Introducing Ramanujan's Class Polynomials in the Generation of Prime Order Elliptic Curves
在本文中，我们提出了使用Ramanujan类多项式的素数阶椭圆曲线的CM-方法的建设。我们比较（理论和实验）的效率，使用这个新的类对使用的韦伯，$M_{D,l}(x)$和$M_{D,p_1,p_2}(x)$多项式，并表明，他们显然超过了所有他们在生成的素数阶椭圆曲线。
2008-04-10 math.NT
On elliptic curves whose conductor is a product of two prime powers
我们找到了所有定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，它们具有一个有理点$N$，$N\ge 4$，并且其导体是$p^aq^b$的形式，其中p，q是两个不同的素数，a，b是两个正整数。特别是，我们证明了Szpiro猜想持有这些椭圆曲线。
2012-10-14 math.NT
On the Iwasawa theory of elliptic curves at Eisenstein primes
本文为作者在2022年ICTS研讨会上关于椭圆曲线在Eisenstein素数处Iwasawa理论的迷你课程扩展笔记。
2024-04-19 math.NT
Big prime factors in orders of elliptic curves over finite fields
设$E$是有限域$\mathbb F_q$上的椭圆曲线.证明了当$n$是一个充分大的正整数时，$\#E(\mathbb F_{q^n})$有一个超过$n\exp(c\log n/\log\log n)$的素因子.
2021-12-13 math.NT
Prime twists of elliptic curves
对于某些具有$E(\mathbb{Q})[2]=\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$的椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，基于Heegner点的2-adic矩阵的模4同余，证明了$E$的素扭具有解析秩0或1的一个判别准则.作为应用，我们证明了Silverman猜想中存在秩为零的$E$的素扭的正命题的新情形（分别为.正秩）。
2017-11-27 math.NT
On the distribution of Atkin and Elkies primes for reductions of elliptic curves on average
对于没有复乘的椭圆曲线E/Q，我们研究了Atkin和Elkies素数l在E模素数p的所有好约化上的平均分布。我们表明，在广义黎曼假设下，对于几乎所有素数p，都有足够小的Elkies素数l来确保Schoof-Elkies-Atkin点计数算法在（log p）^（4+o（1））预期时间内运行。
2015-04-08 math.NT
Average twin prime conjecture for elliptic curves
设E是Q上的椭圆曲线。1988年，Koblitz证明了一个精确的渐近定理，使得有限域F_p上E的点群的阶为素数。这是一个类似的哈代和利特尔伍德孪生素数猜想的情况下，椭圆曲线。Koblitz的猜想仍然是广泛开放的。本文证明了Koblitz猜想在双参数椭圆曲线族上平均成立。证明中的一个关键要素是一个Barban-Davenport-Halberten风格的短平均分布结果，其中平均值是对孪生素数及其差异的平均值。
2007-09-10 math.NT
Degrees of isogenies over prime degree number fields of non-CM elliptic curves with rational $j$-invariant
本文确定了具有有理 $j$-不变量的非CM椭圆曲线在素数次数数域上所有可能的循环同源次数，并完成了该分类。
2024-11-05 math.NT
Poisson distribution of a prime counting function corresponding to elliptic curves
