On the positivity of Green's functions for a class of pseudo-differential operators on closed Riemannian, manifolds
David Raske
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继续探索
Positivity and Green's operators
本文研究了正的Green算子偏离保持正性的程度，并识别了一类虽不保持正性但具备相关性质的Green算子。
Positivity and almost positivity of biharmonic Green's functions under Dirichlet boundary conditions
一般来说，对于高阶椭圆型方程和边值问题，如双调和方程和线性固支板边值问题，既没有最大值原理，也没有比较原理或--等价地--保持正性的性质。这个问题是相当复杂的，因为固定的边界条件阻止边值问题{从}被合理地写为一个系统的二阶边值问题。它表明，在另一方面，有界光滑域$Ω\subset\mathbb{R}^n$，相应的格林函数的负的一部分是“小”相比，其奇异的正的一部分，提供$n\ge 3$。此外，球$B\subset\mathbb{R}^n$在Dirichlet（即夹紧）边界条件下的双调和格林函数是明确已知的，是积极的。一段时间以来，人们已经知道，如果$n=2$，则在域的小的规则扰动下，正性被保持。本文证明了$n\ge 3$的稳定性结果。关键词：双调和格林函数，正性，几乎正性，爆破过程。
On a positivity preservation property for Schrödinger operators on Riemannian manifolds
研究了具有非负里奇曲率的测地完备黎曼流形上具有奇异位势的薛定谔算子的正性保持性质.我们应用这个属性的问题的自伴相应的运营商的最大实现。
On Green's functions for positive, self-adjoint, elliptic pseudo-differential operators on closed, Riemannian manifolds
在这篇短文中，我们回顾了关于黎曼流形上椭圆型微分算子的一些事实。
Characterization of Curvature positivity of Riemannian metrics on flat vector bundles
利用$d$方程在一定的$L^2$估计条件下的可解性，给出了有界域$D\subset\mathbb{R}^n$上黎曼平坦向量丛的Nakano正性的一个刻画.作为应用，我们给出了矩阵值Prekopa定理的另一种证明，该定理最初由Raufi证明。我们的方法受到了邓宁-王周关于Hermitian全纯向量丛的Nakano正性和全纯纤维化的直像层的正性的刻画的启发。
$L^p$ positivity preservation and self-adjointness on incomplete Riemannian manifolds
本文证明了不完备黎曼流形上薛定谔型算子的 $L^p$ 正性保持性质，并在控制势函数于 Cauchy 边界附近行为的假设下，确立了算子的本质自伴性及其在 $p\ eq 2$ 情形下的推广。
On Green functions of second-order elliptic operators on Riemannian manifolds: The critical case
设P是定义在非紧连通黎曼流形M上的实系数二阶线性椭圆算子。众所周知，方程Pu = 0在M中存在一个非解的正上解当且仅当P在M上存在唯一的正极小格林函数，在这种情况下，称P在M中是次临界的.如果P不容许正的格林函数，但容许整体正解，则这样的解称为P在M中的基态，并且P在M中称为临界的。我们证明了对于M中的临界算子P，存在一个格林函数，该格林函数由远离奇点的P的基态支配。此外，在某类格林函数中，这样的格林函数是唯一的，直到P和P^{ \star }的基态的乘积的加法。在进一步的假设下，我们描述了这样一个格林函数在无穷远处的行为。这一结果推广和深化了P. Li和L. F. Tam关于光滑完备黎曼流形M上Laplace-Beltrami算子的对称格林函数的存在性.
