Point counting on reductions of CM elliptic curves
给出了椭圆曲线与任意虚二次域的复乘约化的点数的显式公式。我们还发现CM $\mathbf{Q}$ -曲线在某些情况下的模型。这推广了格罗斯、斯塔克和其他人的早期结果。
2009-08-06 math.NT
On the anticyclotomic Mazur-Tate conjecture for elliptic curves with supersingular reduction
该短注针对具有超奇异约化的椭圆曲线，研究其Selmer群Fitting理想相关的Mazur-Tate“弱”主猜想的反分圆类似问题。
2024-12-11 math.NT
Elliptic Curves with Everywhere Good Reduction
我们考虑的问题，二次域的椭圆曲线与无处不在好约化。通过回顾Setzer的工作，我们扩展了确定具有处处好约化和有理$j$不变的椭圆曲线的实二次域和虚二次域的同余条件。利用这一点，我们确定了这种实二次场和虚二次场的密度。如果$R(X)$（分别$I(X)$）表示实数（分别虚数）二次域$K=\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$的个数，使得$|Δ_K| < X$，并且对于该二次域存在具有有理$j$ -不变量的椭圆曲线$E/K$，该椭圆曲线具有处处好约化，则$R(X) \gg \frac{X}{\sqrt{\log(X)}}$。为了获得这些估计，我们明确地构造二次域，在其上我们可以构造处处具有好约化的椭圆曲线。然后根据初等乘性数论得出估计。另外，我们得到了实二次域和虚二次域的无限族，使得在这些域上不存在处处好约化的椭圆曲线。
2014-10-23 math.NT
The absolute discriminant of the endomorphism ring of most reductions of a non-CM elliptic curve is close to maximal
设$E/\mathbb{Q}$为非CM椭圆曲线。假设GRH，我们证明了对于密度为$1$的素数$p$的集合，$E$模$p$约化的$\mathbb{F}_p$ -自同态环的绝对判别式接近于极大.
2020-03-02 math.NT
Elliptic Curves with Supersingular Reduction over $Γ$-extensions
这是阿纳斯·G. Nasybullin于1976年，在其中他陈述了在分圆$\Z_p$ -数域的扩展中椭圆曲线的Tate-Shafarevich群的p-准素部分的公式。
2012-03-07 math.NT
The distribution and density of cyclic groups of the reductions of an elliptic curve over a function field
令$K$为有限特征$p\geq2$的全局域，令$E/K$为非等距椭圆曲线。给出了当$E$在$ν$处的约化是循环群时，$ν$的位数的渐近公式.此外，我们确定当这些地方的Dirichlet密度为0。
2016-09-20 math.NT
Minimisation and reduction of 5-coverings of elliptic curves
我们考虑模型的亏格一曲线的程度5，这出现在明确的5下降的椭圆曲线。证明了与雅可比椭圆曲线的极小模型具有相同不变量的极小模型的存在性定理，并给出了计算这类模型的算法。最后，我们描述了如何减少亏格1模型的5度定义在Q。
2011-12-21 math.NT
Remarks on Kato's Euler systems for elliptic curves with additive reduction
扩展以前的工作的好约化的情况下，我们提供了一个数值准则来验证大部分的“Iwasawa主要猜想没有$p$ -adic $L$ -功能”的椭圆曲线与加性约化在奇素数$p$分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩展。我们还推导出相应的$p$ -部分的Birch和Swinnerton-Dyer公式的椭圆曲线秩为零，从相同的数值准则。最后我们给出了具体的例子，并在附录中说明了我们对Kato欧拉系统的选择。
2019-04-15 math.NT
Minimisation and reduction of 2-, 3- and 4-coverings of elliptic curves
在本文中，我们考虑模型的亏格1曲线的次数n（n = 2，3和4），这出现在显式n下降的椭圆曲线。我们证明定理的存在性极小模型具有相同的不变量的最小模型的雅可比椭圆曲线，并提供简单的算法，最小化一个给定的模型，有效的一般数域。最后，对于定义在Q上的亏格1模型，我们发展了一个约简理论，并再次给出了n = 2，3，4的显式算法。
2009-08-12 math.NT
Higher codimension Iwasawa theory for elliptic curves with supersingular reduction