设$E$是定义在有理域$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，$N$是正整数.现在，$M_E(N)$表示素数$p$的个数，使得群$E_p(\mathbb{F}_p)$的阶为$N$。我们发现，$M_E(N)$遵循泊松分布时，采取了一个大类的曲线的平均值。
2016-09-27 math.NT
Binary quadratic forms that represent almost the same primes
Jagy和Kaplansky展示了一个表，其中包含68对正定二元二次型，它们代表相同的奇素数，并证明这个列表在“平凡”对之外是完整的。在本文中，我们找到了表示有限集之外相同素数的所有此类形式对。
2012-04-25 math.NT
Prime divisors of sequences associated to elliptic curves
我们考虑了除椭圆曲线上的一列有理点的x坐标的分母的素数。期望对于指数的每一个足够大的值，每一项都应该被一个原始的素除子整除，该因子在任何早期的项中都没有出现。这方面的证据只在少数情况下才为人所知。弱的结果，在一般的方向，使用强形式的西格尔定理和一些同余参数。我们的主要结果被应用于Somos序列的素除子的研究。
2004-04-06 math.NT
On the representation of the number of integral points of an elliptic curve modulo a prime number
在本文中，我们将研究的椭圆曲线的整数点的数目表示的问题，模一个素数p。我们提出了一种方法来表示一个指数和，其中涉及多项式的三次，在显式的非指数项。在这个过程中，我们提出了明确的公式计算的一些系列涉及黎曼ζ函数。
2013-03-08 math.NT
Counting elliptic curves with bad reduction over a prescribed set of primes
设$p\ge5$是椭圆曲线的特殊纤维的素数，$T$是Kodaira型。我们估计了$\mathbb Q$上的椭圆曲线的数量，直到高度$X$，其中Kodaira型$T$在$p$。这使我们能够找到比例的椭圆曲线在$\mathbb Q$，当按高度排序，与小平型$T$在一个总理$p\ge5$内的一组所有椭圆曲线。该比例是$p$中的有理函数。例如，我们证明了所有在$p$处具有坏约化的椭圆曲线的$\displaystyle\frac{p^8(p-1)}{p^9-1}$都是乘法约化的。此外，我们证明了大多数椭圆曲线的导体的素数到$6$部分是无平方的，其中$ζ$是Riemann-zeta函数。
2020-03-23 math.NT
Torsion of elliptic curves with rational $j$-invariant defined over number fields of prime degree
令$[K:\mathbb{Q}]=p$为素数，令$E/K$为具有$j(E) \in \mathbb{Q}$的椭圆曲线。我们确定了$E(K)_{tors}$的所有可能性。我们通过研究$E$及其二次扭曲的伽罗瓦表示得到了这些结果。
2019-12-09 math.NT
The splitting of primes in division fields of elliptic curves
本文给出了椭圆曲线E的除域的Frobenius的整体描述，它严格类似于割圆的情形。然后，这被应用于确定素数p在这样的划分字段的子字段中的分裂。这些领域包括一大类不可解的五次扩展和我们的应用程序提供了一个算术对应克莱因的“解决方案”的五次方程使用椭圆函数。一个中心的作用是发挥判别环的自同态的椭圆曲线约化模p。
2001-03-24 math.NT
On the Representation of Primes by Binary Quadratic Forms, and Elliptic Curves
它表明，在一些温和的技术条件下，表示素数的二进制二次型可以计算在多项式复杂度利用Schoof的算法，它计数的数量$\mathbb F_q$ -点的椭圆曲线上的有限域$\mathbb F_q$。此外，描述了一种方法，该方法通过$\mathbb Z$上多项式的整数根从约化二次型计算素数的表示。最后，对判别式的二次型的哪一类表示哪类素数这一尚未解决的一般性问题，也取得了一些进展。
2016-04-22 math.NT
Universal elliptic Gauß sums for Atkin primes in Schoof's algorithm
