Covariograms generated by valuations
设K是\mathbb{R}^n的紧凸集族上的实值赋值，K是\mathbb{R}^n中的凸体.我们引入K的协方差函数g_{K,ϕ}作为与每个x \in \mathbb{R}^n相关联的函数，该函数的值为K（K \cap（K+x））。如果Imax是体积，则g_{K,ϕ}是协方差函数，在各种来源中得到了广泛研究。当k是quermassintegral时（例如，表面积或平均宽度）g_{K,ϕ}。我们研究了协方差函数的各种性质，主要是在n=2的情况下，假设协方差函数是平移不变的，单调的，甚至。我们还考虑推广的Matheron的协方差函数的情况下，协方差函数的问题，即确定一个未知的凸体K，直到翻译和点反射的问题，由知识的g_{K,ϕ}。在不同的假设下，包括K是一个多边形，并且K是严格单调的或K是给定方向上的宽度的情况下，提供了这个问题的正解。我们证明了在每个维度n \geq 3中都有例子，其中K由其协方差函数确定，但不由其宽度协方差函数确定。我们也给出了随机几何中这一研究的一些结果。
2014-11-10 math.MG math.PR
Homometric model sets and window covariograms
当两个Delone集共享相同的自相关或Patterson测度时，它们被称为homometric。在给定的切割和投影方案内的模型集LAMBDA是通过内部空间中的窗口W定义的Delone集。LAMBDA的自相关测度是一个纯点测度，其系数可以通过所谓的W的协方差函数来计算。因此，具有相同协方差函数的两个窗口会产生齐次模型集。另一方面，从其衍射图像确定LAMBDA的逆问题最终相当于从其协方差函数重建W。这也被称为Matheron的协方差问题。它在凸几何中得到了很好的研究，近年来得到了一些唯一性结果。然而，对于非凸窗口，唯一性失败的相关方式，使有趣的应用程序的homometry问题出现。我们在一个简单的设置中讨论这一点，并显示了一个平面的例子，不同的homometric模型集。
2006-10-12 math-ph math.MG math.MP
The covariogram determines three-dimensional convex polytopes
R ^n中两个凸集K和L的交叉协方差函数g_{K,L}是将R ^n中的每个x与K与L + x的交集的体积相关联的函数。从协方差函数中确定集合的问题在随机几何中是相关的，在概率中，它等价于傅里叶分析中相位恢复问题的一个特殊情况。这也是有关的逆问题，确定原子结构的准晶从其X射线衍射图像。本文的两个主要结果是：g_{K,K}确定三维凸多胞体K;当K和L是满足一定假设的凸多面锥时，g_{K,L}同时确定K和L。这些结果解决了G. Matheron在凸多胞体类中。进一步的结果考虑已知的反例在维数n>= 4。我们还介绍和研究的概念，合心多面体。这个概念与凸多胞体的面的重排有关。
2008-05-12 math.CA math.MG math.PR
The cross covariogram of a pair of polygons determines both polygons, with a few exceptions
R^n中两个凸集K和L的交叉协方差函数g_{K,L}是将R^n中的每个x与K和L+x的交集的体积相关联的函数。最近Averkov和Bianchi [AB]证实了Matheron关于协方差问题的猜想，即任何平面凸体K都是由g_{K,K}的知识决定的。从协方差函数中确定集合的问题在概率、统计形状识别和从X射线衍射图像确定准晶的原子结构中是相关的。我们证明，当K和L是凸多边形（也当K和L是平面凸锥）g_{K,L}确定K和L，直到一个所描述的家庭的例外。这些结果意味着，当K和L是在这些类中，由交叉协方差函数提供的信息是如此丰富，以确定不仅是一个未知的机构，所需的马塞隆的猜想，但两个机构，与一些分类的例外。这些结果也被比安奇[Bia]用来证明R^3中的任何凸多胞体P都由g_{P,P}决定。
2008-05-13 math.MG math.ST stat.TH
A Smooth Covariogram and the Transition Between Projection Bodies
该研究引入凸体协变差函数的光滑径向近似，通过径向(-p)均值构造收敛于经典协变差函数的光滑函数，分析p→∞且水平亏缺δ=p^α（α<0）时的极限，揭示不同α下的过渡体及临界情况的Orlicz投影体框架。
2026-10-09 math.MG
