Formal aspects of Gray's tensor product of 2-categories
Alexandru E. Stanculescu
小2-范畴的范畴有两个么半群结构，一个是双闭的，一个是闭的。我们提出了一个形式化的建设正确的内部和内部霍姆斯这些monoidal结构。
The category of small 2-categories has two monoidal structures due to John Gray: one biclosed and one closed. We propose a formalisation of the construction of the right internal and internal homs of these monoidal structures.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Mapping Spaces of Gray-Categories
我们定义了一个适合于高规范理论的格雷-富集范畴的映射空间。我们的构造与丰富范畴的规范映射空间的显著不同之处在于，它的刚性要小得多。这两个基本要素是Gray-范畴的道路空间构造和一种给定Gray-范畴的一维结构的共单进分解，它是通过提升普通范畴的分解沿着GrayCat在Cat上的典范纤维化而得到的。
Gray-categories model algebraic tricategories
Lack在Gray-范畴和Gray-函子的范畴GrayCat上描述了一个Quillen模型结构，其中弱等价是弱3-等价.本文采用Gurski，Johnson和Osorno的方法证明了GrayCat在弱等价上的局部化等价于代数三范畴和弱3-函子的伪自然等价类范畴.
Some Remarks on the Interchange in Gray-categories
本研究针对Gray-范畴中的3-胞腔交换问题，证明了广义交换等式在Di Vittorio粘贴定理给出的唯一同构意义下成立，大幅简化了Gray-范畴内的相关计算。
Homomorphisms of Gray-categories as pseudo algebras
给定灰色范畴$P$和$L$，存在一个灰色范畴$\mathrm{Tricat}_{\mathrm{ls}}(P,L)$，它是由定义域$P$和余域$L$、三转、三改和扰动的局部严格三同态构成的。如果定义域$P$是小的，余域$L$是余完备的，我们证明了这个灰色范畴同构于由左Kan扩张导出的灰色单子$T$的伪代数、伪函子、变换和修改的灰色范畴$\mathrm{Ps}$-$T$ - $\mathrm{Alg}$.受二维单子理论中类似情形的启发，我们应用三维单子理论的凝聚理论，证明了在局部严格三同态的Gray范畴中包含的函子范畴在充实意义下有一个左伴随，使得该伴随的单位分量是内部双等价的.证明了具有小整环和余完备余整环的Gray范畴之间的任何局部严格三同态都与Gray函子双等价。此外，Hom Gray-伴随给出了局部严格三同态与Gray-函子之间的三变换的Hom 2-范畴与函子Gray-范畴中相应的Hom 2-范畴的同构.一个值得注意的例子是局部严格的灰值预层与小域。我们的研究结果在三维下降理论中的应用，并指向一个Yoneda引理的方向。
$2$-Categories from a Gray Perspective
本文从灰范畴的观点出发，利用分离面图的图演算，提出了$2$ -范畴论。作为一个扩展的例子，我们考虑锥和极限的$2$ -函子。然后利用$2$ -计算子和$2$ -范畴之间的规范连接来解释lax函子的比较结构，并利用合成表来扩展表面图演算，以便对lax函子进行表示和推理。
Cartesian Gray-Monoidal Double Categories
本文通过引入局部立方Gray范畴和双松弛函子，为对称Gray-幺半群双范畴建立了笛卡尔结构，并利用曲面图给出其简洁表示。
A skew approach to enrichment for Gray-categories
针对Gray-范畴范畴缺少能建模弱高维变换的幺半双闭结构的问题，该系列首篇论文提出了其上的多种斜幺半闭结构，分别可刻画高松变换与高伪变换。
Gray (skew) multicategories: double and Gray-categorical cases
本文统一构造了双重范畴与 Gray-范畴上的 Gray（斜）多重范畴，证明其封闭性与可表示性，并由此得出相应严格函子范畴具有斜幺半或幺半结构。
A cocategorical obstruction to tensor products of Gray-categories
克兰斯认为，要求灰色范畴的范畴承认一个表现良好的monoidal bicclosed结构是过分的。我们通过建立任何这样的monoidal双闭结构必须具有的不期望的性质来使这一点精确。特别地，我们证明了不存在任何使灰色范畴的模型范畴成为monoidal模型范畴的张量积。