这项工作建立在以前的结果。在Schoof的椭圆曲线上点的计数算法中，我们定义了Atkin素数的泛椭圆高斯和.随后，我们表明这些数量承认一个有效的计算表示的$j$不变和其他两个模函数。我们详细分析了必要的计算，并推导出一种替代方法，用于确定轨迹的Frobenius同态Atkin素数使用这些预先计算。一个粗略的运行时分析表明，然而，这种新方法是没有竞争力的现有的。
2017-07-28 math.NT
Perrin-Riou's main conjecture for elliptic curves at supersingular primes
1987年，B. Perrin-Riou提出了椭圆曲线在常约化素数处的Heegner点主猜想。在本文中，我们制定了一个类似的Perrin-Riou的主要猜想超奇异素数。然后我们在适当的假设下证明了这个猜想，并从这个结果导出了Kobayashi的$p$ -adic Gross-Zagier公式的一个$Λ$-adic推广，B.- D. Kim的双符号主定理，以及Skinner对超奇异素数的Gross-Zagier-Kolyvagin定理的逆定理的加强版本。
2018-01-06 math.NT
Extreme central $L$-values of almost prime quadratic twists of elliptic curves
该研究证明椭圆曲线殆素数二次扭曲的中心 $L$-函数极值，并在 BSD 猜想下推出其二次扭曲族中 Tate--Shafarevich 群的极值。
2023-10-07 math.NT
Integral Tate modules and splitting of primes in torsion fields of elliptic curves
设$E$是有限域$k$上的椭圆曲线，$\ell$是不同于$k$的特征的素数.在本文中，我们考虑的问题，找到结构的泰特模块$T_\ell(E)$作为一个完整的伽罗瓦表示的$k$。我们指出了一个明确的程序来解决这个问题，从特征多项式$f_E(x)$和$j$不变的$j_E$的$E$。希尔伯特类多项式的虚二次订单在这里发挥了重要作用。我们给出了数域上椭圆曲线挠域素分裂研究的一个整体应用。
2015-03-09 math.NT
Congruences between Ramanujan's tau function and elliptic curves, and Mazur--Tate elements at additive primes
证明了若$E/\mathbb{Q}$是一条椭圆曲线，且对$p=2$或$3$具有有理$p$ -挠率，则Ramanujan的tau函数与$E$模$p$之间存在同余关系.我们利用这样的同余计算Iwasawa不变量的$2$ -进和$3$ -进Mazur-泰特元素附加到Ramanujan的tau函数。我们还数值研究了附加到椭圆曲线上的Mazur-Tate元的Iwasawa不变量，该椭圆曲线在固定素数处具有加性约化。
2021-03-10 math.NT
Local torsion primes and the class numbers associated to an elliptic curve over $\mathbb{Q}$
利用$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线$E$的Mordell-Weil群$E(\mathbb{Q})$的秩，给出了当曲线$E$不具有$p^n$ -adic阶点$p$时，$E$的除点生成的数域$\mathbb{Q}(E[p^n])$的类数的一个下界：$E(\mathbb{Q}_p)[p] =0$ .
2018-04-04 math.NT
The main conjecture for CM elliptic curves at supersingular primes
在通常约化的素数处，椭圆曲线的Iwasawa "主图“将Selmer群与$p$ -adic $L$ -函数联系起来。在超奇异的情况下，主要猜想的陈述更加复杂，因为Selmer群和$p$ -adic $L$ -函数都不是行为良好的。最近小林发现了一个等价的制定的主要猜想在supersingular素数是类似的结构，以普通的情况。也就是说，小林猜想将他定义的修改的塞尔默群与第一作者定义的修改的$p$ -adic $L$ -函数联系起来。本文证明了Kobayashi关于椭圆曲线的一个猜想，该猜想是关于复乘的.