Homometry and direct-sum decompositions of lattice-convex sets
如果$\mathbb{R}^d$中的两个集合具有相同的协方差函数，则它们被称为homometric，其中$\mathbb{R}^d$的有限子集$K$的协方差函数是将每个$u \in \mathbb{R}^d$与$K \cap (K+u)$的基数相关联的函数。理解同度量集的结构对数学和应用的许多领域都很重要。如果两个集合是同度量的，但在平移和点反射时不重合，我们称它们为非平凡同度量的。本文研究格凸集的非平凡同度量对，如果$K$是$\mathbb{M}$与$\mathbb{R}^d$的凸子集的交集，则称$K$关于格$\mathbb{M} \subseteq \mathbb{R}^d$是格凸的.这一系列的研究是在2005年由Daurat，Gérard和Nivat以及Gardner，Gronchi和Zong独立发起的。所有已知的非平凡齐次格凸集对本质上都可以写成直和$S \oplus T$和$S \oplus (-T)$，其中$T$是格凸的，基础格~$\mathbb{M}$是$T$和某个子格$\mathbb{L}$的直和，$S$是$\mathbb{L}$的子集。我们研究了非平凡的齐次格凸集对，并建立了$S \oplus T$格凸的一个充分必要条件。这使我们能够明确地描述所有的二维非平凡的同度量对，在上述假设下，并构造每个$d \ge 3$的格凸集的非平凡的同度量对的例子。
2016-05-12 math.CO math.MG
New proofs for some results on spherically convex sets
在郭和彭的文章[球面凸集和球面凸函数，J.凸分析。28（2021），103- 122]，在$\mathbb{R}^{n}$ $(n\ge2)$中定义了“一般曲面”上的球面凸集和函数的概念，研究了这些集合和函数类的几个性质，并且建立了球面凸集的Radon，Helly，Carathéodory和Minkowski定理的类似物，以及球面凸函数与通常的凸函数类似的一些性质。在获得这样的结果，作者使用的分析方法的基础上，他们的定义。本文的目的是为球面凸集的结果提供更简单的证明;我们的证明是基于$\mathbb{R}^{n}$中常用凸集对球面凸集的一些刻画/表示。
2021-03-07 math.MG
Generalized convex sets and shadows problem
影子的问题解决了。它等价于点在紧集族的广义凸包中的条件。
2015-01-27 math.MG
Multi-convex sets in real projective spaces and their duality
本文研究了Steinitz意义下的射影凸集的交。在射影空间中，一个非空凸集族的交集分裂成多个连通分支，每个连通分支都是一个凸集。因此，这样的交集称为多重凸集。得到了饱和多凸集的一个对偶性：实射影空间中的非空饱和多凸集与对偶射影空间中的非空饱和多凸集之间存在序反同构。在离散几何和计算几何中，这些结果允许将给定的问题转化为对偶问题，这有时更容易解决。这一点将在以后的文件中讨论。
2010-05-08 math.MG
Geometries of convex and finite sets of geodesic spaces
这项工作包括解决度量问题的凸和有限子集的测地空间。
2010-11-29 math.MG
The Legendre Transform of Convex Lattice Sets
本文通过离散勒让德变换研究凸格集，定义其极集并证明自对偶性质，同时建立包含、并交等性质，并揭示交叉多胞体与离散马勒积最小性之间的等价关系。
2024-05-28 math.MG
On the separation theorems for convex sets on the unit sphere
在这个简短的说明中，我们提供了一个新的证明，最近的结果韩和Nashimura的分离的球面凸集建立在arXiv：2002.06558。我们的证明是基于局部凸空间中的一个结果。
2021-03-07 math.MG
Convex sets with homothetic projections
Suss和Hadwiger结果的推广（证明了他们的情况下，凸体和正比），我们表明，紧n维欧几里得空间中的（相应的，闭的）凸集对于2和n - 1之间的任意给定整数m是位似的（分别在3和n - 1之间），集合在每个m维平面上的正交投影是位似的，其中同素比及其符号可以取决于投影平面。该证明使用了Straszewicz关于紧凸集的暴露点的定理的改进版本。
