On non-separable families of positive homothetic convex bodies
关于${\mathbb R}^d$（$d\geq 2$）中任意范数的球的有限族${\mathcal B}$称为不可分族，如果不存在与$\bigcup {\mathcal B}$不相交的超平面，该超平面严格地将${\mathcal B}$中的某些元素与${\mathbb R}^d$中的所有其他元素分开。本文证明了：如果${\mathcal B}$是半径为$r_1, r_2,\ldots , r_n$（$n\geq 2$）的球族关于${\mathbb R}^d$（$d\geq 2$）中的任意范数不可分，则$\bigcup {\mathcal B}$可以被半径为$\sum_{i=1}^n r_i$的球覆盖.这是由Erdos为欧氏范数所证明的，并由A. W. Goodman和R. E. Goodman [Amer. Math. Monthly 52（1945），494-498].另一方面，在同一篇论文A. W. Goodman和R. E. Goodman证明了他们的定理推广到了${\mathbb R}^d$，$d\ge2$中任意不可分的正位似凸体有限族。除了给出一个反例之外，我们还在各种附加条件下证明了这个猜想。
2016-05-13 math.MG
On the Total Perimeter of Homothetic Convex Bodies in a Convex Container
对于两个平面凸体，$C$和$D$，考虑包含在$D$中的$C$的$n$正同素异形的包装$S$。我们用${\rm per}(D)$和$n$估算了$S$中天体的总周长，表示为${\rm per}(S)$。当$C$的所有同素异义词都接触到容器$D$的边界时，我们证明了${\rm per}(S)=O(\log n)$或${\rm per}(S)=O(1)$，这取决于$C$和$D$如何"拟合在一起"，并且这些边界是除了常数因子之外的最佳可能。具体地说，我们建立了一个最优边界${\rm per}(S)=O(\log n)$，除非$D$是一个凸多边形，$D$的每一边平行于$C$的边界上的一个相应的段（简称$D$是\emph{parallel to} $C$）。当$D$平行于$C$但$C$的同素异义体可能位于$D$的任何地方时，我们证明了${\rm per}(S)=O((1+{\rm esc}(S)) \log n/\log \log n)$，其中${\rm esc}(S)$表示$S$中的物体到$D$边界的总距离.除了常数因子外，这个界也是最好的可能界。
2014-05-15 math.MG
The geometry of homothetic covering and illumination
乍一看，用外部光源照亮凸体边界的问题和用较小的正位似副本覆盖凸体的问题似乎是完全不同的。它们实际上是同一枚硬币的两面，并引起了离散几何中一个重要的长期未决问题，即照明猜想。在本文中，我们调查的活动，在离散几何，计算几何和几何分析领域的动机，这一猜想。特别注意列入现有概览未涵盖的最新进展。我们还包括我们最近的一些结果与这些问题，并描述了两种新的方法-一个传统的和其他计算机辅助-取得进展的照明问题。文中还提出了一些有待解决的问题和建议。
2016-07-18 math.MG
Indecomposable coverings with homothetic polygons
证明了对任意凸多边形$S$至少有四条边，或凹多边形$S$没有平行边，以及任意$m>0$，都存在平面的$m$ -fold覆盖，该覆盖具有$S$的位似拷贝，且不能分解为两个覆盖.
2015-03-12 cs.CG math.CO math.MG
Sharp Stability of Brunn-Minkowski for Homothetic Regions
我们证明了一个尖锐的稳定性结果如何密切的位似集达到近平等的Brunn-Minkowski不等式是凸的。特别地，解决了Figalli和Jerison的一个猜想，证明了存在普适常数$C_n,d_n>0$使得对于正测度的$A \subset \mathbb{R}^n$，如果$|\frac{A+A}{2}\setminus A| \le d_n |A|$，则$|\operatorname{co}(A)\setminus A| \le C_n |\frac{A+A}{2}\setminus A|$对于$\operatorname{co}(A)$是$A$的凸包.