2005-09-26 math.NT
Watkins's conjecture for quadratic twists of Elliptic Curves with Prime Power Conductor
本文证明了具有有理$2$-扭和素数幂导子的椭圆曲线的任意二次扭满足Watkins猜想，并对形如$y^2=x^3-dx$的椭圆曲线给出了同余数的下界。
2024-09-24 math.NT
A uniform bound on the smallest surjective prime of an elliptic curve
本文研究无复乘椭圆曲线的 $\ell$-进伽罗瓦表示，证明使其满射的最小素数至多为 $7$，并完全分类了最小满射素数恰好为 $7$ 的所有椭圆曲线。
2025-02-04 math.NT
On the algebraic functional equation of the eigenspaces of mixed signed Selmer groups of elliptic curves with good reduction at primes above $p$
令$p$是奇素数，并且令$E$是定义在数域上的椭圆曲线，该数域在$p$以上的每个素数处具有好约化。在适当的假设下，证明了椭圆曲线的混合符号Selmer群的$η$ -特征空间与$\barη$ -特征空间是伪同构的.作为推论，我们证明了$η$ -特征空间是平凡的当且仅当$\barη$ -特征空间是平凡的.我们的结果可以被认为是一个反射原理，它将一个给定的本征空间中的岩泽模与另一个“反射”本征空间中的岩泽模联系起来。
2019-12-19 math.NT
Iwasawa theory for elliptic curves at supersingular primes over Z_p-extensions of number fields
本文研究了当p在数域K中完全分裂时，沿数域K的任意Z_p扩张的超奇素数p的椭圆曲线的Iwasawa理论.推广Kobayashi和Perrin-Riou的工作，我们定义了限制Selmer群和λ^ \pm，μ^ \pm -不变量;然后我们推导出描述Selmer群的增长的渐近公式。为了能够处理非分圆Z_p-扩张，证明了一个新的局部结果，该结果给出了椭圆曲线沿Q_p的任意分歧Z_p-扩张在超奇素数处的形式群的完整描述.
2004-11-22 math.NT
On the plus and the minus Selmer groups for elliptic curves at supersingular primes
设$p$为奇素数，$E$为数域上定义的椭圆曲线.设$E$在$p$以上的任意素数上都有好约化，在$p$以上的某个素数上都有超奇约化.本文在比B.D. Kim的一个结果，并给出了一个推广. Kim关于正负Selmer群的Pontryagin群的有限$Λ$ -子模的平凡性，其中$Λ$是$\mathbb Z_p$ -扩张的伽罗瓦群的Iwasawa代数.
2016-07-13 math.NT
Akashi series and Euler characteristics of signed Selmer groups of elliptic curves with semistable reduction at primes above p
令$p$是奇素数，并且令$E$是定义在数域$F'$上的椭圆曲线，使得$E$在$p$之上的$F'$的每个素数处具有半稳定约化，并且在$p$之上的至少一个素数处是超奇异的。在适当的假设下，计算了$F'$的有限扩张$F$上的$\mathbb{Z}_p^d$ -扩张上的$E$的带符号Selmer群的Akashi级数.作为一个副产品，我们还计算了这些Selmer群的欧拉示性数。
2020-09-26 math.NT
Abelian varieties over Q with bad reduction in one prime only
让我成为一个质数。我们证明了不存在任何非零的半稳定的阿贝尔簇在l之外有好约化当且仅当l= 2，3，5，7或13.我们证明了Q上任何在l=11外具有好约化的半稳定阿贝尔簇与模曲线X_0（11）的雅可比簇的幂是同构的。此外，我们还证明了Q上不存在任何非零阿贝尔簇在l外具有好约化，在弱分歧扩张上在l处获得半稳定约化当且仅当l \le 5.
2005-02-16 math.NT
On the signed Selmer groups of congruent elliptic curves with semistable reduction at all primes above $p$
设$p$为奇素数。我们将适当的带符号Selmer群附加到椭圆曲线$E$上，其中假定$E$在$p$以上的所有素数处具有半稳定约化.然后，我们比较了Iwasawa $λ$ -不变量的这些签署塞尔默群的两个全等椭圆曲线上的分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩张的Greenberg-Vatsal和B。D. Kim.作为比较公式的应用，我们证明了如果$p$ -奇偶猜想对其中一条全等椭圆曲线成立，那么对另一条椭圆曲线也成立.在证明后一个结果的过程中，我们还概括了哈特利关于符号塞尔默群的奇偶性的观察。
2020-06-22 math.NT
Elliptic curves of twin-primes over Gauss field and Diophantine Equations
设$p, q$与$q-p=2$是孪生素数.考虑椭圆曲线E=E_σ：y^2 = x（x+σp）（x+σq）.（σ= \pm 1）。当σ=+1或$-1时，E=E_σ也记为E_+或E_-.这里确定了高斯域K=Q（\sqrt-1）（和有理域Q）上椭圆曲线E的Mordell-Weil群和秩，并给出了有关的丢番图方程和联立Pellian方程解的结果.上一篇文章[1]研究了Q上椭圆曲线E的算术结构，确定了Selmer群，得到了关于Mordell-Weil群、秩、Shafarevich-Tate群和扭子群的结果.
