Universal estimates and Liouville theorems for superlinear problems without scale invariance
我们重新审视非线性椭圆和抛物问题的重标度方法，并表明，通过适当的修改，它们可以用于非尺度不变的非线性，甚至渐近，其行为可以是相当远的权力一样。在这个扩大的框架中，通过采用[37，38]中的加倍-重标度方法，我们证明了在普适估计和刘维尔定理之间发现的等价性仍然有效。在抛物的情况下，我们还证明了一个刘维尔型定理的一个相当大的类的非标度不变的非线性。这导致了一些新的结果，非尺度不变的椭圆和抛物问题，关于空间或时空奇异性估计，初始和最终爆破率，普遍和先验界的整体解决方案，和衰减率在空间和/或时间。我们说明了我们的方法，通过一些例子，这反过来又给出指示的最优估计和假设。
2022-06-18 math.AP
Symmetry and uniqueness of solutions to some Liouville-type equations and systems
本文在对几何和数学物理中的三类Liouville型问题：非对称Sinh-Gordon方程、宇宙弦方程和Toda系统的质量作一定假设的条件下，证明了对称性和唯一性结果.该论点是在球覆盖不等式的精神，这是第一次用于治疗不同的指数非线性和系统。
2017-03-07 math.AP
Sharp Liouville type results for semilinear elliptic inequalities involving gradient terms on weighted graphs
研究了加权图上含梯度项的半线性椭圆型不等式\[ Δu+u^p\left|\nabla u\right|^q\leq0, \]非平凡正解的存在性和不存在性，其中$(p,q)\in\mathbb{R}^2$ .我们给出了一个完整的分类$(p,q)$下急剧体积增长的假设成立。
2022-05-12 math.AP
One-dimensional symmetry and Liouville type results for the fourth order Allen-Cahn equation in R$^N$
本文证明了RN中推广的四阶Allen-Cahn方程的Gibbons猜想的一个类似结果，以及某些解在无穷远处沿给定方向收敛到相同值的Liouville型结果.我们还证明了一个先验界和进一步的一维对称性和刚性结果的半线性四阶椭圆型方程更一般的非线性。
2016-03-11 math.AP
Liouville theorems for Kirchhoff-type hypoelliptic Partial Differential Equations and systems. I. Heisenberg group
本文给出了海森堡群上Kirchhoff椭圆型、抛物型和双曲型方程解的不存在性结果。此外，还考虑了Kirchhoff型的伪抛物和伪双曲型方程。为了证明这些结果，我们使用了检验函数方法。此外，还将类似的结果推广到系统的情形.此外，我们给出了一些非局部非线性的例子。
2021-10-03 math.AP
Decay and scattering of solutions to nonlinear Schrödinger equations with regular potentials for nonlinearities of sharp growth
本文证明了具有正则势的非线性薛定谔方程在$\Bbb R^d$（即$i{\partial _t}u + Δu - V(x)u + λ|u|^{p - 1}u = 0$）中的能量空间中的衰减和散射.在小数据情形下证明了解的衰减估计和分散性，当$1+\frac{2}{d}<p\le1+\frac{4}{d-2}$，$d\ge3$。指数$1+\frac{2}{d}$对于W的结果的散射是尖锐的。施特劳斯[21]。
2017-03-10 math.AP
Sharp criteria of Liouville type for some nonlinear systems
