迭代点集$ I^{\!+\!}(f) $的连通性.特别是，我们表明，$ I^{\!+\!}(f) $连接时，迭代的最小模的$ f $趋于无穷大。对于一般的超越整函数$ f $，我们证明了$ I^{\!+\!}(f) \cup \lbrace \infty \rbrace $总是连通的，如果$ I^{\!+\!}(f) $是不连通的，那么它有无数个分量，其中无穷多个是无界的。
Connectedness properties of the set where the iterates of an entire function are bounded
研究了整函数f的迭代有界的点集K（f）的连通性。特别是，我们描述了一类超越整函数的Branner-Hubbard猜想的模拟举行，并表明，对于这样的功能，如果K（f）是不连通的，那么它有无数的组件。我们举例说明K（f）可以是全不连通的，并利用拟共形运算构造了一个函数，使得K（f）有一个内部为空的分支，且该分支不是单点的.
On the set where the iterates of an entire function are neither escaping nor bounded
对于超越整函数f，研究了其迭代在f下既不逃逸到无穷远也不有界的点集BU（f）.我们给出了这一集合的连通性的新结果，并证明了：如果U是满足BU（f）的Fatou分支，则U的大多数边界点（在调和测度意义下）位于BU（f）中.我们证明了这一点使用一个新的结果有关的极限点的集合f的迭代在边界上的游荡域。最后，我们给出了一些例子来说明我们的结果。
Iterated Monodromy Groups of Entire Maps and Dendroid Automata
本文讨论超越函数的迭代单值群。我们表明，对于每一个后奇异有限的整个超越函数，迭代monodromy行动可以描述的有界活动自动机的一种特殊形式，称为“树状自动机”。特别是，我们得出结论，迭代monodromy组后奇异有限的整个功能是顺从的，当且仅当monodromy组。
Complex Iterations and Bounded Analytic Hyper-operators
给出了全纯函数迭代到分数阶或复数阶的问题的一种解法。我们从一个全纯函数的自然迭代序列中构造一个辅助函数，该辅助函数是可微可积的，并且该辅助函数的复导数是原全纯函数的复迭代序列。我们使用Ramanujan的主定理作为基础，并应用基本定理从复分析，以达到我们的结果。我们提供了非平凡的例子全纯函数迭代到复杂的高度使用这些方法。我们得出一个封闭的形式表达我们所谓的有界解析超算子。这些超算子与定义在自然数上的超算子具有相同的递归结构，但它们是解析的。它们构成了一个以加法、乘法和取幂开始的运算符序列。令人惊讶的是，当这些超算子在实数线上增长时，它们被$e$限制。我们对这个问题保持一个基本的但非常一般的讨论，因为我们的解决方案是更一般情况的具体实例。
Slow escaping points of quasiregular mappings
本文讨论了$\mathbb{R}^d$上拟正则映射的迭代和$\mathbb{C}$上整函数的迭代.证明了拟正则映射的迭代总是存在以一定速率趋于无穷大的点。此外，还证明了一个甚至对超越整函数也是新的渐近逃逸率结果。设$f:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d$是超越型拟正则的.使用新的方法的证明，我们概括的结果Rippon和Stallard在复杂的动力学表明，Julia集的$f$包含点的迭代$f^n$趋于无穷大任意缓慢。我们还证明了，对于任何大的$R$，有一个点$x$的模近似$R$，使增长的$|f^n(x)|$是渐近的迭代最大模$M^n(R,f)$。
Baker domains with arbitrarily slow controlled rate of escape
本文构造了一个具有Baker域的超越整函数，其迭代以任意慢但规则的方式受控趋向无穷，证明基于共形映射畸变定理和逼近定理。
Iterates of Meromorphic Functions on Escaping Fatou Components
本文证明了即使逃逸Fatou分支的轨道包含无穷模环序列，逃逸Fatou分支中两点迭代的模之比也有界，并且当亚纯函数的极大模足够大时，这种情况不会发生.因此，我们将整函数的相关结果推广到具有无穷多个极点的亚纯函数。用Nevanlinna特征代替文献[12]中的极大模，研究了文献[44]中定义的亚纯函数的快速逃逸Fatou分量，证明了在极大模增长的条件下，多连通游荡域是快速逃逸集的一部分.最后给出了游荡域以任意快速率和慢速率逃逸的例子。
Iterated functions and the Cantor set in one dimension
本文研究了${\mathbb R}$中的点在连续函数迭代下的长期行为。我们证明了，给定任何康托尔集$Λ^*$嵌入在${\mathbb R}$，存在一个连续函数$F^*:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$，使得在$F^*$的迭代下有界的点正是那些点在$Λ^*$。在这个过程中，我们发现了一个惊人的相似之处之间的方式，我们建造康托中三分之一集，并在其中我们找到的点有界的迭代某些连续函数。
