灰范畴的斜闭结构
Skew Closed Structure of Gray-Categories
摘要：
我们定义了一个斜闭结构的灰色范畴扩展的映射空间建设的作者。
英文摘要：
We define a skew-closed structure for Gray-categories extending the mapping space construction of the author.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Gray（斜）多重范畴：双重范畴与 Gray-范畴情形
Gray (skew) multicategories: double and Gray-categorical cases
本文统一构造了双重范畴与 Gray-范畴上的 Gray（斜）多重范畴，证明其封闭性与可表示性，并由此得出相应严格函子范畴具有斜幺半或幺半结构。
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Gray-范畴富集的斜向方法
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Masaryk University（马萨里克大学）
针对Gray-范畴范畴缺少能建模弱高维变换的幺半双闭结构的问题，该系列首篇论文提出了其上的多种斜幺半闭结构，分别可刻画高松变换与高伪变换。
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灰范畴的映射空间
Mapping Spaces of Gray-Categories
我们定义了一个适合于高规范理论的格雷-富集范畴的映射空间。我们的构造与丰富范畴的规范映射空间的显著不同之处在于，它的刚性要小得多。这两个基本要素是Gray-范畴的道路空间构造和一种给定Gray-范畴的一维结构的共单进分解，它是通过提升普通范畴的分解沿着GrayCat在Cat上的典范纤维化而得到的。
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灰范畴模型代数三范畴
Gray-categories model algebraic tricategories
Lack在Gray-范畴和Gray-函子的范畴GrayCat上描述了一个Quillen模型结构，其中弱等价是弱3-等价.本文采用Gurski，Johnson和Osorno的方法证明了GrayCat在弱等价上的局部化等价于代数三范畴和弱3-函子的伪自然等价类范畴.
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关于Gray-范畴中交换性的若干注记
Some Remarks on the Interchange in Gray-categories
本研究针对Gray-范畴中的3-胞腔交换问题，证明了广义交换等式在Di Vittorio粘贴定理给出的唯一同构意义下成立，大幅简化了Gray-范畴内的相关计算。
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2-范畴Gray张量积的形式方面
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小2-范畴的范畴有两个么半群结构，一个是双闭的，一个是闭的。我们提出了一个形式化的建设正确的内部和内部霍姆斯这些monoidal结构。
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作为伪代数的灰色范畴的同态
Homomorphisms of Gray-categories as pseudo algebras
给定灰色范畴$P$和$L$，存在一个灰色范畴$\mathrm{Tricat}_{\mathrm{ls}}(P,L)$，它是由定义域$P$和余域$L$、三转、三改和扰动的局部严格三同态构成的。如果定义域$P$是小的，余域$L$是余完备的，我们证明了这个灰色范畴同构于由左Kan扩张导出的灰色单子$T$的伪代数、伪函子、变换和修改的灰色范畴$\mathrm{Ps}$-$T$ - $\mathrm{Alg}$.受二维单子理论中类似情形的启发，我们应用三维单子理论的凝聚理论，证明了在局部严格三同态的Gray范畴中包含的函子范畴在充实意义下有一个左伴随，使得该伴随的单位分量是内部双等价的.证明了具有小整环和余完备余整环的Gray范畴之间的任何局部严格三同态都与Gray函子双等价。此外，Hom Gray-伴随给出了局部严格三同态与Gray-函子之间的三变换的Hom 2-范畴与函子Gray-范畴中相应的Hom 2-范畴的同构.一个值得注意的例子是局部严格的灰值预层与小域。我们的研究结果在三维下降理论中的应用，并指向一个Yoneda引理的方向。
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$2$ -灰色视角下的类别
$2$-Categories from a Gray Perspective
本文从灰范畴的观点出发，利用分离面图的图演算，提出了$2$ -范畴论。作为一个扩展的例子，我们考虑锥和极限的$2$ -函子。然后利用$2$ -计算子和$2$ -范畴之间的规范连接来解释lax函子的比较结构，并利用合成表来扩展表面图演算，以便对lax函子进行表示和推理。