本文建立了Hardy-Littlewood-Sobolev（HLS）型非线性方程组及相应的Lane-Emden型非线性微分方程组正解不存在的精确判据.这些不存在的结果，被称为刘维尔型定理，是偏微分方程理论和应用的基础。建立了一种特殊的迭代格式、一种新的打靶法和积分形式及微分形式的Pohozaev型恒等式。结合这些新技巧和一些观察结果以及一些临界渐近分析，我们建立了非线性方程组的Liouville型的尖锐准则。对Wolff型积分方程组和$γ$ -Laplace方程组也得到了类似的结果。对有限能量解的存在性和不存在性给出了一个二分法描述。
2013-02-02 math.AP
Liouville theorems and universal estimates for superlinear parabolic problems without scale invariance
本文针对无尺度不变性的超线性抛物问题，利用椭圆刘维尔定理、能量估计和分量比例化约化方法建立全空间与半空间中的刘维尔型定理，并将其应用于普适奇异性与衰减估计。
2024-09-30 math.AP
Blow-up and sharp lifespan estimates to the weakly coupled system of structurally damped wave equations with critical nonlinearities
School of Mathematics and Computer Sciences, Hanoi National University of Education（河内国家教育大学数学与计算机科学学院）；Faculty of Mathematics and Informatics, Hanoi University of Science and Technology（河内科技大学数学与信息学院）；Department of Mathematics, Hanoi National University of Education（河内国家教育大学数学系）
研究弱耦合结构阻尼波方程组中非线性项模连续性的临界曲线，通过分析小数据Sobolev解的全局存在性和有限时间爆破现象，确定模连续性的精确条件及局部解的寿命估计。
2026-04-08 math.AP
Liouville results for $(p,q)$-Laplacian elliptic equations with source terms involving gradient nonlinearities
本文针对含梯度非线性源项的非齐次 $(p,q)$-Laplacian 椭圆方程，利用 Ishii-Lions 技术与改进的 Bernstein 方法证明了有界解的常数性与梯度先验估计，从而建立 Liouville 型定理，推广了经典结果。
2025-10-14 math.AP
On an almost sharp Liouville type theorem for fractional Navier-Stokes equations
研究了三维定常不可压分数阶Navier-斯托克斯方程解的存在性、Liouville型定理和正则性结果：在这种情形下，通常的Laplacian算子被其分数阶幂$(-Δ)^{\fracα{2}}$和$0<α<2$所取代.通过应用不动点论证，可以在索伯列夫空间$\dot{H}^{\fracα{2}}(\mathbb{R})$中得到弱解，如果我们增加一个额外的可积性条件，用Lebesgue空间表示，那么我们可以证明对于$α$的某些值，零函数是唯一的光滑解。对于$3/5<α<5/3$，附加的可积性条件几乎是尖锐的.此外，在$1<α<2$的情况下，在某些条件下建立了正则性的增益，然而，在$0<α\leq 1$的制度中的正则性的研究似乎是一个开放的问题。
2023-01-27 math.AP
The sharp exponent in the study of the nonlocal Hénon equation in $\mathbb{R}^{n}$. A Liouville theorem and an existence result
我们将考虑非局部Hénon方程$$(-Δ)^s u= |x|^α u^{p},\quad \mathbb{R}^{N},$$，其中$(-Δ)^s$是具有$0<s<1$，$-2s<α$，$p>1$和$N>2s$的分数拉普拉斯算子。证明了当$$1<p<p^*_{α, s}:=\frac{N+2α+2s}{N-2s}.$$满足时，在非线性项的最佳范围内，正解的不存在性.此外，还证明了当$p=p_{α, s}^{*}$满足时，存在一个泡解，即一个快速衰减的径向对称正解.