A positivity preserving property result for the biharmonic operator under partially hinged boundary conditions
众所周知，对于高阶椭圆型方程，保正性（PPP）可能失效。与Dirichlet边界条件下的情形形成鲜明对比的是，我们证明了部分铰接边界条件下矩形区域上的双调和算子的PPP成立，即非负载荷产生正解.结果如下的相应的格林函数的傅立叶展开的精细估计。
Estimates of the Green function and the initial-Dirichlet problem for the heat equation in sub-Riemannian spaces
在一个圆柱$D_T = Ω\times (0,T)$，其中$Ω\subset \mathbb{R}^n$，我们检查之间的关系$L$ -热量的措施，$dω^{(x,t)}$，其中$L$是热运营商与系统的向量场的Hörmander型，和措施$dσ_X\times dt$，其中$dσ_X$是内在的$X$ -周长措施。后者构成了适当的替代标准表面措施的边界上，并发挥了核心作用，在次黎曼几何措施理论。在适当的假设下，建立了$dω^{(x,t)}$和$dσ_X\times dt$的相互绝对连续性.我们还得到了初始狄利克雷问题的$L$与边界数据在适当的$ L^p$空间，每$p>1$的可解性。
Ancient solutions of superlinear heat equations on Riemannian manifolds
我们研究了黎曼流形上超线性热方程古解的一些定性性质，特别是空间中的正性和恒常性。
Coarse and Precise $L^p$-Green Potential Estimates on Noncompact Riemannian Manifolds
利用平方Sobolev/Nash/Schmidmic-Sobolev不等式和粗糙尖锐的欧氏等周不等式，给出了任意$3\le n$维完备非紧无边界黎曼流形上Laplacian-Betrami算子正则区域上格林函数的先验估计的粗糙和精确两个方面.因此，我们利用格林函数在无穷远处的Lorentz范数亏损的渐近性质，以及具有非负里奇曲率的黎曼流形中正则区域的调和半径，来估计诱导单调格林泛函的临界极限.
Counterexamples to continuity of optimal transportation on positively curved Riemannian manifolds
给出了截面曲率处处为正的黎曼流形上最优输运连续性的反例。这些例子表明Ma，Trudinger，& Wang的条件A3w不能由截面曲率的正性保证。
Green's function for the Hodge Laplacian on some classes of Riemannian and Lorentzian symmetric spaces
我们计算了对称空间M \times n上的Hodge Laplacian的格林函数，其中M是一个单连通的n维常曲率黎曼流形或洛伦兹流形，n是一个单连通的常曲率黎曼曲面。我们的方法是基于推广的情况下的微分形式的方法的球形手段和Riesz分布流形上的使用。格林函数的径向部分由Heun方程的四阶模拟控制。
Allen-Cahn Approximation of Mean Curvature Flow in Riemannian manifolds I, uniform estimates
本文研究黎曼流形中抛物型Allen-Cahn方程的解。对于一般的初始条件，我们证明了极限能量差的非正性。这反过来又允许证明几乎单调性公式（Huisken的单调性公式的弱对应），它给出了在小尺度上的能量密度的局部均匀控制。这些结果将在[40]中用于推广[31]中以前在欧几里得空间中的重要结果，表明在空间型中抛物Allen-Cahn方程解对Brakke运动的中曲率的收敛性。
On positive solutions of biharmonic elliptic inequalities on Riemannian manifolds
研究了流形上双调和椭圆型不等式正解的存在性和不存在性。利用格林函数和体积增长条件，建立了双调和问题的临界指数.
A Maximum Principle for Elliptic Pseudo-differential Operators on Closed, Riemannian Manifolds
本文建立了闭黎曼流形上一类椭圆型微分算子的格林函数的正性。
Strict positivity property of inhomogeneous subdiffusion equations and its application to coupled subdiffusion systems
研究非齐次次扩散方程的严格正性性质，通过连接格林函数填补缺失的严格正性。作为应用，研究耦合次扩散系统的严格正性，在适当条件下其不仅在时间上传播，还在系统分量间传播，为理解正性性质提供统一框架。
Reflection Positivity and Monotonicity
证明了黎曼流形上标量场和狄拉克场的一般反射正性结果，并讨论了它们在量子场论中的应用。作为另一个应用，我们证明了具有反射流形上Dirichlet与Neumann协方差算子之间的不等式$C_D \leq C_N$.