2009-03-16 math.MG
Minkowski type theorems for convex sets in cones
Minkowski的经典存在定理给出了欧几里得空间单位球面上的Borel测度是凸体的表面积测度的充要条件.解决方案是唯一的翻译。本文讨论了无界凸集的相应问题，它在无穷远处的行为由给定的闭凸锥决定。我们提供了一个存在性定理和稳定性结果。
2020-08-17 math.MG
On weakly m-convex sets
得到了弱m-凸集的一些性质。研究了各种阴影问题。在三维欧几里得空间中，在球面的点处产生阴影所需的球的数目得到了较低的估计
2017-03-17 math.MG
Bijections on strictly convex sets and closed convex projective surfaces that preserve complete geodesics
本文研究了$n \geq 2$的$\mathbf R \mathbf P^n$的严格凸集上的双射，以及将完备测地线映射为完备测地线的Hilbert度量的闭凸射影曲面.具有标准度量的双曲$n$ -空间是我们所考虑的空间的一个特例，并且已知在这种上下文中的这些双射恰好是等距。我们首先证明了这个结果推广到任意严格凸集。对于曲面设置，证明了简单闭测地线到简单闭测地线的映射与闭测地线到闭测地线的映射的等价性。我们还概述了一些未来的方向和问题，以进一步探讨这些主题。
2022-09-11 math.MG
About an Erdős-Grünbaum conjecture concerning piercing of non bounded convex sets
本文研究了具有局部交结构的凸集的无限族中包含其穿刺数的一个界所需的紧集的个数，回答了Erdés和Grünbaum的一个猜想.也就是说，如果在$\mathbb{R}^d$中的凸集的无限族中，我们知道在每个$p$中有相交的$q$，我们确定是否有一些紧集意味着与整个族相交所需的点的数量上的界。我们还研究了这个问题的变化。
2014-12-24 math.MG
Homotheties and Coverings by Convex Sets
本文证明了：对于在紧凸集上弱增的函数$g$，若$λ\ge 0$和$K^\prime$是$λK$的平移，则$g(K^\prime) =λg(K)$，则对于紧凸集$X$被多个紧凸集$X_i$的覆盖$\bigcup_i X_i\supseteq X$，不等式$g(X) \leq \sum_i g(X_i)$成立.其中的后果是一个肯定的解决方案，邦的木板问题。
2023-02-24 math.MG
On the inner cone property for convex sets in two-step Carnot groups, with applications to monotone sets
在第二步卡诺群的设定下，我们证明了水平凸集的一个“锥性质”。即证明了：给定一个水平凸集$C$，一对点$P\in \partial C$和$Q\in $ int $C$都属于一条水平线$\ell$，则一个围绕$\ell$且顶点在$P$上的开截子黎曼锥包含在$C$中.我们应用我们的结果的分类问题的水平单调集的卡诺集团。我们能够证明海森堡群与实直线的直积$\mathbb{H} \times\mathbb{R}$中的单调集有超平面作为边界。
2019-02-23 math.MG
Aperiodic sets of three types of convex polygons
本研究基于手性非周期单铺块Tile(1, 1)，通过将其内部划分为五个边数≥5的凸多边形，构造出三类边无匹配条件的非周期凸五边形集合，目前已明确四种构造方法。
2025-01-15 math.MG
Continuous rotation invariant valuations on convex sets
著名的Hadwiger定理将凸集上的所有刚性运动不变连续赋值分类为quermass积分的线性组合。我们证明了更一般的结果。我们分类的连续赋值是不变的正交（或特殊的正交）组。给出了在积分几何中的一些应用。
1999-05-01 math.MG
Covering Large Balls with Convex Sets in Spherical Space
如果n维单位球面被n个球面凸体覆盖，则这些球面的内径之和至少为π。这个界限是尖锐的，平等的情况下的特点。
2011-10-19 math.MG
