Class preserving automorphisms of finite $p$-groups: A survey
Manoj K. Yadav
在这篇简短的综述文章中，我们试图列出有限$p$ -群的类保持自同构的最大已知结果。我们总结了一些有趣的调查（至少对作者来说）关于这个主题的开放问题。
In this short survey article, we try to list maximum number of known results on class preserving automorphisms of finite $p$-groups. We conclude the survey with some interesting (at least for the author) open problems on this topic.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On class preserving automorphisms of groups of order 32
研究了32阶群的类保持自同构，证明了只有两个群有非内类保持自同构。
Class-preserving automorphisms of universal hyperlinear groups
我们证明了泛超线性群的保类自同构群在所有自同构群内的指数为2。
All automorphisms of the universal sofic group are class-preserving
本文证明了泛sofic群的每一个自同构都是类保持的，即保持共轭类
Class Preserving Automorphisms of Finite p-groups
我们对所有有限$p$ -群$G$进行分类，|$Aut_{c}(G)$|达到其最大值，其中$Aut_{c}(G)$表示$G$的所有类保持自同构的群。
On finite $p$-groups whose central automorphisms are all class preserving
本文得到了关于中心自同构都是类保持的有限$p$ -群的若干结果。特别地，我们证明了：如果$G$是一个有限的$p$ -群，其中心自同构都是类保持的，则$d(G)$是偶数，其中$d(G)$表示$G$的任意极小生成集中的元素个数.作为这些结果的应用，我们得到了自同构都是类保持的有限$p$ -群的一些结果。特别地，我们证明了：如果$G$是一个自同构都是类保持的有限$p$ -群，则$G$的阶至少为$p^8$，且$G$的自同构群的阶至少为$p^12$ .
Class-Preserving Automorphisms of a Family of Finite p-Groups
我从arXiv撤回我的论文，因为在定理1.1的证明中有一个技术错误。由于这个误差，本文的所有结果都是不真实的。对此我非常抱歉。
Class preserving automorphisms of unitriangular groups
设$\textrm{UT}_n (K)$是域$K$和$Γ_{n,k} := \textrm{UT}_n (K)/ γ_k(\textrm{UT}_n (K))$上的单三角群，其中$γ_k (\mathrm{UT}_n(K))$表示$\mathrm{UT}_n (K)$，$2 \le k \le n$的下中心列的第$k$项.证明了$Γ_{n,k}$的保类自同构群等于$\Inn(Γ_{n,k})$当且仅当$K$是素域.令$G_n^{(m)} := \mathrm{UT}_n (\mathbb{F}_{p^m}) / γ_3 (\mathrm{UT}_n(\mathbb{F}_{p^m}))$。计算了$G_n^{(m)}$的所有保类自同构和保类外自同构的群。
On groups with a class-preserving outer automorphism
在1911年，伯恩赛德问是否存在团体，有一个外部自同构保持共轭类。两年后，他回答了自己的问题，构建了一个家庭的这种群体。利用MAGMA中的小群库，我们确定了所有阶数n < 512的具有这样一个自同构的群。我们的研究导致发现了四个新的无限族这样的群体，所有这些都是2群的coclass 4。
Class-preserving automorphisms of some finite $p$-groups
设$G$是$p^5$阶的有限$p$ -群，其中$p$是素数.给出了$G$有非内类保持自同构的充要条件。作为结果，我们给出了简短的和替代的证明结果的第5节Yadav [Proc. Indian Acad. Sci.（Math.Sci.）118（2008），1-11]和Kalra和Gumber的Theorem 4.2 [Indian J. Pure Appl.Math.44（2013），711-725]。
Property $R_\infty$ for Artin and Coxeter groups whose outer automorphisms are length-preserving
该研究证明非球面Artin与Coxeter群的保长自同构具无限Reidemeister数，进而确立多类Artin、Coxeter群的$R_\infty$性质，还证明无限不可约非仿射强刚性Coxeter群的自同构群具acylindrically双曲性。
On $n^{th}$ class preserving automorphisms of $n$-isoclinism family
设$G$是有限群，$M,N$是$G$的两个正规子群.令$Aut_N^M(G)$表示$G$的所有自同构的群，这些自同构按元素方式固定$N$并平凡地作用于$G/M$。令$n$为正整数。本文证明了：如果$G$和$H$是两个$n$ -等倾群，则存在从$Aut_{Z_n(G)}^{γ_{n+1}(G)}(G)$到$Aut_{Z_n(H)}^{γ_{n+1}(H)}(H)$的同构，它将$G$的保$n^{th}$类自同构群映射到$H$的保$n^{th}$类自同构群.对至多为$γ_{n+1}(G)$类的幂零群，在适当的条件下，证明了$Aut_{Z_n(G)}^{γ_{n+1}(G)}(G)$同构于$G$的商群的内自同构群.