Nash-type equilibria on Riemannian manifolds: a variational approach
受“弯曲”策略集上的Nash平衡问题的启发，利用黎曼流形上的变分不等式，引入了Nash-Stampacchia平衡点的概念.利用Hadamard流形的两个著名的几何特征，研究了当策略集为Hadamard流形的紧/非紧测地凸子集时Nash-Stampacchia平衡的特征、存在性和稳定性.这些性质实际上表征了完备和单连通黎曼空间的截面曲率的{非正性}，从而将Hadamard流形界定为Nash-Stampacchia平衡问题的最佳几何框架。我们的分析方法利用各种元素集值和变分分析，动力系统，和非光滑微积分的黎曼流形。在Poincaré上平面模型和对称正定矩阵的开凸锥上给出了具有迹型Killing形式的例子。
$L^{p}$ Positivity Preserving and a conjecture by M. Braverman, O. Milatovic and M. Shubin
本文证明了完备黎曼流形对任何$p\in(1,\infty)$都是$L^p$ -保正的.这意味着任何在分布意义下求解$(-Δ+ 1)u\ge 0$的$L^p$函数必然是非负的。特别地，我们的结果的情形$p=2$回答了M.布雷弗曼岛Milatovic和M.舒宾于2002年。两个主要成分是一个新的先验正则性结果的积极次调和分布，这反过来又允许证明刘维型定理，和Brezis-Kato不等式的黎曼流形。这两个结果依赖于一个光滑的单调近似的分布解决方案的独立利益的$Δu \ge λ(x) u$。
The Green's function of polyharmonic operators with diverging coefficients: Construction and sharp asymptotics
该研究针对闭黎曼流形上带大正参数α的多调和算子(Δ_g + α)^k，证明了其格林函数的存在唯一性与正性，得到显式依赖α的逐点估计，并发现大α下远离对角线区域的指数衰减特性。
Approximation, regularity and positivity preservation on Riemannian manifolds
研究了黎曼流形$(M,g)$上的$L^{p}$ -正性保持性质（简称$L^{p}$ -PP）.它指出，任何$L^p$函数$u$与$1<p<+\infty$，它解决了$(-Δ+ 1)u\ge 0$在$M$的意义上的分布必须是非负的。我们的主要结果是$L^{p}$成立，如果（可能不完全的）$M$关于某个紧域有有限个端点，每个端点对于某些可能不同的值$2p/(p-1) < q \leq +\infty$是$q$ -抛物的.当$p=2$时，由于$\infty$ -抛物性与测地完备性一致，我们的结果肯定地解决了M.布雷弗曼岛Milatovic和M. 2002年的舒宾。另一方面，我们还证明了$L^{p}$是稳定的，通过从完备流形中移除一个Hausdorff余维数严格大于$2p/(p-1)$或具有$2p/(p-1)$阶的一致Minkowski型上估计的可能奇异集。阈值$2p/(p-1)$是尖锐的，因为我们表明，当Hausdorff余维的删除集是严格较小的，那么$L^{p}$ -PP失败。这给出了一个相当完整的画面。开发的工具进行我们的调查，包括光滑单调逼近和随之而来的规律性结果的次调和分布，一个流形版本的Brezis-Kato不等式，刘维尔型定理在低的正则性，可移动的奇点结果$L^{p}$ -次调和分布和Frostman型引理。自从T.加藤，$L^{p}$ -PP已被链接到谱理论的薛定谔运营商与…
On Green's Functions and Positive, Self-Adjoint, Elliptic Differential Operators
本文被另一个作者的，其中包含一个简短的总结问题的积极性的格林函数，热核，和主要特征值的高阶椭圆微分算子。
Construction and properties for the Green's function with Neumann boundary condition
本文针对光滑有界区域上带Neumann边界条件的算子$-\Delta+a$，在强制条件下构造并分析了Green函数，证明了其存在性、唯一性、对称性、正性，并给出了奇点及边界附近的逐点估计。
Determining Schrodinger Potentials on Riemannian Manifolds
本文研究从Dirichlet-to-Neumann映射确定黎曼流形上薛定谔方程势的逆问题，提出两个唯一可辨识性结果，分别基于相对傅里叶条件和乘积型可加分离假设，推动该开放问题进展。