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笛卡尔 Gray-幺半群双范畴
Cartesian Gray-Monoidal Double Categories
本文通过引入局部立方Gray范畴和双松弛函子，为对称Gray-幺半群双范畴建立了笛卡尔结构，并利用曲面图给出其简洁表示。
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Gray范畴的张量积的余范畴阻塞
A cocategorical obstruction to tensor products of Gray-categories
克兰斯认为，要求灰色范畴的范畴承认一个表现良好的monoidal bicclosed结构是过分的。我们通过建立任何这样的monoidal双闭结构必须具有的不期望的性质来使这一点精确。特别地，我们证明了不存在任何使灰色范畴的模型范畴成为monoidal模型范畴的张量积。
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Gray范畴中的重写及其在连贯性中的应用
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近年来，重写理论得到了广泛的应用和发展，为严格高阶范畴的连贯性研究提供了系统的方法。在这里，我们调查进一步推广到灰色类别，这是已知的是相当于三范畴。这就要求我们在前范畴的背景下发展重写理论，前范畴包括作为特殊情况的格雷范畴，并适应于机械化计算。我们表明，一个有限的重写系统在precategories承认有限数量的关键对，这可以有效地计算。我们还扩展了斯奎尔定理，我们的上下文中，表明收敛重写系统是连贯的，这意味着任何两个平行的3-细胞必然是平等的。这使我们能够证明相干结果的背景下，几个著名的结构的灰色类别：monoids，propections，Frobenius monoids。
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灰色范畴的Quillen模型结构
A Quillen model structure for Gray-categories
本文描述了Gray-categories的Gray-Cat范畴上的一个Quillen模型结构，其中弱等价是三等价.证明了它仅限于Gray-groupoid的满子范畴Gray-Gpd.这是用来提供一个函子和模型理论证明的未发表的定理Joyal和Tierney灰色群胚模型同伦3型。证明了Gray-Cat上的模型结构是Quillen等价的，是三范畴的Tricat范畴上的模型结构和三范畴的严格同态上的模型结构.
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一种模型无关的 $(\infty,2)$-范畴 Gray 张量积
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本文构造了 $(\infty,2)$-范畴的模型无关 Gray 张量积，并证明其由与经典严格 2-范畴 Gray 张量积在 Gray 立方体上一致的唯一幺半双闭结构所刻画。
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弱复集，一个单纯弱Ω-范畴论。部分II：复合神经灰色分类
Weak complicial sets, a simplicial weak omega-category theory. Part II: nerves of complicial Gray-categories
本文通过研究在弱复集上丰富的范畴，继续发展弱ω-范畴的单纯理论。这些复灰范畴推广了同伦理论的Kan复丰富范畴和弱3-范畴论的灰范畴。我们推导出一个单纯神经结构，这是密切相关的Cordier和波特的同伦相干神经，并表明，这忠实地表示复杂的灰色范畴弱复杂集。弱复集范畴本身可以规范地扩充为复格雷范畴，其母集是同态、强变换和修改的双范畴的高级推广。通过将我们的神经结构应用到这个结构中，我们证明了所有（小）弱复杂集及其在高维的结构态射的总和形成了一个结构丰富的（大）弱复杂集。
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($\infty,n)$-范畴的Gray张量积
The Gray tensor product of $(\infty,n)$-categories
本文基于粘贴定理构造了$(\infty,n)$-范畴的新模型，并借助Day卷积与反射实现了其Gray张量积，进而用不依赖模型的泛性质加以刻画。
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ω-范畴的逗号构造的 lax 函数性
Lax functorialities of the comma construction for $ω$-categories
Aix Marseille Univ, CNRS, I2M（艾克斯-马赛大学，法国国家科学研究中心，I2M）；Utrecht University（乌得勒支大学）
本文研究了严格 ω-范畴的逗号构造的函数性，证明其定义了 Gray ω-函子，并提出了 Gray ω-函子的 Grothendieck 构造概念。
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$(\infty,2)$ -范畴的Gray张量积和Lax函子