A survey on the Non-inner Automorphism Conjecture
在这篇综述性文章中，我们试图对长期存在的非内自同构猜想的已知结果进行总结，即每个有限非交换$p$ -群都有一个阶为$p$的非内自同构.
On equality of central and class preserving automorphisms of finite p-groups
设$G$是有限非交换$p$ -群，其中$p$是素数.令$\mathrm{Aut}_c(G)$和$\mathrm{Aut}_z(G)$分别表示$G$的所有保类自同构和中心自同构的群。给出了$G$使得$\mathrm{Aut}_c(G)=\mathrm{Aut}_z(G)$的一个必要条件，并给出了具有初等交换或循环中心的$G$使得$\mathrm{Aut}_c(G)=\mathrm{Aut}_z(G).$的充要条件.刻画了所有$\leq p^7$阶的有限$p$ -群$G$使得$\mathrm{Aut}_c(G)=\mathrm{Aut}_z(G)$，并完成了所有$\le p^5$阶的有限$p$ -群的分类.
Finite Groups with Abelian Automorphism Groups: A Survey
本文综述了具有交换自同构群的非交换有限群理论的发展，并提出了一些问题和进一步的研究方向。
Bijections preserving commutators and automorphisms of unitriangular group
本文给出了域$F$上单三角矩阵群$UT(n,F)$中保双射算子（PC-映射）的刻画，其中$n$是自然数或无穷大.最近M.Chen，D.Wang，and H.Zhai（2011）对有限$n$和R.Slowik（2013）对$n=\infty$描述了几乎等同的PC-映射。几乎恒等映射是保持初等横截的映射。证明了几乎恒等PC-映射是一个中心元的乘法。特别地，如果$n=\infty$，则几乎恒等映射是恒等的。与R.Slowik的结果一起，这表明$UT(\infty, F)$的任何PC-映射都是自同构。
On conjugacy separability of some Coxeter groups and parabolic-preserving automorphisms
证明了即使Coxeter图不含（4，4，2）三角形的Coxeter群也是共轭可分的.特别地，这适用于所有直角Coxeter群或字双曲甚至Coxeter群。对于任意Coxeter群W，我们还研究了产生相同抛物子群集合的Coxeter生成集之间的关系。作为应用，我们证明了如果W的自同构保持每个足够短的元素的共轭类，那么它是内部的。然后，我们得出的后果外自同构群的Coxeter群。
Automorphism groups of relatively free groups of infinite rank: a survey
本文是在无限秩相对自由群的自同构的框架内对一些问题的综述。我们讨论了它的驯服性、伸缩性、小指数、Bergman性等性质。
A Survey on Automorphism Groups of Finite $p$-Groups
有限p-群的自同构群的研究主要集中在三个方面：对常见的有限p-群，如Chevalley群的特殊p-群和Sylow p-子群的显式计算;构造具有特定自同构群的p-群;发现其自同构群本身是或不是p-群的有限p-群。该材料以不同的详细程度呈现，其中一些示例给出了完整的细节。
Class-preserving Coleman Automorphisms of Finite Groups with Semidihedral Sylow 2-Subgroups
本文研究了具有半二面体Sylow 2-子群的有限群的类保持Coleman自同构群，证明其具有奇数阶，并扩展了相关文献中的结论。
On Automorphisms of Some Finite $p$-groups
给出了幂零类为2的有限$p$ -群$G$使得$\Aut_c(G) = \Inn(G)$的一个充分条件，其中$\Aut_c(G)$和$\Inn(G)$分别表示$G$的所有保类自同构和保内自同构的群.其次证明了如果$G$和$H$是两个等倾有限群（在P. Hall意义下），则$\Aut_c(G) \cong \Aut_c(H)$ .最后研究了$p^5$阶群的保类自同构，证明了除两个等倾群族外，所有$p^5$阶群的保类自同构都是$\Aut_c(G) = \Inn(G)$.