Bleher等人开始研究经典岩泽模的高余维岩泽理论。随后，Lei和Palvannan研究了具有超奇约化的椭圆曲线的类似物。在本文中，我们得到了一个巨大的概括工作的雷和帕尔万南。一个关键的技术是一种方法的工作Bleher等人。作者以前提出的。为此，我们还研究了$\pm$ -范数子群的结构和多重符号Selmer群的对偶性质。
2022-06-06 math.NT
Counting elliptic curves with bad reduction over a prescribed set of primes
设$p\ge5$是椭圆曲线的特殊纤维的素数，$T$是Kodaira型。我们估计了$\mathbb Q$上的椭圆曲线的数量，直到高度$X$，其中Kodaira型$T$在$p$。这使我们能够找到比例的椭圆曲线在$\mathbb Q$，当按高度排序，与小平型$T$在一个总理$p\ge5$内的一组所有椭圆曲线。该比例是$p$中的有理函数。例如，我们证明了所有在$p$处具有坏约化的椭圆曲线的$\displaystyle\frac{p^8(p-1)}{p^9-1}$都是乘法约化的。此外，我们证明了大多数椭圆曲线的导体的素数到$6$部分是无平方的，其中$ζ$是Riemann-zeta函数。
2020-03-23 math.NT
Tate-Shafarevich Groups and Frobenius Fields of Reductions of Elliptic Curves
设$\E/\Q$是$\Q$上的固定椭圆曲线，它不具有复乘。在广义黎曼假设下，A. C. Cojocaru和W. Duke等得到了素数$p\le x$个数的渐近公式，使得$\E$模p的约化有平凡的Tate-Shafarevich群. A.最近的研究结果C. Cojocaru和C.大卫导致一个更好的错误项。我们在证明方案中引入了一个新的论点，使证明方案得到了进一步的改进。
2007-11-29 math.NT
Reduction and isogenies of elliptic curves
本文研究具有素次数有理同源的椭圆曲线的约化Kodaira类型，在完备离散赋值环域的设定下展开分析，并得到有理数域上椭圆曲线的相关结论。
2024-04-17 math.NT
Elliptic curves with good reduction outside of the first six primes
我们提出了一个有理椭圆曲线的数据库，直到Q-同构，具有好约化外{2，3，5，7，11，13}。我们提供了一个启发式涉及的ABC和BSD架构，数据库很可能是完整的一组这样的曲线。此外，证明完备性可能只需要更多的计算时间就可以得出结论。我们目前的数据分布的各种数量相关的曲线在一组。我们还讨论了与S-单位方程的关系以及具有极大导体的有理椭圆曲线的存在性。
2020-07-21 math.NT
On the distribution of Atkin and Elkies primes for reductions of elliptic curves on average
对于没有复乘的椭圆曲线E/Q，我们研究了Atkin和Elkies素数l在E模素数p的所有好约化上的平均分布。我们表明，在广义黎曼假设下，对于几乎所有素数p，都有足够小的Elkies素数l来确保Schoof-Elkies-Atkin点计数算法在（log p）^（4+o（1））预期时间内运行。
2015-04-08 math.NT
On the refined conjectures on Fitting ideals of Selmer groups of elliptic curves with supersingular reduction
本文研究了$\mathbb{Q}$上椭圆曲线的$\mathbb{Q}$的分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩张的有限子扩张上的Selmer群的Fitting理想.特别地，我们给出了椭圆曲线在奇素数$p$处具有良好（超奇异）约化的Mazur和Tate的“弱主猜想”的证明.在$\pm$ -main猜想成立且某个误差项消失的条件下，证明了第二作者提出的“强main猜想”.其核心思想是岩泽理论中的“有限层对象”、“$\pm$ -对象”和“精细对象”之间的显式比较。良好的普通还原的情况下也被处理。
2019-05-22 math.NT
On the algebraic functional equation of the eigenspaces of mixed signed Selmer groups of elliptic curves with good reduction at primes above $p$
令$p$是奇素数，并且令$E$是定义在数域上的椭圆曲线，该数域在$p$以上的每个素数处具有好约化。在适当的假设下，证明了椭圆曲线的混合符号Selmer群的$η$ -特征空间与$\barη$ -特征空间是伪同构的.作为推论，我们证明了$η$ -特征空间是平凡的当且仅当$\barη$ -特征空间是平凡的.我们的结果可以被认为是一个反射原理，它将一个给定的本征空间中的岩泽模与另一个“反射”本征空间中的岩泽模联系起来。
2019-12-19 math.NT