On lattices of convex sets in R^n
研究了R^n的几类凸子集格的性质。包含原点的凸集格证明，对于n>1，满足严格介于R^n的所有凸子集格与R^{n-1}的所有凸子集格之间的一组恒等式。R^n中的任意格、开有界格和紧凸集格都满足相同的恒等式，但后者是并半分配的，而当n>1时，前两者不是。一个固定集合S \subseteq R^n的相对凸子集格满足R^n的一些但一般不是全部的“非线性”凸子集格的恒等式。
2004-09-16 math.MG
Family of closed convex sets covering faces of a simplex
它被认为是Sperner引理类型的一个特殊的凸变式。
2015-10-20 math.GT math.MG
Separating families of convex sets
如果集合$S$恰好包含$x$和$y$中的一个，则两个元素$x$和$y$由集合$S$分隔。证明了平面上任意位置的$n$点集都可以用$O(n\log\log n/\log n)$凸集分离，并且对某些点集$Ω(n/\log n)$凸集是必要的.
2012-11-13 math.CO math.MG
On the boundary of closed convex sets in $E^{n}$
本文描述了欧氏$n$ -空间中的一类闭凸集，它们是凸集轮廓的凸包。从而将Krein-Milman定理\cite{Lay:1982}推广到一类闭非紧凸集上.根据闭集及其边界的边界点，给出了闭集及其边界是凸的、仿射的和星形的充分条件和必要条件。
2013-01-04 math.DG math.MG
Homothetic covering of convex hulls of compact convex sets
设$K$是紧凸集，$m$是正整数. $K$关于$m$的覆盖泛函是最小的$λ\in[0,1]$，使得$K$可以被$λK$的$m$平移覆盖。给出了两个或多个紧凸集的凸包的覆盖泛函的估计。证明了：若三维凸体$K$是两个无内点的紧致凸集的凸包，则覆盖$K$所需的$K$的最小位似副本数$c(K)$不大于$8$和$c(K)=8$当且仅当$K$是平行六面体.
2021-11-14 math.CO math.MG
The boundary of rank-one divisible convex sets
证明了对任意非对称不可约可分凸集，其邻近极限集是满射影边界。
2021-06-14 math.GT math.MG
Peelings and Wrappings of Families of Convex Sets with Applications to Strongly Convex Sets Generated by Random Samples
Kyiv School of Economics（基辅经济学院）；Faculty of Computer Science and Cybernetics, Taras Shevchenko National University of Kyiv（基辅塔拉斯舍甫琴科国立大学计算机科学与控制论学院）
本文引入并研究紧凸集族的剥皮与包裹操作，建立几何框架，并证明在严格凸正则条件下，随机K-壳的极体剥皮收敛于泊松极限的相应剥皮。
2026-06-29 math.MG math.PR
On the Maximal Gaussian Perimeter of Convex Sets, Revisited
本文重新研究纳扎罗夫构造的近乎最大高斯表面积凸集，并利用凸影响概念提供了新的分析方法。
2025-08-27 math.MG math.PR
Power-law estimates for the central limit theorem for convex sets
研究了凸集中心极限定理收敛速率。我们得到的范围与幂律依赖的尺寸。这些界限是渐近优于对数估计遵循原来的证明的中心极限定理凸集。
2006-11-27 math.MG math.PR
Minimal pairs of convex sets which share a recession cone
该文研究具有相同回收锥的无界凸集极小对，证明相关性质，给出二维情形的计算公式与极小性判据，推广多面体和项判据，并展示其在dc-函数极小表示中的应用。
2020-12-04 math.FA math.MG
Boundary structure of convex sets in the hyperbolic space