2020-04-15 math.CO math.FA math.MG
Position of the centroid of a planar convex body
众所周知，任何平面凸体$A$允许内接仿射正六边形$H_A$。证明了$A$的质心属于$H_A$的位似像，其比值为$\frac{4}{21}$，中心在$H_A$的中心。这个比例不能扩大。
2022-12-21 math.FA math.MG
Characterizations of ellipsoids by means of the strong intersection property
本文证明三维及以上空间中，凸体 K 相对 O、S 且以严格凸体 G 为关联体的强相交性质可刻画 K、S、G 为同心位似椭球。
2025-05-13 math.MG
Stability inequalities for projections of convex bodies
证明了几个关于凸体投影的稳定性不等式和体积差不等式，并应用它们证明了一个关于投影体表面积的超平面不等式。
2015-06-13 math.MG
Nakajima's problem: convex bodies of constant width and constant brightness
对于凸体$K\subset\R^n$，$K$的第$k$次投影函数将$K$到该子空间的正交投影的$k$ -体积分配给$\R^n$的任何$k$ -维线性子空间.设$K$和$K_0$是$\R^n$中的凸体，且$K_0$是中心对称的，满足弱正则性和曲率条件（包括所有具有正曲率半径的$C^2$类的$\f K_0$的$K_0$）.假设$K$和$K_0$具有成比例的第一投影函数（即，宽度函数）和比例$k$ th投影函数。对于$2\le k<(n+1)/2$和$k=3, n=5$，我们证明了$K$和$K_0$是位似的。在$K_0$是欧氏球的特殊情况下，我们得到了欧氏球是等宽和等$k$亮度的凸体的特征.
2006-01-20 math.MG
A note on some generalizations of Monge's theorem
我们推广Monge定理的$n+1$两两相似集（特别是凸体）在$E^n$在三个磁盘在$E^2$。我们还提出了一个版本的$n+1$独立点的$E^n$。它还包括反向声明。此外，我们还给出了双曲空间的$n$维球面和双曲面模型的Monge定理的一个类似结果.
2021-04-29 math.MG
Modified Shephard's problem on projections of convex bodies
我们证明了A的一个猜想是错误的。Koldobsky问它是否足以比较$(n-2)$ -衍生物的投影函数的两个对称的凸体在Shephard问题，以获得一个积极的答案，在所有方面。
2007-07-10 math.MG
Distribution functions of sections and projections of convex bodies
通常，当我们给出一个凸体的截面（或投影）函数时，这意味着在每个方向上，我们知道垂直于这个方向的中心截面（或投影）的大小。假设现在我们只能得到关于截面（或投影）大小的信息，而不能得到关于相应方向的信息。本文研究了凸体的中心截面（或投影）面积的分布函数在多大程度上可以用来导出关于凸体及其体积等的某些信息。
2015-12-22 math.MG
Convex bodies all whose sections (projections) are equal
本文的目的是回答以下问题：如果通过凸体原点的所有超平面截面都“相等”，那么这个凸体是否“等于”球？“平等”概念的含义将在本文件的编写过程中发生变化。同样，我们感兴趣的问题是：如果一个凸体在超平面上的所有正交投影都“相等”，那么这个凸体是否“等于”球？拓扑学和凸几何在这些问题的解决和理解中有着深刻的联系。
2021-09-17 math.MG
Convex Bodies with affinely equivalent projections and affine bodies of revolution
本文研究仿射旋转体。这将使我们能够证明，一个凸体的正交$n$ -投影是仿射等价的是一个椭球，提供$n\equiv 0,1, 2$ mod $4$，$n>1$与可能的豁免$n=133$。我们的证明使用凸几何和紧李群的拓扑。AMS分类主题：22 E10、52 A05
2020-05-05 math.MG
Smooth convex Bodies with proportional projection functions
对于凸体$K\subset\R^n$和$i\in\{1,...,n-1\}$，将$K$到$L$的正交投影的$i$维体积分配给$\R^n$的任何$i$维子空间$L$的函数称为$K$的第$i$投影函数。设$K, K_0\subset \R^n$是$C^2_+$类的光滑凸体，$K_0$是中心对称的.排除两种例外情况，即$(i,j)=(1,n-1)$和$(i,j)=(n-2,n-1)$，我们证明了$K$和$K_0$是位似的，如果它们有两个比例投影函数.特殊情况下，当$K_0$是一个欧几里得球提供了一个扩展中岛的经典三维表征领域更高的层面。
2004-08-02 math.DG math.MG
Sections and projections of the outer and inner regularizations of a convex body