Gray tensor products and lax functors of $(\infty,2)$-categories
本文在尺度单纯集的背景下给出了Gray张量积的定义，它是结合的，并且关于Lurie的双范畴模型范畴形成一个左Quillen双函子.然后，我们在此设置中引入oplax函子的概念，并使用它，以便通过一个泛性质来表征格雷张量积。Gaitsgory和Rozenblyum在他们对Gray乘积的定义中使用了类似的特征，从而为比较两种设置提供了一个有希望的线索。
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双范畴的Gray么半群积
The Gray monoidal product of double categories
双范畴和双函子范畴具有对称的闭么半群结构。对于任何双范畴$\mathbb A$，相应的内部hom函子$|[ \mathbb A,-]|$发送一个双范畴$\mathbb B$给其0-cell是双函子$\mathbb A \to \mathbb B$，其水平和垂直1-cell分别是水平和垂直伪变换，其2-cell是修改的双范畴。一些著名的函子的实际意义进行了检查，以兼容这个monoidal结构。
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通过松驰网格的 $(\infty, n)$-范畴的 Gray 积
The Gray Product of $(\infty, n)$-Categories via Lax Grids
University of Regensburg（雷根斯堡大学）；Hebrew University of Jerusalem（耶路撒冷希伯来大学）
本文引入基于松驰网格的 Segal 层作为 $(\infty,n)$-范畴的新模型，通过 Day 卷积直接构造 Gray 张量积，并证明其与 Campion 构造一致，未来将用于赋予配边高范畴以流形笛卡尔积给出的 Gray 代数结构。
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Gray-Cat 上的半严格生成闭结构
A semi-strictly generated closed structure on Gray-Cat
本文证明 Gray-范畴的半严格生成内部 hom 构成 Gray-Cat 上的闭结构，利用满足严格单位与复合条件的三自然变换克服中间四交换律失效问题，并得到辫子幺半双范畴严格化的加强推论。
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斜幺半范畴与斜多范畴
Skew monoidal categories and skew multicategories
我们描述了一个完美的对应关系之间的斜幺半范畴范畴和某些广义multicategories，称为斜multicategories，出现在自然界中。
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异步模板对策与2-范畴的灰色张量积
Asynchronous Template Games and the Gray Tensor Product of 2-Categories
在他最近关于模板游戏和线性逻辑的探索性工作中，梅利斯将顺序和并发游戏定义为以位置为对象，以轨迹为态射的类别，并通过特定的同步模板进行标记。在本文中，我们把这个想法的一个维度更高，并主张模板游戏不应该被定义为1维类别，但作为2-细胞的位置，轨迹和改组（或重新安排）的2维类别。为了达到这一目的，我们认真考虑了并发的Gray与2-范畴的Gray张量积之间的平行性。一个技术上的困难是，范畴S=2-Cat的小2-范畴配备的灰色张量积是monoidal，而不是carnoid。这促使我们扩展了最初由梅利斯在有限极限范畴S中制定的模板博弈框架，并以阿吉亚尔在量子群上的工作的风格将其升级到更一般的情况，即具有自反均衡器的monoidal范畴S，由张量积分量保持。我们用这种方式构造了一个异步模板游戏的乘法加法线性逻辑（MALL）的语义，其中每个公式和每个证明被解释为一个标记的2-范畴配备，分别与异步模板游戏的灰色互补结构，和异步策略的灰色双互补结构。
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2-拟范畴的Gray张量积
The Gray tensor product for 2-quasi-categories
我们构造一个$(\infty,2)$版本的（宽松）灰色张量积的产品。在1-范畴水平上，这是一个二元（或更一般的$n$ -ary）函子在范畴的$Θ_2$ -集，它被证明是左奎伦相对于阿拉的模型结构。此外，我们证明，这张量积形式的一部分，“同伦”（bicclosed）monoidal结构，或更准确地说，一个正常的松散monoidal结构，是联合同伦。
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带对偶的 Gray 范畴及其图示
Gray categories with duals and their diagrams
本文通过三维图示演算研究带对偶的 Gray 范畴的几何与代数性质，定义了空间条件并证明特定图示求值在同胚下不变，为拓扑量子场论提供了潜在应用。