Rewriting in Gray categories with applications to coherence
近年来，重写理论得到了广泛的应用和发展，为严格高阶范畴的连贯性研究提供了系统的方法。在这里，我们调查进一步推广到灰色类别，这是已知的是相当于三范畴。这就要求我们在前范畴的背景下发展重写理论，前范畴包括作为特殊情况的格雷范畴，并适应于机械化计算。我们表明，一个有限的重写系统在precategories承认有限数量的关键对，这可以有效地计算。我们还扩展了斯奎尔定理，我们的上下文中，表明收敛重写系统是连贯的，这意味着任何两个平行的3-细胞必然是平等的。这使我们能够证明相干结果的背景下，几个著名的结构的灰色类别：monoids，propections，Frobenius monoids。
Skew Closed Structure of Gray-Categories
我们定义了一个斜闭结构的灰色范畴扩展的映射空间建设的作者。
Lax functorialities of the comma construction for $ω$-categories
本文研究了严格 ω-范畴的逗号构造的函数性，证明其定义了 Gray ω-函子，并提出了 Gray ω-函子的 Grothendieck 构造概念。
The Gray monoidal product of double categories
双范畴和双函子范畴具有对称的闭么半群结构。对于任何双范畴$\mathbb A$，相应的内部hom函子$|[ \mathbb A,-]|$发送一个双范畴$\mathbb B$给其0-cell是双函子$\mathbb A \to \mathbb B$，其水平和垂直1-cell分别是水平和垂直伪变换，其2-cell是修改的双范畴。一些著名的函子的实际意义进行了检查，以兼容这个monoidal结构。
A semi-strictly generated closed structure on Gray-Cat
本文证明 Gray-范畴的半严格生成内部 hom 构成 Gray-Cat 上的闭结构，利用满足严格单位与复合条件的三自然变换克服中间四交换律失效问题，并得到辫子幺半双范畴严格化的加强推论。
The Word Problem for Braided Monoidal Categories is Unknot-Hard
我们证明了辫状幺半范畴范畴的字问题至少和解结问题一样难。作为一个推论，格雷范畴的字问题也是如此。我们猜想Gray范畴的字问题是可判定的。
A Quillen model structure for Gray-categories
本文描述了Gray-categories的Gray-Cat范畴上的一个Quillen模型结构，其中弱等价是三等价.证明了它仅限于Gray-groupoid的满子范畴Gray-Gpd.这是用来提供一个函子和模型理论证明的未发表的定理Joyal和Tierney灰色群胚模型同伦3型。证明了Gray-Cat上的模型结构是Quillen等价的，是三范畴的Tricat范畴上的模型结构和三范畴的严格同态上的模型结构.
A model-independent Gray tensor product for $(\infty,2)$-categories
本文构造了 $(\infty,2)$-范畴的模型无关 Gray 张量积，并证明其由与经典严格 2-范畴 Gray 张量积在 Gray 立方体上一致的唯一幺半双闭结构所刻画。
This paper continues the development of a simplicial theory of weak omega-categories, by studying categories which are enriched in weak complicial sets. These complicial Gray-categories generalise both the Kan complex enriched categories of homotopy theory and the Gray-categories of weak 3-category theory. We derive a simplicial nerve construction, which is closely related to Cordier and Porter's homotopy coherent nerve, and show that this faithfully represents complicial Gray-categories as weak complicial sets. The category of weak complicial sets may itself be canonically enriched to a compl…
The Gray tensor product of $(\infty,n)$-categories
