Hopf-Galois objects and cogroupoids
Julien Bichon
我们调查的一些方面的理论的霍普夫伽罗瓦对象，可以有利地研究使用的语言cogroupoid。这些是2010年5月在科尔多瓦大学的一系列讲座的笔记。这些讲座是索尼亚·纳塔莱的“霍普夫-伽罗瓦论”课程的一部分。
We survey some aspects of the theory of Hopf-Galois objects that may studied advantageously by using the language of cogroupoids. These are the notes for a series of lectures given at Cordoba University, may 2010. The lectures are part of the course ``Hopf-Galois theory'' by Sonia Natale.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Hopf-Galois algebras and their Poisson structures
众所周知，Hopf-Galois对象对于分析余模的张量范畴和点霍普夫代数的分类问题具有重要的研究价值，是霍普夫代数的自然推广，具有Galois理论的味道.本文主要证明了Hopf-Galois代数的Ore扩张是Hopf-Galois代数的一个判据，并引入了Poisson Hopf-Galois代数的概念，建立了Poisson Hopf-Galois代数与Poisson霍普夫代数之间的关系.此外，我们还研究了Poisson多项式代数上的Poisson Hopf-Galois结构，主要给出了Poisson Hopf-Galois代数的Poisson包络代数是Hopf-Galois代数的一个充要条件.
Quantum torsors and Hopf-Galois objects
我们证明了每一个忠实平坦的Hopf-Galois对象都是Grunspan意义下的量子torsor。
Galois Theory of Hopf Galois Extensions
本文引入了Hopf-Galois扩张的伽罗瓦论，证明了H-余代数的子代数与霍普夫代数H的广义余代数之间存在Galois联络。此外，我们还证明了定义Q-Galois扩张的这些行列式Q是我们的Galois联络的闭元。推广了M. Masuoka和H. J. Schneider的结果，证明了任意有限维霍普夫代数的右理想、余理想和右余理想子代数之间存在双射对应关系，并在一般（即无限维）情况下重新表述了这一尚未解决的问题.对于分裂扩张，我们将Galois联络的闭元作为Hopf-Galois扩张。我们描述了我们的结果与F. van Oystaeyen，Y. Zhang和P. Schauenburg关于双伽罗瓦扩张的结果。
Hopf Galois extensions, triangular structures, and Frobenius Lie algebras in prime characteristic
研究了变换霍普夫代数在HopfGalois扩张中的性质.本文的最终目的是引入特征域$p>0$上与限制Frobenius李代数相关的三角霍普夫代数.
Galois extensions for coquasi-Hopf algebras
将Galois扩张和分裂扩张的概念推广到余拟霍普夫代数中.证明了余拟霍普夫代数上的扩张是分裂的当且仅当它是Galois的且具有正规基性质.证明了具有双射对极的余拟霍普夫代数的Schneider型定理.作为应用，我们推广了余拟霍普夫代数的Schauenburg双代数体构造.
Cleft and Galois extensions associated to a weak Hopf quasigroup
本文引入了弱Hopf拟群的分裂和Galois（带正规基）扩张的概念。我们表明，在适当的条件下，这两个概念是等价的。作为一个特例，我们恢复了（弱）霍普夫代数的经典结果.此外，考虑到弱Hopf拟群是Hopf拟群的推广，我们给出了与Hopf拟群相联系的cleft和Galois（带正规基）扩张的定义，并得到了它们之间的等价性.