2019-05-16 math.AP
Sharp Onofri trace inequality on the upper half space and quasi-linear Liouville equation with Neumann boundary
本文在上半空间建立尖锐Onofri迹不等式并分类极值函数，同时利用Serrin-Zou型和Pohozaev型恒等式给出带Neumann边界的拟线性Liouville方程解的分类。
2025-09-21 math.AP
Liouville theorems for parabolic systems with homogeneous nonlinearities and gradient structure
该研究修改既有证明思路，去掉正性假设证明了带梯度结构的齐次非线性抛物方程组的Liouville定理，将解类拓展至变号解，还证明了半空间Dirichlet边界情形的定理，并用于推导特定抛物方程组的通用估计。
2024-12-13 math.AP
Sharp Liouville Theorems
考虑$\mathbb{R}^N,$中的方程div $(φ^2 \nabla σ)=0$，其中$φ>0$。Berestycki、Caffarelli和Nirenberg证明，如果存在$C>0$，使得对于每个$R\geq 1$都有$\int_{B_R}(φσ)^2 \leq CR^2$，则$σ$必然是常数。在本文中，我们提供了必要和充分条件$0<Ψ\in C([1,\infty))$，这一结果仍然成立，如果我们取代$R^2$与$Ψ(R)$在任何维$N$。对于大$R>1$和$Ψ'>0$的$Ψ$的凸性，该条件等价于$\displaystyle{\int_1^\infty\frac{1}{Ψ'}=\infty}$。
2020-03-20 math.AP
Sharp local existence and nonlinear smoothing for dispersive equations with higher-order nonlinearities
本文针对高阶非线性色散方程，证明在更高阶和更高维下可获得更尖锐的局部适定性，并给出线性与非线性解正则性增益的显式界，应用于广义KdV、ZK和NLS方程。
2024-12-16 math.AP
A Sharp Liouville Theorem for Elliptic Operators
我们在椭圆算子$L= {1/2}\triangle + b \cdot \nabla $上引入了一个新的条件，该条件保证了$Lu=0$在$\R^d$上有界解的Liouville性质的有效性.这种情况在$d=1$时很严重。在Cordes型条件下，我们将Liouville定理推广到更一般的非散度型二阶算子。
2010-02-16 math.AP math.PR
An optimal Liouville theorem for the porous medium equation
在无穷远处的一个尖锐的渐近增长条件下，我们证明了非均匀多孔介质方程的一个Liouville型定理，只要它保持普遍接近热方程。此外，对于齐次方程，我们表明，结论成立，这是足够的假设，在无穷大的尖锐渐近增长，只有在空间变量。结果是最优的，这意味着无穷大的增长条件不能被削弱。
2022-01-06 math.AP
Liouville theorem and sharp solvability for solutions of the parabolic Monge-Ampère equation with periodic data
School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University, Laboratory of Mathematics and Complex Systems, Ministry of Education（北京师范大学数学科学学院，教育部数学与复杂系统重点实验室）
本文证明了抛物Monge-Ampère方程周期数据下古老解的Liouville定理，建立了光滑周期解存在性的充要条件，扩展了Caffarelli-Li的结果。
2026-03-25 math.AP
Liouville theorems and universal estimates for superlinear elliptic problems without scale invariance
本文将刘维尔型定理应用于无尺度不变性的椭圆系统以获得普适奇性和衰减估计，提出了基于 Pohozaev 恒等式等方法证明新定理，并综述改进了现有证明方法。
2024-09-26 math.AP
Singular Liouville Equations on $S^2$: Sharp Inequalities and Existence Results
本文证明了一个尖锐的Onofri型不等式和球面上Moser-Tudinger泛函在具有正阶奇点的势的存在下极值的不存在性。在对称性和非简并性假设下，我们还研究了临界点的存在性，并给出了一些充分条件。
2015-08-09 math.AP math.DG
Regularity of extremal solutions of semilinear elliptic equations with m-convex nonlinearities