Hyperbolic entire functions with bounded Fatou components
证明了双曲型超越整函数的不变Fatou分支是有界Jordan域（实际上是拟圆盘）的充要条件是它只包含200个临界点且不包含渐近曲线.我们利用这个定理证明了双曲整函数的Fatou分支的有界性和朱利亚集的局部连通性的判别准则，并举例说明了我们的结果是最优的.一个特别强的二分法的情况下得到的功能正好有两个临界值。
Complex Iterations of Entire Functions
在以前的文件中，我们产生了一个复杂的迭代的全纯函数$ϕ$的直接盆的一个不动点，其乘数是一个实数，并在0和1之间。我们进一步探讨这个问题，允许乘数是一个复数，其模在0和1之间。我们发现以前的结果的扩展。我们将继续使用拉马努金的主定理和过程的\emph{factoring}适当有界指数函数的价值观的自然数。我们将得到整个$ϕ$的\emph{all}复迭代在一个不动点的直接盆中，其乘子在穿孔的单位圆盘内。在一个几何吸引不动点的直接盆地中计算$ξ$的复迭代$ϕ^{\circ z}(ξ)$的任何分支涉及一个使用自然迭代$ϕ^{\circ n}(ξ)$、不动点$ξ_0$及其乘子的表达式。我们将给出四分函数在某些基础上的应用。即我们将$α^ξ$的主分支延拓为$0 < α\le e^{1/e}$，从而得到多值函数$(^z α)$。
Absence of wandering domains for some real entire functions with bounded singular sets
设f是实整函数，其奇异值集S（f）是实有界的.我们证明，如果f满足一定的函数理论条件（“扇区条件”），那么$f$没有游荡域。我们的结果包含了f（z）=λsinh（z）/z + a的所有映射，其中a是实常数，λ是正数.我们还证明了对于某些非实整函数S（f）是有界的且f的迭代在S（f）上一致趋于无穷大，不存在游荡域.作为该定理的一个特例，我们给出了复指数映射f（z）=e^z的朱利亚集是整个复平面的一个简短的、初等的和非技术性的证明.此外，我们应用类似的方法，推广Bergweiler的结果，关于贝克域的整个功能和他们的关系，后奇异集，亚纯函数的情况。
Wandering domains with nearly bounded orbits
本文针对超越动力学中游荡域轨道有界性的开放问题，构造了一个几乎一直在有界域中迭代的有界游荡域，给出了部分解答。
Dimension estimates for $C^1$ iterated function systems and repellers. Part II
这是我们研究$C^1$迭代函数系统（IFS）和${\Bbb R}^d$上排斥子的维数论的第二部分。第一部分证明了${\Bbb R}^d$上的任何$C^1$ IFS的吸引子的上计盒维数由其奇异维数上有界，与此IFS相关的任何遍历不变测度的上填充维数由其Lyapunov维数上有界.在这里，我们引入了一个广义的横截性条件（GTC）的参数化家庭的$C^1$ IFS，并表明，这些上界实际上给出了“典型”的$C^1$ IFS在此横截性条件下的尺寸。此外，我们还验证了${\Bbb R}^d$上一些参数化的$C^1$ IFS族的GTC。
A Landing Theorem for Periodic Dynamic Rays for Transcendental Entire Maps with Bounded Post-Singular Set
本文利用标准双曲几何的结果，给出了具有有界后奇异集的超越整映射的周期动态射线的着陆定理。
On a question of Eremenko concerning escaping components of entire functions
设f是具有有界奇异值集的整函数，并进一步假设f的后奇异集是有界的。我们证明了逃逸集I（f）的每个分支都是无界的。这为叶列缅科的一个问题提供了部分答案。
Orbifold expansion and entire functions with bounded Fatou components
许多作者研究了双曲超越整函数的动力学，这些函数的后奇异集是法图集的紧致子集。同样，它们的特征是膨胀。Mihaljević-Brandt研究了一类更一般的映射，对于这类映射，它们的后奇异点中有1/2可以在它们的朱利亚集中，并证明了这些映射也关于某个轨道度量扩张。在本文中，我们进一步推广这些想法，并考虑一类映射的postsingularset甚至没有界。我们能够证明，这些地图也扩大了一个合适的orbifold度量，并使用这种扩展得出结论的拓扑结构和动力学的地图。特别地，我们推广了已有的关于双曲函数的结果，给出了Fatou分支有界性和朱利亚集局部连通性的判别准则.作为这项研究的一部分，我们开发了一些新的结果双曲orbifold度量。这些都是独立的利益，并可能有未来的应用在全纯动力学。