A Morita context and Galois extensions for Quasi-Hopf algebras
设H是有限维拟霍普夫代数，A是左H-模代数，证明了存在连接smash积A#H和不变量子代数A^{H}的Morita context.我们还定义了伽罗瓦扩展和证明与此森田上下文的连接，在霍普夫的情况下。
Matrices, Bratteli Diagrams and Hopf-Galois Extensions
证明了Bratteli图中的矩阵嵌入是某些阿贝尔群的Hopf-Galois扩张（量子主丛）的迭代直和.计算了相应的强泛联络。证明了$ M_{n}(\mathbb{C})$是霍普夫代数$ \mathbb{C}[\mathbb{Z}_{n} \times \mathbb{Z}_{n}] $的平凡量子主丛.我们的结论与应用有关的已知的组上的演算矩阵上的演算。
Translation Hopf algebras and Hopf heaps
对于Grunspan的每一个Hopf堆或量子余子，都有一个平移的霍普夫代数.这个平移霍普夫代数作用于霍普夫堆，使之成为霍普夫-伽罗瓦共对象。相反地，任何霍普夫-伽罗瓦共对象都有一个霍普夫堆的自然结构，其平移霍普夫代数同构于作用霍普夫代数。然后，它表明，这种分配建立了一个等价的类别之间的霍普夫堆和霍普夫伽罗瓦co-objects。
The Chern-Weil homomorphism for deformed Hopf-Galois extensions
本文将Chern-Weil理论推广到Hopf-Galois扩张的非交换框架，证明循环同调Chern-Weil同态的自然性，并系统研究了结构Hopf代数、外部对称性及其组合产生的2-余循环形变对该同态的影响。
Partial (Co)Actions of Multiplier Hopf Algebras: Morita and Galois Theories
本文研究了乘子霍普夫代数在不一定有单位元代数上的部分（余）作用。我们的主要目标是构建一个森田上下文相关的coinvariant代数$R^{\underline{coA}}$与一定的子代数的smash产品$R\#\widehat{A}$。此外，我们提出了部分伽罗瓦余作用的概念，这是密切相关的森田上下文。
Hopf Galois extensions of Hopf algebroids
该研究将Hopf代数的Galois扩张理论推广至Hopf代数胚，引入相关概念并证明了裂扩张等三类结构的等价关系，丰富了Hopf代数胚的相关理论。
Hopf-Galois extensions and twisted Hopf algebroids
证明了具有结构量子群$H$的量子主丛$P$或Hopf Galois扩张的Ehresmann-Schauenburg双代数胚实际上是左Hopf代数胚$L(P,H)$ .进一步证明了若$H$是余拟三角的，则$L(P,H)$有一个对极映射$S$服从某些极小公理.平凡的量子主丛或裂Hopf伽罗瓦扩展与基地$B$是已知的上循环交叉产品$B\#_σH$的一个上循环作用对（$\vartriangleright$，$σ$），我们看看这些一定的“关联类型”，其中$ \vartriangleright$是一个实际的行动。在这种情况下，我们还表明，相关的左霍普夫代数体有一个对极遵守我们的最小公理。我们证明，如果$L$是任何左霍普夫代数胚，那么它的余扭$L^ς$也是，作为先前双代数胚Drinfeld余扭理论的扩展。我们证明了在结合型的情况下，$L(B\#_σH,H)=L(B\# H)^{\tildeσ}$为一个Hopf代数体余扭$ς=\tildeσ$。因此，切换$σ$的联想型出现在霍普夫代数体的水平作为一个德林费尔德cotwist。我们把仿射量子群$\hat{U_q(sl_2)}$和$u_q(sl_2)$的量子Weyl群看作结合型的例子。
Hopf algebroids, Hopf categories and their Galois theories