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辫幺半范畴范畴的字问题是Unknot-Hard的
The Word Problem for Braided Monoidal Categories is Unknot-Hard
我们证明了辫状幺半范畴范畴的字问题至少和解结问题一样难。作为一个推论，格雷范畴的字问题也是如此。我们猜想Gray范畴的字问题是可判定的。
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图解 $(\infty, n)$-范畴的 Gray 积
Gray products of diagrammatic $(\infty, n)$-categories
本文证明了图解集的模型结构相对于Gray积是幺半的，并展示了游走等价张量积构成函子柱及对偶函子为Quillen自等价。
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关于斜幺半范畴单位的注记
Remarks on Units of Skew Monoidal Categories
本文证明了一个斜幺半范畴范畴的单位在一个唯一同构下是唯一的，并将这一事实内化到斜半群范畴中。在证明斜幺半范畴的公理是独立的之前，还讨论了单位映射上的某些额外结构的一些好处。
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自由斜幺半范畴
Free skew monoidal categories
本文显式刻画单个生成对象上的自由幺半范畴 Fsk，并推广到任意范畴上的自由斜幺半范畴，进而建立相关 operad 间的伴随及与 colax L-代数的对应。
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形式复合词的三范畴及其严格化
The tricategory of formal composites and its strictification
这篇论文的结果允许一个替代的计算在三范畴与等价的计算在灰色范畴（又名半严格三范畴）。特别地，例如在线证明助手globular（arXiv：1612.01093）所使用的格雷范畴的重写演算，或者等价地，在完全弱三范畴的情况下也可以使用arXiv：1211.0529的格雷图。
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偏富集范畴
Skew-enriched categories
本文引入了一个可扩充范畴的斜变体，它适用于斜幺半范畴范畴上的扩充，其主要创新之处在于可扩充的hom-objects的元素不需要与基础范畴的态射成双射.这是自然的设置，其中介绍的概念，局部弱comonad，这是根本的理论丰富的代数弱factorisation系统。对Monoidal闭范畴$\mathcal{V}$，张量化$\mathcal{V}$ -范畴与hommed $\mathcal{V}$ -活动范畴之间的等价性被推广到斜集，并通过将斜$\mathcal{V}$ -范畴与斜$\mathcal{V}$ -活动范畴等价于特殊类型的斜$\mathcal{V}$ -活动范畴而容易地得到证明.
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斜对偶Eckmann-Hilton论证与量子范畴
A skew-duoidal Eckmann-Hilton argument and quantum categories
证明了一个关于斜幺半群结构和单子的一般性结果。这适用于量子范畴和双代数胚。普通范畴是双范畴中的单子，其态射是集合之间的跨度。量子范畴最初被定义为一个特殊的么半群双范畴M中自同态对象上的么半群余幺半群。然后，它们也被证明是M中物体上的斜幺半群结构（具有适当的单位）。现在我们看到在哪种M量子范畴中仅仅是单子。
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辫斜幺半范畴
Braided skew monoidal categories
我们在斜幺半范畴范畴上引入了辫子的概念，其奇特的特征是定义的同构涉及三个对象而不是两个。这些辫子被证明是从双代数上的cobraidings（也称为coquasitriangular结构）中产生的，并对其进行分类。使用multicategorical的方法，我们还描述了编织的例子，斜幺半范畴范畴产生的2-范畴论。
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运算范畴及其集合的斜幺半范畴
Operadic categories and their skew monoidal categories of collections
我描述了由于Batanin和Markl的操作范畴的概念的推广。对于每一个这样的运算范畴，我描述一个集合的斜幺半范畴范畴，使得在这个斜幺半范畴范畴中的幺半群恰好是运算范畴上的运算数。事实上，我用这个性质描述了两个斜幺半范畴范畴。第一个特征是运算范畴可以从集合的斜幺半范畴中恢复;第二个特征是右单位约束可逆。在有限集和函数的运算范畴S中，运算数是通常意义上的对称运算数，第一个斜幺半范畴有基础范畴[N，Set]，第二个斜叶半范畴是集合[P，Set]的通常幺半范畴，它具有置换么半群结构.