本文建立了比较重心或Santaló点在原点的凸体与其内、外正则化体截面和投影体积的新几何不等式，并推广至对数凹函数，方法依赖于Bizeul和Klartag的最优$M$-估计。
2025-11-04 math.MG
Uniform cover inequalities for the volume of coordinate sections and projections of convex bodies
经典的Loomis-Whitney不等式以及Bollobás和Escherason的一致覆盖不等式给出了紧集的低维坐标投影的体积的下界。我们在凸体的情形下进一步推广了这些不等式。我们还建立了相应的对偶不等式的坐标部分，这些部分的一致覆盖不等式可以看作是Meyer的对偶Loomis-Whitney不等式的推广。
2016-06-12 math.MG
Inequalities for the surface area of projections of convex bodies
我们提供一般的不等式，比较表面积S（K）的凸体K在${\mathbb R}^n$的最小，平均或最大表面积的超平面或低维投影。本文对K的所有拟质量积分讨论了同样的问题。我们分别检查的情况下，K是在一些经典的位置或K是一个投影体的常数对维数的依赖性。我们的结果是在超平面问题的精神，与投影和体积表面积的部分取代。
2016-01-21 math.MG
Sections and projections of nested convex bodies
本文研究了嵌套凸体的截面与投影，通过分析两凸体的截面或投影关系，揭示了球体和椭球体的新描述方法。
2021-07-30 math.MG
Estimating volume and surface area of a convex body via its projections or sections
本文的主要目的是给出一系列联系凸体的表面积测度及其投影和截面的表面积测度的不等式。本文给出了S. Campi，P. Gritzmann和P. Gronchi关于最近提出的一个反向Loomis-Whitney不等式中最佳常数的渐近行为。其次，我们给出了一个新的充分条件切片问题有一个肯定的答案，在最小的“外体积比距离”从类的相交体的投影至少比例维数的凸体。最后，我们表明，某些几何量，如体积比和极小曲面面积（经过适当的归一化）不一定彼此接近。
2017-08-28 math.MG
Empirical forms of the Petty projection inequality
本文从随机视角重新审视Petty投影不等式，建立了其多种经验形式，并针对随机凸集的混合投影体与混合体积等泛函推导出尖锐极值不等式。
2024-12-31 math.MG
Counterexamples Related to Rotations of Shadows of Convex Bodies
我们在$\mathbb{R}^n$中构造了两个凸体$K,L$的例子，使得$K$在$(n-1)$维子空间上的每个投影都可以旋转到$L$的相应投影中，但$K$本身不能旋转到$L$中.我们还发现$K$和$L$的必要条件，以确保$K$可以旋转包含在$L$，如果所有的$(n-1)$维投影有这个属性。
2015-05-21 math.MG
Large area convex holes in random point sets
设$K, L$是平面上的凸集。出于归一化目的，假设$K$的面积为$1$。假设在$K$上独立且均匀地选择$n$点的集合$K_n$，并且如果$K$的子集不包含$K_n$中的任何点，则将其称为{ \em洞}。结果表明，与$L$相似的空穴的最大面积为$(1+o(1)) \log{n}/n$ .我们还考虑了在$K_n$中估计最大面积的凸洞，以及带顶点的凸多边形洞的最大面积的问题。对于这两个问题，我们证明了答案是$Θ\bigl(\log{n}/n\bigr)$。
2015-06-13 math.CO math.MG math.PR
Sharp stability of the Brunn-Minkowski inequality via optimal mass transportation
本文针对Brunn-Minkowski不等式的精确稳定性问题，结合已证明的线性稳定性结果与新颖的最优质量传输方法，给出了关于集合到公共凸包距离的二次稳定性结果的替代证明。
2024-07-15 math.AP math.CO math.MG
Convex analysis in normed spaces and metric projections onto convex bodies
本文研究有限维赋范空间中关于凸体的度量投影和距离函数。为了这个目的，我们通过使用与给定范数相关联的勒让德变换，而不是通过标准的内积来识别向量空间及其对偶空间。这种方法重新解释了凸函数的各种性质，并导出了这些函数与所研究范数的几何性质之间的新关系。
2019-08-23 math.FA math.MG
Reconstruction of Convex Bodies from Projection Curvature Radius Function
本文提出了投影曲率半径函数与给定函数重合的凸体的存在唯一性问题。我们找到一个充要条件，确保一个积极的答案，这两个问题，并建议一个算法的建设机构。同时，我们还得到了凸体的支撑函数的投影曲率半径表示。
2005-01-27 math.DG math.MG
How far apart can the projection of the centroid of a convex body and the centroid of its projection be?