Hopf代数胚是非交换基环上霍普夫代数的推广。它由一个左双代数体和一个右双代数体结构组成，这些结构由一个称为对极的映射联系起来。然而，如果一个Hopf代数胚的基环是交换的，则它不一定有一个霍普夫代数。同时，一个Hopf范畴是一个霍普夫代数的范畴化.它由一个在辫状幺半范畴上丰富的范畴组成，使得每个hom-set都带有一个余代数结构和一个对极函子。本文将引入拓扑Hopf范畴$-$的概念，它是一个对象集具有拓扑且范畴结构映射充分连续的小范畴。本文的主要结果是描述交换单位$C^{*}-$代数上的有限生成投射Hopf代数胚与对象空间为紧Hausdorff的有限型拓扑耦合Hopf范畴之间的关系。我们将通过使用代数几何和谱理论的方法来实现这一点。最后，我们将表明，不仅这两个对象是密切相关的，但他们各自的伽罗瓦论。
Cocycle deformations and Galois objects for semisimple Hopf algebras of dimension $p^3$ and $pq^2$
设$p$和$q$是不同的素数。本文研究了奇维$p^3$和$pq^2$维的非交换、非余交换、半单霍普夫代数的Galois对象和上圈变形.我们得到了Masuoka分类的维数为$p^3$的$p+1$非同构自对偶半单霍普夫代数不存在非平凡的上循环变形，推广了Masuoka以前关于8维Kac-Paljutkin霍普夫代数的结果.这是作为一个后果的分类之间的半单霍普夫代数的奇维$p^3$，建立了第三命名的作者在附录中的分类森田等价类。
Hopf-Galois Systems
我们引入了Hopf-Galois系统的概念，它是对霍普夫代数的基域的Galois扩张概念的一种重新表述.我们定义的主要特征是普通霍普夫代数的对极的推广。Hopf-Galois系统的主要应用是构造霍普夫代数上余模范畴之间的么半群等价。
Hopf-Galois objects over bicrossed product Hopf algebras and twisting maps
本文研究双交叉积 Hopf 代数上的 Hopf-Galois 对象，证明其可由两个因子上的对象与扭曲映射构造，并确定相应双 Galois 结构的 Hopf 代数仍为双交叉积。
Equivariant Hopf Galois extensions and Hopf cyclic cohomology
定义了等变Hopf Galois扩张的概念，并将其作为扩张所涉及的霍普夫代数的SAYD模范畴之间的函子.这推广了Jara-Stefan和Böhm-Stefan关于将SAYD模与任何普通的Hopf伽罗瓦扩张相关联的结果。
Algebraic geometry of Hopf-Galois extensions
我们继续研究有限维Hopf代数的具有中心不变量的Hopf-Galois扩张。我们把注意力集中在这个问题的几何方面。我们了解如何本地化霍普夫-伽罗瓦扩展和粘贴他们从本地数据。
Hopf-Galois systems and Kashiwara algebras
本文由两部分组成。在第一部分中，我们推广到基环上对象是忠实平坦的情形，证明了Hopf-Galois扩张与Hopf-Galois系统的完全等价性。在文章的第二部分，我们表明，柏原代数介绍了柏原在他的研究晶体基地是霍普夫伽罗瓦对象。
Twistings, crossed coproducts and Hopf-Galois coextensions
设$H$是一个霍普夫代数. Ju和Cai引入了$H$ -模余代数的扭曲概念。本文研究了扭曲、交叉余积和Hopf-Galois余扩张之间的关系。特别是，我们表明，扭曲的$H$ -伽罗瓦coextension仍然是$H$ -伽罗瓦，如果扭曲是可逆的。
Partial (co)actions of Hopf algebras and partial Hopf-Galois theory
引入了霍普夫代数$H$在代数上的部分（余）作用。为此，我们首先介绍的概念，宽松的核心，推广Wisbauer的概念弱核心。我们还有松懈环的双重概念。给出了部分$H$ -余代数的几个对偶结果，发展了部分$H$ -余代数的伽罗瓦论.
