Liouville方程中量子奇点处爆破的高阶判据与尖锐性
Higher-order criteria and sharpness for blow-up at quantized singularities in Liouville equations
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针对Liouville方程解在量子奇点处的爆破问题，研究了其高阶判据，证明了Wei-Zhang上界的尖锐性，区分了简单与非简单爆破行为。
中文摘要 AI 辅助
本工作研究方程 \[−Δu=λV(x)|x|^{2N}e^v\]（在单位球 \(B_1\) 内，\(v=0\) 在 \(∂B_1\) 上）解在量子奇点处的爆破现象。其中 $B_1$ 表示以原点为中心的 $\mathbb R^2$ 中的单位球，$V(x)$ 为正光滑函数，$N\in \mathbb N$ 和 $\lambda>0$ 为小参数。主要目标是确定势函数 $V$ 的条件，以保证存在当 $\lambda\to 0^+$ 时在原点爆破的解族。此外，我们建立了高阶判据，用于区分在 $x=0$ 处的简单与非简单爆破行为。特别地，对于 $N-1\in 2^{\mathbb N}$，我们构造了非简单爆破序列 $v_k$，其对应系数函数 $V_k$ 的导数直至 Wei-Zhang 上界允许的最大阶均为零，从而证明该上界是尖锐的。
英文摘要
This work is devoted to the study of blow-up phenomena for solutions of \[-Δu=λV(x)|x|^{2N}e^v,\quad \mbox{in}\quad B_1,\quad v=0\quad \mbox{on}\quad \partial B_1. \] where $B_1$ denotes the unit ball in $\mathbb R^2$ centered at the origin, $V(x)$ is a positive smooth function, $N\in \mathbb N$ and $λ>0$ is a small parameter. The main goal is to determine conditions on the potential $V$ guaranteeing the existence of families of solutions that blow up at the origin as $λ\to 0^+$. Moreover, we establish higher order criteria that distinguish between simple and non-simple blow-up behavior at $x=0$. In particular, for $N-1\in 2^{\mathbb N}$, we construct a non-simple blow-up sequence $v_k$, corresponding to coefficient function $V_k$ whose derivatives vanish up to the maximal order allowed by the upper bound of Wei-Zhang, thereby proving that this bound is sharp.
发表机构
- University of Rome Tor Vergata（罗马托维加塔大学）
- Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
- University of Florida（佛罗里达大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