本文研究了有界光滑区域$Ω\subset \mathbb{R}^N$上Dirichlet边界条件下的Gelfand问题.我们感兴趣的是极值解$u^*$的有界性。当维数为$N\ge10$时，可以构造出非线性项$f(u)=e^u$和$Ω=B_1$的奇异极值解.当$3\le N\le 9$，Cabré，Figalli，Ros-Oton和Serra（2020）证明了以下令人惊讶的结果：如果非线性$f$是正的，非递减的，凸的，极值解$u^*$是有界的。本文成功地将他们的结果推广到一般的$m$ -凸非线性问题。此外，我们还考虑了$m$ -凸性，对前人的研究结果给出了统一的观点。我们给出了具有$m$ -凸非线性项的稳定解的封闭性结果。作为结果，我们提供了一个Liouville型结果，并通过使用爆破参数，我们证明了极值解的有界性。
2022-03-29 math.AP
On problems with weighted elliptic operator and general growth nonlinearities
本文建立了$$-div (|x|^{a} D u ) = f(x,u), ~ u > 0,\, \mbox{ in } Ω,$$形式的非线性方程的存在性、不存在性和Liouville型定理，其中$N \geq 3$，$Ω$是$\mathbb{R}^N$中包含原点的开域，$N-2+a > 0$和$f$满足结构条件，包括某些增长性质.第一个主要结果是一个不存在定理的边值问题的有界区域的星形关于原点，提供$f$具有超临界增长。其结果是正的整体解的存在性方程的$f$表现出相同的增长。然后建立了Liouville型定理，该定理断言只要$f$的增长是次临界的，则方程在$Ω= \mathbb{R}^N$中不存在正解.然后将结果扩展到$$-div (|x|^{a} D u_1) \!=\! f_{1}(x,u_1,u_2), -div (|x|^{a} D u_2) \!=\! f_{2}(x,u_1,u_2), u_1, u_2 \!>\! 0,\, \mbox{ in } Ω,$$形式的系统，但是在克服了单个方程中不存在的额外障碍之后。具体情况下，我们的结果恢复经典的一个著名的问题，寻找最好的常数在Hardy-Sobolev和Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式，以及知名的椭圆系统的存在性结果。
2021-03-16 math.AP
Sharp gradient estimate and Yau's Liouville theorem for the heat equation on noncompact manifolds
我们得到一个尖锐的，局部化的版本的椭圆型梯度估计的正解（有界或无界）的热方程。这些估计类似于拉普拉斯方程的Cheng-Yau估计和紧致流形上热方程有界解的Hamilton估计。作为应用，在一定的增长条件下，我们将丘氏著名的关于正调和函数的Liouville定理推广到热方程的正永恒解。令人惊讶的是，即使在没有这样的条件的${\bf R}^n$中，热方程的刘维尔定理也不成立。我们还证明了非紧流形上热核对数的一个锐化的长时间梯度估计。这一直是一个开放的问题，在紧凑，短时间的情况下，众所周知的估计。
2005-02-03 math.AP math.DG
Multi-bumps analysis for trudinger-moser nonlinearities i -quantification and location of concentration points
本文研究了一类具有Trudinger-Moser增长的二维非线性椭圆型偏微分方程解序列的爆破行为。第一作者在[15]中得到了定量结果，但仍有许多问题有待解决。类似的问题也在随后的论文中明确提出，参见Del Pino-Musso-Ruf [12]，Malchiodi-Martinazzi [30]或Martinazzi [34]。我们回答了所有这些问题，特别证明了吹胀现象是非常严格的，因为在这个方程中的气泡之间的强相互作用。这项工作将有一个续集，通过度理论论证给出相关泛函在所有能级上的临界点的存在性结果，其精神与Chen-Lin [8]的美丽工作中对Liouville方程所做的工作相同。
2017-10-24 math.AP
A Liouville-type theorem for the Lane-Emden equation in a half-space
本文证明了半空间中 Lane-Emden 方程 Dirichlet 问题在法向单调正解的不存在性，解决了长期公开问题，并将结果推广至一般凸非线性项。
2020-03-24 math.AP
Classification of solutions to the Liouville equation with a nonlinear Neumann boundary condition and applications to sharp inequalities
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；Université de Tours, Université d’Orléans, CNRS, IDP, UMR 7013（图尔大学，奥尔良大学，法国国家科学研究中心，IDP，UMR 7013）
本文通过边界自适应P-函数方法，对具有非线性Neumann边界条件的Liouville方程所有光滑解进行分类，并应用于建立涵盖Lebedev-Milin不等式的尖锐Sobolev迹型不等式族及亏损估计。