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部分正规斜Monoidal范畴的证明理论
Proof Theory of Partially Normal Skew Monoidal Categories
Szlachányi的斜幺半群范畴是幺半群范畴的一个弱化，其中左、右酉性和结合性的三个结构律不需要是同构，而仅仅是在特定方向上的变换。在以前的工作中，我们证明了一组生成对象上的自由斜monoidal范畴可以具体地表示为一个代数演算。这种演算享有削减消除和承认聚焦，即一个子系统的规范导子，解决了凝聚问题的斜monoidal范畴。在本文中，我们发展了部分正规的斜monoidal范畴，这是斜monoidal范畴的一个或多个结构律可逆。每个正规性条件导致额外的推理规则和方程。我们证明削减消除，我们表明，结石承认聚焦。其结果是一族介于斜monoidal范畴和（完全正规的）monoidal范畴之间的双演算。在可导性的层面上，这些定义了直觉主义非交换线性逻辑的（单位，张量）片段的8个弱化。
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严格$ω$ -范畴上的民间模型范畴结构是monoidal的
The folk model category structure on strict $ω$-categories is monoidal
本文证明了Lafont，Métayer和Worytkiewicz提出的严格$ω$ -范畴范畴上的民间模型范畴结构是monoidal的，首先证明了它对Gray张量积是monoidal的，其次证明了它对第一作者和Maltsiniotis提出的$ω$ -范畴的并是monoidal的.此外，我们表明，格雷张量积诱导，通过附加，严格的$(m,n)$ -范畴的张量积，这张量积也是兼容的民间模型的范畴结构。特别地，我们得到了严格$ω$ -群胚范畴上的一个么半群模型范畴结构。我们证明了这种么半群模型范畴结构满足么半群公理，从而第二作者所研究的Gray么半群范畴具有自然的模型范畴结构。
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丰富图范畴上作为单子的多张量
Multitensors as monads on categories of enriched graphs
在本文中，我们统一到一个单一的框架中，在一个类别V的多张量之间的相互作用，并在V丰富的图类单子之前的发展，被视为基本的。这里提出的材料是概念背景的后续工作中的灰色张量积的2-范畴和Crans张量积的灰色范畴被展示为存在于我们的框架内，并在一个明确的建设有趣的张量积的类别被推广到一个大类的Batanin操作。
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斜-幺半范畴与双代数胚
Skew-monoidal categories and bialgebroids
当结合子和幺半范畴范畴的左单位和右单位以某种特定方式不可逆时，斜幺半范畴就产生了。我们证明了右R模范畴上的闭斜monoidal结构正是环R上的右双代数胚。这些斜monoidal结构在R-R-双模范畴上诱导出商斜monoidal结构，并由此得到如下推广：幺半范畴上的Opmonoidal单子对应于具有相同单位对象的斜monoidal结构，它们通过自然的分配律与普通monoidal结构相容。在研究Day和Street定理的基础上，我们还讨论了monoidal lax余单子来描述平面情形之外的双代数胚的余单子范畴。
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斜幺半群，斜翘曲与量子范畴
Skew monoidales, skew warpings and quantum categories
Kornel Szlachányi最近使用了术语斜幺半范畴来表示幺半范畴的一个特定的松弛版本。他表明，bialgebroids $H$与基环$R$可以特点是在斜monoidal结构的范畴内的单边$R$ -模块的宽松单位是$R$本身。我们在任何幺半群双范畴$\mathscr M$中定义了斜幺半群（或斜伪幺半群）。当$\mathscr M$是$\mathrm{Cat}$时，这些是斜幺半范畴.我们的主要结果是在monoidal bicategories的水平。然而，一个结果是，在适当完备的辫幺半范畴$\mathscr V$中以$C$为基数的Day-Street意义下的量子范畴在单位来自$C$的$\mathrm{Comod} (\mathscr V)$中恰好是斜幺半群。量子群胚是具有可逆结合约束的斜么半群。事实上，我们提供了一些非常普遍的结果连接opmonoidal单子和斜monoidale。我们使用Booker-Street最近定义的扭曲概念的宽松版本来修改monoidal结构。
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斜本原闭范畴的演绎系统与凝聚
Deductive Systems and Coherence for Skew Prounital Closed Categories
本文发展了斜原单位闭范畴的证明理论。这些都是街道的斜闭范畴的变体，其中单位不表示。反过来，斜闭范畴是艾伦伯格和凯利闭范畴的弱化，其中不需要结构律是可逆的。在这些类别中，不需要存在单体结构。我们构建了几个等价的表示的自由斜prounital闭范畴上一组给定的生成对象：一个范畴演算（希尔伯特式系统），一个切自由的代数演算和自然演绎系统对应的一个变体的平面（=非交换线性）类型的代数演算。我们解决了倾斜prounital封闭范畴的连贯性问题，通过显示，微积分承认聚焦和自然演绎演算提出两个约简自由规范化程序：通过评估和遗传替代规范化。正常的自然演绎推导（beta-eta-long形式）与集中式微积分中的推导一一对应。出乎意料的是，集合上的自由斜原单位闭范畴满足左正规性条件，这使得它失去了斜方面。通过考虑倾斜多类别上的自由倾斜原始封闭类别，可以避免这个陷阱。后者有一个演示文稿作为一个切自由的微积分，很容易看出，左正规性条件通常失败。整个开发已经完全形式化的依赖类型的程序设计语言Agda。
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斜左括号与三因子化群的范畴
Categories of skew left braces and trifactorised groups
本文旨在深化斜左括号与三因子化群之间的联系，该联系编码了斜左括号的结构、商及同态信息。
math.CTmath.GRmath.QA
从3-交叉模到Gray型4-范畴
An Equivalence of Categories between 3-Crossed Modules and Gray 4-Groups
Tohoku University（东北大学）
本文通过引入一个4-范畴并证明其单对象版本（Gray 4-群）与3-交叉模范畴等价，精确建立了3-交叉模与高维范畴之间的联系，有望用于刻画曲面纽结和高维流形的拓扑性质。
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斜闭范畴
Skew-closed categories
在科尔内尔·斯拉切尼发现的松散幺半范畴的新例子的激励下，作者觉得是时候发表一份对艾伦伯格-凯利关于封闭范畴的原始论文的修改稿了，这篇论文适合于松散的上下文。新的例子与bialgebroids。与Stephen Lack一起，我们也用这个概念给出了量子范畴和量子广群的另一种定义。Szlachányi称lax概念为{ \em skew monoidal}。本文定义了{ \em斜闭范畴}，证明了在斜闭范畴上扩充的Yoneda引理，并研究了闭余补.