Partial Hopf-Galois theory
本文发展了部分H-模代数的部分Hopf-Galois理论，并恢复了Hopf代数经典结果的类似物。
Quantum Principal Bundles as Hopf-Galois Extensions
证明了每个具有紧结构群的量子主丛都是一个Hopf-Galois扩张。这个性质自然地延伸到一般的微分结构的层次，所以在具有紧致结构群的量子主丛上的每一个微分都是霍普夫-伽罗瓦扩张的分次微分变体。
Hopf-Galois structures on ambiskew polynomial rings
给出了将代数R上的Hopf-Galois代数结构推广到基于R的广义ambiskew环的充要条件，使得推广的变量在适当的意义下是斜本原的.我们证明了相应的霍普夫代数仍然是基于适当的霍普夫代数H（R）的广义ambiskew环.几个例子进行检查，包括霍普夫伽罗瓦对象在Uq（sl 2）。
On Generalized Hopf Galois Extensions
我们调查的标准是伽罗瓦类型的代数扩展的相互作用的霍普夫代数，或更一般地说，单边商的霍普夫代数，或相对于缠绕。我们研究了这种扩展的模和余模理论性质。
Twisted Ehresmann Schauenburg bialgebroids
在对应的霍普夫代数是余交换的，且对应于这个分裂的霍普夫伽罗瓦扩张的酉上圈的象属于余不变子代数的中心的条件下，我们在分裂的霍普夫伽罗瓦扩张的EhresmannSchauenburg双代数胚上构造了一个可逆的正规2上圈.证明了这类EhresmannSchauenburg双代数胚同构于EhresmannSchauenburg双代数胚的一个2-上圈扭，对应于一个无上圈的Hopf Galois扩张，其中余代数是余不变子代数与霍普夫代数的Smash积（即$\C(B/#_σH, H)\simeq \C(B\#H, H)^{\tildeσ}$）.我们还研究了理论的情况下，伽罗瓦对象的基础是平凡的，但不需要的霍普夫代数是余交换的。
Homotopy theory of Hopf Galois extensions
本文引入了Hopf Galois扩张的同伦等价概念，并对其进行了系统的研究，作为应用，当H是Drinfeld-Jimbo量子群时，确定了所有达到同伦等价的H-Galois扩张.
Normal Hopf subalgebras, depth two and Galois extensions
设$S$为深度为2的扩张的左$R$ -双代数胚，其中心化器为$R$，如数学QA/0108067中所定义。证明了深度为2的扩张的左自同态环是$A^{\rm op}$的左$S$-Galois扩张，但不一定是平衡的.看看深度2的例子，我们建立了一个Hopf子代数是正规的当且仅当它是一个Hopf-Galois扩张。我们在数学中找到了一类可供选择的Hopf代数胚的例子。QA/0302325。我们还刻画有限弱Hopf-伽罗瓦扩展使用交替伽罗瓦规范映射与几个推论：这些是深度2和满射的伽罗瓦映射意味着它的双射。
An action-free characterization of weak Hopf-Galois extensions
我们定义了余代数和双代数胚作用的伽罗瓦扩张。仅使用模块的条件，我们的特点是Frobenius扩展，伽罗瓦作为深度2和右平衡的扩展。作为一个推论，我们得到某些弱和普通的Hopf-伽罗瓦扩展的特征，而不参考的假设中的行动。
Braided autoequivalences and quantum commutative bi-Galois objects
设$(H,R)$是域$k$上的拟三角弱霍普夫代数.证明了$H$上的Yetter-Drinfeld模范畴$^H_H\mathscr{YD}$与范畴$_H\mathscr{M}$中的辫子霍普夫代数${}_RH$上的余模范畴之间存在辫子么半群等价.基于这个等价性，我们证明了辫子霍普夫代数${}_RH$上的每个辫子双Galois对象$A$定义范畴$^H_H\mathscr{YD}$的辫子自等价当且仅当$A$是量子交换的.若$H$在代数闭域上是半单的，即融合情形，则$_H\mathscr{M}$上可平凡化的$^H_H\mathscr{YD}$的每一个辫子自等价都由这样一个量子可换伽罗瓦对象确定. $_H\mathscr{M}$中的量子可换伽罗瓦对象形成了一个群，该群度量了$(H,R)$在霍普夫代数情况下的Brauer群，如[20]中所研究的。
