Long knots and maps between operads
William Dwyer, Kathryn Hess
当m大于或等于4时，我们将R ^m中切向拉直的长纽结空间确定为从结合操作数到小m盘操作数的导出操作数映射空间上的双环。这证实了Kontsevich，Lambrechts和Turchin的猜想。
We identify the space of tangentially straightened long knots in R^m, for m greater than or equal to 4, as the double loops on the space of derived operad maps from the associative operad into a version of the little m-disk operad. This verifies a conjecture of Kontsevich, Lambrechts, and Turchin.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A colored operad for string link infection
Budney最近构建了一个编码节点拼接的操作码。他进一步表明，空间的（长）结是产生在这一operad的空间环面结和双曲结，从而推广卫星分解的结从合痕类的水平空间的结。线链接的感染是从节点到链接的拼接的一般化。我们构建了一个彩色的操作符，编码字符串链接感染。证明了二元串链环空间的某个子空间是由素链环的子空间在运算子域上生成的。这概括了一个结果，从联合工作与布莱尔从合痕类的节点空间的节点。此外，所有的关系在幺半群的2-字符串链接（在我们的联合工作与布莱尔确定）是由我们的感染操作数捕获。
Knots, operads and double loop spaces
证明了维数大于3的欧几里得空间中的长纽结空间是一个双闭路空间，证明了Sinha的一个猜想.我们还构造了加框长纽结上的双闭路空间结构，并证明了忽略加框的映射在奇数维上不是双环映射。然而，总是有这样一个映射在相反的方向表示的双闭路空间的框架长纽结作为一个半直积。一个类似的相容分解对包含长纽结到浸入的同伦纤维成立。我们还表明，通过弦拓扑空间的封闭结在一个领域，适当dissuspended，承认一个行动的小2盘operad类的频谱。一个基本的工具是麦克卢尔-史密斯余单纯机，它产生双闭路空间的拓扑运算乘法。
Operads and knot spaces
我们表明，Kontsevich运算符，作为一个运算符与乘法，提供了一个模型的泰勒塔的函子定义的同伦纤维的包含嵌入的一个区间在立方体的相应空间的浸入。在发展的Kontsevich运算，我们发现一个运算结构的单纯模型的两个领域，在相反的类别有限集。我们的结果的应用包括使用机械的McClure-Smith产生一个小的两盘作用在我们的结空间。
An operad for splicing
引入了一种新的拓扑操作数，称为拼接操作数。这个操作作用于一个广泛的自嵌入空间类N -> N，其中N是一个流形。这个操作数在EC（j，M）上的作用（自嵌入R^j x M --> R^j x M，支持在I^j x M中）是（j+1）-立方体操作数在这个空间上的作用的扩展。此外，剪接操作数的作用编码了拉里·西本曼在j=1，M=D^2的情况下对S^3中结点的剪接构造。R^3中的长结点空间（记为K_{3,1}）被证明是一个具有自由生成子空间P的自由2-立方体对象，该子空间P是长结点的子空间，它相对于连通和运算是素的。本文的主要结果之一是，K_{3,1}是自由的拼接操作数的作用，但自由生成空间是更“小”的空间环面和双曲结TH \subset K_{3,1}。此外，K_{3,1}的剪接操作数具有作为操作数的“简单”同伦类型。
Operadic actions on long knots and 2-string links
本文将2-弦链空间实现为标色算子$\mathcal{SCL}$上的自由代数，扩展了前人关于商空间和长结自由性的结果，并从代数和拓扑角度细化了弦链同痕类幺半群的定理。
Multiplicative formality of operads and Sinha's spectral sequence for long knots
Lambrechts，Turchin和Volić证明了与$d$ -th Kontsevich操作数相关的Bousfield-Kan型有理同调谱序列在$E^2$ -page上的坍缩，如果$d\geq 4$。其证明的关键是操作的形式化。在本文中，我们简化了他们的证明使用模型范畴的操作。作为副产品，我们得到两个新的结果。一个是在$d=3$（并且系数是有理数）的情况下的谱序列的崩溃。另一种观点认为在谱序列上Gerstenhaber代数结构不存在非平凡扩张。
Two remarks on spaces of maps between operads of little cubes
本文研究小d立方体operad $E_d$的导出映射空间，证明其等价于非酉$E_d$的映射空间且$E_d$的自同态均为自同构，并探讨了相关变体。
The rational homology of spaces of long knots in codimension >2