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关于$3$-规范变换、$3$-曲率和$\mathbf{Gray}$-范畴
On $3$-gauge transformations, $3$-curvature and $\mathbf{Gray}$-categories
在$3$-规范理论中，$3$-联络由一个$1$-形式的$A$（取值于李代数$ \mathfrak g$），一个$2$-形式的$B$（取值于李代数$\mathfrak h $）和一个$3$-形式的$C$（取值于李代数$ \mathfrak l $）给出，其中$(\mathfrak g,\mathfrak h, \mathfrak l)$构成一个微分$ 2$-交叉模.给出了从一个$3$-联络到另一个$3$-联络的$3$-规范变换，并给出了$1$-曲率$2$-形式、$2$-曲率$3$-形式和$3$-曲率$4$-形式的变换公式.规范组态可以解释为两个$\mathbf{Gray}$ $3$-广群之间的光滑$\mathbf{Gray}$-函子：路径$3$-广群$\mathcal{P}_3(X)$和$3$-规范群$ \mathcal{G}^{\mathscr L}$与$ 2$-交叉模块$\mathscr L$相关联，其微分为$(\mathfrak g,\mathfrak h, \mathfrak l)$. $\mathbf{Gray}$-函子的导数是$3$-联络，两个这样的$\mathbf{Gray}$-函子之间的松弛自然变换的导数是$3$-规范变换。我们给$3$维holonomy，格版本的$3$-曲率，其衍生物给出的$3$-曲率$4$-形式。$3$-曲率的协方差可以很容易地从这个构造中得出。这…
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立方体在$(\infty,\infty)$ -类别中是密集的
Cubes are dense in $(\infty,\infty)$-categories
我们表明，严格的1-范畴$\square$的立方体-定义为严格$ω$-类别的满子范畴，其对象是灰色张量的箭头类别的权力-是密集的$(\infty,1)$ -范畴$\mathsf{Cat}_ω$的弱$(\infty,\infty)$ -类别，在Rezk完全和不完全的变体。更准确地说，我们表明，Joyal的范畴$Θ$包含在幂等完成$\square$，事实上，幂等完成$\square$下的悬浮液和楔形和关闭。这一结果推广了Campbell和Maehara在二维空间的一个定理。根据Campbell和Maehara的方案，我们将在以后的工作中应用这个结果给出弱$(\infty,n)$ -范畴的Gray张量积的一个新的构造.