Automorphisms of $κ$-existentially closed groups
研究了一类$κ$ -存在闭群的自同构.特别地，当$κ$不可达且$G$是唯一的$κ$ -基数为$κ$的存在闭群时，我们证明了$Aut(G)$是保水平自同构子群和$|Aut(G)|=2^κ$的并集.事实上，后一个结果是一个论点的副产品，表明对于任何不可数的$κ$和任何群$G$，这是长度$κ$的正则表示的极限，具有可数的基础，我们有$|Aut(G)|=\beth_{κ+1}$，其中$\beth$是beth函数。如果$κ$是正则的，则这样的群也是$κ$ -存在闭的。这两个结果都是通过对这类群的保水平自同构的分析和分类得到的。
Structure of the group preserving a bilinear form
研究了保任意双线性型的线性自同构群
Ordered bases, order-preserving automorphisms and bi-orderable link groups
本文提出了一种准则，证明自由群在特定自同构下可双可排序，并应用该结果证明魔法流形的基本群可双可排序。
A finite presentation for the automorphism group of the first homology of a non-orientable surface over $\mathbb Z_2$ preserving the mod $2$ intersection form
设$\operatorname{Aut}(H_1(N_g;\mathbb Z_2),\cdot )$是闭非可定向曲面$N_g$的第一个具有$\mathbb Z_2$系数的同调群上的自同构群，保持模$2$交形式。本文给出了$\operatorname{Aut}(H_1(N_g;\mathbb Z_2),\cdot )$的有限表示。作为应用，我们计算了$\operatorname{Aut}(H_1(N_g;\mathbb Z_2),\cdot )$的第一同调群和第二同调群.
The degrees of the orientation-preserving automorphism groups of toroidal maps and hypermaps
本文研究高度对称的环面地图与超地图的保向自同构群的忠实传递置换表示，给出所有可能的度数列表，并利用GAP包corefreesub构造Schreier陪集图。
Class-preserving automorphisms of finite $p$-groups II
设$G$是由$d(G)$元极小生成的有限群，$\Aut_c(G)$表示$G$的所有保类（共轭）自同构的群.继续我们的工作[Class preserving automorphisms of finite $p$ -groups，J. London Math. Soc. \textbf{75(3)}（2007），755-772]，我们研究了有限$p$ -groups $G$使得$|\Aut_c(G)| = |γ_2(G)|^{d(G)}$，其中$γ_2(G)$表示$G$的换位子群.若$G$是$2$类的$p$ -群，则证明了$d(G)$是偶群，$2d(γ_2(G)) \le d(G)$和$G/\Z(G)$是同素环群.当$G$的幂零类大于$2$时，我们得到以下（令人惊讶的）结果：（i）$d(G) = 2$。(ii)若$|γ_2(G)/γ_3(G)| > 2$，则$|\Aut_c(G)| = |γ_2(G)|^{d(G)}$当且仅当$G$是具有循环换位子群的$2$ -生成群，其中$γ_3(G)$表示$G$的下中心列中的第三项。(iii)若$|γ_2(G)/γ_3(G)| = 2$，则$|\Aut_c(G)| = |γ_2(G)|^{d(G)}$当且仅当$G$是幂零类$3$的$2$ -生成元$2$ -群，其初等交换子子群的阶至多为$8$ .作为应用，我们对有限幂零群$G$进行了分类，使得$G…
Automorphism groups of circulant graphs -- a survey
一个循环（di）图是一个在n个顶点上的（di）图，它允许一个n阶循环自同构。本文提供了一个调查的工作，已经做了寻找循环（DI）图的自同构群，包括推广中的（DI）图的边缘已被分配的颜色是不变的上述循环自同构。
A survey of the Johnson homomorphisms of the automorphism groups of free groups and related topics
本文是对自由群的自同构群的Johnson同态的一个有偏的综述。本文仅介绍了Johnson同态及其相关问题的一些已知事实和最新进展。
Class-preserving Coleman automorphisms of finite groups with Wreathed Sylow 2-subgroups