2000-04-07 math.NT
On Elliptic Curves of prime power conductor over imaginary quadratic fields with class number one
本文的主要结果是将Serre（1987）和Mestre-Oesterlé（1989）的一个结果，即如果$E$是素导体的椭圆曲线，则$E$或$2$ -，$3$ -或$5$ -等生曲线有素判别式，从$\Q$推广到九个第一类虚二次域中的每一个.对于九个域中的四个域，定理保持不变，而对于其余五个域，具有素导体的曲线的判别式是素数或素数的平方。证明是有条件的两种方式：第一，曲线是模块化的，所以与合适的比安奇新形式;第二，一定的水平降低猜想比安奇新形式成立。我们还分类所有椭圆曲线的总理电力导体和非平凡扭转的九个领域：在$2$ -扭转的情况下，我们发现，这样的曲线要么有CM或与一个小的有限数量的例外出现从一个家庭类似的Setzer-Neumann家庭在$\Q$。
2018-11-02 math.NT
Extremal primes of elliptic curves without complex multiplication
在Q上固定一条椭圆曲线E。E的一个极素数是一个具有好约化的素数p，使得E上模p的有理点的数目相对于Hasse界是最大或最小的。假设所有与E相关的对称幂L-函数都是自守的，并且满足广义黎曼假设，当E是一条没有复乘的曲线时，我们给出了这类素数个数的第一个非平凡上界.为了得到这个界，我们使用明确的等分布的Sato-Tate措施，在工作中的劳斯和索恩纳（arXiv：1305.5283），并完善某些中间估计，利用这一事实，极值素数有一个非常小的Sato-Tate措施。
2019-07-01 math.NT
Orders of reductions of elliptic curves with many and few prime factors
本文研究了$ω(E(\mathbb{F}_p))$的极值问题，其中$E/\mathbb{Q}$是具有复数乘法的椭圆曲线，$ω$是异素因子数函数.对于固定的$γ> 1$，我们证明了，\[ \#\{p \leq x : ω(E(\mathbb{F}_p)) > γ\log\log x\} = \frac{x}{(\log x)^{2 + γ\logγ- γ+ o(1)}}. \]相同的结果适用于数量$\#\{p \leq x : ω(E(\mathbb{F}_p)) < γ\log\log x\}$当$0 < γ< 1$。文中详细讨论了曲线$E : y^2 = x^3 - x$的参数，并讨论了该方法如何适用于其它CM椭圆曲线。
2015-11-07 math.NT
Anticyclotomic $p$-adic $L$-functions for elliptic curves at some additive reduction primes
设$E$是有理椭圆曲线，$p$是加性约化的奇素数.设$K$是虚二次域，并固定一个正整数$c$与$E$的导体互素。本文的主要目的是定义一个反割圆的$p$-adic $L$-函数$Ł$，当$E/\QQ_p$在阿贝尔扩张上达到半稳定约化时，该函数附在$E/K$上.我们证明，$Ł$满足预期的插值性质，即，我们表明，如果$χ$是一个anticyclotomic字符的导体$cp^n$然后$χ(Ł)$等于（明确常数）$L(E,χ,1)$或$L'(E,χ,1)$。
2018-09-24 math.NT
$p$-converse theorems for elliptic curves of potentially good ordinary reduction at Eisenstein primes
本研究针对在艾森斯坦素数处具有潜在好常约化的椭圆曲线，通过构造辅助虚二次域的反分圆岩泽主猜想并下降到有理数域，证明了p-塞尔默秩为0或1时的p-逆定理，改进了二次扭族中低秩椭圆曲线的数量占比。
2024-10-30 math.NT
Almost prime values of the order of elliptic curves over finite fields