A correspondence between homogeneous and Galois coactions of Hopf algebras
霍普夫代数在酉代数上的余作用称为齐次的，如果余不变量的代数等于基域.一个霍普夫代数在一个代数（不一定是酉的）上的余作用称为伽罗瓦，或主的，或自由的，如果标准映射，也称为伽罗瓦映射，是双射的。在本文中，我们建立了一个特殊的一类齐次相互作用，等变森田等价，和伽罗瓦相互作用，同构之间的对偶。
Pseudo-Galois Extensions and Hopf Algebroids
一个伪伽罗瓦扩展被证明是一个深度为2的扩展。通过研究它的左双代数胚，我们构造了群的半直积，或更一般的对合霍普夫代数及其模代数的包络Hopf代数胚.它是霍普夫代数的半直积及其导出的右交叉积的两个包含的上纤维和。Van Oystaeyen和Panaite观察到这个Hopf代数胚与Connes-Moscovici Hopf代数胚是非平凡同构的，这引起了有趣的比较问题。
Galois and biGalois objects over monomial non semisimple Hopf algebras
本文描述了单项非半单霍普夫代数的Galois对象和双Galois群.我们的描述的主要特点是使用修改版本的第二上同调群的grouplike元素。这些计算推广了Masuoka和Schauenburg关于Taft代数的计算。
Hopf-Galois extensions with central invariants
研究了有限维Hopf代数的具有中心不变量的Hopf-Galois扩张。我们收集有关它们的一般事实，并讨论在研究限制李代数和量子群在单位根的一些例子。我们的重点是在这种情况下，中心字符的不变量的子代数的限制表示理论和它的特殊功能。
A locally trivial quantum Hopf bundle
本文描述了量子空间S^2_{pq}上的一个局部平凡量子主U（1）-丛，它是通常的Hopf丛的一个非对易模拟.我们还提供了有关它的全空间代数的结构（不可约 *-表示和拓扑K-群）和它的伽罗瓦方面（伽罗瓦性质，强联系的存在性，非cleftness）的结果。
A characterization of weak Hopf (co)quasigroups
本文证明了弱Hopf（余）拟群可以用Galois型条件刻画。考虑到这一概念推广了Hopf（co）拟群和弱Hopf代数的概念，我们由此得到了Hopf（co）拟群的第一基本定理和弱霍普夫代数的Galois型态射（也称融合态射）的双射性的一个刻画.
Braided autoequivalences and the equivariant Brauer group of a quasitriangular Hopf algebra
设$(H, R)$是域$k$上的有限维拟三角霍普夫代数，$_H\mathcal{M}$是$H$的表示范畴.本文研究了$_H\mathcal{M}$上Drinfeld中心$^H_H\mathcal{YD}$可平凡化的辫子自等价.我们建立了这些自等价群与嬗变辫状霍普夫代数$_RH$的量子交换双伽罗瓦对象群之间的群同构。然后我们应用这个同构得到[18]中等变Brauer群$\mathrm{BM}(k, H,R)$的确切序列的范畴解释。为了达到这个目的，我们必须发展Schauenburg在[14，15]中提出的辫子双Galois理论，它把通常的Hopf代数上的Hopf双Galois理论推广到辫子幺半范畴范畴中的辫子Hopf代数上。
Galois Theory for H-extensions and H-coextensions
证明了基环R上的H-余代数A的子代数与霍普夫代数H的广义子代数之间存在Galois对应.我们还证明了Q-Galois子扩张是所构造的Galois联络的闭元。然后我们考虑了H-模余代数的余扩张理论。我们为它们构造了伽罗瓦论，并证明了H-伽罗瓦余扩张是封闭的。将所得结果应用于霍普夫代数本身，给出了有限维H的右理想与其左余理想子代数之间存在双射对应的简单证明.进一步给出了任意霍普夫代数的Galois对应是双射的充要条件.当A是交叉积时，我们也给出了子代数和广义子代数闭性的新条件。
Galois actions by finite quantum groupoids
提出了一类双代数胚映射，证明了在量子群胚作用下，平衡深度2扩张表现为有限Galois扩张，即，有限双代数胚、弱双代数或弱霍普夫代数的作用。本文讨论了弱双代数的变形、半群元、弱霍普夫代数重构的唯一性以及可分域扩张的例子。