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斜幺半范畴与Catalan单纯集
Skew-monoidal categories and the Catalan simplicial set
斜幺半范畴范畴的基本数据与幺半范畴范畴的基本数据相同，只是不再要求约束态射可逆。约束被赋予特定的方向，并满足Mac Lane的五个公理。虽然最近的应用证明使用斜monoidal结构，他们没有给出一个内在的理由的形式的结构（方向的约束和公理，他们满足）。本文提供了一个角度对斜monoidal结构，其中，除其他事项外，使它很明显，为什么这个特定的选择是一个自然的。为此，我们使用Catalan单纯集C。它很容易描述：它是monoidal偏序集（2，v，0）的神经，并且在每个维度上都有一个卡塔兰数的单形（因此得名）。我们的观点是，C分类斜monoidal结构的意义上说，单纯映射从C到一个适当定义的神经猫正是斜幺半范畴范畴。更一般地，在monoidal双范畴K中的斜monoidal通过从C到K的单纯神经的映射来分类。
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作为丰富范畴的高阶运算代数II
Algebras of higher operads as enriched categories II
系统地构造Gray张量积的高维类似物是高阶范畴理论中的一个开放问题。在本文中，我们继续[7]的工作，使球状运算[4]的机制适应这项任务。所得到的理论包括2-范畴的Gray张量积和Gray范畴的Crans张量积[12]。此外，许多以前的工作的球形方法高阶范畴理论简化了我们的新的基础，我们说明了这一点，通过加快帐户的许多方面的郑的分析[11] Trimble的定义的弱n-范畴。作为应用，我们得到了辫子monoidal 2-范畴的一个“Ekmann-Hilton”结果，并给出了A-无穷代数的一个张量积的构造.
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斜Monoidal范畴的序列演算
The Sequent Calculus of Skew Monoidal Categories
Szlachányi的斜幺半群范畴是幺半群范畴的一个很好的变体，其中单位子和结合子不需要是自然同构，而仅仅是在特定方向上的自然变换。我们提出了一个斜monoidal范畴的微积分，最近制定的一个作者的Tamari阶（斜半群范畴）的微积分的基础上。在这个演算中，先行词由一个stoup（可选公式）和一个上下文组成，连接词的行为与标准的Monoidal微积分相似，除了左规则只能应用于stoup位置。我们证明，这种演算是健全的和完整的存在的自由斜monoidal范畴的地图，而且，它捕捉平等的地图，一旦一个合适的等价关系是强加于导子。然后，我们确定了一个子系统的重点推导，并建立它只包含一个典型的代表，从每个等价类。这个凝聚定理直接导致简单的程序，以确定平等的地图在自由斜monoidal范畴和枚举任何homset没有重复。最后，在Lambek的工作的精神，我们描述了这种证明理论分析和伯克和缺乏最近的特点偏monoidal类别左表示斜multicategories之间的密切联系。我们已经正式的依赖类型的程序设计语言Agda的发展。
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斜Calabi-Yau三角范畴与Frobenius Ext-代数
Skew Calabi-Yau triangulated categories and Frobenius Ext-algebras
我们调查的条件是足以使外代数的对象在一个（三角形）的范畴到Frobenius代数和计算相应的Nakayama自同构。作为应用，我们证明了对任意Noether Artin Schelter正则（因此是斜Calabi-Yau）代数A，hdet（$μ_A$）= 1的猜想.
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基于因式分解的Gray张量积
The Gray tensor product via factorisation
本文讨论了2-范畴的Gray张量积的民俗构造，它是通过对从有趣的张量积到笛卡儿积的映射进行因式分解而得到的.我们表明，这种因式分解可以得到不使用具体介绍的灰色张量积，但仅仅是其定义的泛性质，并用它来给另一个证明，灰色张量积的形式的一部分对称monoidal结构。主要的技术工具是一种通过因式分解系统从旧的Lawvere 2理论中产生新的代数结构的方法。
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多重张量的提升定理
The Lifting Theorem for Multitensors
我们继续发展单子和多重张量的理论。本文的中心结果-多重张量的提升定理-使我们能够看到的灰色张量积的2-范畴和Crans张量积的灰色范畴的一部分，我们新兴的框架。此外，我们解释了我们的提升定理给出了一个替代的描述日卷积在未丰富的上下文中。
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作为斜充实范畴的笛卡尔微分范畴
Cartesian differential categories as skew enriched categories
本文将笛卡尔微分范畴刻画为基于斜幺半范畴的充实范畴，并证明每个小笛卡尔微分范畴可完全保持结构地嵌入由微分模态诱导的范畴，从而解决了该领域的一个公开问题。
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斜Monoidal范畴的凝聚性
Coherence for Skew-Monoidal Categories