本文基于粘贴定理构造了$(\infty,n)$-范畴的新模型，并借助Day卷积与反射实现了其Gray张量积，进而用不依赖模型的泛性质加以刻画。
Gray tensor products and lax functors of $(\infty,2)$-categories
本文在尺度单纯集的背景下给出了Gray张量积的定义，它是结合的，并且关于Lurie的双范畴模型范畴形成一个左Quillen双函子.然后，我们在此设置中引入oplax函子的概念，并使用它，以便通过一个泛性质来表征格雷张量积。Gaitsgory和Rozenblyum在他们对Gray乘积的定义中使用了类似的特征，从而为比较两种设置提供了一个有希望的线索。
The Gray Product of $(\infty, n)$-Categories via Lax Grids
本文引入基于松驰网格的 Segal 层作为 $(\infty,n)$-范畴的新模型，通过 Day 卷积直接构造 Gray 张量积，并证明其与 Campion 构造一致，未来将用于赋予配边高范畴以流形笛卡尔积给出的 Gray 代数结构。
The tricategory of formal composites and its strictification
这篇论文的结果允许一个替代的计算在三范畴与等价的计算在灰色范畴（又名半严格三范畴）。特别地，例如在线证明助手globular（arXiv：1612.01093）所使用的格雷范畴的重写演算，或者等价地，在完全弱三范畴的情况下也可以使用arXiv：1211.0529的格雷图。
Asynchronous Template Games and the Gray Tensor Product of 2-Categories
在他最近关于模板游戏和线性逻辑的探索性工作中，梅利斯将顺序和并发游戏定义为以位置为对象，以轨迹为态射的类别，并通过特定的同步模板进行标记。在本文中，我们把这个想法的一个维度更高，并主张模板游戏不应该被定义为1维类别，但作为2-细胞的位置，轨迹和改组（或重新安排）的2维类别。为了达到这一目的，我们认真考虑了并发的Gray与2-范畴的Gray张量积之间的平行性。一个技术上的困难是，范畴S=2-Cat的小2-范畴配备的灰色张量积是monoidal，而不是carnoid。这促使我们扩展了最初由梅利斯在有限极限范畴S中制定的模板博弈框架，并以阿吉亚尔在量子群上的工作的风格将其升级到更一般的情况，即具有自反均衡器的monoidal范畴S，由张量积分量保持。我们用这种方式构造了一个异步模板游戏的乘法加法线性逻辑（MALL）的语义，其中每个公式和每个证明被解释为一个标记的2-范畴配备，分别与异步模板游戏的灰色互补结构，和异步策略的灰色双互补结构。
The Gray tensor product for 2-quasi-categories
我们构造一个$(\infty,2)$版本的（宽松）灰色张量积的产品。在1-范畴水平上，这是一个二元（或更一般的$n$ -ary）函子在范畴的$Θ_2$ -集，它被证明是左奎伦相对于阿拉的模型结构。此外，我们证明，这张量积形式的一部分，“同伦”（bicclosed）monoidal结构，或更准确地说，一个正常的松散monoidal结构，是联合同伦。
Gray products of diagrammatic $(\infty, n)$-categories
本文证明了图解集的模型结构相对于Gray积是幺半的，并展示了游走等价张量积构成函子柱及对偶函子为Quillen自等价。
Gray categories with duals and their diagrams
本文通过三维图示演算研究带对偶的 Gray 范畴的几何与代数性质，定义了空间条件并证明特定图示求值在同胚下不变，为拓扑量子场论提供了潜在应用。
Multitensors as monads on categories of enriched graphs
在本文中，我们统一到一个单一的框架中，在一个类别V的多张量之间的相互作用，并在V丰富的图类单子之前的发展，被视为基本的。这里提出的材料是概念背景的后续工作中的灰色张量积的2-范畴和Crans张量积的灰色范畴被展示为存在于我们的框架内，并在一个明确的建设有趣的张量积的类别被推广到一个大类的Batanin操作。
Cubes are dense in $(\infty,\infty)$-categories
我们表明，严格的1-范畴$\square$的立方体-定义为严格$ω$-类别的满子范畴，其对象是灰色张量的箭头类别的权力-是密集的$(\infty,1)$ -范畴$\mathsf{Cat}_ω$的弱$(\infty,\infty)$ -类别，在Rezk完全和不完全的变体。更准确地说，我们表明，Joyal的范畴$Θ$包含在幂等完成$\square$，事实上，幂等完成$\square$下的悬浮液和楔形和关闭。这一结果推广了Campbell和Maehara在二维空间的一个定理。根据Campbell和Maehara的方案，我们将在以后的工作中应用这个结果给出弱$(\infty,n)$ -范畴的Gray张量积的一个新的构造.