设$E$是$\Q$上的椭圆曲线，不需要复乘，且与具有非平凡有理挠率的曲线不同构.对于每个良好约化的素数$p$，令$|E(\F_p)|$为$\F_p$上约化曲线的点群的阶。本文证明了在GRH下，至少存在$2.778 C_E^{\rm twin} x / (\log{x})^2$素数$p$，使得$|E(\F_p)|$至多有8个素因子（重数）.这改进了Steuding & Weng和Murty & Miri以前的结果。这也是第一个结果，其中的依赖性出现在孪生素数猜想椭圆曲线（也被称为Koblitz猜想）的几何常数$C_E^{\rm twin}$是明确的。这是通过筛选与先前作者使用的序列略有不同的序列来实现的。通过对同一序列进行筛选，并利用Selberg线性筛选，我们还可以改进素数$p$个数上界中出现的常数，使得$|E(\F_p)|$是素数.最后，我们注意到，我们的结果仍然成立的假设弱于GRH。
2008-12-15 math.NT
On Greenberg's conjecture for rational elliptic curves at Eisenstein primes
University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）；Morningside Center of Mathematics（中国科学院数学与系统科学研究院）；Academy of Mathematics and Systems Sciences, Chinese Academy of Science
本文证明了有理椭圆曲线在Eisenstein素数处关于Selmer群代数Iwasawa μ-不变量的Greenberg猜想，并通过Iwasawa主猜想确认了Stevens关于解析μ-不变量的猜想。
2026-10-01 math.NT
Average twin prime conjecture for elliptic curves in arithmetic progressions
Bilkent University（比尔肯特大学）；Fordham University（福特汉姆大学）；Wake Forest University（维克森林大学）；Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）
该研究将Koblitz关于椭圆曲线约化素数阶的平均孪生素数猜想推广到算术级数中的素数，得到了一致成立的渐近公式，且平均常数与理论预测一致。
2026-09-01 math.NT
On the anticyclotomic Iwasawa theory of rational elliptic curves at Eisenstein primes
设$E/\mathbb{Q}$是椭圆曲线，$p$是素数，其中$E$有好约化，并假设$E$允许有理$p$ -等距.本文研究了$p$在其中分裂的虚二次域上的$E$的反分圆岩泽理论，并将其与遵循Greenberg-Vatsal方法的反分圆岩泽特征标理论联系起来.作为我们研究的结果，我们得到了一个证明，在温和的假设下，Perrin-Riou的Heegner点主要猜想，以及$p$ -逆Gros-Zagier和Kolyvagin定理和$p$ -部分的Birch-Swinnerton-Dyer公式在分析秩$1$的爱森斯坦素数$p$。
2021-09-14 math.NT
Main conjectures for non-CM elliptic curves at good ordinary primes
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京应用数学与计算科学研究所）；Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）
本文研究非CM椭圆曲线在良好普通素数处的主要猜想，证明了Iwasawa主要猜想的更多情况，并在秩不超过1时推广了$p$-逆定理和$p$-部分BSD公式。
2026-01-23 math.NT
Elliptic analogue of irregular prime numbers for the $p^{n}$-division fields of the curves $y^{2} = x^{3}-(s^{4}+t^{2})x$