Gaussian lower bound for the Neumann Green function of ageneral parabolic operator
基于Neumann格林函数可以构造为单层位势对基本解的扰动，我们建立了一般抛物型算子Neumann格林函数的高斯双边界.我们建立我们的分析经典的工具，从建设的一般抛物型算子的基本解的所谓的参数化方法。同时，我们对基本解的高斯双边界提供了一个简单的证明。我们还指出，我们的方法可以适应如何得到一个高斯下界的Neumann热核的紧黎曼流形的边界具有非负里奇曲率。
Optimal estimate for the gradient of Green functions on degenerating surfaces and applications
本文证明了闭黎曼曲面上格林函数梯度的一致估计，与其共形类无关，并得到了具有L2-有界第二基本型浸入和具有一致有界高斯曲率熵的黎曼曲面的紧性结果.
Conformal Green functions and Yamabe metrics of Sobolev regularity
本文在闭3-流形上对W^{2,q}（q>3）Sobolev类度量完整解决Yamabe问题，通过建立粗糙度量下共形Laplace算子的椭圆理论及其格林函数的存在性、正则性与爆破分析，主要结果在n≥3且q>n/2时成立并具独立意义。
A Matrix Li-Yau-Hamilton estimate for the Green function on Kähler manifolds
本文证明了具有非负全纯双截曲率的完备Kähler流形上的格林函数的矩阵Li-Yau-Hamilton不等式.这个估计可以看作是Cao和Ni对Kähler流形上热方程的矩阵估计的椭圆模拟，或者是作者以前得到的对黎曼流形的估计的复模拟.
Coupling of symmetric operators and the third Green identity
本文的主要目的是利用$T$的拟边界三元组技术，在希尔伯特空间$\mathfrak H$中导出与对称算子$S$的真扩张$T$相关的第三格林恒等式的抽象形式.一般的结果说明了耦合的薛定谔算子的Lipschitz域上光滑，无边界的黎曼流形。
The $L^\infty$-positivity preserving property and stochastic completeness
本文研究了 Riemannian 流形的 $L^\infty$-正性保持性质，证明其等价于随机完备性（即最小热核保持概率），并通过分布解的单调逼近结果实现该结论。
$L^p_{loc}$ positivity preservation and Liouville-type theorems
本文在完备黎曼流形上研究了微分不等式 $-Δu + λu \geq 0$ 的 $L^{p}_{loc}$ 分布解，证明了在适当增长条件下解必非负，并探讨了其在完备极小子流形外在距离 $L^{p}$ 增长估计中的应用。
Sharp estimates and inequalities on Riemannian manifolds with Euclidean volume growth
该研究针对具有欧几里得体积增长、里奇曲率非负的完备非紧黎曼流形，推导热核与格林函数的精确估计，并借此得到流形上的精确Moser-Trudinger不等式。
The Poisson equation on Riemannian manifolds with weighted Poincaré inequality at infinity
证明了非紧黎曼流形上泊松方程满足紧集外加权Poincaré不等式的一个存在性结果.我们的结果适用于一大类的流形，包括，例如，所有的非抛物流形与最小的积极格林函数消失在无穷远。在源函数上，我们假设一个急剧的逐点衰减依赖于庞加莱不等式中出现的权重和无穷远处的里奇曲率的行为。我们不需要流形上的任何曲率或谱假设。
Estimates for the p-Green function near the pole
该研究分别在欧氏空间与更一般的黎曼空间中，改进了p-格林函数及其导数在极点附近的相关估计与渐近展开结果，强化并提升了已有文献的对应结论。
Superlinear elliptic inequalities on manifolds
设$M$是完备的非紧黎曼流形，$σ$是$M$上的Radon测度.研究了一类半线性椭圆型不等式\begin{equation*} -Δu\geq σu^{q}\quad \text{in}\,\,M, \end{equation*}正解的存在性和不存在性问题，其中$q>1$ .利用格林函数得到了$Δ$正解存在的充分必要条件.特别地，当$M$在$M$中处处具有非负里奇曲率时，或者更一般地当Green函数满足3G-不等式时，给出了显式的充要条件.