2026-09-17 math.AP
Symmetry of components, Liouville-type theorems and classification results for some nonlinear elliptic systems
我们证明了对称性的组件和一些刘维尔型定理，可能会改变符号，整个分布的解决方案，一个家庭的非线性椭圆系统，包括模型所产生的玻色-爱因斯坦凝聚和非线性光学。对于这些模型，我们还提供了精确的分类结果的非负的解决方案。我们的结果的锐度也进行了讨论。
2013-07-26 math.AP
Super poly-harmonic properties, Liouville theorems and classification of nonnegative solutions to equations involving higher-order fractional Laplacians
在本文中，我们关注的方程\eqref{PDE}涉及高阶分数拉普拉斯算子。通过引入一种新的方法，证明了\eqref{PDE}非负解的超多重调和性质（定理\ref{Thm0}）.我们的定理似乎是这个问题的第一个结果。因此，我们得到了超多调和性质的许多重要应用。例如，我们建立了分数阶高阶方程\eqref{PDE}的Liouville定理、整表示公式和非负解的分类结果，其中包括共形不变和奇数阶的情形，该方程具有一般非线性$f(x,u,Du,\cdots)$。特别是，我们的结果完全改善了三阶方程的分类结果戴和秦\cite{DQ1}通过删除可积性的假设。在附录中，我们还通过平均值得到了$α$ -调和函数的特征。
2019-09-22 math.AP
On a system of Schrödinger equations with general quadratic-type nonlinearities
在这项工作中，我们研究了一个系统的薛定谔方程涉及非线性二次增长。我们建立了关于有限时间内整体存在与爆破的尖锐判据。这样一个准则是在与相应的椭圆系统，这反过来又是通过应用变分方法得到的基态解的条款。通过使用浓度紧性方法，我们还研究了基态的非线性稳定性/不稳定性。
2019-08-12 math.AP
Partial regularity and Liouville theorems for stable solutions of anisotropic elliptic equations
研究拟线性椭圆方程\begin{equation*} -Qu=e^u \ \ \text{in} \ \ Ω\subset \mathbb{R}^{N} \end{equation*}，其中算子$Q$，称为Finsler Laplacian（或各向异性Laplacian），定义为$$Qu:=\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(F(\nabla u)F_{ξ_{i}}(\nabla u)),$$，其中$F_{ξ_{i}}=\frac{\partial F}{\partialξ_{i}}$和$F: \mathbb{R}^{N}\rightarrow[0,+\infty)$是$ C^{2}(\mathbb{R}^{N}\setminus\{0\})$的凸函数，满足一定的假设.对于有界域$Ω$和上述方程的稳定弱解，我们证明了奇异集的Hausdorff维数不超过$N-10$ .对于整个空间，我们应用Moser迭代参数，建立由Dancer-Farina和Crandall-Rabinowitz的上下文中，证明刘维尔定理的稳定的解决方案和有限的莫尔斯指数的解决方案的尺寸$N<10$和$2<N<10$，分别。我们还提供了一个明确的解决方案，是稳定的紧集以外的$N=2$。此外，我们提供了类似的刘维定理的幂型非线性。
2020-08-10 math.AP
Critical conditions of nonlinearities in the John problem
Zhejiang Normal University（浙江师范大学）；Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）；Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）
本文研究John问题中非线性项的临界条件，确定使小初值紧支集解整体存在的Dini型尖锐准则，不满足时解会有限时间爆破，还给出寿命估计，证明用到基本解、John迭代及适配切片法。
2026-08-21 math.AP
On the blow-up solutions for the fractional nonlinear Schrödinger equation with combined power-type nonlinearities
研究了一类具有组合幂型非线性项\[ i\partial_t u-(-Δ)^su+λ_1|u|^{2p_1}u+λ_2|u|^{2p_2}u=0, \]的分数阶非线性薛定谔方程的爆破解，其中$0<p_1<p_2<\frac{2s}{N-2s}$ .首先得到了爆破解存在的充分条件，然后通过构造新的估计，得到了爆破解和整体解存在的一些尖锐的阈值。此外，我们还发现了$0<p_1<\frac{2s}{N}$和$p_2=\frac{2s}{N}$情形的爆破和整体存在的临界质量.最后，我们研究了爆破解的动力学性质，包括$L^2$ -浓度、爆破速率和极限轮廓。