The Gray tensor product via factorisation
本文讨论了2-范畴的Gray张量积的民俗构造，它是通过对从有趣的张量积到笛卡儿积的映射进行因式分解而得到的.我们表明，这种因式分解可以得到不使用具体介绍的灰色张量积，但仅仅是其定义的泛性质，并用它来给另一个证明，灰色张量积的形式的一部分对称monoidal结构。主要的技术工具是一种通过因式分解系统从旧的Lawvere 2理论中产生新的代数结构的方法。
The Lifting Theorem for Multitensors
我们继续发展单子和多重张量的理论。本文的中心结果-多重张量的提升定理-使我们能够看到的灰色张量积的2-范畴和Crans张量积的灰色范畴的一部分，我们新兴的框架。此外，我们解释了我们的提升定理给出了一个替代的描述日卷积在未丰富的上下文中。
The folk model category structure on strict $ω$-categories is monoidal
本文证明了Lafont，Métayer和Worytkiewicz提出的严格$ω$ -范畴范畴上的民间模型范畴结构是monoidal的，首先证明了它对Gray张量积是monoidal的，其次证明了它对第一作者和Maltsiniotis提出的$ω$ -范畴的并是monoidal的.此外，我们表明，格雷张量积诱导，通过附加，严格的$(m,n)$ -范畴的张量积，这张量积也是兼容的民间模型的范畴结构。特别地，我们得到了严格$ω$ -群胚范畴上的一个么半群模型范畴结构。我们证明了这种么半群模型范畴结构满足么半群公理，从而第二作者所研究的Gray么半群范畴具有自然的模型范畴结构。
A $\textbf{Gray}$-categorical pasting theorem
$\textbf{Gray}$ -范畴是一个半严格的$3$ -范畴，其中中间四个交换被弱化为同构，它是三维范畴论研究的核心。在这种情况下，通常的做法是使用$2$ -维粘贴图来表示$2$ -细胞的复合物，但是在文献中没有充分的处理来证明这种方法的合理性。我们填补了这一空白，提供了一个正式的方法来粘贴在$\textbf{Gray}$类别，并证明这种复合材料是唯一定义的一个可收缩的广群的选择。
On the formal theory of pseudomonads and pseudodistributive laws
我们有助于pseudomonads的形式理论，即模拟pseudomonads的形式理论的单子。特别地，我们解决了Steve Lack提出的一个问题，证明了对于每个Gray-范畴K，存在一个Gray-范畴Psm（K），它由K中的伪单胞体、伪单胞体态射、伪单胞体变换和伪单胞体修改组成。然后，我们建立了Psm（K）和由Marmolejo引入的伪单胞菌的灰色范畴之间的三等价。最后，应用这些结果给出了伪分配律的相干条件。41页欢迎评论。
Centers and homotopy centers in enriched monoidal categories
本文研究了幺半范畴中幺半群的中心和同伦中心的理论，这些幺半群本身在duoidal范畴中是丰富的。Duoidal范畴（由Aguillar和Mahajan引入，名为2-幺半范畴）是具有两个monoidal结构的范畴，它们通过一些不一定可逆的凝聚态射联系在一起。在这个意义上的幺半群的中心包括许多不是“经典的”的例子。特别是，范畴的2-范畴是我们意义上的中心的一个例子。同伦中心（类似于经典的Hochschild复形）的例子包括2-范畴、2-函子和自然变换的Gray范畴Gray和dg-范畴、dg-函子和相干dg-变换的Tamarkin同伦2-范畴。
Bénabou's theorem for pseudoadjunctions
本文在灰色范畴的背景下给出了一个关于伪随机数的Bénabou定理的正式说明。证明了在Gray范畴K中给出单位$η$的伪伴随$F \dashv U: A \to X$，就是给出$η$证明的$1_X$沿$F$的绝对左（Kan）伪扩张$U$.