Anticyclotomic $p$-adic $L$-functions for elliptic curves at some additive reduction primes
设$E$是有理椭圆曲线，$p$是加性约化的奇素数.设$K$是虚二次域，并固定一个正整数$c$与$E$的导体互素。本文的主要目的是定义一个反割圆的$p$-adic $L$-函数$Ł$，当$E/\QQ_p$在阿贝尔扩张上达到半稳定约化时，该函数附在$E/K$上.我们证明，$Ł$满足预期的插值性质，即，我们表明，如果$χ$是一个anticyclotomic字符的导体$cp^n$然后$χ(Ł)$等于（明确常数）$L(E,χ,1)$或$L'(E,χ,1)$。
2018-09-24 math.NT
Kodaira-Neron statistics for rational elliptic curves with $j$-invariant 0 and 1728
Bard College（巴德学院）
本文研究j-不变量为0和1728的有理椭圆曲线，通过高度计数确定3和2处的Kodaira-Néron类型渐进行为，并分析 torsion subgroup 和 isogeny-torsion graph 的相关统计。
2026-05-14 math.NT
On the Fitting ideals of anticyclotomic Selmer groups of elliptic curves with good ordinary reduction
Jeonbuk National University（全北国立大学）
本文通过theta元素确定了反圆环$\mathbb{Z}_p$-扩展中Selmer群的拟环理想，证明了Kurihara主猜想的反圆环版本。
2025-07-11 math.NT
On the signed Selmer groups of congruent elliptic curves with semistable reduction at all primes above $p$
设$p$为奇素数。我们将适当的带符号Selmer群附加到椭圆曲线$E$上，其中假定$E$在$p$以上的所有素数处具有半稳定约化.然后，我们比较了Iwasawa $λ$ -不变量的这些签署塞尔默群的两个全等椭圆曲线上的分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩张的Greenberg-Vatsal和B。D. Kim.作为比较公式的应用，我们证明了如果$p$ -奇偶猜想对其中一条全等椭圆曲线成立，那么对另一条椭圆曲线也成立.在证明后一个结果的过程中，我们还概括了哈特利关于符号塞尔默群的奇偶性的观察。
2020-06-22 math.NT
Torsion of elliptic curves over $\mathbb{Q}_p$ with good reduction in cyclotomic extensions
Kanagawa University（神奈川大学）；Osaka Kyoiku University（大阪教育大学）
本文研究分圆扩张下$\mathbb{Q}_p$上带好约化的椭圆曲线挠点结构问题，对任意素数p及对应分圆扩张情形，完成了相关有理点群挠子群的结构分类。
2026-04-04 math.NT
$p$-converse theorems for elliptic curves of potentially good ordinary reduction at Eisenstein primes
本研究针对在艾森斯坦素数处具有潜在好常约化的椭圆曲线，通过构造辅助虚二次域的反分圆岩泽主猜想并下降到有理数域，证明了p-塞尔默秩为0或1时的p-逆定理，改进了二次扭族中低秩椭圆曲线的数量占比。
2024-10-30 math.NT
Orders of reductions of elliptic curves with many and few prime factors
本文研究了$ω(E(\mathbb{F}_p))$的极值问题，其中$E/\mathbb{Q}$是具有复数乘法的椭圆曲线，$ω$是异素因子数函数.对于固定的$γ> 1$，我们证明了，\[ \#\{p \leq x : ω(E(\mathbb{F}_p)) > γ\log\log x\} = \frac{x}{(\log x)^{2 + γ\logγ- γ+ o(1)}}. \]相同的结果适用于数量$\#\{p \leq x : ω(E(\mathbb{F}_p)) < γ\log\log x\}$当$0 < γ< 1$。文中详细讨论了曲线$E : y^2 = x^3 - x$的参数，并讨论了该方法如何适用于其它CM椭圆曲线。
2015-11-07 math.NT
Akashi series and Euler characteristics of signed Selmer groups of elliptic curves with semistable reduction at primes above p
令$p$是奇素数，并且令$E$是定义在数域$F'$上的椭圆曲线，使得$E$在$p$之上的$F'$的每个素数处具有半稳定约化，并且在$p$之上的至少一个素数处是超奇异的。在适当的假设下，计算了$F'$的有限扩张$F$上的$\mathbb{Z}_p^d$ -扩张上的$E$的带符号Selmer群的Akashi级数.作为一个副产品，我们还计算了这些Selmer群的欧拉示性数。