Right Coideal Subalgebras, Hopf Galois Objects, and $\imath$-Hopf Algebras
本文研究右余模代数与 Hopf 双 Galois 对象、右余理想子代数的联系，针对 Chen 等人提出的 $\boldsymbol{\tau}$-Hopf 代数，得到其 Hopf 双 Galois 实现，完成分类并确定实现像的相等条件。
Some interactions between Hopf Galois extensions and noncommutative rings
在本文中，我们感兴趣的对象是霍普夫伽罗瓦扩展（例如，霍普夫代数、伽罗瓦域扩张、强分次代数、交叉积、主丛等）以及非交换环的族（例如，斜多项式环、PBW扩展和斜PBW扩展等）。我们收集和系统化的问题，问题，属性和最近的进展，在这两个理论明确开发的例子，并做计算，通常在文献中省略。特别是，对于Hopf伽罗瓦扩展，我们认为从量子torsors（也称为量子堆）和Hopf伽罗瓦系统的角度来看的方法，而对于某些家庭的非交换环，我们提出的进展环理论和同调性质的表征。每一个发展的主题都有大量的经典和当代作品的参考，所以本文可以作为对这两种理论感兴趣的人的一个调查。在整个过程中，两者之间的相互作用。
Galois theory for bialgebroids, depth two and normal Hopf subalgebras
我们减少了在math.RA/0108067，math.RA/0408155，和math.QA/0409589中的某些证明，仅从一侧深入两个拟基，一个最小化的方法，导致有限投射双代数胚的Galois扩张的特征没有Frobenius扩张性质。证明了代数$R$上的右有限投射左双代数胚的真代数扩张是左$T$ -Galois扩张当且仅当它是左深度为2的左平衡扩张.交换左和右在这个声明中，我们有一个特征的右伽罗瓦扩张的左有限投射右双代数胚。看看深度2的例子，我们建立了一个Hopf子代数是正规的当且仅当它是一个Hopf-Galois扩张。我们的特点有限弱Hopf-伽罗瓦扩展使用交替伽罗瓦规范映射与几个推论：这些是深度2和满射的伽罗瓦映射意味着它的双射。
Skew Braces and Hopf-Galois Structures of Heisenberg Type
本文对素数$ p>3 $的Heisenberg型斜括号进行了分类。此外，我们确定的自同构群的每一个这些斜括号（以及他们的脚柱和零化子）。因此，利用斜括号和伽罗瓦论之间的联系，我们可以确定$ p^{3} $度域的Galois域扩张上的所有Heisenberg型Hopf-Galois结构。
Examples of polynomial identities distinguishing the Galois objects over finite-dimensional Hopf algebras
定义了霍普夫代数H上余模代数的多项式H-恒等式，并建立了相应的T-理想的一般性质.在H是Taft代数或霍普夫代数E（n）的情况下，我们给出了一个有限集的多项式H-恒等式，它能区分H上的Galois对象直到同构.
Galois theory for Hopf algebroids
交换环k上代数的扩张B \subset A是L-双代数体H的H-扩张，如果A是H-余代数，B是其余不变量的子代数.如果正则映射A \otimes_B A \to A \otimes_L H是同构，或者等价地，如果正则核（A \otimes_L H：A）是伽罗瓦核，则它是H-伽罗瓦核。在Hopf代数胚H=（H_L，H_R，S）的情形下，证明了任何H_R-扩张也是H_L-扩张.如果对极是双射的，则H_R-Galois扩张和H_L-Galois扩张的概念也是一致的。将双射缠绕结构的相关结果推广到非交换代数上的缠绕结构，证明了具有双射对极的双生成投射Hopf代数体H的Kreimer-Takeuchi型定理.它指出，任何H-伽罗瓦扩张B \subset A是投射的，如果A是k-平坦的，那么正则映射的满射性已经包含伽罗瓦性质。由Caenepeel、Vercruysse和Wang发展的Morita理论被应用于Hopf代数体扩张的Galois性质的等价判据。这导致Hopf algebroids类似物的结果霍普夫代数扩展土井，并在Frobenius霍普夫algebroids的情况下，科恩，菲什曼和蒙哥马利。
Galois functors and generalised Hopf modules