该研究证明了具有缠绕Sylow 2-子群的有限群的外自同构交集具有奇数阶，并解决了三种特定2-群的正规化问题。
Decomposition Theorems for Automorphism Groups of Trees
受局部域上一般线性群的Bruhat和Cartan分解的启发，给出了树的端点固定子和极大紧开子群上标号正则树的标号保持自同构群的双陪集.这个计数用来证明来自标号正则树的自同构群的每个连续同态都有闭值域。
Coarse-median preserving automorphisms
本文引入保持粗中位数的自同构，刻画 RAAG/RACG 不动子群的几何性质，并将无限阶外自同构实现为有限秩中位数空间上的同位似。
Class-preserving automorphisms and the normalizer property for Blackburn groups
对于群$G$，令$U$是整群环$\mathbb{Z}G$的单元群。如果$\text{N}_U(G)=\text{Z}(U)G$，则称群$G$具有正规化子性质。证明了Blackburn群具有正规化子性质。这些是具有非正规有限子群的群，它们的交集都是非平凡的。保类自同构是内自同构的群$G$，$\text{Out}_c(G)=1$，具有正规化子性质。最近，Herman和Li证明了有限Blackburn群$G$的$\text{Out}_c(G)=1$.我们证明了几类亚阿贝尔群的成员$G$的$\text{out}_c(G)=1$，由此得到了Herman-Li的结果.结合Hertweck，Iwaki，Jespers和Juriaans最近的工作，我们的主要结果意味着，对于任意的群$G$，$U$的超中心单位群包含在$\text{Z}(U)G$中.
Order-Preserving outer automorphisms of free and surface groups
本文研究了有限外自同构保持非阿贝尔自由群和可序表面群双序的条件，并给出了新的判据，证明了全循环置换的外自同构保持双序的例子，回答了Kin和Rolfsen的问题。
Polynomial automorphisms of C^n preserving the Markoff-Hurwitz polynomial
本文研究了C^n（n>2）中保持Markoff-Hurwitz多项式H（x）：= x_1^2 + x_2^2 +.的多项式自同构群的作用。+ x_n^2 -x_1x_2. x_n。我们的主要结果包括群的确定、群在其上不连续作用的非空开子集（不连续域）的描述以及不连续域中点的轨道的恒等式。
Primitivity preserving endomorphisms of free groups
一个自由群的自同态称为保自同态，如果它把每个本原元都带到另一个本原。本文证明了有限秩n > 2的自由群的每一个保自同态都是自同构。
Coleman automorphisms of finite groups and their minimal normal subgroups
本文证明了具有自中心极小非平凡特征子群的有限群的所有Coleman自同构都是内的，从而证明了正规化子性质对这些群成立.利用我们的方法，我们证明了有限单群的全形和圈积，除其他外，没有非内Coleman自同构。作为定理的进一步应用，我们对M.赫特威克和W.金默尔进一步，我们刻画了有限幂零群通过循环$p$ -群扩张的Coleman自同构.最后，我们注意到某些幂零乘幂零群的2幂阶保类自同构是内的，推广了J. Hai和J. Ge的一个结果。
Automorphism groups of right-angled buildings: simplicity and local splittings
我们证明了任何不可约半正则厚直角建筑的保型自同构群是抽象简单的。当建筑物是局部有限的，这给了一个大家庭的压缩生成（抽象）简单的局部紧群。专门适当的情况下，我们得到的例子，这样的单群是局部不可分解的，但有局部正规子群分解非平凡的直积。
Automorphisms of triality groups over local rings
本文对D₄型伴随与单连通形式下的初等及全三元组群的抽象自同构进行分类，证明其由伴随群元素与保持特定迹的环自同构唯一确定，并建立了相关同态的相对刚性定理。
Families preserving isomorphisms via techniques in anabelian geometry: with an application to a generalized Neukirch-Uchida theorem
本文从算术代数几何视角推广保持自同构的族的概念，证明一大类profinit群的相关同构族源自内自同构，并将其应用得到ℓ-拟数域的广义Neukirch-Uchida定理。
Relative hyperbolicity for automorphisms of free products
