含非线性梯度源的半线性椭圆方程的梯度估计与Liouville型定理
Gradient estimates and Liouville-type theorems for the semilinear elliptic equation involving the nonlinear gradient source
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中文总结 AI 辅助
本文通过构造线性算子和辅助函数，利用最大值原理，对所有参数(p,q)建立了含非线性梯度源的半线性椭圆方程的局部梯度估计与Liouville型定理，并推广了已有结果。
中文摘要 AI 辅助
我们研究定义在$\mathbb R^N$中区域$\Omega$上的方程$-\Delta u=u^p+M|\nabla u|^q$的正解的局部与全局性质，其中$p,q$为参数且$M>0$。通过构造一个线性算子，我们建立了包含辅助函数的微分不等式。通过在不同区域选取适当的辅助函数并运用最大值原理，我们对所有$(p,q)\in \mathbb R^2$推导出局部梯度估计，并进一步建立了Liouville型定理。作为应用，我们获得了具有一般非线性项的椭圆方程局部解的普适估计。我们的结果推广了Bidaut-Véron、Garcia-Huidobro和Véron在[Math. Ann. 378 (1-2) (2020) 13-56]中建立的若干结论。
英文摘要
We study local and global properties of positive solutions to the equation $-Δu=u^p+M|\nabla u|^q$ in a domain $Ω$ of $\mathbb R^N$, where $p,q$ are parameters and $M>0$. By constructing a linear operator, we establish the differential inequality containing an auxiliary function. By selecting appropriate auxiliary functions over various regions and employing the maximum principle, we derive the local gradient estimates for all $(p,q)\in \mathbb R^2$, and further establish Liouville-type theorems. As an application, we acquire universal estimates for local solutions of elliptic equations with general nonlinearities. Our results extend partial conclusions established in Bidaut-Véron, Garcia-Huidobro and Véron [Math. Ann. 378 (1-2) (2020) 13-56].
发表机构
- School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