2020-09-26 math.NT
The 3-adic representations arising from elliptic curves over $\mathbb{Q}_3$ with potential good reduction
本文完整分类了同构于 $\mathbb{Q}_3$ 上椭圆曲线 Tate 模的潜在结晶 3-adic 表示，通过过滤 $(φ, \mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q}_3))$-模描述，并重点关注野性潜在好约化的情况。
2023-04-03 math.NT
An analogue of Kida's formula for elliptic curves with additive reduction
本文研究加法约化椭圆曲线的Iwasawa理论，证明Iwasawa不变量满足Riemann–Hurwitz公式的类比，推广了Hachimori–Matsuno结果，并应用于素数循环扩张中秩稳定性的渐近密度下界。
2024-06-28 math.NT
Wild Galois representations: elliptic curves with wild cyclic reduction
本文完成了剩余特征为2或3且曲线在分歧次数可被p整除的扩张上获得良好约化的所有剩余wild情形下椭圆曲线Galois表示的显式计算。
2025-06-25 math.NT
On the Density of Coprime Reductions of Elliptic Curves
Fordham University（福特汉姆大学）；Wake Forest University（维克森林大学）；University of Delaware（特拉华大学）；Concordia University（康考迪亚大学）
研究非CM椭圆曲线在良好约简素数p下，其阶数互质的自然密度，提出猜想并证明相关级数收敛及近似欧拉乘积展开。
2026-05-10 math.NT
Mordell-Weil ranks and Tate-Shafarevich groups of elliptic curves with mixed-reduction type over cyclotomic extensions
令$E$是在数域$K$上定义的椭圆曲线，其中$p$完全分裂。假设$E$在$p$以上的所有素数上都有好约化。推广Kobayashi和Sprung的工作，在$K$的有限扩张$F$的分圆扩张$\mathbb{Z}_p$ -扩张上定义了多重符号Selmer群，其中$p$是非分歧的.在这些Selmer群的Pontryagin秩在相应的Iwasawa代数上是挠的假设下，我们证明了分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩张的子扩张上的$E$的Mordell-Weil秩是有界的.进一步，我们得到了$E$的Tate-Shafarevich群的$p$ -部分在这些扩张上增长的渐近公式.
2021-05-21 math.NT
Irreducibility of mod p Galois representations of elliptic curves with multiplicative reduction over number fields
本文证明了对于每一个整数$d \geq 1$，存在一个显式常数$B_d$，使得下列成立.令$K$是次数为$d$的数域，令$q > \max\{d-1,5\}$是在$K$中完全惰性的任意有理素数，而$E$是定义在$K$上的任意椭圆曲线，使得$E$在$q$之上的素数$\mathfrak q$处具有潜在的乘性约化。则对每一个有理素数$p> B_d$，$E$都有一个不可约模$p$伽罗瓦表示。这个结果在“模块化方法”中有丢番图应用。我们提出了一个这样的应用程序的形式的渐近版本的费马最后定理，还没有被覆盖在现有的文献。
2021-04-14 math.NT
On the $p$-isogenies of elliptic curves with multiplicative reduction over quadratic fields
本文拓展前人结果，证明二次数域上在所有整除素数q的素理想处有潜在乘性约化的椭圆曲线，不存在次数大于71且不等于q的素同源，并给出类数1二次虚域上费马大定理渐近版本的变体。
2023-06-19 math.NT
Reduction of CM elliptic curves and modular function congruences
我们研究F（j（z））形式的同余|U（p）= G（j（z））mod p，其中U（p）是第p个Hecke算子，j是基本模不变量1/q+744+ 196884 q +...对于SL 2（Z），F，G是整系数整系数多项式.使用单数（a.k.a.）CM）j-不变量和特征p上的超奇异不变量，得到了F是CM j-不变量的极小多项式的同余式，并给出了G是这类同余式中的常数多项式的一个充分条件.