我们表明，有一个恒定的$D \approx 0.2016$，使得对于每个$n$，每个凸体$K\subset \mathbb R^n$，和每个超平面$H\subset \mathbb R^n$，$K$到$H$上的投影的质心和$K$到$H$上的投影的质心之间的距离至多是$D$乘以$K$在连接两点的线段方向上的宽度。常数$D$是渐近尖锐的。
2022-12-29 math.FA math.MG
Reconstruction of Centrally Symmetrical Convex Bodies by Projection Curvature Radii
研究了中心对称凸体的投影曲率半径函数与给定的旗函数重合的存在唯一性问题。一个充要条件和充分条件，确保一个积极的答案。提出了一种构造该形体的算法
2004-12-23 math.DG math.MG
Characterization of ellipsoids as K-dense sets
设K \subset R^N是包含原点的任意凸体。一个具有有限正勒贝格测度的可测集G \subset R^N称为K-稠密的，如果对任何固定r>0，当x在G的边界上变化时，G \cap（x+r K）的测度是常数（这里，x+r K表示K的伸缩的平移）。在[6]中，我们证明了当N=2时，若G是K-稠密的，则G和K必与同一椭圆相似。在这里，我们完全刻画了R^N中的K-稠密集：如果G是K-稠密的，那么G和K都必须与同一个椭球相似。我们的证明，通过建立在[6]中得到的结果，依赖于对参数r的大值的G \cap（x+r K）的测度的渐近公式和由于C. M. Petty [9].
2013-08-04 math.AP math.MG
SO(2)-congruent projections of convex bodies with rotation about the origin
证明了如果两个凸体$ K, L \subset \mathbb{R}^3$满足$K$和$L$在包含原点的每个平面上的正交投影互为旋转的性质，则要么$K$和$L$重合，要么$L$是$K$在原点的反射下的像
2013-09-27 math.CA math.MG
On the volume ratio of projections of convex bodies
研究了两个凸体投影的体积比。给定一个高维凸体$K$，我们证明了存在另一个凸体$L$，使得任意两个固定秩的凸体$K$和$L$的投影之间的体积比是大的.也就是说，我们证明，对于每个$1\leq k\leq n$和每个凸体$K\subset \mathbb{R}^n$有一个中心对称的身体$L \subset \mathbb{R}^n$，使任何两个投影$P, Q: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$秩$k$之一有$$ \mbox{vr}(PK, QL) \geq c \, \min\left\{\frac{ k}{ \sqrt{n}} \, \sqrt{\frac{1}{\log \log \log(\frac{n\log(n)}{k})}}, \, \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{\log(\frac{n\log(n)}{k})}}\right\}, $$其中$c>0$是一个绝对常数。在$k\geq n^{2/3}$状态下，该一般下限是尖锐的（直到对数因子）。
2022-11-11 math.FA math.MG
Non-uniqueness of convex bodies with prescribed volumes of sections and projections
我们表明，如果$d\ge 4$是均匀的，那么可以找到两个本质上不同的凸体，使其最大部分，中心部分，和投影的体积一致的所有方向。
2011-12-16 math.CA math.FA math.MG
Inequalities for sections and projections of convex bodies
这篇文章属于几何层析成像领域，它是基于关于它们的截面和投影的数据来研究固体的几何性质。我们描述了一个新的方向，在几何层析成像中，不同的体积结果被认为是在一个更一般的设置，与体积取代的任意措施。令人惊讶的是，这种通用方法适用于许多体积结果。特别地，我们讨论了任意测度下凸体截面上的Busemann-Petty问题和任意测度下的切片问题。我们目前的情况下，这些问题的一般化功能。一些概括的问题有关的预测，如Shephard的问题，也讨论了以及在离散层析成像的一些问题。
2023-02-08 math.FA math.MG
On the Comparison of Measures of Convex Bodies via Projections and Sections