2018-03-30 math.AP
Some new Liouville-type results for fully nonlinear PDEs on the Heisenberg group
该研究针对Heisenberg群上由Heisenberg向量场构造的完全非线性方程，通过退化Hadamard三球面定理证明新的尖锐Liouville型性质，并将欧几里得框架下Pucci极值算子受扰情况的结果推广到Heisenberg群。
2024-11-30 math.AP
The interplay of critical regularity of nonlinearities in a weakly coupled system of semi-linear damped wave equations
研究一类半线性经典阻尼波方程组的弱耦合系统，其非线性项具有连续模，其幂属于$p-q$平面上的临界曲线.本文的主要目标是找出这些连续模的尖锐条件，分类之间的整体（在时间上）存在的小数据的解决方案和有限时间爆破的解决方案。
2020-07-08 math.AP
Interior Regularity for Stable Solutions of Semilinear Elliptic Equations with Sign-Changing Nonlinearities
Tsinghua University（清华大学）
该研究针对具变号非线性项的半线性椭圆方程稳定解，在不同维数下建立了内部正则性估计，解决了相关公开问题并推广了已有结果，还证明了对应Liouville型定理。
2026-10-16 math.AP
Blow-Up Theory and Liouville-Type Theorem for Solutions of a Class of Generalized Camassa-Holm-Kadomtsev-Petviashvili Equations
Henan Polytechnic University（河南理工大学）；Yichun Early Childhood Teachers’ College（宜春幼儿师范高等专科学校）；Yichun University（宜春学院）
本文研究了一类广义CH-KP方程解的爆发行为和Liouville型定理，通过特征线、先验估计和Riccati不等式证明了爆发准则和唯一性定理。
2026-02-26 math.AP
Liouville theorems for mixed local and nonlocal indefinite equations
Xinyang Normal University（信阳师范大学）；South China University of Technology（华南理工大学）
本文研究了混合局部-非局部方程正解的定性性质，通过建立最大原理和严格单调性，结合平滑第一特征函数和合适子解，推导了混合算子(-Δ)^s - Δ的非存在性结果，并扩展到抛物情形，揭示了双重非局部性下的新定性特征。
2026-02-20 math.AP
Gradient estimates and Liouville-type theorems for the semilinear elliptic equation involving the nonlinear gradient source
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
本文通过构造线性算子和辅助函数，利用最大值原理，对所有参数(p,q)建立了含非线性梯度源的半线性椭圆方程的局部梯度估计与Liouville型定理，并推广了已有结果。
2026-09-15 math.AP
Liouville type theorems on manifolds with nonnegative curvature and strictly convex boundary
证明了具有非负截面曲率和严格凸边界的光滑紧致黎曼流形上的Liouville型定理。这在低维上给出了Xia-Xiong最近给出的第一Steklov特征值的尖锐下界的非线性推广，并部分验证了第三作者的一个猜想.作为结果，我们得到了这些流形上的几个尖锐的Sobolev迹不等式。
2020-05-26 math.AP math.DG
Effect of weights on stable solutions of a quasilinear elliptic equation
本文研究拟线性椭圆型方程$-Δ_p u= f(x) F(u) $在$\mathbb{R}^n$中的稳定弱解和有限Morse指数弱解的Liouville定理，其中$p\ge 2$，$0\le f\in C(\mathbb{R}^n)$和$F\in C^1(\mathbb{R})$ .我们将$f(x)$称为{ \it权重}，将$F(u)$称为{ \it非线性}。值得注意的事实是，如果权函数从下到上由严格的正常数$0<C\le f$限制，那么它对稳定解没有太大影响，然而，非负权$0\le f$将推动某些临界尺寸。这种分析观察有可能应用于各种模型，以推动某些众所周知的关键尺寸。对于一般的非线性$F\in C^1(\mathbb{R})$和$f(x)=|x|^α$，我们证明了在$n\le \frac{4(p+α)}{p-1}+p$维上的有界径向稳定解的Liouville定理。对于特定的非线性$F(u)=e^u$，$u^q$其中$q>p-1$和$-u^{q}$其中$q<0$，被称为Gelfand，车道埃姆登和负指数的非线性，分别，我们证明刘维定理径向有限莫尔斯指数（不一定有界）和稳定（不一定径向也没有界）的解决方案。