2005-12-15 math.NT
On the modularity of supersingular elliptic curves over certain totally real number fields
我们研究了起源于怀尔斯和泰勒-怀尔斯的方法对完全真实领域的概括。鉴于Skinner-Wiles关于椭圆曲线的一般约化的结果，本文主要讨论超奇约化的情形.结合这些结果，我们得到了半稳定椭圆曲线的模性问题的一些部分结果，并给出了这些结果的一些应用，例如证明了$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$上所有半稳定椭圆曲线的模性.
2007-08-29 math.NT
Divisibility of orders of reductions of elliptic curves
本文研究椭圆曲线模素数约化群阶的整除与同余分布，给出可显式计算模 $m_E$ 同余类及素数密度的曲线族，并推广到 $\mathbb Q(t)$ 上的正密度情形。
2025-03-19 math.NT
Explicit Frobenius lifts on elliptic curves
本文给出了椭圆曲线之间的相对弗罗贝尼乌斯态射的提升的显式公式，并说明了在奇特征约化的情况下如何计算这种提升。我们的理论也适用于超奇约化的情况。利用描述Frobenius提升的显式公式，将Mestre的椭圆曲线的2-adic算术几何平均（AGM）序列推广到奇特征，并证明了它的收敛性.作为应用，我们给出了一个基于广义AGM序列的正常椭圆曲线的有效点计数算法。
2009-11-10 math.NT
An upper bound for valuations of elliptic nets at primes of bad reduction
University of Warwick（华威大学）
针对短Weierstrass方程定义的椭圆曲线，研究人员给出了椭圆网多项式相关量在坏约化素处赋值的一致上界，该网多项式可用于椭圆曲线计数问题研究。
2026-10-14 math.NT
Criteria for p-ordinarity of families of elliptic curves over infinitely many number fields
设$K_i$是所有$i \in \mathbb{Z}_{> 0}$的数域，并且设$\mathcal{E}$是一族椭圆曲线，其包含定义在所有$i$的$K_i$上的无穷多个成员。修复一个有理素数$p$。我们给出了整数$i_0$存在的充分条件，使得对于所有$i > i_0$和所有椭圆曲线$E \in \mathcal{E}$在$K_i$中的所有$\mathfrak{p} \mid p$处都有好的约化，我们有$E$在所有素数$\mathfrak{p} \mid p$处都有好的普通约化.