本文研究了凸体的投影与截面的比较所隐含的凸体测度之间的不等式。最近Giannopoulos和Koldobsky证明了如果凸体$K, L$对所有$θ\in S^{n-1}$都满足$|K|θ^{\perp}| \le |L \cap θ^{\perp}|$，则$|K| \le |L|$ .首先，我们研究了相反的问题：特别地，我们证明了，如果$K, L$是在John位置的原点对称凸体，并且对所有的$θ\in S^{n-1}$都有$|K \cap θ^{\perp}| \le |L|θ^{\perp}|$，那么$|K| \le \sqrt{n}|L|$。我们考虑的条件比Busemann-Petty和Shephard问题中分别出现的所有$θ\in S^{n-1}$的条件$|K \cap θ^{\perp}| \le |L \cap θ^{\perp}|$和$|K|θ^{\perp}| \le |L|θ^{\perp}|$都弱。其次，我们将Giannopoulos和Koldobsky的结果适当地推广到具有双凸性质的各种测度，包括对数凹测度。
2018-11-15 math.CA math.MG
Approximations of convex bodies by polytopes and by projections of spectrahedra
本文证明了对R^d中的任一紧集B和对任意n>0，存在B的有限子集X，其点为|X| =d^{O（1/epsilon ^2）}，使得X上的任一线性函数ell：R^d --> R的最大绝对值在λ sqrt{d}的因子内逼近B上的ell的最大绝对值.本文还讨论了用谱面投影逼近凸体，即用正半定矩阵的锥的截面在仿射子空间上的投影逼近凸体。
2012-04-12 math.FA math.MG math.OC
Characterization of ellipses as uniformly dense sets with respect to a family of convex bodies
设K \subset R^N是包含原点的凸体。一个具有正勒贝格测度的可测集G \subset R^N称为一致K-稠密的，如果对于任何固定的r > 0，当x在G的边界上变化时，G \cap（x + rK）的测度是常数（这里，x + rK表示K的伸缩的平移）。我们首先证明了G必须总是严格凸的，并且至少是C1，1-正则的;同时，如果K是中心对称的，则K必须是严格凸的，C1，1-正则的，并且使得K = G-G直到同素;这意味着G必须是C2，1-正则的。然后对N = 2，证明了G是一致K-稠密的当且仅当K和G是同一椭圆的位同构。这个结果已经被Amar，Berrone和Gianni在[3]中证明。然而，我们的证明删除了他们对K和G的正则性假设，更重要的是，它易于推广到更高的维度，因为通过使用Minkowski不等式和仿射不等式，避免了对G \cap（x+rK）的测度在r = 0附近的泰勒展开中的高阶项的精细计算（需要在[3]中）。
2013-08-04 math.AP math.MG
Projections of totally disconnected thin fractals with very thick shadows on ${\mathbb R}^d$
本文研究分形投影与其凸包投影相同的极端情形，给出自仿射集的可检验准则，并构造凸多胞体内维数接近 1 的完全不连通紧集。
2023-09-25 math.CA math.MG
The isomorphic section-projection problem for convex bodies
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文研究了凸体的同构截面-投影问题，证明了在特定条件下凸体体积的关系，并补充了同构Busemann-Petty和Shephard问题。
2026-07-14 math.CA math.MG
Aleksandrov projection problem for convex lattice sets
设$K$和$L$是$\mathbb{R}^n$中的原点对称凸整数多面体。我们研究一个离散的类似的亚历山德罗夫投影问题。如果对于每个$u\in \mathbb{Z}^n$，集合$(K\cap \mathbb{Z}^n)|u^\perp$和$(L\cap \mathbb{Z}^n)|u^\perp$具有相同的点数，则是$K=L$？我们给出了一个肯定的答案，这个问题在$\mathbb{Z}^2$的一个额外的假设下，$(2K\cap \mathbb{Z}^2)|u^\perp$和$(2L\cap \mathbb{Z}^2)|u^\perp$有相同的点数。
2016-02-17 math.CO math.FA math.MG
Extremal sections and projections of certain convex bodies: a survey
本文综述了$\ell_p$球等凸体在低维子空间上截面与投影体积的极值估计，回顾了源于数的几何的概率与分析方法的进展。
2023-06-21 math.FA math.MG math.PR
On convex bodies with rotationally symmetric planar projections
本文证明：若凸体在所有二维平面上的正交投影均具有$q\ge4$重旋转对称性（至平移），则该凸体必为欧几里得球；$q=3$时存在非球形反例。
2026-09-24 math.FA math.MG math.RT