2013-05-24 math.AP
A note on a multiplicity result for the mean field equation on compact surfaces
本文研究紧致曲面上具有指数非线性项的Liouville型方程，它描述了具有任意符号涡的平衡湍流的平均场方程。利用莫尔斯理论给出了这类方程的第一个多重性结果。
2017-03-06 math.AP
Radial singular solutions for the N-Laplace Equation with exponential nonlinearities
本文考虑了拟线性方程$-Δ_N u=f(u)$在穿孔开球$ B_R\backslash\{0\}\subset \RR^N$，$N \geq 2$中的径向分布解.通过保持正则性，我们得到了非线性$f$的尖锐条件，将这种解推广到整个区域$B_R$。对一类非线性方程$f$，我们得到了奇异解的存在性，并推导了奇异点附近增长率的上下估计。
2018-07-16 math.AP
Liouville's theorems to quasilinear differential inequalities involving gradient nonlinearity term on manifolds
研究了非紧测地线完备黎曼流形上$Δ_m u+u^p|\nabla u|^q\leq0$非平凡正解的存在性和非平凡正解的不存在性，其中$m>1$，和$(p,q)\in \mathbb{R}^2$ .根据$(p, q)$的分类，建立了不同的体积增长条件，得到了上述拟线性微分不等式的Liouville定理，并证明了这些体积增长条件在大多数情况下是尖锐的.而且，对于负对的$(p, q)$，即使在欧几里得空间中，这些结果也是全新的.
2021-02-03 math.AP
Liouville-type theorems for the fourth order nonlinear elliptic equation
本文考虑非线性椭圆型方程{方程 *} Δ^2 u= |x| ^a |u| ^{p-1}u\;\ {in}\;\ Ω，{方程 *}的Liouville型定理，其中$a \ge 0$，$p>1$和$Ω\subset \mathbb{R}^n$是$\mathbb{R}^n$，$n \ge 5$的无界区域.我们证明了属于以下类别之一的解决方案的刘维尔型定理：稳定的解决方案和有限的莫尔斯指数的解决方案（无论是积极的或改变符号）。我们的证明是基于组合的{ \it Pohozaev型身份}，{ \it单调性公式}的解决方案和{ \it吹下}序列，这是用来获得更清晰的结果。
2013-07-09 math.AP
Quasilinear Liouville equation on manifolds with nonnegative Ricci curvature
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
研究非负Ricci曲率完备非紧Riemann流形上n-Laplace拟线性Liouville方程的刚性与分类，证明在尖锐对数下界条件下流形等距于欧氏空间且解为标准气泡，并构造非平坦流形上的解表明假设的尖锐性。
2026-07-02 math.AP math.DG
Higher-order criteria and sharpness for blow-up at quantized singularities in Liouville equations
University of Rome Tor Vergata（罗马托维加塔大学）；Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；University of Florida（佛罗里达大学）
针对Liouville方程解在量子奇点处的爆破问题，研究了其高阶判据，证明了Wei-Zhang上界的尖锐性，区分了简单与非简单爆破行为。
2026-10-09 math.AP
Critical regularity of nonlinearities in semilinear classical damped wave equations
本文考虑半线性阻尼波动方程$u_{tt}-Δu + u_t = h(u);\qquad u(0;x) = f(x); \quad u_t(0;x) = g(x);$的Cauchy问题，其中$h(s) = |s|^{1+2/n}μ(|s|)$ .这里n是空间维数，$μ$是连续模。我们的目标是获得$μ$上的尖锐条件，以获得小数据解的全局（在时间上）存在性（零解的稳定性）和甚至小数据解的爆破行为之间的阈值。
2019-04-05 math.AP
Sharp rigidity for quasilinear Liouville equation on manifolds with nonnegative Ricci curvature
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