正如在以前的论文中所示，由相同的作者，伽罗瓦函子理论提供了一个范畴框架的特点，双单子在任何范畴的霍普夫单子，也为opmonoidal单子的特点，对幺半范畴的monoidal范畴作为右霍普夫单子在Bruguieres和Virelizier的意义。因此，中心部分是描述条件下的比较函子之间的基础范畴和范畴的霍普夫模块成为一个等价（基本定理）。对于幺半范畴，Aguiar和Chase扩展了设定，对于某些余模用余模范畴替换基范畴，并考虑了广义Hopf模的比较函子。对于duoidal范畴，Bohm，Chen和Zhang研究了由这类范畴中给出的两个monoidal结构诱导的双阶上的Hopf模的比较函子。在这两种方法的基本定理证明，本文的目的是表明，这些可以从理论的伽罗瓦函子。
Braided join comodule algebras of Galois objects
我们构造了霍普夫代数H上的非交换Galois对象（量子扭子）的并.为了确保连接代数享有H的自然（对角）余作用，我们编织伽罗瓦对象的张量积。然后我们证明了这种相互作用是主要的。我们的例子是建立在非交换环面与经典环面的自然自由作用，和任意反德林费尔德双有限维霍普夫代数。前者产生一个非平凡环面丛的非对易变形，后者产生一个有限量子覆盖。
Differential calculus on Hopf--Galois extension via the Durdević braiding
本文研究了通过Durdević编织和所选垂直理想生成的主余子代数的一阶微分学，证明了其存在性，并展示了通用垂直映射和连接1形式在合适兼容条件下自然降级到商微分学。
Hopf Galois Extension in Braided Tensor Categories
建立了辫子张量范畴${\cal C}$的交叉积与$H$ -Galois扩张之间的关系，给出了${\cal C}$-Galois扩张的等价子和余等价子.也就是说，如果${\cal C}$中的任意两个态射存在一个等价子和一个余等价子，则$A = B #_σH$是一个交叉积代数当且仅当$A/B$的扩张是Galois，规范史诗$q: A\otimes A \to A\otimes_B A$是分裂的，并且$A$同构为${\cal C}$中的$B\otimes H$的左$B$ -模和右$H$ -余模.
Flatness and freeness properties of the generic Hopf Galois extensions
在以前的工作中，对于每个霍普夫代数H和H上的每个可逆右2-上圈，Eli Aljadeff和第一位作者附加了一个由H下的余代数生成的自由交换霍普夫代数S的子代数B;代数B是一般霍普夫伽罗瓦扩张的余不变量的子代数。本文给出了S作为B-模是忠实平坦甚至自由的条件。我们还表明，B是生成的代数所产生的某些元素的理论所产生的多项式身份的comomosized代数共同开发与Aljadeff。
Push-forward of Hopf--Galois extensions: the non central case
本文研究Hopf-Galois扩展的推前，通过扭曲张量积代数赋予模块共变扩展代数结构，并比较相应的Ehresmann-Schauenburg代数。
Pointed Hopf actions on fields, II
本文是作者对有限维点霍普夫代数H的研究的继续，H是内忠实地作用于交换域上的.正如本书第一部分所提到的，研究归结为H在一个域上忠实地内在作用的情况。这些霍普夫代数被称为伽罗瓦理论的。本文给出了有限维有限Cartan型点伽罗瓦理论霍普夫代数H的分类结果。也就是说，我们确定了A_1^{ \times r}型H和某些秩为2的H何时具有Galois理论性质.此外，我们还给出了小量子群的Reshetikhin扭是Galois理论的充要条件.
Cyclic homology of Hopf Galois extensions and Hopf algebras
设H是一个霍普夫代数.根据定义，模交叉H-模是H以相容方式作用和共作用于其上的向量空间M。对于每个模交叉H-模M，我们关联一个循环对象Z（H，M）。Z（H，M）的循环同调推广了H的代数结构的通常的循环同调和H-Galois扩张的相对循环同调.对于一个Hopf子代数K，在一定的假设下，我们计算了诱导模交叉模的循环同调.作为这个计算的直接应用，我们描述了强分次代数的相对循环同调。特别地，我们计算了群代数和量子环面的（通常的）循环同调。最后，当H是李代数的包络代数时，我们构造了一个谱序列，它收敛于H的循环同调，系数在任意模交叉模中。我们还证明了几乎对称代数的循环同调同构于系数在某个模交叉模中的H的循环同调.