2014-04-12 math.NT
Elliptic mod \ell Galois representations which are not minimally elliptic
在最近的预印本中，F。Calegari已经表明，对于$\ell = 2, 3, 5$和7，存在$\Gal(\bar{\Q}/\Q)$的二维满射表示$ρ$，其中$\F_\ell$中的值来自在$\Q$上定义的椭圆曲线的$\ell$ -扭点，但不是最小的，即，使得产生$ρ$的任何椭圆曲线具有比$ρ$的（素数到$\ell$）导体大的素数到$\ell$导体。在这篇简短的笔记中，我们将证明对于任何素数$\ell >7$也是如此，具体地说，我们将证明对于任何这样的$\ell$，椭圆曲线$$E^\ell: \qquad Y^2 = X (X- 3^\ell ) (X - 3^\ell - 1) $$是半稳定的，在3处有坏的约化，相关的$\mod \ell$伽罗瓦表示$ρ$是满射的，在3处未分歧，并且没有相关的$\mod \ell$表示与$ρ$同构的在3处有好约化的椭圆曲线。
2005-02-01 math.NT
Rank parity for congruent supersingular elliptic curves
Shekhar最近的一篇论文比较了椭圆曲线$E_1$和$E_2$的秩，其中有一个同构$E_1[p] \simeq E_2[p]$作为$\mathrm{Gal}(\bar{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})$ -模，其中$p$是两条曲线的良好普通约化的素数。本文证明了当$p$是好的超奇约化素数时的一个类似结果。
2016-10-06 math.NT
The density of odd order reductions for elliptic curves with a rational point of order 2
设$E/\mathbb{Q}$是椭圆曲线，其有理点$T$的阶为$2$，而$α\in E(\mathbb{Q})$是无穷阶点.考虑了$α\in E(\mathbb{F}_{p})$具有奇阶的素数$p$的密度确定问题.该密度由树伽罗瓦表示$τ_{E,2^{k}} : {\rm Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to {\rm AGL}_{2}(\mathbb{Z}/2^{k}\mathbb{Z})$的图像确定。假设$α$是本原的（也就是说，$α$和$α+ T$都不是$\mathbb{Q}$上的两倍点），并且普通mod $2^{k}$伽罗瓦表示的像尽可能大（$E$具有$2$阶的有理点），我们确定$τ_{E,2^{k}}$的像存在$63$可能性。因此，$α$的阶数为奇数的素数$p$的密度介于$1/14$和$89/168$之间。
2018-10-24 math.NT
Codimension two cycles in Iwasawa theory and elliptic curves with supersingular reduction
Bleher、Chinburg、Greenberg、Kakde、Pappas、Sharifi和Taylor等人的一个成果引发了高余维岩泽理论的研究。作为经典的岩泽主猜想的推广，他们证明了解析对象（一对Katz的$2$ -变量$p$ -adic $L$ -函数）和代数对象（两个“处处无分歧”的岩泽模）之间的关系，涉及$2$ -变量岩泽代数中的余维两个循环。我们证明了一个结果，通过考虑限制的虚二次域$K$（其中一个奇素数$p$分裂）的椭圆曲线$E$，定义在$\mathbb{Q}$，具有良好的超奇约化在$p$。在分析方面，我们考虑在该设置中的八对$2$ -变量$p$ -adic $L$ -函数（其中四个$2$ -变量$p$ -adic $L$ -函数已由Loeffler构造，第五个$2$ -变量$p$ -adic $L$ -函数是由于Hida）。在代数方面，我们考虑了精细Selmer群在$K$的$\mathbb{Z}_p^2$ -扩张上的修改。我们还提供了数值证据，使用算法的波拉克，对一个伪零猜想的科茨-Sujatha。
2019-03-29 math.NT
Representations attached to elliptic curves with a non-trivial odd torsion point
本文给出了具有奇阶非平凡扭点的有理椭圆曲线的尖点自守表示的分类。这类椭圆曲线是可参数化的，本文给出了关于参数的充要条件，以确定何时发生分裂或非分裂乘性约化。利用这一点和已知的结果时，这些参数化曲线的加性约化发生，我们分类的自守表示的参数。
2022-03-08 math.NT
Local data of rational elliptic curves with non-trivial torsion
根据Mazur挠率定理，有理椭圆曲线的非平凡挠子群$T$有14种可能性.对于每个$T$，使得$E$在素数$p$处可以有加性约化，我们考虑一个参数化的椭圆曲线族$E_T$，其性质是它们参数化所有在其扭子群中包含$T$的椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$。使用这些参数化的家庭，我们明确地分类Kodaira-Néron型，导体指数，和当地玉川数在每个素数$p$，其中$E/\mathbb{Q}$有加性约化。因此，我们找到了所有有理椭圆曲线的$2$ -扭转或$3$ -扭点，具有整体玉川数$1$。
2022-03-08 math.NT