本文证明了$\H^n$中关于凸集边界的一些结果。这包括收敛的曲率措施下Hausdorff收敛的集合，研究正常的点，并为凸曲面，广义高斯方程和一些自然的刻画经常部分的高斯曲率措施。
2017-10-05 math.DG math.MG
Compact convex sets with prescribed facial dimensions
虽然多面体的面形成了一个结构良好的晶格，其中存在每个可能维度的面，但对于一般的紧凸集来说，这不是真的。我们解决的问题是什么维模式是可能的一般闭凸集的脸。本文证明了对任何有限的正整数序列，都存在紧凸集，它们的极值点和面的维数都来自这个给定的序列。我们还讨论了维数的另一种方法，考虑到相同维度的所有面的并集的维度。我们表明，从这种方法所产生的问题是高度非平凡的，并给出了凸集的极值点集的分形维数的例子。
2017-03-22 math.MG math.OC
A note and a short survey on supporting lines of compact convex sets in the plane
在考察了平面上紧凸集的一些已知性质后，给出了支撑线可以连续缓慢滑动的一般感觉的两个严格证明。针对广大读者，我们的治疗是基本的目的。
2016-12-05 math.CO math.MG
Analytic aspects of the dilation inequality for symmetric convex sets in Euclidean spaces
本文探讨欧几里得空间中对称凸集膨胀不等式的解析形式，证明其等价于对称拟凸函数相对熵的界，并由此研究多个相关不等式，通过有界扰动与张量化构造满足该不等式的新概率测度。
2023-05-12 math.FA math.MG
The Minkowski Theorem for Max-plus Convex Sets
我们建立了闵可夫斯基定理的最大加模拟。$(R\cup\{-\infty\})^n$的紧极大凸子集的任何点都可以写成该子集的至多极值点的$n+1$的极大凸组合。建立了闭极大凸锥和闭无界极大凸集的相关结果。特别地，我们证明了一个封闭的极大凸集可以分解为它的回收锥和它的极值点的极大凸包的极大和。
2006-05-02 math.MG math.OC
Rigidity of invariant convex sets in symmetric spaces
主要结果是：不可约高阶对称空间的真凸子集不可能有Zebraki稠密稳定子。
2004-12-06 math.DG math.GR math.MG
Local characterization of strongly convex sets
希尔伯特空间中的强凸集具有局部性质。用于此目的的一个量是集合Ω的凸性模δ_Ω的推广。我们还证明了当Ω是闭凸时，存在\lim_{ε\to 0} δ_Ω（ε）/ε^2.
2013-04-04 math.FA math.MG math.OC
On sets minimizing their weighted length in uniformly convex separable Banach spaces
研究了巴拿赫空间中加权Steiner问题的存在性和部分正则性。在一致凸的巴拿赫空间中证明了几乎极小集的$C^1$正则性，其一致凸模证明了Dini增长条件.
2013-11-02 math.CA math.FA math.MG
Continued fractions built from convex sets and convex functions
在具有对偶（或极性）变换的偏序半群中，可以定义连分数的推广。给出了确定项连分数收敛的一般充分条件。两个特殊的应用涉及的情况下，凸集的Minkowski加法和极性变换（其中也获得了充要条件的连分数收敛的常数项）和家庭的非负凸函数的Legendre-Fenchel和Artstein-Avidan-Milman变换。
2014-09-05 math.FA math.MG math.PR
Tropical convex hulls of polyhedral sets
本文主要研究凸集的热带凸包和多面体复形。给出了一条线段和一条射线的热带凸包的顶点描述。\RR^{n+1} / \RR \mathbf{1}中的%。其次，我们证明了热带凸包和普通凸包在二维空间中的可交换性，并刻画了任意维的热带凸多面体。% $\mathbb{R}^3/\mathbb {R}\mathbf{1}$。最后，我们表明，一个热带凸风扇的尺寸取决于它的射线的坐标，并给出了一个下界的程度，风扇热带曲线只使用热带技术。
2020-09-05 math.AG math.CO math.MG