我们确定了R^d中$d\geq4$的长纽结空间的有理同调.我们的主要结果是，计算这个有理同调的瓦西里耶夫谱序列在E^1页处坍缩。作为推论，我们得到长纽结（模浸入）的同调是具有d-1次括号的Poisson代数运算的霍赫希尔德同调，它可以作为显式图复形的同调得到，并且在理论上是完全可计算的。我们的证明是一个相对版本的Kontsevich的形式的小d-磁盘操作和辛哈的cosmonficial模型的空间所产生的古德威利-韦斯嵌入演算的长结的组合。作为我们的证明的另一个成分，我们引入了一个泛化的建设相关联的余单纯对象的乘法运算。在此基础上，我们建立了截断余单空间的Bousfield-Kan谱序列的一些结果。
Calculus of the embedding functor and spaces of knots
我们给出了一个概述如何演算的嵌入函子可用于研究长结和总结各种结果连接的演算方法的合理同伦类型的空间的长结，崩溃的瓦西里耶夫谱序列，霍赫希尔德同调的泊松运算符，有限型结不变量等，一些开放的问题和acetrures的兴趣，在整个。
From maps between coloured operads to Swiss-Cheese algebras
在本工作中，我们提取对的拓扑空间之间的映射着色操作。我们证明了这些对弱等价于一维Swiss-Cheese运算SC_{1}上的显式代数。然后，我们证明了由长纽结空间和从R^{d}到R^{n}的（k）-浸入的多项式逼近所形成的对是一个SC_{d+1} -代数，假设Dwyer-Hess猜想。
Cubes, cacti, and framed long knots
该研究定义了射影无刺仙人掌operad对标架长纽结空间泰勒塔各层的作用，证明其与Budney小2-立方体作用的空间相容性，改进了相关Vassiliev不变量猜想的前期结果，还重新证明了Sakai发现的一类Browder括号类的非平凡性。
Localization of algebras over coloured operads
给出了monoidal模型范畴中同伦局部化函子保持色算子上代数的充分条件。我们的方法包含了一些以前的结果保存的结构下的本地化，如闭路空间或无限闭路空间，并提供了新的同类结果。例如，在适当的假设下，同伦局部化保持环谱（严格意义上，不仅直到同伦），环谱上的模，交换环谱上的代数，以及环映射，模映射和代数映射。主要是对模谱及其映射的处理，使我们在这方面使用了有色操作（也称为丰富的多范畴）。
Operads up to Homotopy and Deformations of Operad Maps
从集合$A$上的“cofree”cooperad $T'(A[-1])$加上一个微分，我们在下降到共不变的全空间$\bigoplus_nA(n)$上构造了一个$L_\infty$ -代数结构.我们使用这种结构来定义一个$L_\infty$ -代数控制变形的操作$P$下$Q$从一个协调的解决方案的操作$Q$，和操作映射$Q\longrightarrow P$。从一个不同的余分解出发，得到一个拟同构的$L_\infty$ -代数.这种方法统一了Markl关于算子的余切上同调和Balavoine，Kontsevich和Soibelman关于$Q$ -代数变形的方法。
Sinha's spectral sequence for long knots in codimension one and non-formality of the little 2-disks operad
本文计算了余维一长纽结空间Sinha谱序列在特征2和3下的若干微分，证明特定元素的$d_2$和$d_3$微分非零，并据此推出小2-圆盘链算子在相应特征下的平面非形式性，同时发展了基于构型空间与胖对角线对偶的Thom空间计算方法。
A spectral sequence for spaces of maps between operads
针对满足温和条件的单纯增广operad，研究者构建了逼近其导出映射空间的纤维化塔，给出第n阶的构造方式，并通过主定理刻画了塔的各层结构。
Umkehr Maps Patched via the Compactified Cleavage Operad
通过对劈裂算子的紧化，我们描述了球面到紧的定向流形的映射空间上的两个作用。从紧化版本的分裂操作数的映射提供了一个版本的相交理论沿底层的基础流形提升到映射空间。另一个作用映射只适用于非紧化的劈裂操作数，并给出了高维弦拓扑的同伦理论版本。
Poisson structures on the homology of the space of knots
本文研究了与乘法运算有关的余单空间的积化的同调上的Poisson代数结构。这种结构是由McClure和Smith发现的小圆盘算符的作用引起的Browder算符。我们证明了Browder操作与霍赫希尔德同调上的Gerstenhaber括号相一致，它作为Bousfield构造的同调谱序列的E2-项出现。特别是，我们认为一个变种的空间长结在高维欧几里得空间，并表明辛哈的同源谱序列计算泊松代数结构的同源性的空间。Browder操作产生一个不直接对应于弦图的同调类。
Equivariant dendroidal sets and simplicial operads
我们建立了一个Quillen等价的同伦理论之间的等变Segal算子和等变单纯算子与范数映射。结合以前的工作，我们进一步得出结论：同伦相干神经是从具有范数映射的等变单纯运算模型范畴到等变树集上的等变- $\infty$ -运算模型范畴结构的右Quillen等价.
