发表机构
Chongqing University; University of British Columbia（重庆大学; 不列颠哥伦比亚大学）
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本文针对完全有界度量动力系统引入量化周期轨道渐近分离的临界值，证明在强分离条件下该值等于自相似吸引子的Hausdorff维数，并在定量分离条件下得到经验周期测度的弱收敛性。
AI 中文摘要
对于完全有界度量动力系统 $(X, d, T)$，我们引入一个新的临界值 $\mathfrak s(X, d, T)$，它量化了周期轨道的渐近分离。更精确地说，$\mathfrak s(X,d,T)$ 定义为所有满足以下条件的 $s\ge 0$ 的上确界：存在 $(X,d,T)$ 中的周期轨道序列 $\{\mathcal O_k\}_{k=1}^\infty$，使得 \\[ \lim_{k\to \infty} \\#\mathcal O_k = +\infty \quad \text{且} \quad \liminf_{k\to\infty}\\#\mathcal O_k\cdot\eta(\mathcal O_k)^s >0, \\] 其中 $\eta(\mathcal O_k)$ 表示 $\mathcal O_k$ 中不同点之间的最小距离。当动力系统由满足强分离条件的自相似迭代函数系统 $\mathcal F$ 诱导时，我们证明该临界值等于其自相似吸引子的 Hausdorff 维数 $s_{\mathcal F}$。此外，在周期轨道的定量分离条件下，我们证明相关的经验周期测度弱收敛于自相似吸引子上的归一化 $s_{\mathcal F}$ 维 Hausdorff 测度。
英文摘要
For a totally bounded metric dynamical system $(X, d, T)$ we introduce a new critical value $\mathfrak s(X, d, T)$ which quantifies the asymptotic separation of periodic orbits. More precisely, $\mathfrak s(X,d,T)$ is defined to be the supremum of all $s\ge 0$ for which there exists a sequence of periodic orbits $\{\mathcal O_k\}_{k=1}^\infty$ in $(X,d,T)$ such that \[ \lim_{k\to \infty} \#\mathcal O_k = +\infty \quad \text{and} \quad \liminf_{k\to\infty}\#\mathcal O_k\cdotη(\mathcal O_k)^s >0, \] where $η(\mathcal O_k)$ denotes the smallest distance between distinct points in $\mathcal O_k$. When the dynamical system is induced by a self-similar iterated function system $\mathcal F$ satisfying the strong separation condition, we prove that this critical value is equal to the Hausdorff dimension $s_{\mathcal F}$ of its self-similar attractor. Furthermore, under a quantitative separation condition on periodic orbits we show that the associated empirical periodic measures converge weakly to the normalized $s_{\mathcal F}$-dimensional Hausdorff measure on the self-similar attractor.
Comments19 pages