Multiplicative dependence among iterated values of rational functions modulo finitely generated groups
研究数域上代数动力系统模乘子群轨道中元素之间的乘相关性。我们得到了一系列的结果，其中许多可以看作是混合Northcott定理的有界性的preperiodic点和Siegel定理的有限性解的$S$单位方程。
Simply Connected Wandering Domains of Small Order Entire Functions
该研究展示了如何构造具有特定阶数的整函数，使其拥有有界单连通游荡域，并提供了首个此类函数的例子。
Annular itineraries for entire functions
为了分析超越整函数$f$的迭代序列$(f^n(z))$的大小如何表现，我们引入了点$z$的{ \it环形行程}的概念.这是由\[ f^n(z)\in A_{s_n}(R),\;\;\text{for}n\ge 0, \]定义的非负整数序列$s_0s_1...$，其中$A_0(R)=\{z:|z|<R\}$和\[ A_n(R)=\{z:M^{n-1}(R)\le |z|<M^n(R)\},\;\;n\ge 1. \]这里$M(r)$是$f$的最大模，$R>0$如此之大，以至于对于$r\ge R$，$M(r)>r$.我们认为不同类型的环形行程，可以发生任何超越整函数$f$，并表明它总是可以找到点与各种类型的规定环形行程。证明使用两个新的annuli覆盖的结果，是更广泛的兴趣。
On the asymptotics of the $α$-Farey transfer operator
研究了非一致双曲$α$ -Farey映射的转移算子迭代的渐近性。我们提供了一个家庭的观测是黎曼可积的，局部常数和有界变差，并为其中的转移算子的迭代，当应用到这些观测之一，是不是渐近常数倍的游荡率的分区$α$的第一个元素。随后，给出了这个期望渐近成立的关于观测量的充分条件。特别是，我们得到了一个扩展定理，建立，如果渐近行为的转移算子的迭代是已知的分区$α$的第一个元素，那么相同的渐近持有任何紧集有界远离中立不动点。
Lyapunov exponents and related concepts for entire functions
设$f$是一个整函数，用$f^\#$表示$f$的球面导数，用$f^n$表示$f$的$n$阶导数.对于与Julia集$J(f)$相交的开集$U$，我们考虑$\sup_{z\in U} (f^n)^\#(z)$和$\int_U (f^n)^\#(z)^2 dx\:dy$趋向于$\infty$的速度。我们还研究了序列$(f^n)^\#(z)$对于$z\in J(f)$的生长速率。
On the Existence of Geometrically Attracting Measures for Iterated Function Systems with Varying Sets of Transformations
本文针对变换集与变换选择分布随时间变化的随机迭代函数系统，给出两类动力学下几何吸引概率测度的存在准则，并通过仿射变换模型验证结果。
Dynamic rays of bounded-type entire functions
我们构造了一个Eremenko-Lyubich类$\B$中的整函数，它的朱利亚集只有有界路径分量.这回答了1989年Eremenko提出的一个否定的问题。另一方面，我们表明，$\B$中的许多功能，特别是那些有穷级，每个逃逸点可以连接到$\infty$的逃逸点曲线。这对前面提到的叶列缅科的问题给出了部分肯定的回答，并回答了法图1926年提出的一个问题。
Linear Response for Contracting on Average Iterated Function Systems
研究平均迭代函数系统中线性响应的可微性，分析不同情况下的可微性条件及导数一致性，探讨光滑有界测试函数下不可微的充分条件。
On a typical compact set as the attractor of generalized iterated function systems of infinite order
在2013年，Máthé和Mála证明了在不可数的波兰空间中，典型的紧集不是任何IFS的分形。在2008年，Miculescu和Mihail引入了广义迭代函数系统（Generalized Iterated Function System，简称GIFS）的概念，这是经典迭代函数系统的一个特殊扩展，他们在其中考虑了定义在有限笛卡儿积$X^m$上的映射族，其值在$X$中。最近，Secelean将这些考虑扩展到定义在空间$\ell_\infty(X)$上的映射，该空间由具有上确界度量的$X$的所有有界元素序列组成。本文证明了在欧几里得空间中，一个典型的紧集是Secelean意义下的吸引子，而在一般的Polish空间中，它在这种意义下可以被认为是自相似的.