我们证明了，对于一个自由产品$G$与自由因子系统$\mathcal{G}$，任何自同构$ϕ$保持$\mathcal{G}$，atoroidal（在某种意义上相对于$\mathcal{G}$），没有其权力发送两个不同的共轭的子群在$\mathcal{G}$上的共轭本身由同一个元素，产生一个半直积$G\rtimes_ϕ\mathbb{Z}$，这是相对于双曲的悬浮液组在$\mathcal{G}$。我们恢复了Gautero-Lustig和Ghosh的一个定理，即如果$G$是一个自由群，$ϕ$是$G$的自同构，而$\mathcal{G}$是它的多项式增长子群族，那么由$ϕ$得到的半直积相对于这些子群的悬置是双曲的.我们将第一个结果应用于阿贝尔群的自由积的某些自同构（环面和环面）的共轭问题。
Relative Property (T) Actions and Trivial Outer Automorphism Groups
本文证明了群的每一个非顺从自由积都有自由的保持概率测度的作用，并且这些作用在S.- Popa \cite [Def. 4.1]{Pop06}。在轨道等价和冯·诺依曼等价的情况下，有无数这样的作用量，当限制在自由因子时，它们可以被选择为与任何规定的作用量共轭。我们还展示了，对于每一个非顺从的自由积的群体，自由遍历概率测度保持行动，其相关的等价关系有平凡的外自同构群。这特别给出了$2$生成器上的自由群的这种动作的第一个示例。
Automorphism groups of Cayley graphs on almost simple groups with normal connection sets
本文确定了几乎单群上具有正规连接集的连通Cayley图的完全自同构群，并刻画其生成条件，推广了错排图等结果，还建立了图双正则表示的标准并纠正了交错群的结论。
A note on the reflexibility of regular maps with automorphism group PGL(2,q)
本文通过调整Singerman的论证，证明了所有保定向自同构群为PGL(2,q)的可定向正则地图（或超地图）均为自反的。
Symplectic automorphisms of CP^2 and the Thompson group T
我们解释了如何从CP ^2的双有理自同构群中构造一个态射，该态射保持到Thompson群T的对数泊松括号。然后给出了前一个群的线性表示，给出了Thompson群T的一些信息，给出了Thompson群T的生成元和关系的新表示，并推测了双有理辛同胚群的表示.
Transformations of Grassmannians and automorphisms of linear groups
本文考虑了Grassmannian变换中保持一定线性结构的变换，并给出了射影几何基本定理和Chow定理的一些推广。它将被用来研究线性$(k,n-k)$ -对合$1<k<n-1$ .著名的J. Dieudonné和C. E.将获得Rickart结果。
The automorphism groups of relatively free groups of infinite rank
这是一篇综述文章，介绍了关于无限秩的相对自由群的自同构群的一些最近的代数和模型论结果。内容包括拓扑方面，生成集，自同构的描述和一阶理论的表达能力。
Generators for automorphisms of special groups
研究特殊群的自同构生成元，证明其可数生成性并提供虚拟生成集，揭示毒子群对生成的影响。
Structural Ramsey Theory and the Extension Property for Partial Automorphisms
本文综述了有限结构类的两个性质：Ramsey性质和部分自同构的扩张性质（EPPA）。
On the geometry of the automorphism groups of affine varieties
本文综述了Shafarevich于1965年引入的ind-簇和ind-群，重点讨论了仿射簇的自同构群和ind-群对ind-簇的作用。我们给出了精确的定义和完整的证明，包括几个已知的结果。调查中有许多例子，也有我们在这方面的工作中提出的一些问题。在新的结果中，我们证明了对于仿射簇X，自同构群Aut（X）在所有自同态的ind-半群End（X）中总是局部闭的，并基于Shestakov-Umirbaev关于仿射3-空间的非驯服自同构的存在性的工作，给出了具有相同李代数的连通ind-群的严格闭子群的例子.
Residual properties of automorphism groups of (relatively) hyperbolic groups
我们证明了Out（G）是剩余有限的，如果G是一个单端群，是双曲相对于几乎多环子群。更一般地说，如果G是单端的，并且是相对于真剩余有限子群的双曲的，则保持外围结构的外自同构群是剩余有限的。我们还证明了Out（G）对每个素数p都是虚p-剩余有限的，如果G是单端的且是相对双曲的，或者是无穷端的且是虚p-剩余有限的.