Algebras of higher operads as enriched categories II
系统地构造Gray张量积的高维类似物是高阶范畴理论中的一个开放问题。在本文中，我们继续[7]的工作，使球状运算[4]的机制适应这项任务。所得到的理论包括2-范畴的Gray张量积和Gray范畴的Crans张量积[12]。此外，许多以前的工作的球形方法高阶范畴理论简化了我们的新的基础，我们说明了这一点，通过加快帐户的许多方面的郑的分析[11] Trimble的定义的弱n-范畴。作为应用，我们得到了辫子monoidal 2-范畴的一个“Ekmann-Hilton”结果，并给出了A-无穷代数的一个张量积的构造.
Gray tensor product and saturated $N$-complicial sets
我们表明，预张量和张量积的单纯集与标记是兼容的同伦理论饱和$N$ -复集（这是一个建议的模型$(\infty,N)$ -范畴），在一个Quillen双函子和同伦双函子的形式，分别。
An Equivalence of Categories between 3-Crossed Modules and Gray 4-Groups
本文通过引入一个4-范畴并证明其单对象版本（Gray 4-群）与3-交叉模范畴等价，精确建立了3-交叉模与高维范畴之间的联系，有望用于刻画曲面纽结和高维流形的拓扑性质。
Dualities in the complicial model of $\infty$-categories
本文研究Gray张量积与悬置的关系。我们得到了一个特征的弱等价作为完全忠实的，本质上满射函子。我们构造了$co$对偶，一个弱对合，反转方向的偶数维细胞。最后，我们研究了复杂集的Grothendieck纤维化。
On $3$-gauge transformations, $3$-curvature and $\mathbf{Gray}$-categories
在$3$-规范理论中，$3$-联络由一个$1$-形式的$A$（取值于李代数$ \mathfrak g$），一个$2$-形式的$B$（取值于李代数$\mathfrak h $）和一个$3$-形式的$C$（取值于李代数$ \mathfrak l $）给出，其中$(\mathfrak g,\mathfrak h, \mathfrak l)$构成一个微分$ 2$-交叉模.给出了从一个$3$-联络到另一个$3$-联络的$3$-规范变换，并给出了$1$-曲率$2$-形式、$2$-曲率$3$-形式和$3$-曲率$4$-形式的变换公式.规范组态可以解释为两个$\mathbf{Gray}$ $3$-广群之间的光滑$\mathbf{Gray}$-函子：路径$3$-广群$\mathcal{P}_3(X)$和$3$-规范群$ \mathcal{G}^{\mathscr L}$与$ 2$-交叉模块$\mathscr L$相关联，其微分为$(\mathfrak g,\mathfrak h, \mathfrak l)$. $\mathbf{Gray}$-函子的导数是$3$-联络，两个这样的$\mathbf{Gray}$-函子之间的松弛自然变换的导数是$3$-规范变换。我们给$3$维holonomy，格版本的$3$-曲率，其衍生物给出的$3$-曲率$4$-形式。$3$-曲率的协方差可以很容易地从这个构造中得出。这…
Multitensor lifting and strictly unital higher category theory
在这篇文章中，我们扩展了松弛monoidal结构的理论，也被称为multitensors，和单子上的丰富的图形，他们产生的范畴。我们的第一个主要结果--多重张量的提升定理--使我们能够看到2-范畴的格雷张量积和格雷范畴的克兰斯张量积是这个框架的一部分。我们定义弱n-范畴严格单位的一个概念，减少高运算，使用代数弱因子分解系统的理论。我们的第二个主要结果是在具有严格单位的弱n-范畴上建立一个松弛张量积，使得关于这个张量积的丰富范畴恰是具有严格单位的弱（n+1）-范畴。
Tricategorical Universal Properties Via Enriched Homotopy Theory
本文通过充实于Gray模型范畴的同伦良好极限与余极限，建立了三范畴极限与余极限的理论，并将其应用于伪单子Kleisli构造、中心构造及双范畴严格化等具体结构。
Not every pseudoalgebra is equivalent to a strict one