On elements of large order of elliptic curves and multiplicative dependent images of rational functions over finite fields
设$E_1$和$E_2$是具有整数参数的Legendre形式的椭圆曲线。我们证明了存在一个常数$C$，使得对于几乎所有素数，对于所有但至多$C$对的点约化的$E_1 \times E_2$ modulo $p$具有相等的$x$坐标，至少有一个$P_1$和$P_2$有一个大的群阶。我们还显示了类似的丰度有限域的元素，其图像下的减少模$p$的有限集的有理函数有很大的乘法阶
2020-08-02 math.NT
Statistics for Iwasawa invariants of elliptic curves, $\rm{III}$
本文为支持Greenberg关于椭圆曲线$p$-准素Selmer群$μ$-不变量的猜想，利用Bhargava和Shankar的5-Selmer群分布结果，证明了正密度的在5处好常约化的椭圆曲线的5-准素岩泽$μ$、$λ$-不变量同时为零。
2024-04-13 math.NT
Divisibility Biases in the Orders of Elliptic Curve Reductions
Wake Forest University（维克森林大学）；Minnesota State University, Mankato（明尼苏达州立大学曼卡托分校）
本文利用Chebotarev密度定理，分析了椭圆曲线约化阶数被m整除的素数密度，证明对于Serre曲线该密度约为1/φ(m)且大于1/m，并验证了Banks-Shparlinski平均密度的正确性。
2026-07-24 math.NT
The Birch and Swinnerton-Dyer Formula for Elliptic Curves of Analytic Rank One
设$E/\mathbb{Q}$是半稳定椭圆曲线，使得$\mathrm{ord}_{s=1}L(E,s) = 1$ .我们证明$p$ -部分的Birch和Swinnerton-Dyer公式$E/\mathbb{Q}$为每个总理$p \geq 5$的良好的减少，使$E[p]$是不可约的：$$ \mathrm{ord}_p \left (\frac{L'(E,1)}{Ω_E\cdot\mathrm{Reg}(E/\mathbb{Q})} \right ) = \mathrm{ord}_p \left (\#\mathrm{Sha}(E/\mathbb{Q})\prod_{\ell\leq \infty} c_\ell(E/\mathbb{Q}) \right ). $$这个公式也适用于$p=3$提供$a_p(E)=0$，如果$E$有超奇异减少在$p$。
2015-12-21 math.NT
The average of the first invariant factor for reductions of CM elliptic curves mod $p$
University of Missouri（密苏里大学）；University of Georgia（佐治亚大学）
本文研究了CM椭圆曲线模p的首个不变因子d_p的求和，证明其数量级为x。
2014-10-27 math.NT
Cyclicity of Elliptic Curves Modulo Primes in arithmetic progressions
我们考虑在一个给定的等差数列中定义在有理数模素数上的椭圆曲线的约化，并研究作为Serre循环性猜想的一个特例，该约化曲线的有理点的子群是循环的.
2020-05-28 math.NT
Elliptic curves with good reduction away from 2: III
我们列出了椭圆曲线定义在$Q(\sqrt 5)$与好约化远离2。有368个同构类。我们给每一个类一个全局的极小模型。
1998-03-05 math.AG math.NT
The average exponent of elliptic curves modulo $p$
令$E$是定义在${\mathbb Q}$上的椭圆曲线。对于$E$的良好约简的素数$p$，用$e_p$表示$E$模$p$约简的指数。在GRH下，我们证明了存在一个常数$C_E\in (0, 1)$，使得对所有的$x\ge 2$都有$$ \frac{1}{π(x)} \sum_{p\le x} e_p = 1/2 C_E x + O_E\big(x^{5/6} (\log x)^{4/3}\big) $$，其中隐含的常数至多依赖于$E$.当$E$有复数乘法时，无条件地建立了具有较弱误差项$O_E(1/(\log x)^{1/14})$的相同渐近公式。这改进了Freiberg和Kurlberg最近的一些结果。
2012-06-26 math.NT
On the distribution of analytic ranks of elliptic curves
本文在椭圆$L$ -函数的GRH下，给出了椭圆曲线具有$L$ -函数的解析秩$L$-的概率的上界，以及椭圆曲线的解析秩的$n$ -阶矩的上界.这些是计算具有局部条件的椭圆曲线的应用，例如，在$p$处具有好约化。
2020-04-10 math.NT
On p-torsion of p-adic elliptic curves with additive reduction
设E是p进数上具有加性约化的椭圆曲线，G是E上具有好约化的p进点群.本文给出了图G包含非平凡p-挠的充要条件。
2013-01-30 math.AG math.NT