Strictly positive optimal Hardy weights on manifolds and graphs via Green potential
本文通过格林势构造了与p-Schrödinger算子相关的严格正临界Hardy权族，并证明其最佳常数及在ε=0时的最优性，同时推广到图上。
Volume growth, capacity estimates, $p$-parabolicity and sharp integrability properties of $p$-harmonic Green functions
该研究在配备加倍测度与$p$-庞加莱不等式的完备度量空间中，通过新的环带容量估计得到$p$-调和格林函数的精确增长与可积性，还刻画了零容量单点与$p$-抛物性，推广了黎曼流形相关结果。
Green's functions and complex Monge-Ampère equations
得到了紧致Kähler流形上Green函数的一致$L^1$和下界.与经典的黎曼流形的Cheng-Li定理不同，下界不直接依赖于里奇曲率，而仅依赖于体积形式及其某些导数的积分界。特别地，对于某些$q>1$，得到了Kähler流形上Green函数的一致下界，它只依赖于数量曲率的下界和体积形式的$L^q$范数.证明依赖于辅助的蒙日-安培方程，并且基本上是非线性的。格林函数的下界反过来意味着对复杂的蒙日-安培方程的$C^1$和$C^2$估计对右边的函数有更尖锐的依赖性。
Green function for a two-dimensional discrete Laplace-Beltrami operator
我们研究了在$\mathbb{R}^2$中的拉普拉斯算子的离散模型，它保留了原始连续对象的几何结构。这意味着，说到离散模型，我们不仅指用差分算子直接替换微分算子，而且指黎曼结构的离散模拟。我们认为这种结构的适当的组合模拟的微分形式。证明了离散拉普拉斯算子的自伴性和有界性。我们定义了该算子的格林函数，并导出了其显式表达式。
Existence and uniqueness of Green's functions to nonlinear Yamabe problems
对于紧致黎曼流形$(M,g)$的Schouten曲率张量属于给定锥的有限子集$S$，我们建立了$M \setminus S$上共形度量存在唯一的充要条件，使得$S$的每一点对应于渐近平坦端，且共形度量的Schouten张量属于给定锥的边界.作为一个副产品，我们定义了一个纯粹的局部概念的Ricci下界的连续度量是共形光滑度量，并证明了相应的体积比较定理。
Critical points of Green's functions on complete manifolds
证明了有限型完备开黎曼曲面上Li-Tam Green函数的临界点个数存在一个拓扑上界，该上界由曲面的第一个贝蒂数给出.在更高的维度，我们表明，有没有拓扑上界的临界点的数量，通过构建，为每个非负整数$N$，一个流形同构$\RR^n$（$n \geq 3$）的最小格林函数至少有$N$非退化临界点。变化的方法证明后者的结果产生可收缩$n$ -流形的最小格林函数的水平集同构于任何固定余维$1$紧凑子流形的$\RR^n$。
The Fractional Porous Medium Equation on noncompact Riemannian manifolds
本文在连通非紧黎曼流形上研究分数阶多孔介质方程，对 $L^1$ 及由分数阶格林函数确定的更大加权空间数据建立弱解存在性与光滑性估计，推广了欧氏与双曲空间中的已有结果。
A Green's function proof of the Positive Mass Theorem
本文利用沿 Green 函数及 p-调和函数水平集的单调性公式，分别证明正质量定理与 Riemannian Penrose 不等式，并刻画标量曲率下界。
Energy gap for Yang-Mills connections, II: Arbitrary closed Riemannian manifolds