本文描述了一个局部可表示2-范畴上的有限2-单子，并不是每个伪代数都等价于一个严格的伪代数。这表明，有秩不是2-单子上每个伪代数都是可严格的充分条件。我们的反例来自于高阶范畴理论：严格代数是严格3-范畴，伪代数是介于灰色范畴和3-范畴之间的一类半严格3-范畴。因此，这个结果是从这样一个事实得出的：不是每个灰色范畴都等价于一个严格的3范畴，连接了2范畴和更高范畴的连贯理论。特别地，任何非平凡编织的幺半范畴范畴都给出了一个伪代数的例子，这个伪代数不等价于严格的伪代数。
A cubical model for $(\infty, n)$-categories
本文提出了一种新的$(\infty,n)$-范畴模型，基于标记立方集，并展示了其在Gray张量积下的单向性和三角化 functor 的左Quillen性质。
Intercategories: A framework for three-dimensional category theory
我们展示了范畴间的概念如何包含各种各样的三维结构，从文献中，特别是duoidal类别，monoidal双类别，立方双范畴，双双范畴和灰色类别。跨度概念的变化提供了更多有趣的例子，一个重要的例子是集合的范畴间。我们考虑了范畴间的三种态射以及将它们结合起来的细胞，并将它们应用于上述结构。特别是HOM函子进行了研究。
Free Products of Higher Operad Algebras
2-范畴的Gray张量积的高维类似的系统构造是高阶范畴理论中的一个开放问题。本文通过理解Gray的小兄弟--范畴的有趣的张量积的自然推广，继续了[3]和[2]的发展。事实上，我们证明了在Batanin [1]的意义下，对于任何可由n-操作数定义的更高范畴结构，一个类似的张量积在操作数代数范畴上形成一个对称的monoidal闭结构。
On orthogonal factorization systems and double categories
本文证明正交分解系统的∞-范畴可全忠实嵌入双∞-范畴，并建立双∞-范畴的（非）拉直等价，进而限制到op-Gray纤维化与弯曲正交纤维化。
Colimits in Oriented Category Theory
本文针对高阶范畴理论中lax余极限的几何不兼容性缺陷，提出定向余极限理论，引入兼容Gray张量积的Grothendieck构造，证明其等价性并将其应用于高阶主丛分类、伴随函子表示及Quillen定理推广。
Tannakian formalism for fiber functors over tensor categories
本文将Tannakian形式推广到一般张量范畴上的纤维函子。我们将证明（在某些技术条件下）如果纤维函子有截面，则源范畴等价于目标范畴中的霍普夫代数上的余模范畴。我们还将使用框架对象的概念来描述这个霍普夫代数。
Formal balls of ${\sf Q}$-categories
Edalat和Heckmann关于度量空间的形式球模型的构造被Kostanek和Waszkiewicz推广到${\sf Q}$ -范畴。本文研究了Quantale ${\sf Q}$的结构对${\sf Q}$ -范畴的Yoneda完备性与其形式球集的有向完备性之间联系的影响。在${\sf Q}$是具有连续t-范$\&$的区间${\sf Q}$的情况下，证明了为了使每个${\sf Q}$ -范畴的Yoneda完全性等价于其形式球集的有向完全性，一个充要条件是t-范$\&$是阿基米德的。
Fibrations in Oriented Category Theory
从定向范畴论角度研究高阶范畴纤维化，给出其等价特征，表明纤维化范畴构成定向范畴，研究其与定向拉回相互作用并构建相关纤维化版本及格罗滕迪克构造。
An Enriched Approach to the Strictification of $(\infty,1)$-Categories
研究如何对$(\infty,1)$-范畴严格化，核心方法是先将其建模为$\infty$-群胚丰富的范畴，经局部和全局严格化得到$(\omega,1)$-范畴，证明了相关函子保守性，还解释了对同调怀特海德定理的推广。
Tangentads: a formal approach to tangent categories
本文形式化定义了tangentads并构造其$2$-余单子结构，引入多种特殊类型，将子切结构解释为右Kan扩张，并证明切单子代数构造及切分裂限制范畴的$2$-等价性。
Free precategories as presheaf categories