一个素数$p$被称为不规则的，如果它能整除第$p$个分圆域$\mathbb{Q}(ζ_{p}) = \mathbb{Q}(\mathbb{G}_m[p])$的类数。本文研究了椭圆曲线除域的椭圆模拟。更确切地说，对于素数$p \geq 5$和正整数$n$，我们研究了$y^{2} = x^{3}-(s^{4}+t^{2})x$形式的椭圆曲线$E$的$p^{n}$ -除域$\mathbb{Q}(E[p^{n}])$的类数的$p$ -整除性.特别地，我们构造了一个由曲线组成的无限子族，这些曲线具有新的性质，即它们的Mordell-Weil秩为1，并且它们的$p^{n}$ -可除域的类数可被$p^{2n}$整除.此外，我们还可以证明这些可除域彼此不同构。在我们的结构中，我们使用第一作者最近获得的结果。
2022-05-18 math.NT
Supersingular primes for points on $X_0(p)/w_p$
对于小奇素数$p$，我们证明了模曲线$X_0(p)/w_p$上的大多数有理点都是具有无穷多个超奇异素数的椭圆曲线对的参数化.这一结果推广了已知超奇异素数无穷多的椭圆曲线类。我们给出了具体的例子，说明这些技术可以明确地用于构建超奇异素数等椭圆曲线。最后，我们讨论了概括点定义在更大的数字字段，并指出了类型的障碍，出现更高层次的模曲线。
2004-08-04 math.NT
Eta-quotients of Prime or Semiprime Level and Elliptic Curves
由Wiles，Taylor等人证明的模性定理可知所有的椭圆曲线都是模的。Martin和Ono已经证明了哪些是由η-幂次表示的，Pathakjee、RosnBrick和Yoong给出了一些由η-幂次的线性组合的模形式表示的椭圆曲线的例子。本文首先证明了对于$N$与$6$互质的水平的任一同余子群模的η-模元都可以看作是$Γ_0(N)$的模元.然后，我们分类时，甚至重量η-因子可以存在于$M_k (Γ_1(p))$和$M_k (Γ_1(pq))$，不同的素数$p,q$。最后，我们提供了一些新的例子，椭圆曲线，其相应的模块化形式可以写为一个线性组合的η-因子，并描述了一个算法方法，寻找额外的例子。
2019-01-29 math.NT
Heegner points at Eisenstein primes and twists of elliptic curves
给定$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线$E$，Goldfeld的一个著名猜想断言，其二次扭曲的正比例应该具有解析秩0（分别为0和0）。1）。我们证明了这个猜想在$E$有有理3-等距时成立。我们还证明了$j$ -不变0曲线（Mordell曲线）的六次扭曲的类似结果。为了证明这些结果，我们利用数域的$p$类数建立了Heegner点在Eisenstein素数$p$上的$p$ -adic对数非平凡的一般判据，并将该判据应用于特殊情况$p=3$ .作为副产品，我们还证明了3-部分的Birch和Swinnerton-Dyer猜想的许多椭圆曲线的$j$ -不变0。
2017-11-27 math.NT
An Asymptotic formula for Tate-Shafarevich groups of CM elliptic curves at supersingular primes
本文在Kobayashi符号Selmer群的附加假设下，对具有复乘的椭圆曲线在反圆$\mathbb{Z}_p$-扩张中间层上的Tate-Shafarevich群证明了渐近公式。
2025-04-08 math.NT
Iwasawa theory of CM elliptic curves at potentially supersingular primes
University of Ottawa（渥太华大学）
本文为潜在超奇异素数处的CM椭圆曲线建立正负Iwasawa理论，构造局部点以研究Selmer群，构造p-adic L-函数，证明主猜想，并推导Tate-Shafarevich群的渐近公式。
2026-09-14 math.NT
Supersingular zeros of divisor polynomials of elliptic curves of prime conductor