Little cubes and long knots
本文给出了三维欧几里得空间中长纽结空间K的同伦型的部分刻划。主要结果是在素纽结空间上构造了K与自由小2-立方体对象之间的同伦等价。在证明自由性结果时，发现纽结补的K-Shalen-Johannson分解与K上的小立方体作用之间有密切的对应关系。除了研究3-空间中的长纽结之外，我们证明了对于任何紧致流形M，R^n x M在R^n x M中的嵌入空间在I^n x M中的支集允许小（n+1）-立方运算的作用。如果M=D^k，则这个嵌入空间是R^{n+k}中的框架长n-纽结空间，并且小立方体操作数的作用是由连通和操作给出的幺半群结构的扩充。
BV-structures on the homology of the framed long knot space
本文从两个方面在$\mathbb{R}^n$中引入框架长纽结空间的同调上的BV-代数结构。第一个是在一个类似的方式Chas-Sullivan的弦拓扑。第二个是定义在与循环乘法运算的分次模相关的霍赫希尔德同调上。后者可应用于收敛于框架长纽结空间的同调的Bousfield-Salvatore谱序列。这两种结构相互吻合。
Coformality and the rational homotopy groups of spaces of long knots
我们证明了计算${\mathbb R}^d$中长结点空间的有理同伦群的Bousfield-Kan谱序列在$E^2$页处崩溃，其中$d\ge 4$。在证明的主要成分是辛哈的cosimplicial模型的空间长结和一个coformatism结果的小球操作。
Non-trivalent graph cocycle and cohomology of the long knot space
在本文中，我们表明，通过配置空间的积分建设的非三价图上圈也可以产生一个非零的上同调类的空间的高（甚至）余维长节。这同时证明了由R定义的运算作用所诱导的Browder运算。布德尼可不是小人物。
Explicit Acyclic Models and (Co)Chain Operations
利用统一递归程序构造链复形态射，涵盖多种情形，给出相关例子、唯一性定理，对特定operad进行新处理，该程序能阐明不同时期链映射相关问题，为后续研究Steenrod代数性质做铺垫。
The Cleavage Operad and String Topology of Higher Dimension
对于嵌入在欧几里得空间R^{n+1}中的流形N，我们产生一个作用于从N到M的映射空间的着色操作数，其中M是紧致的、定向的、光滑流形。对于单位球面N，我们指出这是如何给出同调作用的，推广了Cacti操作数的作用，并通过取N为R^2中的单位圆来恢复查斯-沙利文积。我们继续证明，对于R^{n+1}中的单位球面S^n，所构造的运算数是着色的E_{n+1} -运算数。这个E_{n+1} -结构最后被SO（n+1）扭曲，同调地给出框架小（n+1）-圆盘的作用。
On the rational homology of high dimensional analogues of spaces of long knots
我们研究高维类似物的空间的长节。这些是$\mathbb{R}^m$到$\mathbb{R}^n$的紧支撑嵌入（模浸入）的空间。我们把嵌入空间看作是某个函子在$\mathbb{R}^m$上的值，并对这个函子应用流形演算。我们的第一个结果表明，这个函子的泰勒塔可以表示为小圆盘操作数上的无穷小双模之间的映射空间。然后，我们表明，正式的小磁盘操作有影响的同调行为的泰勒塔。我们的第二个结果说，当$2m+1<n$，这些空间的嵌入的奇异链复形是合理的等价于某些有限链复形的直和，我们描述得相当明确。
Context-free manifold calculus and the Fulton-MacPherson Operad
本文利用框架Fulton-MacPherson算子上截断模的映射空间给出了Weiss嵌入塔的一个显式描述。
Operads and chain rules for the calculus of functors
研究了基拓扑空间的点同伦函子的Goodwillie导数的结构。这些导数自然地在由单位函子的导数组成的操作数上形成双模。然后，我们使用这些双模结构，给出了一个链式法则，在微积分的函子，扩展克莱因和Rognes的高阶导数。这个链式法则将FG的导数表示为F和G的导数在恒等式的导数上的导出合成积。在我们的证明中有两个主要成分。首先，我们构造了谱函子的Goodwillie导数的新模型。这些模型允许产生操作符和模块结构的自然组合映射。然后，我们使用一个余单cobar构造将这个结构转移到拓扑空间的函子上。一种形式的Koszul对偶操作的频谱起着关键作用。