Coactions on Hochschild Homology of Hopf-Galois Extensions and Their Coinvariants
设A是B的一个H-Galois扩张。如果M是一个Hopf双模，则HH。（A，M）是余代数C：= H/[H，H]上的右同调，是系数在M中的A的霍赫希尔德同调.给定一个内射左C-余模V，我们用N表示M和V的余张量积。我们的目的是研究HH的余张量积之间的关系。（A，M）和V，一方面，HH。（B，N）另一方面。这个问题的根源可以在洛伦兹关于中心伽罗瓦扩张的霍赫希尔德同调的下降的工作中找到，其中HH。(A)^G，关于伽罗瓦群作用的不变圈的子空间，和HH。(B)都是同构的
Strong Connections and Chern-Connes Pairing in the Hopf-Galois Theory
本文重新定义了Hopf-Galois扩张$B\subseteq P$上的联络概念，并将其应用于计算循环上同调$HC^{2n} (B)$与循环上同调$K_0 (B)$之间的Chern-Connes配对.这种重新表述使我们能够表明，一个霍普夫伽罗瓦扩展承认一个强连接是投射和左忠实平坦。这也使我们能够得出结论，强联络是Cuntz-Quillen型双模联络。为了验证这个理论，我们构造了一个强连接（super Dirac连接）来寻找与超Hopf纤维化相关的超线丛的Chern-Connes配对.
Generic Hopf Galois extensions
在以前的联合工作与埃利Aljadeff我们附加了一个通用的Hopf伽罗瓦扩张A（H，c）的每个扭曲代数H（c）从一个霍普夫代数H扭曲其产品的帮助下，一个上循环c。代数A（H，c）是H（c）在一个“大”中心子代数B（H，c）上的一个平坦变形，并且可以被看作是Serre意义下的一个非对易向量的非对易模拟。在考察了用Aljadeff得到的关于A（H，c）的结果之后，我们建立了三个新的结果：给出了构造交换代数B（H，c）的元素的系统方法，证明了由类群元和斜本原元生成的有限维Hopf代数都满足一个重要的完整性条件，并在H是循环群的霍普夫代数的情况下计算了B（H，c）.
Quantum principal bundles up to homotopy equivalence
我们将拓扑主丛所满足的一些基本性质转化为Hopf-Galois扩张的情形。这些性质是：函子性、同伦性和平凡性。本文的主要新概念是Hopf-Galois扩张的同伦等价。我们的工作在特定的情况下，共不变量的子代数是中心的，但没有任何限制的共同作用在量子主丛的霍普夫代数。我们详细研究的情况下，当霍普夫代数是Sweedler或塔夫特的有限维霍普夫代数。
Some Braces of Cardinality $p^{4}$ and Related Hopf-Galois Extensions
我们描述了基数$p^{4}$的所有非右幂零的$\mathbb F_{p}$ -括号.我们的解决方案说明了一个一般的方式调查$\mathbb F_{p}$ -括号的基数$p^{n}$与一个给定的乘法群。所构造的花括号是左幂零的、可解的和素的，并且它们还包含一个非零的强幂零理想。
Hopf algebroids and Galois extensions
对于有限的Hopf-Galois扩张$A | B$，我们利用数学中的深度2理论，在中心化子$R$上关联对偶双代数胚$S := \End_BA_B$和$T := (A ø_B A)^B$。RA/0108067。首先，我们利用核理论数学RA/0002105，将Hopf-Galois扩张的某些性质与协作用Hopf代数\cite{KT,Doi}的相应性质等价的结果推广到深度为2的扩张.其次，我们证明了$T^{\rm op}$是中心化子$R$上的Hopf代数胚，通过Lu在Math.QA/9505024中的定理5.1，对于Drinfel'd double上具有特殊模的smash积，Miyashita-Ulbrich作用，$R$是Yetter-Drinfel'd模\cite [Schauenburg]{Sch}的预辫范畴中的交换代数的事实和Yetter-Drinfel'd modules with modules over Drinfel'd double \cite [Majid]{Maj}.在我们的最后一节中，Sugano \cite{Su82,Su87}的结果的阐述导致我们的一个Galois对应的子Hopf代数的$S$在简单的子代数的中心化子有限投射中间简单的子环的一个有限投射H-可分的扩张的简单的环$A \supseteq B$。
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