对于素数$p$，研究了导体$p$的有理椭圆曲线$E$的因子多项式模$p$的零点.小野观察到，这些零点往往是超奇异椭圆曲线在$\overline{\mathbb{F}_p}$的$j$ -不变量。我们证明了这些超奇异零点是双射的零模$p$的相关四元数模形式$v_E$。这使我们能够证明，如果根数的$E$是$-1$然后所有超奇异的$j$ -不变量的椭圆曲线定义在$\mathbb{F}_{p}$是零的相应的除数多项式。如果根数是$1$，我们研究秩$0$和更高秩的椭圆曲线之间的差异，因为在后一种情况下，$\mathbb{F}_p$中的超奇异零的数量似乎更大。为了部分地解释这一现象，我们猜想当$E$具有正秩时，定义在$\mathbb{F}_p$上的超奇异椭圆曲线所对应的$v_E$的系数值是偶数.我们证明了这个猜想的情况下，判别式的$E$是积极的，并获得了其他几个结果是独立的利益。
2016-11-17 math.NT
On the Iwasawa Invariants of Mazur--Tate elements of elliptic curves at additive primes
University of Ottawa（渥太华大学）；The University of Arizona（亚利桑那大学）；University of Cambridge（剑桥大学）
该研究探讨有理数域上椭圆曲线在加法约化素数处Mazur–Tate元的λ-不变量，结合Sage计算数据给出加法潜在超奇异情形的实例与猜想，并将结果推广到相关尖点Hecke特征形式的对应不变量。
2026-08-12 math.NT
Analytic problems for elliptic curves
我们考虑一些问题的解析数论的椭圆曲线可以被认为是类似的经典问题的分布周围的素数在等差数列大模，和问题的孪生素数。这导致了一些局部结果的分布的椭圆曲线的群结构定义在一个素数有限域，表现出一个有趣的二分法的发生的可能的群体。(Note这篇论文最初写于2000/01年，但在等待了四年的裁判报告之后，它现在被撤回并存放在arXiv）。
2005-10-10 math.NT
Rational Points on Elliptic Curves y^2=x^3+a^3 in f_{p} where p{\equiv}1(mod6) is Prime
本文研究有限域F_{p}上椭圆曲线上的有理点。我们给出了椭圆曲线y^2 {\equiv} x^3 + a^3（mod p）上点的个数的一些结果，其中p是模6为1的素同余。并给出了这些点的横坐标和的一些结果。我们给出了y^2 {\equiv} x^3 + a^3（modp）的解的个数，也在（[1]，第174页）中给出，这次是用二次剩余特征，而用另一种方法，用三次剩余特征。利用Weil猜想，我们可以把关于F_{p}中点数的结果推广到F_{p ^{r}}。
2011-06-26 math.NT
Short average distribution of a prime counting function over families of elliptic curves
令$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，并且令$N$是正整数。现在，$M_E(N)$计算素数$p$的个数，使得群$E_p(\mathbb{F}_p)$的阶为$N$。在早期的联合工作与Balasubramanian，我们表明，$M_E(N)$服从泊松分布时，平均采取了一个家庭的椭圆曲线参数$A$和$B$其中$A,\, B\ge N^{\frac{\ell}{2}}(\log N)^{1+γ}$和$AB>N^{\frac{3\ell}{2}}(\log N)^{2+γ}$为一个固定的整数$\ell$和任何$γ>0$。在本文中，我们表明，对于足够大的$N$，相同的结果保持，即使我们采取$A$和$B$范围内的$\exp(N^{\frac{ε^2}{20\ell}})\ge A, B>N^ε$和$AB>N^{\frac{3\ell}{2}}(\log N)^{6+γ}$任何$ε>0$。
2016-09-27 math.NT
Stability of torsion subgroups of elliptic curves over non-Galois extensions of odd prime degree
KAIST（韩国科学技术院）；Academia Sinica（中央研究院）
本文研究了椭圆曲线在非伽罗瓦扩张下的扭子群稳定性，通过伽罗瓦理论条件和模ℓ循环同源特征像的关系，细化了Gonzalez-Jimenez的结果。
2025-12-09 math.NT