Dynamics of stochastic approximation with iterate-dependent Markov noise under verifiable conditions in compact state space with the stability of iterates not ensured
本文汇编了几个方面的动态随机逼近算法与马尔可夫迭代相关的噪声时，迭代是不知道是稳定的预先。我们通过扩展锁定概率（即迭代收敛到极限o.d.e.的特定吸引子的概率）来实现相同的效果。假设迭代在足够大的迭代次数（例如n 0）之后处于其吸引区域中），则将该迭代框架用于这种递归。具体地说，与更严格的假设马尔可夫迭代依赖噪声支持的有界子集的欧几里得空间，我们给出了一个下界的锁定概率。我们利用这些结果证明了当迭代满足渐近紧性条件时，迭代的几乎必然收敛到指定的吸引子。我们的方法的新颖之处在于，如果马尔可夫过程的状态空间是紧的，我们证明几乎必然收敛的弱得多的假设相比，由Andrieu等人的工作。解决了一般的状态空间的情况下，许多限制性的假设。我们还扩展了我们的单时标结果的情况下，有两个不同的时标上的两个单独的递归。反过来，这被证明是有用的，在分析一般的自适应算法的跟踪能力。此外，我们表明，我们的结果可以用来获得一个样本的复杂性估计这样的递归，然后可以用于步长选择
On degrees of birational mappings
证明了双有理映射的迭代序列${\rm deg}(f^n)$的次数满足$\liminf({\rm deg}(f^n))<+\infty$当且仅当序列${\rm deg}(f^n)$是有界的，并且证明了除非${\rm deg}(f^n)$是有界的，否则序列${\rm deg}(f^n)$的增长不能任意慢.
On the Number of Rational Iterated Pre-images of the Origin Under Quadratic Dynamical Systems
对于定义在有理数上的仿射直线的二次自同态，我们考虑迭代后最终落在原点的有理点的数目的边界问题。在文章“Uniform Bounds on Pre-Images Under quadratic动力系统，”由两位作者和另外五位作者，它表明，有理迭代原原像的数量是有界的，因为一个不同的态射在一定的一维家庭。根据Birch和Swinnerton-Dyer猜想以及其他一些关于某个特定阿贝尔簇的L-级数的相关猜想的有效性，并利用一些现代工具在高亏格曲线上定位有理点，我们证明了有理迭代原像的最大数目为6.我们还提供了进一步的洞察几何的“前图像曲线。''
Bounded Geometry and Characterization of Some Transcendental Entire and Meromorphic Maps
定义了两类拓扑无限度覆盖映射，它们是以两类超越全纯映射为模型的。第一个，我们称之为$(p,q)$型指数映射，是分支覆盖，并以$P e^{Q}$形式的超越整映射为模型，其中$P$和$Q$是次数为$p$和$q$的多项式。第二类是具有两个渐近值的超越亚纯映射上的从平面到球面的具有两个去点的泛覆盖映射。我们解决的问题是给出包含在这些类的后奇异集是有限的全纯映射的组合特征。本文的主要结果是：一个$(0,1)$型的后奇异有限拓扑指数映射或一个$(p,1)$型的后奇异有限拓扑指数映射或一个从平面到球面的后奇异有限泛覆叠映射映射组合等价于一个全纯同型映射当且仅当该映射有界几何.
A landing theorem for entire functions with bounded post-singular sets
将多项式动力学的Douady-Hubbard着陆定理推广至具有有界后奇异集的整函数，证明周期毛或周期丝状物与斥型或抛物型周期点互为着陆点。
Integral points of bounded degree on the projective line and in dynamical orbits
设$D$是$\mathbb{P}^1$上的非空有效因子。我们证明了当按高度排序时，$\mathbb{P}^1$上任何有界度的$(D,S)$ -整点集的相对密度为零。然后，我们将其应用到算术动力学：让$φ(z)\in \overline{\mathbb{Q}}(z)$是一个有理函数的次数至少为2，其第二个参数$φ^2(z)$是不是一个多项式。我们表明，因为我们改变了点$P\in\mathbb{P}^1(\overline{\mathbb{Q}})$的有界度，代数整数的数量在前向轨道的$P$是绝对有界的，平均为零。
Rational preimages in families of dynamical systems
给定一个定义在数域k上的次数至少为2的有理函数，研究了有理迭代原像集的基数。我们证明了这个集合的基数的界限，因为在某些家庭的有理函数变化。我们的证明是基于单位方程和龙格方法，有效地确定积分点的某些仿射曲线。我们还制定和状态的迭代原像的有理函数的一个统一的有界性猜想，并将此猜想与其他著名的代数动力学。
Generalized Collatz Maps with Almost Bounded Orbits
如果除以$p$是错误的，乘以$q$并翻译，这样你就可以活到10岁。我们证明，如果我们定义一个Collatz映射在这种形式，然后在适当的条件下，在$p$和$q$，几乎所有的轨道，这个地图达到几乎有界值。这推广了Tao最近对原始Collatz映射的突破性结果（即，$p=2$和$q=3$）。换句话说，给定任意的增长函数$N\mapsto f(N)$，我们证明了几乎每一个这样的映射的轨道与输入$N$最终达到小于$f(N)$的值。
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