Galois symmetries of knot spaces
该研究利用小圆盘operad的伽罗瓦对称性，证明Goodwillie-Weiss谱序列的众多微分在素数p处消失，结合嵌入演算与有限型理论的关联结果，推导出特定阶数的Goodwillie-Weiss逼近是p-局部泛Vassiliev不变量。
Operad bimodules, and composition products on Andre-Quillen filtrations of algebras
若O是对称谱中的约化运算，则O-代数I可视为类似于增广代数的增广理想。隐含在文献中的拓扑安德烈-奎伦同源性是，这样的我承认一个典型的（和同伦意义）减少O-代数过滤I> I^2> I^3>.满足类似于环中理想的幂的各种好的性质。在本文中，我们明确了这些结构。设R是交换S-代数，研究了圈积MoOI的导出形式，其中M是O-双模，I是R-模中的O-代数.让M通过O自身的递减O双模过滤，然后产生如上所述的增广理想过滤。操作数的复合结构诱导了从（I ^i）^j到I ^{ij}的代数映射，与先前研究的结构很好地吻合。作为形式上的推论，从I到J ^d的O-代数映射导出从I ^n到J ^{dn}的相容映射，对所有n。这是一个必不可少的工具，在第一作者的研究Hurewicz映射无限闭路空间，它的效用说明在这里与提升定理。
Equivariant dendroidal Segal spaces and $G$-$\infty$-operads
我们引入了类似的概念，完整的Segal空间和Segal范畴的上下文中的等变操作与规范映射，并建立模型范畴与这些作为的约束对象。然后，我们表明，这些模型类别是Quillen等价于彼此和$G$ - $\infty$ -操作在以前的文件中建立的模型类别。此外，我们建立这些结果的Blumberg-Hill索引系统的变体。在附录中，我们讨论了等变上下文中的Reedy范畴.
Equivariant dendroidal sets
我们将$\infty$ -运算的Cisinski-Moerdijk-Weiss理论推广到等变的情形，得到了编码“具有范数映射的等变运算”的$G$ - $\infty$ -运算的概念，直到同伦.在这项工作的根源是识别一个合适的类别的$G$ -树连同一个概念的$G$ -内角能够编码的组合物的范数地图。此外，我们遵循Blumberg和Hill，构建与他们工作中的每个索引系统相关的合适变体。
An Additivity Theorem for the Interchange of E_n Structures
拓扑空间上两个乘法结构互换的概念由参数化这些结构的两个运算的张量积编码。因此，直觉上人们可能会认为，E_m和E_n操作数（分别编码m重和n重闭路空间的乘法结构）的张量积应该是E_{m+n}操作数。然而，对于这个天真的猜想，有一些简单的反例。本文证明了余E_m和余E_n的张量积是E_{m+n}运算。由此得出，如果A_i是E_{m_i}操作数，其中i= 1，2，.，k，则有一个E_{m_1+m_2+...+m_k}操作数映射到它们的张量积。
$E_n$-Hopf invariants
经典的霍普夫不变量是从$S^{4n-1} $到$S^{2n}$的映射同伦类的不变量，是同伦理论中的一个重要不变量。本文的目的是利用Koszul对偶理论的$E_n$ -操作定义一个推广的经典的Hopf不变量。定义经典的霍普夫不变量的一种方法是通过定义空间$X$的上链上的结合棒构造的上同调与$X$的同伦群之间的配对。本文通过定义$X$上链上的$E_n$ -bar构造的上同调与$X$的同伦群之间的配对，给出了经典Hopf不变量的一个推广.这种对给出了从$S^m$到单纯集$X$的映射的同伦类的一组不变量，这种对比经典的Hopf不变量能检测出更多的同伦类.本文第二部分将$E_n$-Hopf不变量与$E_n$ -算子的Koszul对偶理论相结合，得到了空间$X$的$E_n$-Hopf不变量与$X$的悬挂的$E_{n+1}$ -Hopf不变量之间的关系.这是通过研究$E_\infty$ -操作数的悬浮态射来完成的，它是从$E_{\infty}$ -操作数到$E_\infty$ -操作数的去悬浮的态射.我们证明了它从$E_\infty$ -代数诱导出一个函子到$E_\infty$ -代数，它具有将单纯集$X$的$E_\infty$ -模型发送到$X$的悬挂的$E_\infty$ -模型的性质.利用这个结果，我们给出了从$S^m$到$X$的映射的$E_n$-Hopf不变量与从$S^{m+1}$到$X…