Automorphisms of the Cuntz algebras
本文综述了Cuntz代数O_n的自同态，特别是自同构的最新结果，特别强调了外尔群的结构.我们讨论了全局保持对角MASA的自同态及其相应的作用。特别地，我们研究了O_n中那些限制于对角自同构的自同态。本文综述了研究置换自同态的一种组合方法。所有提出的材料都与当前的研究主题相结合。
On automorphisms and splittings of special groups
研究特殊群的外自同构群，探讨其无限性的条件及分解与广义德尼特变换的关系。
Automorphisms of valued Hahn groups
本文研究了满足特定提升性质的Hahn群的自同构结构，通过半直积分解定理和矩阵描述揭示了其自同构群的性质。
On the automorphism group of the m-coloured random graph
设$R_m$是（唯一）泛齐$m$ -边着色可数完全图（$m\ge2$），$G_m$是它的保色自同构群. John Truss证明$G_m$组是简单的。我们研究的自同构群的$G_m$，并表明，这是一组的置换$R_m$诱导置换的颜色，因此扩展$G_m$的对称群的程度$m$。我们进一步表明，扩展分裂当且仅当$m$是奇数，并在$m$是偶数和不整除的情况下，我们发现$G_m$在其自同构群的最小补充。(This 2007年未发表的论文放在这里是因为对该主题的兴趣重新燃起。
Automorphism Groups of Finite p-Groups: Structure and Applications
本论文主要研究了有限$p$ -群的自同构群。主要目标是提供一个定理的完整证明，表明在某种渐近意义上，几乎每个有限$p$ -群的自同构群本身是一个$p$ -群。我们最初证明了这个定理在一份文件与马丁;介绍的证明在这里包含省略证明细节和修订的论述。我们也给出了调查的自同构群的有限$p$ -群的现存结果，专注于自同构群的顺序和已知的例子。最后，我们探讨了有限$p$ -群的自同构与马尔可夫链之间的联系。具体地说，我们定义了一个家庭的马尔可夫链的基本交换$p$ -组和绑定的收敛速度的一些链。
Symmetries of biplanes
本文首先研究了带参数$(v,k,2)$的双平面$\mathcal{D}$，其中块大小为$k\in\{13,16\}$。这些是分类不可用的最小参数值。我们证明了，如果$k=13$，那么要么$\mathcal{D}$是Aschbacher双平面或其对偶，或$Aut(\mathcal{D})$是一个子群的循环群的顺序$3$。在$k=16$的情况下，我们证明了$|Aut(\mathcal{D})|$可以整除$2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$。我们还提供了一个例子，一个双平面参数$(16,6,2)$与标志传递和点本原子群的自同构保持齐次carnival分解。这促使我们研究双平面与点本原自同构群保持carnival分解。我们证明了这样的自同构群是仿射型的（如在例子中），或扭曲的花环型。
Automorphism-invariant positive definite functions on free groups
本文提出了关于自由群上的正定函数的一些新问题，并解释了这些问题与更著名的问题的关系。这篇文章的目的是作为一个调查的已知结果，也提供了一些新的观点和有趣的意见，因此风格是暂时的。
Automorphisms of algebraic varieties and infinite transitivity
本文综述了仿射代数簇自同构群的多重与无限传递性，探讨了其与柔性的等价关系及代数几何推论，并分析了由有限单参数子群生成的情形及复分析与组合群论中的扩展应用。
Hyperfinite measure-preserving actions of countable groups and their model theory
给出了G的一个定理的一个较短的证明。Elek指出标准概率空间上可数群的两个超有限保测度作用近似共轭当且仅当它们具有相同的不变随机子群。然后利用这个定理研究了概率空间上可数群的超有限保测作用的模型论。这一工作推广了I。Ben Yaacov，A.贝伦施泰因角W. Henson和A.乌斯维亚佐夫
Degree growth for tame automorphisms of an affine quadric threefold
本文利用赋值估计和方复形上的群作用，证明了保持仿射二次三维簇的驯顺自同构的动力次数避开 1 和 4/3 之间的值，并刻画了有限多个此类自同构随机乘积的次数增长指数为正的条件。
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