我激发了一个变化（由于K。Szlachányi）的monoidal范畴称为skew-monoidal范畴，其中单位律和结合律不需要是同构，只需要自然变换。相干性必须以不同于众所周知的monoidal情况的方式来表述。在我的（据我所知的新）版本中，它成为规范化重写的独特性的声明。我提出了这个一致性定理的证明，并正式完全依赖类型的程序设计语言Agda。
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斜幺半群
Skew monoidal monoids
斜幺半范畴是具有不可逆“相干”态射的幺半范畴。如前所述，环R上的双代数胚可以刻画为范畴Mod R上的闭斜幺半群结构，其中单位对象是R。这为研究双代数胚和Hopf代数胚提供了一种新的途径。关于一般范畴上的斜monoidal结构知之甚少。在本文中，我们研究单对象的情况下：斜monoidal monoid（SMM）。我们发现，他们拥有一个双代数胚描述的（co）模范畴的SMM对称对。这些双代数胚是它们自己基的子幺半群，并且在源侧的基上秩为1。给出了SMM的各种等价定义，研究了它们的（余）模范畴的结构，讨论了SMM上可能的闭结构和Hopf结构。
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三角剖分、东方和斜幺半范畴范畴
Triangulations, orientals, and skew monoidal categories
得到了单生成对象上自由斜幺半范畴范畴Fsk的一个具体模型。从通用汽车的角度来看，这种情况是俱乐部式的。Kelly，所以这允许描述任意范畴上的自由斜幺半范畴范畴。由于Fsk的对象是倾斜单位I和生成对象X中有意义的括号词，因此有必要检查括号并找到它们之间的适当类型的态射。这使我们之间的关系三角形的多边形，塔马利格，左，右括号功能，和东方。我们描述Fsk的一个结果是一个相干定理，该定理断言存在一个从Fsk到有限非空序数和第一元素和保序函数的斜幺半范畴的严格结构保持忠实函子。这反过来又为斜幺半范畴的字问题提供了一个完整的解决方案。
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一个$(\infty,n)$-范畴的立方模型
A cubical model for $(\infty, n)$-categories
本文提出了一种新的$(\infty,n)$-范畴模型，基于标记立方集，并展示了其在Gray张量积下的单向性和三角化 functor 的左Quillen性质。
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$\infty$ -范畴复模型的对偶性
Dualities in the complicial model of $\infty$-categories
本文研究Gray张量积与悬置的关系。我们得到了一个特征的弱等价作为完全忠实的，本质上满射函子。我们构造了$co$对偶，一个弱对合，反转方向的偶数维细胞。最后，我们研究了复杂集的Grothendieck纤维化。
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关于斜幺半群范畴上模的张量积
On the tensor product of modules over skew monoidal actegories
本文研究了斜monoidal张量V-范畴（=斜monoidal hommed V-范畴）及其模范畴。<M，*，R>上的模是M上的单子T = R * _的代数。本文详细研究了M^T的斜幺半群结构，构造了一个从M^T到M中E-对象范畴的斜幺半群遗忘函子，其中E=M（R，R）是单位对象R的自同态幺半群。然后给出了遗忘函子是强monoidal和模范畴M^T是monoidal的条件。在制定这些条件的一个概念的“自我余完备”子范畴的预层似乎是有用的，这也提供了一些洞察问题的monoidality的斜monoidal结构发现Altenkirch，查普曼和Uustalu函子范畴[C，M]。
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2-范畴论与同伦论中的斜结构
Skew structures in 2-category theory and homotopy theory
我们研究Quillen模型范畴配备了一个monoidal斜闭结构，下降到一个真正的monoidal闭结构的同伦范畴。我们的例子是2-范畴的，包括置换范畴和双范畴。使用斜框架，我们适应艾伦伯格和凯利的定理有关monoidal和封闭的结构同伦设置。这是适用于建设monoidal双范畴所产生的伪交换2单子的Hyland和权力。
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高阶运算代数的自由积
Free Products of Higher Operad Algebras
2-范畴的Gray张量积的高维类似的系统构造是高阶范畴理论中的一个开放问题。本文通过理解Gray的小兄弟--范畴的有趣的张量积的自然推广，继续了[3]和[2]的发展。事实上，我们证明了在Batanin [1]的意义下，对于任何可由n-操作数定义的更高范畴结构，一个类似的张量积在操作数代数范畴上形成一个对称的monoidal闭结构。
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关于单子和翘曲
On monads and warpings
我们解释的意义上，其中一个翘曲的monoidal范畴是相同的pseudomonad对相应的一个对象bicategory，我们描述了扩展这一设置斜幺半范畴范畴：这些是一个推广的幺半范畴范畴中的结合性和单位映射不需要是可逆的。我们的分析导致我们描述一个规范化过程的斜幺半范畴范畴，它产生一个普遍的斜幺半范畴的右单位映射是可逆的。
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