A finitely presented ${E}_{\infty}$-prop I: algebraic context
本文在微分分次模范畴中引入了一个新的prop $\mathcal{S} = \{\mathcal{S}(n,m)\}$，它的算子$U(\mathcal{S})=\{\mathcal{S}(1,m)\}$是$E_\infty$ -算子的模型.这个有限的介绍，使我们能够描述一个自然的$E_\infty$ -余代数结构的链上的任何单纯的一套只有三个地图：亚历山大-惠特尼对角线，增广地图，并代数版本的加入单纯形。第一个附录将我们的构造与McClure-Smith和Berger-Fresse的满射操作数联系起来。第二个建立了一个对偶之间的连接和AW映射的增广和非增广单纯集。本文在$CW$ -复形范畴中构造了一个对应于$\mathcal{S}$的prop。
Homotopy Colimits of Algebras Over Cat-Operads and Iterated Loop Spaces
将置换范畴范畴中的同伦余极限构造推广到任意$\Cat$运算上的代数范畴，并分析了它的性质。然后，我们使用这个同伦上极限来证明分类空间函子在形式上反转某些弱等价类后，导出了$n$ -折叠幺半范畴与$\mathcal{C}_n$ -空间范畴之间的等价性，其中$\mathcal{C}_n$是小$n$ -立方体运算数。作为结果，我们得到了$n$ -fold幺半范畴与$n$ -fold闭路空间范畴和局部化后的回路映射范畴关于另一类弱等价的等价性.我们恢复了Mesquason关于无限闭路空间的相应结果，并得到了关于辫幺半范畴和2重闭路空间的相关结果.
The partition poset complex and the Goodwillie derivatives of the identity in spaces
该研究通过上单纯形对象配对构造空间恒等函子导数的典范同伦协调 operad 结构，证明其与 Ching 描述的结构一致，还揭示谱上交换余代数的导出本原元为该 operad 上的代数。
Delooping the functor calculus tower
本文研究了算子上双模和无穷小双模的映射空间之间的联系。作为我们工作的主要应用和动机，我们产生了一个显式的delooping的流形微积分塔相关的空间的光滑映射$D^{m}\rightarrow D^{n}$的磁盘，$n\geq m$，避免任何给定的多奇异性和符合附近的标准包含$\partial D^{m}$。特别地，我们给出了一个新的证明的去环的空间的圆盘嵌入的小圆盘操作映射的优点，它可以应用到更一般的映射空间。
Calculus of functors, operad formality, and rational homology of embedding spaces
设M是光滑流形，V是欧几里得空间.设Ebar（M，V）是从Emb（M，V）到Imm（M，V）的映射的同伦纤维.本文讨论Ebar（M，V）的有理同调.我们通过将嵌入演算和正交演算应用于双函子（M，V）来研究它|--> HQ / \Ebar（M，V）_+.我们的主要定理指出，如果V的维数大于M的嵌入维数的两倍，则该函子的正交微积分意义下的泰勒塔（从此称为“正交塔”）分裂为它的层的乘积。同样，与塔相关的有理同调谱序列在E^1处坍缩。在结嵌入的情况下，该谱序列与瓦西里耶夫的谱序列一致。在证明的主要成分是嵌入微积分和Kontsevich定理的形式的小球运算。给出了函子HQ / \Ebar（M，V）_+的正交塔中各层的显式公式.这些公式特别表明，正交塔各层的（有理）同伦型由M的（有理）同伦型决定。这与我们的有理分裂定理一起，意味着在上述关于余维的假设下，Ebar（M，V）的有理同调群由M的有理同调型决定。
Cyclic duality between BV algebras and BV modules
本文证明满足cosimplicial相容条件的循环operad其上同调具有BV代数结构，并给出BV模的循环对偶成为BV代数的条件，以Hopf代数理论中的同调群为例加以说明。