研究具有非负Ricci曲率流形上的拟线性Liouville方程，通过解的最优对数下界得出流形与欧氏空间等距且解为标准泡解，证明中关键是对数下界与总体积上界联系，还提出并证明了关于解与几何相互作用的猜想。
2026-07-29 math.AP math.DG
Higher-dimensional solutions for a nonuniformly elliptic equation
本文证明了$m$维对称性结果，我们称之为$m$ -Liouville定理，对于下列非一致椭圆型方程\begin{eqnarray*}\label{mainequ} - div(γ(\mathbf x') \nabla u(\mathbf x)) =λ(\mathbf x' ) f(u(\mathbf x)) \ \ \text{for}\ \ \mathbf x=(\mathbf x',\mathbf x'')\in\mathbf{R}^d\times\mathbf{R}^{s}=\mathbf{R}^n, \end{eqnarray*}的稳定和单调解，其中$0\le m<n$和$0<λ,γ$是光滑函数，$f\in C^1(\mathbf R)$ .有趣的事实是，权函数$γ(\mathbf x') $上的衰减假设在推导$m$ -刘维定理中起着根本性的作用。我们表明，在一定的假设下的符号的非线性$f$，上述方程满足0-刘维定理。更重要的是，我们证明了对于双势阱非线性，即$f(u)=u-u^3$，上述方程满足$(d+1)$ -Liouville定理。这可以被认为是一个高维对应的著名猜想德Giorgi的艾伦-卡恩方程。值得注意的现象是，$\tanh$函数是Allen-Cahn方程的单调有界解的轮廓，出现在构造高维Liouville定理。
2013-11-24 math.AP
Liouville type theorems for the steady axially symmetric Navier-Stokes and magnetohydrodynamic equations
本文研究了Navier-Stokes方程光滑定常轴对称解的Liouville性质.首先，我们提供了另一个版本的\cite{kpr15}的刘维尔定理在零涡旋的情况下，我们取代了狄利克雷可积条件温和的衰减条件。然后在假设$\|\f{u_r}{r}{\bf 1}_{\{u_r< -\f 1r\}}\|_{L^{3/2}(\mbR^3)}< C_{\sharp}$的条件下证明了Liouville定理，其中$C_{\sharp}$是一个待指定的普适常数.特别地，如果$u_r(r,z)\geq -\f1r$用于$\forall (r,z)\in[0,\oo)\times\mbR$，则为${\bf u}\equiv 0$。Liouville定理也成立，如果$\displaystyle\lim_{|x|\to \oo}\Ga =0$或$\Ga\in L^q(\mbR^3)$对于某些$q\in [2,\oo)$，其中$\Ga= r u_þ$。我们还建立了关于$\Om\co \f{\p_z u_r-\p_r u_z}{r}$的一些有趣的不等式，证明了$\na\Om$可以被$\Om$本身有界.所有这些结果都推广到了具有${\bf u}=u_r(r,z){\bf e}_r +u_þ(r,z) {\bf e}_þ + u_z(r,z){\bf e}_z, {\bf h}=h_þ(r,z){\bf e}_þ$…
2016-03-15 math.AP
A priori estimates and Liouville-type theorems for the semilinear parabolic equations involving the nonlinear gradient source
本文研究含非线性梯度源的半线性热方程，通过逐点梯度估计、Gidas-Spruck 积分法和 doubling lemma 证明 Liouville 型定理并导出普适先验估计。
2024-08-06 math.AP
A fully nonlinear two-phase Alt-Phillips problem with gradient nonlinearities
本文研究完全非线性两相Alt-Phillips自由边界问题，通过精细爆破和稳定性分析，建立了高阶奇异结点处的增长估计、定量非退化结果及Liouville定理，统一并推广了已有结论。
2026-09-22 math.AP
Existence of infinitely many solutions for a class of fractional Schrödinger equations in $\mathbb{R}^N$ with combined nonlinearities
本文研究了一类非线性分数阶薛定谔方程：\begin{equation*} (-Δ)^{s} u + V(x)u = f(x,u) + λg(x,u), \quad \text{in}\: \mathbb{R}^N, \end{equation*}其中$s\in (0,1)$，$N>2s$，$(-Δ)^{s}$表示分数阶Laplacian，$λ\in \mathbb{R}$是参数，$V\in C(\mathbb{R}^N,R)$，$f(x,u)$关于$u$是超线性的，$g(x,u)$关于$u$是次线性的.利用喷泉定理证明了上述方程的无穷多个高能解的存在性。推广和改进了最近的一些结果。
2020-10-19 math.AP