预范畴推广了严格$n$ -范畴和半类范畴的概念：它们的定义本质上与严格$n$ -范畴的定义相同，只是我们不要求各种交换律成立。它们被提出作为一个框架，在这个框架中，人们可以表达弱高阶范畴的半严格定义：在3维中，格雷范畴是它们的一个实例，并被证明等价于三范畴，半严格四范畴的定义已经被提出，并被用作证明助手（如Globular）的基础。在这篇文章中，我们最感兴趣的是免费的预分类。这些可以通过生成器和关系来表示，使用测谎仪概念的适当变化（aka computad），早期的工作表明重写理论可以推广到这种设置，享受传统理论中可以找到的大多数基本结构和属性，与严格类别的测谎仪相反。我们在这里进一步研究为什么会出现这种情况，通过提供几个结果表明，precategories及其相关的测谎仪承担的属性，确保我们有一个良好的语法。特别是，我们表明，类别的precategories的测谎仪形成一个presheaf类别。
Alternative notion to intercategories: part I. A tricategory of double categories
这是一系列两篇论文中的第一篇。我们的动机是要解决Böhm在《应用范畴结构》中的“双范畴的灰色Monoidal积”中提出的问题：这将是Grandis和Paré范畴间的另一个概念，因此Böhm的严格双范畴和双伪函子的幺半范畴$Dbl$中的monoidal是它的一个例子？在讨论这个问题之前，我们观察到，虽然双范畴嵌入到伪双范畴中，但这种嵌入不是monoidal的，通常有monoidal伪双范畴的概念。然后，我们证明了monoidal双范畴嵌入到上述monoids的Böhm。为了使Böhm幺半群适合于一个范畴间类型的对象，我们首先将范畴$Dbl$升级为2范畴，最后得到一个三范畴$\DblPs$。我们提出了一个替代定义的intercategories作为内部类别在这个tricategory，使$Dbl$是这个小工具的一个例子。对于$\DblPs$的三范畴（的类型）内部范畴的形式定义，以及文献中的另一个重要例子，我们留待以后的论文讨论。
How strict is strictification?
本文的主题是严格化附加的高级结构，它联系了三维范畴论的两个基本基础：$2$-范畴的$\mathbf{Gray}$-范畴和双范畴的三范畴。我们表明，-远远不需要充分的弱点所提供的定义的tricategory理论-这个附加可以$\textit{strictly}$丰富的对称封闭multicategory的bicategories定义的Verity。此外，我们表明，这个附加的基础上的附加的双范畴丰富的对称multicategories。附录介绍了伪双范畴的对称闭多范畴，Verity的双范畴的对称多范畴完全嵌入其中。
Homotopy theory of stricter $n$-categories
本研究基于正则有向复形理论定义更严格$n$-范畴，推导其Gray积与纬垂稳定性等性质，构建folk模型结构并证明其与图解集模型结构的右转移关系，丰富了高维范畴同伦理论工具。
Structures in higher-dimensional category theory
这篇论文写于1998年，主要通过广义操作和多范畴理论来阐明各种高级范畴结构。第一章和第二章讨论了这个理论及其在弱n-范畴定义中的应用，这两章在很大程度上被我的论文（math.CT/0011106）所取代，但第三章和第四章没有在其他地方出现。第三章的主要结果是小灰范畴可以被刻画为2-范畴、同态、强变换和修改的三范畴的子三范畴;在更高的维度上也有一个关于相干性的猜想。第四章定义了opetopes和一个对于每个n的n-粘贴图的范畴，在n=2的情况下，它是树的范畴的定义。
Monoidal Categories for Formal Concept Analysis
我们研究形式背景的幺半范畴，其中状态对应于形式概念。特别是，我们研究范畴的债券或朱对应的背景下，这是已知的是相当于 *-自治范畴的完全超格。我们发现，第二monoidal结构存在于这两个类别，对应的直积的形式背景下定义的甘特和威尔，并讨论使用这些类别的成分模型的意义。
Formalizing colimits in Cat
本文在 Lean 中形式化了范畴的 1-范畴的基本构造，构造神经嵌入的左伴随并证明该伴随是反射的，从而首次形式化证明 Cat 具有余极限且范畴的范畴是余完备的。
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