A spectral sequence for tangent cohomology of algebras over algebraic operads
本文提出了一种用于计算代数上操作符切余同调的谱序列，该序列可应用于拓扑空间的有理Adams-Hilton构造，并揭示了Serre谱序列的代数描述及其收敛性。
Regular patterns, substitudes, Feynman categories and operads
我们证明了Getzler（2009）的正则模式与Day和Street（2003）的代换2-范畴形成2-范畴双等价，Kaufmann和Ward（2013）的Feynman范畴与有色运算2-范畴形成2-范畴双等价（具有可逆2-胞室）.这些双等价诱导了相应代数范畴之间的等价。在确定这些双等价值时有三个主要因素。第一个是严格化定理（利用功率的一般相干结果），它允许减少的情况下，结构映射是身份对象函子和严格monoidal。其次，我们subsidiaries的Getzler和Kaufmann-沃德遗传公理到概念的Guitart精确性，一般条件，确保某些左Kan扩展和一个给定的单子之间的兼容性，在这种情况下，自由对称monoidal类单子。最后，我们建立了一个替代和我们称之为pinned对称幺半范畴之间的biadjunction，从结果遵循的事实，遗传映射正是这个biadjunction的counit。
Operads and Maurer-Cartan spaces
本论文分为两个部分。第一个是由回忆运算理论，模型类别，单纯同伦理论，合理同伦理论，Maurer-Cartan空间和变形理论。第二部分涉及卷积代数的理论及其一些应用，如下所述。假设我们给出一类代数、一类余代数，以及这些类型的代数结构之间的关系（分别由运算符、余运算符和扭曲态射编码）。然后，可以赋予从余代数C和代数A的线性映射空间直到同伦的李代数的自然结构。我们把得到的同伦李代数称为A和C的卷积代数。我们研究卷积代数的理论及其与同伦代数工具的兼容性：无穷态射和同伦转移定理。在此之后，我们将这一理论应用到各个领域，如派生变形理论和有理同伦理论。在第一种情况下，我们使用我们开发的工具来构建一个通用的李代数表示空间的Maurer-Cartan元素，变形理论的基本对象。在第二种情况下，我们推广了Berglund关于点拓扑空间之间映射空间的有理模型的一个结果。在本文的最后一章，我们对形变理论中的两个重要定理：Goldman-Millson定理和Dolgushev-Rogers定理给出了一个新的方法。
Hodge decomposition in the homology of long knots
本文描述了长纽结空间的有理同调和同伦的自然分裂。这种分解可能是由布线映射产生的，就像闭路空间的同调中的自然分解是由幂映射产生的一样。给出了这种分裂项的欧拉示性数的母函数。基于这个生成函数，我们表明，无论是同调和同伦的问题空间的行列增长至少指数。使用自然图复合体，我们表明，这种分裂的水平上的双代数的和弦图是完全的分裂博士之前定义的巴纳坦。在附录中，我们提供了欧拉示性数的计算机计算表。这些计算给出了一定的乐观，阶数> 20的Vassiliev不变量可以区分结和它们的逆。
Homotopy morphisms between convolution homotopy Lie algebras
在作者以前的工作中，一个双函子与任何运算扭曲态射相关联，采取一个余代数在一个cooperad和一个代数在一个operad，并给予回空间的（分次）线性映射之间赋予同伦李代数结构。我们建立在这个结果使用一个更一般的概念，$\infty$ -态射之间的（co）代数在一个（co）操作数相关联的扭曲态射，并表明，这个双函子可以扩展到采取这样的$\infty$ -态射在其两个插槽之一。我们还提供了一个反例证明，它不能连贯地扩展到接受$\infty$ -态射在两个插槽同时。我们将这一理论应用于映射空间的有理模型。
The topology of spaces of knots
我们提出了两个模型的空间节点的端点在固定的边界点在一个带边流形，一个模型定义为一个逆极限的空间之间的映射配置空间和另一个是余单纯的。这些模型建立在同伦函子的演算上，并且当周围维数大于3时，它们与纽结空间是弱同伦等价的。映射空间模型和它所建立的评估映射适合于通过微分拓扑进行分析。上单模型产生了谱序列，当它们连通时，谱序列收敛于纽结空间的上同调群和同伦群。我们明确地确定和建立消失线在这些谱序列。
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