在[arXiv：1412.4114]的这个续篇中，我们证明了主$G$ -丛$P$上的Yang-Mills联络的$L^{d/2}$能隙结果，它是任意的，闭的，黎曼的，维数为$d\geq 2$的光滑流形。我们应用我们的Lojasiewicz-Simon梯度不等式[arXiv：1409.1525，arXiv：1510.03815]以去除先前$L^{d/2}$中的Ricci和黎曼曲率的组合上的正性约束-由于Ger哈特（2010）和之前的$L^\infty$ -能隙结果，由于Bourguignon，Lawson和Simons（1981，1979），以及由于Nakajima的$L^2$ -能隙结果（1987）对于球面上的Yang-Mills联络，$S^d$，但具有任意的黎曼度量。这个版本中的主要更正涉及到将Uhlenbeck（1985）的推论4.3和作者在http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2017.03.023上发表的定理5.1的作用替换为作者在arXiv：1906.03954中的定理1和9的作用。
Quantitative stability of the total $Q$-curvature near minimizing metrics
该研究在正性假设下证明了闭黎曼流形上$k$阶总$Q$-曲率泛函在极小化度量附近的定量估计，推广了$k=1$的已有结果，并构造了亏空控制距离更高次幂的退化例子。
Periodic Riemannian manifold with preassigned gaps in spectrum of Laplace-Beltrami operator
已知（E. L。Green，O. Post（2003）），对于任意的$m\in\mathbb{N}$，我们可以构造一个周期非紧黎曼流形$M$，在相应的Laplace-Beltrami算子$-Δ_M$的谱中至少有$m$间隙.在这项工作中，我们不仅要产生一种新的类型的周期流形的谱间隙，但也要控制这些间隙的边缘。本文的主要结果如下：对于任意成对不相交区间$(\a_j,\b_j)\subset[0,\infty)$、$j=1,...,m$（$m\in\mathbb{N}$），对于任意小的$δ>0$和任意大的$L>0$，我们构造了一个周期非紧黎曼流形$M$，在算子$-Δ_{M}$的谱中至少有$m$间隙，此外，第一$m$间隙的边缘属于间隔$(\a_j,\b_j)$的边缘的$δ$ -邻域，而剩余间隙（如果有的话）位于间隔$[0,L]$之外。
Dirichlet Green kernel estimates and Sobolev-type inequalities for twisted differential forms
该研究针对凯勒流形上的微分形式，证明了一致格林核估计，导出带边界项的索伯列夫型不等式，还得到无需伪凸性的\bar\nabla可解性及适用于扭曲德拉姆复形的类似结果。
Smoothing effects and extinction in finite time for fractional fast diffusions on Riemannian manifolds
针对黎曼流形上的分数阶快速扩散方程，研究其非负解的存在性、平滑效应、无限传播速度及有限时间熄灭，并给出尖锐熄灭速率。
The porous medium equation on noncompact manifolds with nonnegative Ricci curvature: a Green function approach
本文针对非负 Ricci 曲率的完备非紧流形上的多孔介质方程，利用 Green 函数构造大于 L^1 的加权空间 X，证明弱对偶解存在性并给出尖锐光滑化估计。
A new notion of subharmonicity on locally smoothing spaces, and a conjecture by Braverman, Milatovic, Shubin
本文在强局部 Dirichlet 空间中提出局部 λ-移位亏损性，并在局部光滑空间上建立正则性理论，从而证明 Braverman、Milatovic、Shubin 关于完备 Riemann 流形上分布解正性的猜想。
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